이 문제집은 62강부터 65강까지의 도구를 섞어 다시 묻습니다. 계산 자체는 어렵지 않으나 어느 연산을 쓸지 고르는 판단이 먼저입니다.
문제를 만나면 무엇을 구하는지부터 확인하십시오.
| 구하려는 것 |
쓸 도구 |
| 길이, 거리 |
노름 |
| 각도, 수직 판정 |
내적 |
| 한 방향 성분 |
정사영 |
| 두 벡터에 수직인 방향 |
외적 |
| 평행 판정 |
외적이 0인지 |
| 넓이 |
외적의 크기 |
| 부피, 공면 판정 |
스칼라 삼중곱 |
이 단원에서 자주 놓치는 세 가지도 미리 못 박아 둡니다.
| 놓치기 쉬운 것 |
바로잡기 |
| ∥cv∥=c∥v∥ |
절댓값이 붙습니다 |
| 정사영의 분모를 ∥v∥로 |
벡터 정사영은 ∥v∥2입니다 |
| 외적에 결합법칙 |
성립하지 않습니다 |
답을 보기 전에 반드시 손으로 먼저 씁니다.
문제 1. 벡터의 덧셈과 스칼라배를 성분으로 정의하세요.
답. 성분끼리 더하고 성분마다 곱합니다.
문제 2. 두 연산의 기하적 의미를 각각 쓰세요.
답. 덧셈은 평행사변형의 대각선이고 스칼라배는 길이를 늘이거나 방향을 뒤집습니다.
문제 3. 점 A=(2,−1,3)에서 B=(5,1,−2)로 가는 벡터를 구하세요.
답. B−A=(3,2,−5)입니다.
문제 4. 3(1,0,−1)−2(2,1,1)을 계산하세요.
답. (−1,−2,−5)입니다.
문제 5. 벡터공간의 공리 중 스칼라배에 관한 네 가지를 쓰세요.
답. c(u+v)=cu+cv, (c+d)v=cv+dv, c(dv)=(cd)v, 1v=v입니다.
문제 6. 0v=0을 공리만으로 증명하세요.
답. 0v=(0+0)v=0v+0v에 −(0v)를 더하면 0=0v입니다.
문제 7. Rn이 아닌 벡터공간의 예를 두 개 들고 각각의 영벡터를 쓰세요.
답. 다항식 공간(항등적으로 0인 다항식)과 연속함수 공간(항등적으로 0인 함수)입니다.
문제 8. (1,2,2)의 길이를 구하고 정규화하세요.
답. 길이는 3이고 정규화하면 (31,32,32)입니다.
문제 9. ∥−4v∥를 ∥v∥로 나타내세요.
답. 4∥v∥입니다.
문제 10. (1,2)와 (2,4)가 생성하는 집합을 말하세요.
답. 두 벡터가 평행하므로 원점을 지나는 직선 하나입니다.
문제 11. 평행사변형 법칙을 쓰고 기하적으로 설명하세요.
답. ∥u+v∥2+∥u−v∥2=2∥u∥2+2∥v∥2이며 두 대각선의 제곱합이 네 변의 제곱합과 같습니다.
문제 12. 볼록결합의 정의를 쓰고 세 점의 무게중심이 그 예임을 보이세요.
답. 계수가 음이 아니고 합이 1인 일차결합입니다. 무게중심은 계수가 모두 31인 경우입니다.
문제 13. 내적의 정의를 성분으로 쓰세요.
답. u⋅v=∑ukvk입니다.
문제 14. 내적의 기하 표현을 쓰고 어떻게 유도합니까?
답. ∥u∥∥v∥cosθ이며 코사인 법칙과 성분 전개를 비교해 얻습니다.
문제 15. 내적의 세 가지 성질을 쓰세요.
답. 대칭성, 선형성, 양의 정부호입니다.
문제 16. ∥u−v∥2을 내적으로 전개하세요.
답. ∥u∥2−2u⋅v+∥v∥2입니다.
문제 17. (1,2,3)⋅(4,−5,6)을 계산하세요.
답. 4−10+18=12입니다.
문제 18. k를 정해 (1,k,2)와 (3,−1,1)을 직교하게 만드세요.
답. 3−k+2=0에서 k=5입니다.
문제 19. 코시-슈바르츠 부등식과 등호 조건을 쓰세요.
답. ∣u⋅v∣≤∥u∥∥v∥이며 두 벡터가 평행할 때 등호입니다.
문제 20. 각도를 정의할 때 코시-슈바르츠가 왜 필요합니까?
답. arccos에 넣을 값이 [−1,1] 안에 있음을 보장해야 하기 때문입니다.
문제 21. (1,0,0)과 (1,1,1)이 이루는 각의 코사인을 구하세요.
답. 31입니다.
문제 22. 피타고라스 정리를 벡터로 쓰고 성립 조건을 말하세요.
답. u⊥v일 때 ∥u+v∥2=∥u∥2+∥v∥2입니다.
문제 23. 상관계수를 내적으로 나타내고 코사인 유사도와의 차이를 쓰세요.
답. 중심화한 두 벡터의 코사인 유사도입니다. 평균을 먼저 빼는 것이 차이입니다.
문제 24. 상관계수가 [−1,1]에 있는 이유를 쓰세요.
답. 코사인 값이므로 코시-슈바르츠에 의해 그 범위를 벗어날 수 없습니다.
문제 25. 복소 내적에서 켤레를 씌우는 이유를 쓰세요.
답. 켤레가 없으면 ⟨v,v⟩이 음수가 될 수 있어 양의 정부호가 깨지기 때문입니다.
문제 26. 벡터 정사영의 공식을 쓰고 분모가 ∥v∥2인 이유를 말하세요.
답. ∥v∥2u⋅vv입니다. v의 크기에 무관하게 만들기 위해서입니다.
문제 27. v가 단위벡터일 때의 공식을 쓰세요.
답. (u⋅v)v입니다.
문제 28. 스칼라 정사영과 벡터 정사영의 관계를 쓰세요.
답. projvu=(compvu)v^입니다.
문제 29. (1,2,3)을 (1,1,1) 방향으로 정사영하고 수직 성분을 구하세요.
답. 정사영은 (2,2,2)이고 수직 성분은 (−1,0,1)입니다.
문제 30. 정사영이 최소 거리를 준다는 사실을 어떻게 증명합니까?
답. 오차를 수직 성분과 평행 성분으로 나누고 피타고라스 정리를 적용합니다.
문제 31. 원점을 지나고 방향이 (1,1)인 직선과 점 (3,1) 사이의 거리를 구하세요.
답. 정사영이 (2,2)이고 나머지가 (1,−1)이므로 거리는 2입니다.
문제 32. 정규직교집합에 정사영하는 공식과 그것이 성립하는 근거를 쓰세요.
답. ∑j(u⋅ej)ej이며 직교성 덕분에 교차항이 사라지기 때문입니다.
문제 33. 정사영 행렬의 두 가지 성질을 쓰세요.
답. P2=P(멱등)이고 P⊤=P(대칭)입니다.
문제 34. 평균을 빼는 것이 어떤 정사영입니까?
답. 1=(1,…,1) 방향 성분을 걷어 내는 정사영입니다.
문제 35. 편차의 합이 0인 이유를 정사영으로 설명하세요.
답. 중심화한 자료가 1에 수직이므로 그 내적인 편차의 합이 0입니다.
문제 36. 푸리에 부분합이 무엇의 정사영이며 그것이 깁스 현상과 어떻게 양립합니까?
답. 처음 N개 진동수가 생성하는 부분공간에의 정사영입니다. "가깝다"가 제곱적분의 뜻이라 좁은 봉우리는 거의 기여하지 않습니다.
문제 37. 외적의 정의를 성분으로 쓰세요.
답. (u2v3−u3v2, u3v1−u1v3, u1v2−u2v1)입니다.
문제 38. (1,2,3)×(4,5,6)을 계산하세요.
답. (−3,6,−3)입니다.
문제 39. 외적의 크기가 뜻하는 것을 쓰세요.
답. 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이이며 ∥u∥∥v∥sinθ입니다.
문제 40. 라그랑주 항등식을 쓰세요.
답. ∥u×v∥2+(u⋅v)2=∥u∥2∥v∥2입니다.
문제 41. 외적이 만족하지 않는 성질과 대신 성립하는 항등식을 쓰세요.
답. 결합법칙이 성립하지 않고 대신 야코비 항등식이 성립합니다.
문제 42. u×v=0이면 무엇을 알 수 있습니까?
답. 두 벡터가 평행합니다.
문제 43. 직선의 매개변수형과 대칭형을 쓰세요.
답. r=A+td와 d1x−a1=d2y−a2=d3z−a3입니다.
문제 44. 평면의 방정식을 내적으로 쓰고 계수가 무엇인지 말하세요.
답. (P−A)⋅n=0이며 일차방정식의 계수가 법선벡터입니다.
문제 45. 점 (1,0,0)에서 평면 x+y+z=3까지의 거리를 구하세요.
답. 3∣1−3∣=32입니다.
문제 46. 세 점으로 평면을 구할 때 외적을 어디에 씁니까?
답. 두 변 벡터의 외적으로 법선벡터를 얻는 데 씁니다.
문제 47. 스칼라 삼중곱이 뜻하는 것과 0일 때의 의미를 쓰세요.
답. 평행육면체의 부호 있는 부피이며 0이면 세 벡터가 공면입니다.
문제 48. 외적이 삼차원에서만 정의되는 이유를 쓰세요.
답. 두 벡터에 수직인 방향의 자유도가 n−2인데 n=3에서만 정확히 1이기 때문입니다.
48문항 중 맞힌 개수로 다음을 판단합니다.
| 정답 수 |
판단 |
| 43개 이상 |
02단원으로 넘어갑니다 |
| 34∼42개 |
틀린 문제가 속한 강의만 다시 읽고 넘어갑니다 |
| 33개 이하 |
62강부터 65강까지 다시 읽습니다 |
2부에서 절반 이하를 맞혔다면 반드시 되돌아갑니다. 내적은 이 과목 전체의 기초이며 79강의 내적공간, 80강의 그람슈미트, 86강의 스펙트럼 정리가 모두 그 위에 세워집니다.
3부의 문제 34에서 36까지를 틀렸다면 특히 주의하십시오. 정사영이 통계와 신호처리에서 어떻게 나타나는지를 묻는 문항이며, 이 연결을 놓치면 82강의 최소제곱을 계산 절차로만 외우게 됩니다.
공리를 묻는 문항(문제 5, 6, 7)을 가볍게 넘기지 마십시오. Rn에서 자명해 보이는 것을 굳이 뽑아 두는 이유가 71강에서 드러납니다. 그때 함수 공간과 행렬 공간이 같은 정리를 공유한다는 사실이 이 공리들 덕분임을 알게 됩니다.