62강에서 벡터 하나의 길이를 쟀습니다. 그런데 두 벡터 사이의 관계 는 아직 다루지 못했습니다.
( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ( 2 , 0 ) ( 2 , 0 )
두 벡터의 관계를 재는 하나의 수가 필요합니다. 그것이 내적 이며, 정의는 놀랄 만큼 단순합니다.
u ⋅ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ⋯ + u n v n u ⋅ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ⋯ + u n v n
성분끼리 곱해 더한 것뿐입니다. 그런데 이 하나의 수에서 길이와 각도가 모두 나옵니다. 62강의 노름이 v ⋅ v v ⋅ v
기하가 대수로 옮겨진 것 이 이 강의의 사건입니다. 각도와 수직이 그림 없이 계산되므로 차원이 아무리 높아도 다룰 수 있습니다. 64강의 정사영, 80강의 그람슈미트, 82강의 최소제곱이 모두 이 하나의 연산 위에 세워집니다.
코사인 법칙에서 내적을 유도할 수 있습니다.
내적의 세 가지 성질을 확인하고 계산에 쓸 수 있습니다.
두 벡터가 이루는 각을 계산하고 그 정의가 정당한 근거를 댈 수 있습니다.
직교를 판정하고 피타고라스 정리를 벡터로 쓸 수 있습니다.
내적이 유사도와 상관계수로 나타나는 방식을 설명할 수 있습니다.
문제. 두 벡터 u u v v θ θ ∥ u − v ∥ 2 ∥ u − v ∥ 2 cos θ cos θ
생각의 실마리. (1)은 16강의 코사인 법칙입니다. 세 변의 길이가 ∥ u ∥ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∥ v ∥ ∥ u − v ∥ ∥ u − v ∥ 두 표현이 같은 양을 나타내므로 비교하면 cos θ cos θ
풀이. (1) u u v v θ θ u − v u − v
∥ u − v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 − 2 ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ ∥ u − v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 − 2 ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ
입니다.
(2) 성분으로 전개합니다.
∥ u − v ∥ 2 = ∑ k ( u k − v k ) 2 = ∑ u k 2 − 2 ∑ u k v k + ∑ v k 2 = ∥ u ∥ 2 − 2 ∑ u k v k + ∥ v ∥ 2 ∥ u − v ∥ 2 = k ∑ ( u k − v k ) 2 = ∑ u k 2 − 2 ∑ u k v k + ∑ v k 2 = ∥ u ∥ 2 − 2 ∑ u k v k + ∥ v ∥ 2
(3) 두 식의 오른쪽을 비교하면 ∥ u ∥ 2 ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 ∥ v ∥ 2
∑ k u k v k = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ k ∑ u k v k = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ
가 남습니다. 따라서
cos θ = ∑ u k v k ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∑ u k v k
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 내적.
내적(점곱).
u ⋅ v = ∑ k = 1 n u k v k u ⋅ v = k = 1 ∑ n u k v k
로 정의합니다. ⟨ u , v ⟩ ⟨ u , v ⟩
문제 1이 보인 것은 이 정의가 기하와 이어진다 는 사실입니다.
u ⋅ v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ u ⋅ v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ
이 등식이 이 강의의 중심입니다. 왼쪽은 성분만 알면 계산되고 오른쪽은 기하적 뜻을 담고 있습니다. 두 세계를 잇는 다리입니다.
여기서 여러 사실이 따라옵니다.
관계
내적의 부호
각도
같은 쪽을 향함
양수
\theta<90^
수직
0 0 \theta=90^
반대쪽을 향함
음수
\theta>90^
내적의 부호만 봐도 두 벡터가 대략 같은 방향인지 알 수 있습니다. 이 단순한 판정이 219강 이후 경사하강법에서 "이 방향으로 가면 손실이 줄어드는가"를 판단하는 기준이 됩니다.
노름과의 관계도 즉시 나옵니다. v v θ = 0 θ = 0
v ⋅ v = ∥ v ∥ 2 v ⋅ v = ∥ v ∥ 2
입니다. 62강에서 따로 정의한 노름이 내적에서 나옵니다. 그래서 이제부터 노름을 ∥ v ∥ = v ⋅ v ∥ v ∥ = v ⋅ v
바로 확인 1.
확인 1-1. ( 3 , − 1 , 2 ) ⋅ ( − 1 , 4 , 5 ) ( 3 , − 1 , 2 ) ⋅ ( − 1 , 4 , 5 )
답. − 3 − 4 + 10 = 3 − 3 − 4 + 1 0 = 3
확인 1-2. v ⋅ v v ⋅ v
답. ∥ v ∥ 2 ∥ v ∥ 2
확인 1-3. 내적이 음수이면 두 벡터의 각도에 대해 무엇을 알 수 있습니까?
답. 9 0 ∘ 9 0 ∘
문제. 다음을 확인하세요.u ⋅ v = v ⋅ u u ⋅ v = v ⋅ u ( a u + b w ) ⋅ v = a ( u ⋅ v ) + b ( w ⋅ v ) ( a u + b w ) ⋅ v = a ( u ⋅ v ) + b ( w ⋅ v ) v ⋅ v ≥ 0 v ⋅ v ≥ 0
생각의 실마리. 세 성질 모두 정의에 넣고 실수의 성질을 인용하면 됩니다. 62강에서 벡터공간 공리를 확인할 때와 같은 방식 입니다. (3)에서는 제곱의 합이 언제 0 0
풀이. (1) ∑ u k v k = ∑ v k u k ∑ u k v k = ∑ v k u k
(2) 성분으로 쓰면
∑ k ( a u k + b w k ) v k = a ∑ u k v k + b ∑ w k v k k ∑ ( a u k + b w k ) v k = a ∑ u k v k + b ∑ w k v k
입니다. 실수의 분배법칙과 합의 선형성(31강)입니다.
(3) v ⋅ v = ∑ v k 2 v ⋅ v = ∑ v k 2 0 0 0 0 v = 0 v = 0
이 문제에서 배우는 것: 내적의 세 가지 성질.
내적의 성질.
이름
식
대칭성
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf
선형성
( a u + b w ) ⋅ v = a ( u ⋅ v ) + b ( w ⋅ v ) ( a u + b w ) ⋅ v = a ( u ⋅ v ) + b ( w ⋅ v )
양의 정부호
v ⋅ v ≥ 0 v ⋅ v ≥ 0 = 0 = 0 v = 0 v = 0
이 셋이 내적의 정의로 격상됩니다. 79강에서 일반적인 벡터공간에 내적을 도입할 때, 성분 공식이 아니라 이 세 성질을 만족하는 연산이면 무엇이든 내적이라 부릅니다. 심화 2에서 미리 봅니다.
대칭성과 선형성을 합치면 두 번째 자리에서도 선형 임이 따라옵니다.
u ⋅ ( a v + b w ) = a ( u ⋅ v ) + b ( u ⋅ w ) u ⋅ ( a v + b w ) = a ( u ⋅ v ) + b ( u ⋅ w )
양쪽 모두에서 선형인 연산을 쌍선형 이라 합니다. 이 성질 덕분에 내적을 다항식처럼 전개할 수 있습니다.
( u + v ) ⋅ ( u + v ) = u ⋅ u + 2 u ⋅ v + v ⋅ v ( u + v ) ⋅ ( u + v ) = u ⋅ u + 2 u ⋅ v + v ⋅ v
즉
∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2
입니다. 이 전개가 이 과목에서 가장 자주 쓰는 계산 이며, 62강의 평행사변형 법칙과 문제 4의 피타고라스 정리가 모두 여기서 나옵니다.
양의 정부호 조건이 왜 필요한지도 짚어 둡니다. 이 조건이 있어야 v ⋅ v v ⋅ v 세 성질 중 하나라도 빠지면 기하가 무너집니다.
바로 확인 2.
확인 2-1. ∥ u − v ∥ 2 ∥ u − v ∥ 2
답. ∥ u ∥ 2 − 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 ∥ u ∥ 2 − 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2
확인 2-2. 내적이 쌍선형이라는 말의 뜻을 쓰세요.
답. 첫째 자리와 둘째 자리 모두에서 선형이라는 뜻입니다.
확인 2-3. v ⋅ v = 0 v ⋅ v = 0
답. v = 0 v = 0 0 0 0 0
문제. cos θ = u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v ( 3 , − 1 , 2 ) ( 3 , − 1 , 2 ) ( − 1 , 4 , 5 ) ( − 1 , 4 , 5 )
생각의 실마리. cos cos [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] θ θ 차원이 높아지면 "각도"를 그림으로 확인할 수 없으므로 대수적으로 보장해야 합니다. 62강 심화 2에서 증명한 부등식이 정확히 그 일을 합니다.
풀이. (1) cos θ ∈ [ − 1 , 1 ] cos θ ∈ [ − 1 , 1 ]
− 1 ≤ u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ ≤ 1 − 1 ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v ≤ 1
즉 ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥
(2) 이것이 코시-슈바르츠 부등식 이며 62강 심화 2에서 증명했습니다. 판별식을 쓴 증명을 내적의 언어로 다시 적으면 이렇습니다. 임의의 실수 t t
0 ≤ ∥ t u + v ∥ 2 = ( u ⋅ u ) t 2 + 2 ( u ⋅ v ) t + ( v ⋅ v ) 0 ≤ ∥ t u + v ∥ 2 = ( u ⋅ u ) t 2 + 2 ( u ⋅ v ) t + ( v ⋅ v )
이고 이차식이 언제나 음이 아니므로 판별식이 0 0
( u ⋅ v ) 2 ≤ ( u ⋅ u ) ( v ⋅ v ) = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 ( u ⋅ v ) 2 ≤ ( u ⋅ u ) ( v ⋅ v ) = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2
증명에 성분이 한 번도 나오지 않았습니다. 문제 2의 세 성질만 썼으므로, 79강의 일반 내적공간에서도 그대로 성립합니다.
(3) u ⋅ v = 3 u ⋅ v = 3 ∥ u ∥ = 14 ∥ u ∥ = 1 4 ∥ v ∥ = 42 ∥ v ∥ = 4 2
cos θ = 3 14 42 = 3 588 ≈ 0.1237 cos θ = 1 4 4 2 3 = 5 8 8 3 ≈ 0 . 1 2 3 7
이므로 θ ≈ 82.8 9 ∘ θ ≈ 8 2 . 8 9 ∘
이 문제에서 배우는 것: 코시-슈바르츠가 각도를 가능하게 합니다.
코시-슈바르츠 부등식.
∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥
등호는 두 벡터가 평행할 때만 성립합니다.
각도의 정의. u , v ≠ 0 u , v = 0
θ = arccos u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∈ [ 0 , π ] θ = arccos ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v ∈ [ 0 , π ]
이차원이나 삼차원에서는 각도가 이미 있는 것이라 정의할 필요가 없어 보입니다. 그런데 R 100 R 1 0 0
정의가 정당한 이유는 두 가지입니다.
근거
내용
잘 정의됨
코시-슈바르츠로 값이 [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ]
일관됨
이차원·삼차원에서 원래 각도와 같습니다
두 번째는 문제 1의 유도가 보장합니다. 코사인 법칙에서 나왔으므로 낮은 차원에서는 우리가 아는 각도와 일치합니다.
특별한 값들을 확인해 둡니다.
상황
cos θ cos θ θ θ
\mathbf{v}=\mathbf
1 1 0^
\mathbf{v}=-\mathbf
− 1 − 1 180^
u ⋅ v = 0 u ⋅ v = 0 0 0 90^
( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) \dfrac{1}
45^
바로 확인 3.
확인 3-1. 코시-슈바르츠 부등식을 쓰고 등호 조건을 말하세요.
답. ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥
확인 3-2. ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 )
답. cos θ = 1 2 cos θ = 2 1 4 5 ∘ 4 5 ∘
확인 3-3. 고차원에서 각도를 정의할 때 코시-슈바르츠가 필요한 이유를 쓰세요.
답. arccos arccos [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ]
문제. 다음을 조사합니다.( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) ( 2 , − 1 , 0 ) ( 2 , − 1 , 0 ) ∥ u + v ∥ 2 ∥ u + v ∥ 2
생각의 실마리. (1)은 내적이 0 0 u ⋅ v = 0 u ⋅ v = 0 교차항이 사라지는 것이 핵심 이며, 그 결과가 익숙한 정리가 됩니다.
풀이. (1) 내적을 계산합니다.
1 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) + 3 ⋅ 0 = 2 − 2 + 0 = 0 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) + 3 ⋅ 0 = 2 − 2 + 0 = 0
수직입니다.
(2) 문제 2의 전개식에서 교차항이 사라집니다.
∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2
피타고라스 정리입니다.
(3) 수직이 아니면 교차항이 남습니다. 검산에서 u = ( 3 , − 1 , 2 ) u = ( 3 , − 1 , 2 ) v = ( − 1 , 4 , 5 ) v = ( − 1 , 4 , 5 ) ∥ u + v ∥ 2 = 62 ∥ u + v ∥ 2 = 6 2 ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 = 56 ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 = 5 6 차이 6 6 2 u ⋅ v = 2 ⋅ 3 2 u ⋅ v = 2 ⋅ 3
이 문제에서 배우는 것: 직교.
직교. u ⋅ v = 0 u ⋅ v = 0 직교 한다고 하고 u ⊥ v u ⊥ v
피타고라스 정리. u ⊥ v u ⊥ v ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2
"수직"이라는 기하적 개념이 "내적이 0 0 이것이 이 강의의 가장 실용적인 성과입니다. 그림 없이 판정할 수 있으므로 차원이 아무리 높아도 다룰 수 있습니다.
몇 가지 규약도 정해 둡니다.
상황
규약
0 0 직교한다고 봅니다
직교하는 벡터들의 모임
직교집합
직교하고 모두 단위벡터
정규직교집합
첫 줄이 편리한 규약입니다. 0 ⋅ v = 0 0 ⋅ v = 0
표준기저가 정규직교집합의 대표적인 예입니다.
e i ⋅ e j = { 1 ( i = j ) 0 ( i ≠ j ) e i ⋅ e j = { 1 0 ( i = j ) ( i = j )
59강에서 본 직교성과 같은 모양 입니다. 그때는 { e i n x } { e i n x } { e k } { e k } R n R n
피타고라스 정리는 항이 여럿일 때로 확장됩니다. v 1 , … , v k v 1 , … , v k
∥ v 1 + ⋯ + v k ∥ 2 = ∥ v 1 ∥ 2 + ⋯ + ∥ v k ∥ 2 ∥ v 1 + ⋯ + v k ∥ 2 = ∥ v 1 ∥ 2 + ⋯ + ∥ v k ∥ 2
입니다. 전개했을 때 교차항이 모두 0 0 59강의 파스발 항등식이 정확히 이 정리의 무한판 이었습니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. ( 2 , 3 ) ( 2 , 3 ) ( 3 , − 2 ) ( 3 , − 2 )
답. 6 − 6 = 0 6 − 6 = 0
확인 4-2. 피타고라스 정리를 벡터로 쓰고 성립 조건을 말하세요.
답. ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 u ⊥ v u ⊥ v
확인 4-3. 표준기저가 정규직교집합인 이유를 쓰세요.
답. 서로 다른 것끼리 내적이 0 0 1 1
문제. 다음 상황에서 내적이 무엇을 재는지 밝히세요.
생각의 실마리. 세 경우 모두 **"두 대상이 얼마나 같은 방향을 향하는가"**를 재고 있습니다. 다만 크기를 어떻게 처리하느냐가 다릅니다. (2)에서는 평균을 뺀 뒤 계산한다는 점이 핵심입니다.
풀이. (1) 문서의 길이가 다르면 빈도의 절대값이 달라지므로 크기를 빼고 방향만 비교합니다. 정규화한 뒤 내적을 취하는 것이 코사인 유사도 입니다.
sim ( u , v ) = u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ = cos θ s i m ( u , v ) = ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v = cos θ
값이 1 1 0 0
(2) 두 자료 x x y y x ~ x ~ y ~ y ~
r = x ~ ⋅ y ~ ∥ x ~ ∥ ∥ y ~ ∥ r = ∥ x ~ ∥ ∥ y ~ ∥ x ~ ⋅ y ~
입니다. 중심화한 벡터의 코사인 유사도가 곧 상관계수입니다.
(3) 일정한 힘 F F d d
W = F ⋅ d = ∥ F ∥ ∥ d ∥ cos θ W = F ⋅ d = ∥ F ∥ ∥ d ∥ cos θ
입니다. 이동 방향 성분만 일을 합니다. 힘이 이동에 수직이면 일이 0 0
이 문제에서 배우는 것: 내적의 여러 얼굴.
세 상황의 공통 구조를 표로 정리합니다.
상황
\mathbf
\mathbf
내적이 재는 것
문서 유사도
문서 A의 빈도
문서 B의 빈도
주제의 겹침
상관계수
중심화한 x x
중심화한 y y
함께 움직이는 정도
일
힘
이동
방향이 맞는 성분
경사하강법
그래디언트
이동 방향
손실의 감소량
**"두 대상이 얼마나 나란한가"**가 공통입니다.
(2)의 결과는 특히 값이 큽니다. 상관계수가 기하적으로 각도의 코사인 이므로 여러 성질이 즉시 따라옵니다.
상관계수의 성질
기하적 이유
− 1 ≤ r ≤ 1 − 1 ≤ r ≤ 1 코시-슈바르츠
r = 1 r = 1 두 벡터가 같은 방향
r = − 1 r = − 1 정반대 방향
r = 0 r = 0 직교
r r [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ]
마지막 줄의 경사하강법도 짚어 둡니다. 106강에서 배우겠지만, 어느 방향으로 움직일 때 함수가 가장 빨리 줄어드는지를 묻는 문제의 답이 그래디언트의 반대 방향 인데, 그 근거가 내적입니다. g ⋅ d g ⋅ d d d − g ^ − g ^
바로 확인 5.
확인 5-1. 코사인 유사도의 정의를 쓰세요.
답. u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v
확인 5-2. 상관계수와 코사인 유사도의 차이를 쓰세요.
답. 상관계수는 각 벡터에서 평균을 뺀 뒤 코사인 유사도를 계산한 것입니다.
확인 5-3. 상관계수가 [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ]
답. 코시-슈바르츠 부등식 때문입니다. 코사인 값이므로 그 범위를 벗어날 수 없습니다.
개념
정의
내적
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum u_{k}v_
기하 표현
u ⋅ v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ u ⋅ v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ
노름
∥ v ∥ = v ⋅ v ∥ v ∥ = v ⋅ v
각도
θ = arccos u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ θ = arccos ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v
직교
u ⋅ v = 0 u ⋅ v = 0
성질
식
대칭성
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf
선형성
( a u + b w ) ⋅ v = a ( u ⋅ v ) + b ( w ⋅ v ) ( a u + b w ) ⋅ v = a ( u ⋅ v ) + b ( w ⋅ v )
양의 정부호
v ⋅ v ≥ 0 v ⋅ v ≥ 0
전개
\lVert\mathbf{u}\pm\mathbf{v}\rVert^{2}=\lVert\mathbf{u}\rVert^{2}\pm 2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\lVert\mathbf{v}\rVert^
부등식·정리
식
코시-슈바르츠
∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥
피타고라스
\mathbf{u}\perp\mathbf{v}\Rightarrow\lVert\mathbf{u}+\mathbf{v}\rVert^{2}=\lVert\mathbf{u}\rVert^{2}+\lVert\mathbf{v}\rVert^
삼각부등식
코시-슈바르츠에서 따라옵니다
쓰이는 곳
내적이 재는 것
코사인 유사도
방향의 겹침
상관계수
중심화한 뒤의 코사인
일
이동 방향 성분
경사하강
손실의 감소량
자주 하는 실수
바로잡기
내적의 결과를 벡터로 여깁니다
스칼라입니다
u ⋅ v = 0 u ⋅ v = 0 u = 0 u = 0 직교라는 뜻입니다
정규화 없이 유사도를 비교합니다
크기 차이가 섞여 듭니다
상관계수를 정규화 없이 계산합니다
평균을 먼저 빼야 합니다
문제 6. ( 1 , 2 , 3 ) ⋅ ( 4 , − 5 , 6 ) ( 1 , 2 , 3 ) ⋅ ( 4 , − 5 , 6 )
답. 4 − 10 + 18 = 12 4 − 1 0 + 1 8 = 1 2
문제 7. ( 2 , − 1 ) ⋅ ( 1 , 2 ) ( 2 , − 1 ) ⋅ ( 1 , 2 )
답. 2 − 2 = 0 2 − 2 = 0
문제 8. ∥ ( 3 , 4 ) ∥ ∥ ( 3 , 4 ) ∥
답. ( 3 , 4 ) ⋅ ( 3 , 4 ) = 25 = 5 ( 3 , 4 ) ⋅ ( 3 , 4 ) = 2 5 = 5
문제 9. ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) ( 0 , 1 ) ( 0 , 1 )
답. cos θ = 1 2 cos θ = 2 1 4 5 ∘ 4 5 ∘
문제 10. ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 )
답. 1 3 ≈ 0.577 3 1 ≈ 0 . 5 7 7
문제 11. u ⋅ v = − 5 u ⋅ v = − 5
답. 9 0 ∘ 9 0 ∘
문제 12. ∥ u ∥ = 3 ∥ u ∥ = 3 ∥ v ∥ = 4 ∥ v ∥ = 4 θ = 6 0 ∘ θ = 6 0 ∘
답. 3 ⋅ 4 ⋅ 1 2 = 6 3 ⋅ 4 ⋅ 2 1 = 6
문제 13. 문제 12의 조건에서 ∥ u + v ∥ ∥ u + v ∥
답. 9 + 2 ⋅ 6 + 16 = 37 9 + 2 ⋅ 6 + 1 6 = 3 7
문제 14. k k ( 1 , k , 2 ) ( 1 , k , 2 ) ( 3 , − 1 , 1 ) ( 3 , − 1 , 1 )
답. 3 − k + 2 = 0 3 − k + 2 = 0 k = 5 k = 5
문제 15. 코시-슈바르츠 부등식을 쓰고 등호 조건을 말하세요.
답. ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥
문제 16. 서로 직교하는 세 벡터의 합의 길이 제곱을 쓰세요.
답. 각 길이의 제곱의 합입니다. 교차항이 모두 0 0
문제 17. 상관계수를 내적으로 나타내세요.
답. 각 자료에서 평균을 뺀 벡터의 코사인 유사도입니다.
문제 18. 내적이 쌍선형이라는 성질을 써서 ( u + v ) ⋅ ( u − v ) ( u + v ) ⋅ ( u − v )
답. ∥ u ∥ 2 − ∥ v ∥ 2 ∥ u ∥ 2 − ∥ v ∥ 2
심화 1. 코시-슈바르츠의 등호 조건을 증명하고 그 기하적 의미를 설명하세요.
풀이. 문제 3의 증명에서 판별식이 0 0
q ( t ) = ∥ t u + v ∥ 2 q ( t ) = ∥ t u + v ∥ 2
이 중근을 가지므로 어떤 t 0 t 0 q ( t 0 ) = 0 q ( t 0 ) = 0
t 0 u + v = 0 ⟹ v = − t 0 u t 0 u + v = 0 ⟹ v = − t 0 u
입니다. 두 벡터가 평행합니다.
거꾸로 v = c u v = c u
∣ u ⋅ v ∣ = ∣ c ∣ ∥ u ∥ 2 = ∥ u ∥ ⋅ ∣ c ∣ ∥ u ∥ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ u ⋅ v ∣ = ∣ c ∣ ∥ u ∥ 2 = ∥ u ∥ ⋅ ∣ c ∣ ∥ u ∥ = ∥ u ∥ ∥ v ∥
로 등호입니다.
기하적 의미 는 이렇습니다. ∣ cos θ ∣ = 1 ∣ cos θ ∣ = 1 θ θ 0 0 π π
이 조건이 실제로 쓰이는 곳을 봅니다.
상황
등호가 뜻하는 것
상관계수 r = ± 1 r = ± 1
두 자료가 완전한 직선 관계
코사인 유사도 = 1 = 1
두 문서의 방향이 같음
경사하강
그래디언트 방향이 최대 감소 방향
삼각부등식의 등호
두 벡터가 같은 방향
마지막 줄은 62강 문제 5에서 기하적으로 말한 것 을 대수적으로 확인한 것입니다. 삼각부등식을 코시-슈바르츠에서 유도하면
∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 ≤ ∥ u ∥ 2 + 2 ∥ u ∥ ∥ v ∥ + ∥ v ∥ 2 = ( ∥ u ∥ + ∥ v ∥ ) 2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 ≤ ∥ u ∥ 2 + 2 ∥ u ∥ ∥ v ∥ + ∥ v ∥ 2 = ( ∥ u ∥ + ∥ v ∥ ) 2
이고, 등호는 u ⋅ v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ 같은 방향 일 때입니다. 부호까지 맞아야 하므로 평행보다 강한 조건입니다.
심화 2. 내적의 세 성질을 정의로 삼으면 어떤 대상들이 내적공간이 되는지 설명하세요.
풀이. 79강에서 정식으로 다루지만 여기서 미리 봅니다.
내적공간. 벡터공간 V V ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : V × V → R ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : V × V → R V V 내적공간 이라 합니다.
성분 공식이 정의에서 빠졌습니다. 그러면 성분이 없는 대상에도 내적을 줄 수 있습니다.
공간
내적
\mathbb{R}^
\sum u_{k}v_
C [ a , b ] C [ a , b ] ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x
m × n m × n \operatorname{tr}(A^{\top}B)=\sum_{i,j}a_{ij}b_
다항식 P_
∫ − 1 1 p ( x ) q ( x ) d x ∫ − 1 1 p ( x ) q ( x ) d x
가중 \mathbb{R}^
∑ w k u k v k ∑ w k u k v k w k > 0 w k > 0
세 성질만 확인하면 됩니다. 함수 공간의 경우 대칭성은 곱셈의 교환법칙, 선형성은 적분의 선형성(48강), 양의 정부호는 ∫ f 2 ≥ 0 ∫ f 2 ≥ 0 f ≡ 0 f ≡ 0
중요한 것은 세 성질만으로 증명한 결과가 이 모든 공간에서 성립한다는 점입니다. 문제 3의 코시-슈바르츠 증명이 성분을 쓰지 않았으므로
∣ ∫ a b f g ∣ ≤ ∫ f 2 ∫ g 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∫ a b f g ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ ∫ f 2 ∫ g 2
가 자동으로 따라옵니다. 이를 적분형 코시-슈바르츠라 하며, 57강 심화 3의 불확정성 원리 증명에서 쓴 것이 정확히 이 부등식입니다.
각도도 함수에 정의됩니다. 두 함수가 "직교한다"는 말이 ∫ f g = 0 ∫ f g = 0 59강의 삼각함수계 직교성이 바로 이 뜻이었습니다.
심화 3. 59강의 푸리에 직교성을 내적의 언어로 다시 읽고, 그때의 계수 추출이 무엇이었는지 밝히세요.
풀이. 59강에서 다음을 확인했습니다.
1 2 π ∫ − π π e i n x e i m x ‾ d x = δ n m 2 π 1 ∫ − π π e i n x e i m x d x = δ n m
이제 이것을 내적으로 읽습니다. ⟨ f , g ⟩ = 1 2 π ∫ − π π f g ˉ ⟨ f , g ⟩ = 2 π 1 ∫ − π π f g ˉ
⟨ e i n x , e i m x ⟩ = δ n m ⟨ e i n x , e i m x ⟩ = δ n m
입니다. { e i n x } { e i n x } 1 1
그러면 계수 추출이 무엇이었는지 분명해집니다. f = ∑ c n e i n x f = ∑ c n e i n x e i m x e i m x
⟨ f , e i m x ⟩ = ∑ n c n ⟨ e i n x , e i m x ⟩ = c m ⟨ f , e i m x ⟩ = n ∑ c n ⟨ e i n x , e i m x ⟩ = c m
입니다. 계수가 곧 그 축 방향의 내적입니다.
R n R n v = ∑ v k e k v = ∑ v k e k e j e j
v ⋅ e j = v j v ⋅ e j = v j
입니다. 성분이 곧 표준기저 방향의 내적입니다.
두 상황이 완전히 같은 구조입니다.
\mathbb{R}^
함수 공간
정규직교집합
{ e k } { e k } { e i n x } { e i n x }
개수
n n 무한개
분해
\mathbf{v}=\sum v_{k}\mathbf{e}_
f=\sum c_{n}e^
계수
v_{k}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_
c n = ⟨ f , e i n x ⟩ c n = ⟨ f , e i n x ⟩
길이 제곱
\sum v_{k}^
\sum\lvert c_{n}\rvert^
마지막 줄이 파스발 항등식입니다. 59강에서 "에너지가 진동수별로 나뉘어 보존된다"고 한 것이, 여기서는 피타고라스 정리의 무한판임이 드러납니다.
푸리에 급수는 함수 공간에서의 좌표 표현이었습니다. 이 관점이 80강의 그람슈미트와 83강의 정사영 행렬에서 정식화되며, 그때 유한차원에서 배운 것이 무한차원으로 그대로 확장됩니다.
심화 4. 상관계수가 코사인 유사도와 어떻게 다른지 자료로 확인하고, 왜 평균을 빼는지 설명하세요.
풀이. 자료 x = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) x = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) y = ( 2 , 4 , 5 , 4 , 5 ) y = ( 2 , 4 , 5 , 4 , 5 )
평균을 빼지 않은 코사인 유사도 를 계산하면 0.9597 0 . 9 5 9 7
상관계수 는 평균을 뺀 뒤 계산합니다. x ˉ = 3 x ˉ = 3 y ˉ = 4 y ˉ = 4
x ~ = ( − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ) , y ~ = ( − 2 , 0 , 1 , 0 , 1 ) x ~ = ( − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ) , y ~ = ( − 2 , 0 , 1 , 0 , 1 )
이고 코사인 유사도를 구하면 0.7746 0 . 7 7 4 6
두 값이 크게 다릅니다. 이유는 이렇습니다.
지표
재는 것
코사인 유사도
원점에서 본 방향의 일치
상관계수
평균에서 본 변동의 일치
두 자료가 모두 양수이고 크기가 비슷하면, 원점에서 보면 방향이 거의 같아 보입니다. 그래서 코사인 유사도가 높게 나옵니다. 하지만 우리가 알고 싶은 것은 "평균보다 클 때 함께 크냐"이지 "둘 다 양수냐"가 아닙니다.
극단적인 예로 확인해 봅니다. x = ( 100 , 101 , 102 ) x = ( 1 0 0 , 1 0 1 , 1 0 2 ) y = ( 100 , 99 , 101 ) y = ( 1 0 0 , 9 9 , 1 0 1 ) 1 1 ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) x ~ = ( − 1 , 0 , 1 ) x ~ = ( − 1 , 0 , 1 ) y ~ = ( 0 , − 1 , 1 ) y ~ = ( 0 , − 1 , 1 )
평균을 빼는 것은 ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) 이며, 이것이 64강에서 배울 정사영입니다. 상관계수는 그 방향을 걷어 낸 뒤의 코사인이라고 말할 수 있습니다.
어느 것을 쓸지는 목적에 달렸습니다.
목적
쓸 지표
문서·임베딩의 방향 비교
코사인 유사도
두 변량의 함께 움직임
상관계수
크기까지 고려
내적 자체
256강 이후 임베딩에서 코사인 유사도를 쓰는 이유는 벡터의 크기가 의미를 담지 않기 때문 입니다. 반면 통계에서는 평균이 기준이므로 상관계수를 씁니다.
심화 5. 가중 내적을 정의하고 그것이 어떤 기하를 만드는지 설명하세요.
풀이. 양수 w 1 , … , w n w 1 , … , w n
⟨ u , v ⟩ W = ∑ k w k u k v k ⟨ u , v ⟩ W = k ∑ w k u k v k
로 정의합니다. 세 성질을 확인해 보면 모두 성립합니다. 특히 양의 정부호는 w k > 0 w k > 0 가중치가 하나라도 0 0
이 내적이 만드는 기하는 보통의 것과 다릅니다.
항목
표준 내적
가중 내적
길이
∑ v k 2 ∑ v k 2 ∑ w k v k 2 ∑ w k v k 2
단위원
원
타원
직교
수직
수직으로 보이지 않을 수 있습니다
"수직"이 내적에 따라 달라집니다. w = ( 1 , 4 ) w = ( 1 , 4 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 1 ) ( − 2 , 1 ) ( − 2 , 1 )
1 ⋅ 2 ⋅ ( − 2 ) + 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = − 4 + 4 = 0 1 ⋅ 2 ⋅ ( − 2 ) + 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = − 4 + 4 = 0
으로 직교입니다. 그런데 표준 내적으로는 − 4 + 1 = − 3 ≠ 0 − 4 + 1 = − 3 = 0 같은 두 벡터가 어떤 내적에서는 수직이고 다른 내적에서는 아닙니다.
이 자유도가 실용적으로 쓰입니다. 자료의 성분마다 단위가 다르면 그대로 거리를 재는 것이 부당합니다. 키를 센티미터로 재고 몸무게를 킬로그램으로 잰 자료에서 표준 거리를 쓰면 키의 변동이 지배해 버립니다. 각 성분을 분산으로 나누어 가중하면 단위에 무관한 거리가 됩니다.
더 일반적으로는 성분끼리 상관이 있는 경우까지 다룰 수 있습니다. 양정치 행렬 A A
⟨ u , v ⟩ A = u ⊤ A v ⟨ u , v ⟩ A = u ⊤ A v
로 정의하면 되고, 이것으로 잰 거리를 마할라노비스 거리 라 합니다. 87강에서 양정치성을 배우면 이 정의가 언제 내적이 되는지 정확히 알게 되며, 131강 이후 다변량 정규분포에서 이 거리가 자연스럽게 나타납니다.
심화 6. 복소벡터의 내적을 정의할 때 무엇이 달라지는지 설명하세요.
풀이. 복소수 성분에 실수와 같은 정의를 쓰면 문제가 생깁니다. v = ( i , 0 ) v = ( i , 0 )
∑ v k 2 = i 2 = − 1 < 0 ∑ v k 2 = i 2 = − 1 < 0
이므로 양의 정부호가 깨집니다. 길이의 제곱이 음수가 되어 노름을 정의할 수 없습니다.
해결은 한쪽에 켤레를 씌우는 것입니다.
⟨ u , v ⟩ = ∑ k u k v k ‾ ⟨ u , v ⟩ = k ∑ u k v k
그러면
⟨ v , v ⟩ = ∑ v k v k ‾ = ∑ ∣ v k ∣ 2 ≥ 0 ⟨ v , v ⟩ = ∑ v k v k = ∑ ∣ v k ∣ 2 ≥ 0
으로 양의 정부호가 회복됩니다. 30강에서 z z ˉ = ∣ z ∣ 2 z z ˉ = ∣ z ∣ 2
대신 대칭성이 바뀝니다.
⟨ v , u ⟩ = ∑ v k u k ‾ = ∑ u k v k ‾ ‾ = ⟨ u , v ⟩ ‾ ⟨ v , u ⟩ = ∑ v k u k = ∑ u k v k = ⟨ u , v ⟩
켤레 대칭 이라 합니다. 그리고 선형성도 한쪽에서만 성립합니다.
성질
실수 내적
복소 내적
대칭
⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩ ⟨ u , v ⟩ = ⟨ v , u ⟩ ⟨ v , u ⟩ = ⟨ u , v ⟩ ‾ ⟨ v , u ⟩ = ⟨ u , v ⟩
첫째 자리
선형
선형
둘째 자리
선형
켤레선형 (⟨ u , c v ⟩ = c ˉ ⟨ u , v ⟩ ⟨ u , c v ⟩ = c ˉ ⟨ u , v ⟩
⟨ v , v ⟩ ⟨ v , v ⟩ 실수, ≥ 0 ≥ 0
실수, ≥ 0 ≥ 0
켤레 대칭 덕분에 ⟨ v , v ⟩ ⟨ v , v ⟩ 가 됩니다. 길이를 정의하는 데 필요한 조건이 구조적으로 보장되는 셈입니다.
이 정의가 59강에서 이미 쓰였습니다. 그때 직교성을 1 2 π ∫ e i n x e i m x ‾ d x 2 π 1 ∫ e i n x e i m x d x 켤레를 씌운 것이 바로 이 이유 입니다. 켤레 없이 계산하면 e i n x e i n x e − i n x e − i n x
복소 내적은 양자역학과 신호처리의 표준이며, 이 커리큘럼에서는 60강의 푸리에 변환과 88강의 특이값 분해에서 다시 나타납니다.
이 강의에서는 numpy만 씁니다. 내적은 @ 연산자로 바로 계산되므로 검산이 직접적입니다. 기하 표현과 성분 표현이 같은 값을 주는지, 그리고 부등식이 성립하는지를 확인하는 것이 목적입니다.
import numpy as np
u = np.array([3.0, -1.0, 2.0]); v = np.array([-1.0, 4.0, 5.0]); w = np.array([2.0, 0.0, -3.0])
# --- 문제 1: 내적과 코사인 법칙 -----------------------------------------
print(float(u @ v), float(np.sum(u*v))) # 3.0 3.0
lhs = float(np.linalg.norm(u - v)**2)
rhs = float(np.linalg.norm(u)**2 + np.linalg.norm(v)**2 - 2*(u @ v))
print("%.8f %.8f" % (lhs, rhs)) # 50.00000000 50.00000000
# --- 문제 2: 내적의 성질 ------------------------------------------------
a, b = 2.5, -1.5
print(bool(np.isclose(u @ v, v @ u)),
bool(np.isclose((a*u + b*w) @ v, a*(u @ v) + b*(w @ v))),
bool(u @ u > 0), float(np.zeros(3) @ np.zeros(3)))
# True True True 0.0
print("%.8f %.8f" % (float(u @ u), float(np.linalg.norm(u)**2)))
# 14.00000000 14.00000000
# --- 문제 3: 각도 -------------------------------------------------------
def angle(p, q):
c = float(p @ q)/(float(np.linalg.norm(p))*float(np.linalg.norm(q)))
return c, float(np.degrees(np.arccos(c)))
for p, q in [(u, v), (u, u), (u, -u), (np.array([1.0,0.0]), np.array([1.0,1.0]))]:
c, d = angle(p, q)
print("%.8f %.6f" % (c, d))
# 0.12371791 82.893277
# 1.00000000 0.000000
# -1.00000000 180.000000
# 0.70710678 45.000000
# --- 문제 4: 직교와 피타고라스 ------------------------------------------
p = np.array([1.0, 2.0, 3.0]); q = np.array([2.0, -1.0, 0.0])
print(float(p @ q)) # 0.0
print("%.8f %.8f" % (float(np.linalg.norm(p + q)**2),
float(np.linalg.norm(p)**2 + np.linalg.norm(q)**2)))
# 19.00000000 19.00000000
print("%.8f %.8f" % (float(np.linalg.norm(u + v)**2),
float(np.linalg.norm(u)**2 + np.linalg.norm(v)**2)))
# 62.00000000 56.00000000 (차이 6 = 2*(u@v))
# --- 심화 1: 코시-슈바르츠 ----------------------------------------------
for p, q in [(u, v), (u, 2*u), (np.array([1.0,1.0]), np.array([1.0,-1.0]))]:
print("%.8f %.8f" % (abs(float(p @ q)),
float(np.linalg.norm(p))*float(np.linalg.norm(q))))
# 3.00000000 24.24871131 (부등식)
# 28.00000000 28.00000000 (평행 -> 등호)
# 0.00000000 2.00000000 (직교)
# --- 심화 4: 코사인 유사도와 상관계수 -----------------------------------
x = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0]); y = np.array([2.0, 4.0, 5.0, 4.0, 5.0])
xc = x - x.mean(); yc = y - y.mean()
r = float(xc @ yc)/(float(np.linalg.norm(xc))*float(np.linalg.norm(yc)))
print("%.8f %.8f" % (r, float(np.corrcoef(x, y)[0,1])))
# 0.77459667 0.77459667
print("%.8f" % (float(x @ y)/(float(np.linalg.norm(x))*float(np.linalg.norm(y)))))
# 0.95965110 (평균을 안 빼면 훨씬 큽니다)
# --- 심화 2, 3: 함수의 내적 (다항식의 그람 행렬) -------------------------
t = np.linspace(-1.0, 1.0, 400001)[:-1] + 1.0/400000
dt = 2.0/400000
def ip(f, g): return float(np.sum(f(t)*g(t))*dt)
mono = [lambda z: np.ones_like(z), lambda z: z, lambda z: z**2]
for i in range(3):
print([round(ip(mono[i], mono[j]), 6) for j in range(3)])
# [2.0, 0.0, 0.666667]
# [0.0, 0.666667, 0.0]
# [0.666667, 0.0, 0.4]
실행하면 주석과 같은 값이 나옵니다. 다섯 곳을 짚어 둡니다.
첫째, 코사인 법칙으로 얻은 값과 성분 전개가 양쪽 모두 50 5 0 문제 1의 유도가 숫자로 확인됩니다. 그리고 u ⋅ u = 14 u ⋅ u = 1 4 ∥ u ∥ 2 ∥ u ∥ 2
둘째, 각도 계산에서 네 가지 경우가 나옵니다. 자기 자신과는 0 ∘ 0 ∘ 18 0 ∘ 1 8 0 ∘ ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) 4 5 ∘ 4 5 ∘ 정의가 우리가 아는 각도와 일치합니다.
셋째, 피타고라스 정리의 성립과 실패가 나란히 나옵니다. 직교하는 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) ( 2 , − 1 , 0 ) ( 2 , − 1 , 0 ) 19 1 9 u u v v 62 6 2 56 5 6 차이 6 6 2 u ⋅ v = 2 ⋅ 3 2 u ⋅ v = 2 ⋅ 3
넷째, 코시-슈바르츠가 세 경우에서 확인됩니다. 일반적인 경우 3 ≤ 24.25 3 ≤ 2 4 . 2 5 u u 2 u 2 u 28 2 8 정확히 같습니다. 직교하면 왼쪽이 0 0
다섯째, 심화 4의 대비가 인상적입니다. 같은 자료에서 상관계수가 0.7746 0 . 7 7 4 6 0.9597 0 . 9 5 9 7 두 지표가 다른 것을 재고 있습니다. 마지막 블록의 다항식 그람 행렬도 눈여겨보십시오. 1 1 x x x x x 2 x 2 1 1 x 2 x 2 2 3 3 2
코드로 할 수 없는 일도 분명히 해 둡니다. 몇 개의 값에서 성질을 확인한 것은 증명이 아닙니다. 특히 코시-슈바르츠는 모든 벡터 쌍에 대한 주장이므로 판별식 논법이 필요합니다. 그리고 심화 2에서 말한 대로 세 성질만으로 한 증명은 함수 공간에도 적용되는데, 그 사실은 수치로 확인할 수 있는 종류가 아닙니다.
내적의 정의를 성분으로 쓰세요.
내적의 기하 표현을 쓰고 어떻게 유도합니까?
내적의 세 가지 성질을 쓰세요.
∥ u + v ∥ 2 ∥ u + v ∥ 2 코시-슈바르츠 부등식과 등호 조건을 쓰세요.
각도를 정의할 때 코시-슈바르츠가 왜 필요합니까?
직교의 정의와 피타고라스 정리를 쓰세요.
코사인 유사도와 상관계수의 차이를 쓰세요.
상관계수가 [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ]
복소 내적에서 켤레를 씌우는 이유를 쓰세요.
정답.
u ⋅ v = ∑ u k v k u ⋅ v = ∑ u k v k ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ 대칭성, 선형성, 양의 정부호입니다.
∥ u ∥ 2 + 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 ∥ u ∥ 2 + 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ arccos arccos [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] 내적이 0 0 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2
상관계수는 각 벡터에서 평균을 뺀 뒤의 코사인 유사도입니다.
코사인 값이므로 코시-슈바르츠에 의해 그 범위를 벗어날 수 없습니다.
켤레가 없으면 ⟨ v , v ⟩ ⟨ v , v ⟩
기호
읽는 법
뜻
\mathbf{u}\cdot\mathbf
내적, 점곱
∑ u k v k ∑ u k v k
⟨ u , v ⟩ ⟨ u , v ⟩ 내적
일반 내적공간에서 쓰는 기호입니다
\mathbf{u}\perp\mathbf
직교
내적이 0 0
\delta_
크로네커 델타
i = j i = j 1 1 0 0
코시-슈바르츠
Cauchy-Schwarz
∣ ⟨ u , v ⟩ ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ ⟨ u , v ⟩ ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥
정규직교
orthonormal
직교하고 길이가 모두 1 1
코사인 유사도
cosine similarity
정규화한 뒤의 내적입니다
켤레선형
conjugate linear
스칼라가 켤레로 나옵니다
다음 64강에서는 내적으로 한 벡터를 다른 벡터 방향으로 분해 합니다. 그림자를 드리우는 것과 같아 정사영이라 부르는데, 그 결과가 두 조각으로 갈라집니다. 방향이 맞는 부분과 수직인 부분입니다. 이 분해가 80강의 그람슈미트와 82강의 최소제곱에서 되풀이해 쓰이며, 심화 4에서 상관계수가 "( 1 , 1 , … , 1 ) ( 1 , 1 , … , 1 )