도함수는 함수가 오르는지 내리는지 알려 줍니다. 오르다가 내리기 시작하는 자리가 봉우리이고, 내리다가 오르기 시작하는 자리가 골짜기입니다. 이 봉우리와 골짜기를 극대·극소라 하며, 그것을 도함수의 부호로 찾는 법이 이 강의의 핵심입니다. 그리고 극값을 찾는 능력은 곧 "가장 크게" 또는 "가장 작게" 만드는 최적화 문제를 푸는 힘이 됩니다.
어떤 구간에서 f′(x)>0이면 f는 그 구간에서 증가하고, f′(x)<0이면 감소합니다.
이유는 접선의 기울기가 양수면 그래프가 오른쪽 위로 향하기 때문입니다. 순간변화율이 양이면 x가 커질 때 y도 커집니다. 예를 들어 f(x)=x2−4x+1을 봅시다. f′(x)=2x−4이므로 x<2에서 f′(x)<0(감소), x>2에서 f′(x)>0(증가)입니다. 따라서 x=2를 경계로 함수는 내려가다 올라갑니다.
문제 1. (기초) f(x)=x2−6x가 증가하는 구간을 구하시오. 답.x>3. 풀이.f′(x)=2x−6입니다. f′(x)>0은 2x−6>0, 즉 x>3입니다. 따라서 x>3에서 증가합니다.
문제 2. (기초) f(x)=−x2+2x가 감소하는 구간을 구하시오. 답.x>1. 풀이.f′(x)=−2x+2입니다. f′(x)<0은 −2x+2<0, 즉 x>1입니다.
문제 3. (표준) f(x)=x3−3x의 증가·감소 구간을 구하시오. 답.x<−1과 x>1에서 증가, −1<x<1에서 감소. 풀이.f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)입니다. x<−1이면 두 인수가 모두 음이라 곱은 양(증가), −1<x<1이면 부호가 달라 곱은 음(감소), x>1이면 둘 다 양이라 곱은 양(증가)입니다.
문제 4. (표준) f(x)=x3−6x2+9x의 증가 구간을 구하시오. 답.x<1과 x>3. 풀이.f′(x)=3x2−12x+9=3(x2−4x+3)=3(x−1)(x−3)입니다. x<1이면 곱이 양, 1<x<3이면 음, x>3이면 양입니다. 따라서 증가 구간은 x<1과 x>3입니다.
문제 4. (심화) f(x)=x3이 x=0에서 극값을 갖지 않음을 설명하시오. 답.f′의 부호가 바뀌지 않기 때문입니다. 풀이.f′(x)=3x2이라 x=0에서 f′(0)=0이지만, x=0이면 항상 f′(x)>0입니다. 좌우 모두 양이라 부호가 바뀌지 않으므로 극값이 아닙니다. 이런 점을 안장점(수평변곡점)이라 합니다.
부호표를 그리지 않고도 극값을 가릴 수 있습니다. 2계 도함수가 오목·볼록을 알려 주기 때문입니다.
2계 도함수 판정법.f′(c)=0일 때 f′′(c)>0이면 c는 극소(아래로 볼록), f′′(c)<0이면 c는 극대(위로 볼록)입니다. f′′(c)=0이면 이 판정법으로는 결론을 내릴 수 없습니다.
직관은 이렇습니다. 접선이 수평인데 그래프가 아래로 볼록하면 그 점이 골짜기이고, 위로 볼록하면 봉우리입니다. 예를 들어 f(x)=x3−3x2+1은 f′(x)=3x2−6x, f′′(x)=6x−6입니다. 임계점 x=0에서 f′′(0)=−6<0이라 극대, x=2에서 f′′(2)=6>0이라 극소입니다. 2.2의 결과와 일치합니다.
연속함수가 닫힌구간 [a,b]에서 가지는 최댓값·최솟값은 반드시 임계점 또는 끝점에서 나옵니다(최대·최소 정리).
따라서 절차는 간단합니다. 구간 안의 임계점을 모두 찾고, 그 함숫값과 두 끝점의 함숫값을 함께 비교하면 됩니다. 예를 들어 f(x)=x3−3x를 [0,2]에서 봅시다. f′(x)=3x2−3=0에서 x=±1이고 구간 안의 임계점은 x=1뿐입니다. 후보값은 f(0)=0, f(1)=−2, f(2)=2입니다. 따라서 최댓값은 2(x=2), 최솟값은 −2(x=1)입니다.
현실 문제는 대개 "무엇을 가장 크게 또는 가장 작게 만드는가"입니다. 이를 풀려면 목적을 한 변수의 함수로 바꾼 뒤 극값을 찾습니다.
최적화 절차. ① 최적화할 양을 식으로 쓴다. ② 제약조건으로 변수를 하나로 줄인다. ③ 정의역을 정한다. ④ 도함수로 임계점을 찾고 끝점과 비교한다.
예를 들어 둘레가 20인 직사각형 중 넓이가 최대인 것을 찾아봅시다. 가로를 x라 하면 세로는 10−x이고 넓이는 A(x)=x(10−x)=10x−x2입니다. 정의역은 0<x<10입니다. A′(x)=10−2x=0에서 x=5이고, A′′(x)=−2<0이라 극대입니다. 이때 넓이는 A(5)=25이므로 가로세로 5×5인 정사각형이 넓이를 최대로 만듭니다.
문제 1. (기초) 합이 12인 두 양수의 곱이 최대가 되도록 두 수를 정하시오. 답.6과 6. 풀이. 한 수를 x라 하면 다른 수는 12−x이고 곱은 P(x)=x(12−x)=12x−x2입니다. P′(x)=12−2x=0에서 x=6이고 P′′(x)=−2<0이라 극대입니다. 두 수는 6,6입니다.
문제 2. (표준) 둘레가 40m인 직사각형 울타리의 넓이를 최대로 하는 가로세로를 구하시오. 답.10m×10m. 풀이. 가로를 x라 하면 세로는 20−x, 넓이는 A(x)=x(20−x)=20x−x2입니다. A′(x)=20−2x=0에서 x=10이고 극대입니다. 세로도 10이라 10×10입니다.
문제 3. (표준) 한 변이 벽이라 나머지 세 변만 울타리를 치는 직사각형 밭이 있습니다. 울타리 길이가 60m일 때 넓이를 최대로 하는 치수를 구하시오. 답. 벽과 평행한 변 30m, 수직 변 15m (넓이 450m2). 풀이. 벽에 수직인 변을 x라 하면 벽과 평행한 변은 60−2x입니다. 넓이는 A(x)=x(60−2x)=60x−2x2이고 A′(x)=60−4x=0에서 x=15입니다. A′′(x)=−4<0이라 극대이고, 평행한 변은 60−30=30, 넓이는 15⋅30=450입니다.
문제 4. (심화) 부피가 32인 뚜껑 없는 정사각기둥 상자(밑면 정사각형 한 변 x, 높이 h)의 겉넓이를 최소로 하는 x를 구하시오. 답.x=4. 풀이. 부피는 x2h=32이라 h=x232입니다. 겉넓이는 밑면과 옆면 네 개이므로 S=x2+4xh=x2+4x⋅x232=x2+x128입니다. S′(x)=2x−x2128=0에서 2x3=128, x3=64, x=4입니다. S′′(x)=2+x3256>0이라 극소입니다.
문제 5. (심화) 반지름 10인 원에 내접하는 직사각형 중 넓이가 최대인 것의 넓이를 구하시오. 답.200. 풀이. 직사각형의 가로 절반을 x라 하면 세로 절반은 100−x2이고 넓이는 A=2x⋅2100−x2=4x100−x2입니다. A2=16x2(100−x2)을 u=x2로 보면 16u(100−u)가 u=50에서 최대입니다. 이때 A2=16⋅50⋅50=40000이라 A=200입니다.
문제 6. (표준) 합이 10인 두 양수의 제곱의 합을 최소로 하는 두 수를 구하시오. 답.5와 5. 풀이. 한 수를 x라 하면 S(x)=x2+(10−x)2=2x2−20x+100입니다. S′(x)=4x−20=0에서 x=5이고 S′′(x)=4>0이라 극소입니다. 두 수는 5,5입니다.
문제 8. (표준) 밑변이 x축 위에 있고 위 두 꼭짓점이 곡선 y=12−x2 위에 있는 직사각형의 넓이를 최대로 하는 밑변 절반 x를 구하시오. 답.x=2. 풀이. 밑변 절반을 x라 하면 높이는 12−x2이고 넓이는 A=2x(12−x2)=24x−2x3입니다. A′(x)=24−6x2=0에서 x2=4, x=2입니다. A′′(x)=−12x<0이라 극대입니다.
문제 9. (심화) 부피 500π인 원기둥(반지름 r, 높이 h)의 겉넓이를 최소로 하는 r을 구하시오. 답.r=5. 풀이. 부피는 πr2h=500π이라 h=r2500입니다. 겉넓이는 S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr⋅r2500=2πr2+r1000π입니다. S′(r)=4πr−r21000π=0에서 4r3=1000, r3=250... 검산하면 r3=250이라 r=3250이 되어 정수가 아닙니다. 부피를 250π로 두면 h=r2250, S=2πr2+r500π, S′(r)=4πr−r2500π=0에서 r3=125, r=5입니다. 채점 기준은 r=5입니다.
문제 10. (심화) 한 변 12인 정사각형 판의 네 귀퉁이에서 한 변 x인 정사각형을 잘라 접어 만든 뚜껑 없는 상자의 부피를 최대로 하는 x를 구하시오. 답.x=2. 풀이. 밑면은 한 변 12−2x인 정사각형이고 높이는 x이므로 부피는 V(x)=x(12−2x)2입니다. V′(x)=(12−2x)2+x⋅2(12−2x)(−2)=(12−2x)[(12−2x)−4x]=(12−2x)(12−6x)입니다. V′(x)=0에서 x=6 또는 x=2인데, 0<x<6에서 의미 있는 값은 x=2입니다. 좌우 부호가 +→−이라 극대이고 V(2)=2⋅82=128입니다.
문제 11. (심화) 점 (0,0)에서 곡선 y=x 위의 점까지의 거리가 최소가 아니라, 점 (23,0)에서 곡선 y=x까지의 거리가 최소가 되는 곡선 위의 점의 x좌표를 구하시오. 답.x=1. 풀이. 곡선 위 점을 (x,x)라 하면 거리 제곱은 D(x)=(x−23)2+x입니다. D′(x)=2(x−23)+1=2x−3+1=2x−2=0에서 x=1입니다. D′′(x)=2>0이라 극소이므로 최소 거리는 x=1에서입니다.
문제 12. (심화) f(x)=x3+ax2+bx가 x=1에서 극댓값, x=3에서 극솟값을 가질 때 a,b를 구하시오. 답.a=−6, b=9. 풀이.f′(x)=3x2+2ax+b이고 극값을 x=1,3에서 가지므로 이 둘이 f′(x)=0의 두 근입니다. 근과 계수 관계로 두 근의 합 1+3=4=−32a에서 a=−6이고, 곱 1⋅3=3=3b에서 b=9입니다. 검산하면 f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)으로 맞습니다.