63강의 내적은 두 벡터에서 수 하나 를 만들었습니다. 그 수가 각도와 길이를 담고 있어 대단히 유용했습니다.
그런데 아쉬운 점이 있습니다. 결과가 수라서 방향 정보를 잃습니다. 두 벡터가 만드는 평면이 어느 쪽을 향하는지, 그 평면에 수직인 방향이 무엇인지는 내적으로 알 수 없습니다.
이 강의에서는 두 벡터에서 벡터를 만드는 연산을 세웁니다. 그 벡터가 원래 두 벡터에 모두 수직하도록 만들면, 평면의 법선을 즉시 얻게 됩니다. 그것이 외적 입니다.
외적은 삼차원에서만 정의됩니다. 62강 심화 6에서 벡터 나눗셈이 n = 1 , 2 , 4 , 8 n = 1 , 2 , 4 , 8
이 강의로 01단원을 마칩니다. 62강에서 벡터를, 63강에서 내적을, 64강에서 정사영을 세웠고, 여기서 그 도구들로 직선과 평면의 방정식 을 씁니다. 64강에서 미뤄 둔 점과 평면 사이의 거리 공식도 완성됩니다.
두 벡터에 수직인 벡터를 구해 외적을 유도할 수 있습니다.
외적의 성질과 크기의 기하적 의미를 말할 수 있습니다.
직선의 방정식을 매개변수형과 대칭형으로 쓸 수 있습니다.
평면의 방정식을 세우고 점과 평면 사이의 거리를 구할 수 있습니다.
스칼라 삼중곱으로 부피를 계산하고 공면 여부를 판정할 수 있습니다.
문제. u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) w w w w w w
생각의 실마리. (1)은 63강의 직교 조건입니다. 미지수가 셋이고 식이 둘이므로 해가 하나로 정해지지 않습니다. (2)에서는 두 식에서 미지수 하나를 소거해 나머지 둘의 비를 구합니다.
풀이. (1) 두 내적이 모두 0 0
u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = 0 , v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = 0 u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = 0 , v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = 0
(2) 첫 식에 v 3 v 3 u 3 u 3 w 3 w 3
( u 1 v 3 − u 3 v 1 ) w 1 + ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) w 2 = 0 ( u 1 v 3 − u 3 v 1 ) w 1 + ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) w 2 = 0
이 식을 만족하는 한 해는
w 1 = u 2 v 3 − u 3 v 2 , w 2 = − ( u 1 v 3 − u 3 v 1 ) = u 3 v 1 − u 1 v 3 w 1 = u 2 v 3 − u 3 v 2 , w 2 = − ( u 1 v 3 − u 3 v 1 ) = u 3 v 1 − u 1 v 3
입니다. 계수를 서로 바꾸고 한쪽에 음부호를 붙인 것 입니다. 이 값을 원래 식에 넣어 w 3 w 3
w 3 = u 1 v 2 − u 2 v 1 w 3 = u 1 v 2 − u 2 v 1
입니다. 검산에서 이 벡터가 u u v v 0 0
(3) 정해지지 않습니다. 상수배를 해도 여전히 수직 이기 때문입니다. 위의 것은 그중 하나를 고른 것이며, 크기와 방향을 자연스럽게 정하는 선택입니다.
이 문제에서 배우는 것: 외적.
외적(벡터곱). R 3 R 3
u × v = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 , u 3 v 1 − u 1 v 3 , u 1 v 2 − u 2 v 1 ) u × v = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 , u 3 v 1 − u 1 v 3 , u 1 v 2 − u 2 v 1 )
로 정의합니다.
성분을 외우기보다 규칙을 익히는 편 이 낫습니다.
성분
쓰는 지표
규칙
첫째
2 , 3 2 , 3 u_{2}v_{3}-u_{3}v_
둘째
3 , 1 3 , 1 u_{3}v_{1}-u_{1}v_
셋째
1 , 2 1 , 2 u_{1}v_{2}-u_{2}v_
1 → 2 → 3 → 1 1 → 2 → 3 → 1
78강에서 행렬식을 배우면 이 식을 훨씬 기억하기 쉬운 꼴로 적을 수 있습니다.
u × v = ∣ i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 ∣ u × v = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i u 1 v 1 j u 2 v 2 k u 3 v 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
지금은 기호로만 봐 두고, 심화 5에서 이 표현이 왜 정당한지 다룹니다.
방향은 오른손 규칙 으로 정해집니다. 오른손의 네 손가락을 u u v v u × v u × v
e 1 × e 2 = e 3 , e 2 × e 3 = e 1 , e 3 × e 1 = e 2 e 1 × e 2 = e 3 , e 2 × e 3 = e 1 , e 3 × e 1 = e 2
입니다. 순환 순서를 지키면 부호가 양수 입니다.
바로 확인 1.
확인 1-1. ( 1 , 2 , 3 ) × ( 4 , 5 , 6 ) ( 1 , 2 , 3 ) × ( 4 , 5 , 6 )
답. ( 2 ⋅ 6 − 3 ⋅ 5 , 3 ⋅ 4 − 1 ⋅ 6 , 1 ⋅ 5 − 2 ⋅ 4 ) = ( − 3 , 6 , − 3 ) ( 2 ⋅ 6 − 3 ⋅ 5 , 3 ⋅ 4 − 1 ⋅ 6 , 1 ⋅ 5 − 2 ⋅ 4 ) = ( − 3 , 6 , − 3 )
확인 1-2. 확인 1-1의 결과가 두 벡터에 수직임을 확인하세요.
답. ( − 3 ) + 12 − 9 = 0 ( − 3 ) + 1 2 − 9 = 0 − 12 + 30 − 18 = 0 − 1 2 + 3 0 − 1 8 = 0
확인 1-3. e 2 × e 1 e 2 × e 1
답. − e 3 − e 3
문제. 다음을 확인하세요.v × u v × u u × v u × v u × u u × u ∥ u × v ∥ ∥ u × v ∥
생각의 실마리. (1)과 (2)는 정의에 넣어 보면 즉시 나옵니다. (3)이 이 문제의 핵심인데, 길이의 제곱을 계산해 내적과 비교 하는 것이 요령입니다. 63강에서 얻은 u ⋅ v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ u ⋅ v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ
풀이. (1) 정의의 각 성분에서 u u v v v 2 u 3 − v 3 u 2 = − ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) v 2 u 3 − v 3 u 2 = − ( u 2 v 3 − u 3 v 2 )
v × u = − ( u × v ) v × u = − ( u × v )
반교환 이라 합니다.
(2) (1)에서 v = u v = u u × u = − ( u × u ) u × u = − ( u × u )
u × u = 0 u × u = 0
입니다. 같은 벡터에 수직인 방향을 정할 수 없으니 자연스러운 결과입니다.
(3) 성분을 전개하면 다음이 성립합니다.
∥ u × v ∥ 2 + ( u ⋅ v ) 2 = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 ∥ u × v ∥ 2 + ( u ⋅ v ) 2 = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2
이를 라그랑주 항등식 이라 합니다. 63강의 결과를 넣으면
∥ u × v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 ( 1 − 2 θ ) = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 2 θ ∥ u × v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 ( 1 − cos 2 θ ) = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 sin 2 θ
이고 θ ∈ [ 0 , π ] θ ∈ [ 0 , π ] sin θ ≥ 0 sin θ ≥ 0
∥ u × v ∥ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ ∥ u × v ∥ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ
입니다. 이것이 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이 입니다. 밑변이 ∥ u ∥ ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ ∥ v ∥ sin θ
이 문제에서 배우는 것: 외적의 성질.
외적의 성질.
성질
식
반교환
v × u = − ( u × v ) v × u = − ( u × v )
자기 자신
\mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf
분배
\mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf
스칼라
( c u ) × v = c ( u × v ) ( c u ) × v = c ( u × v )
수직성
( u × v ) ⊥ u ( u × v ) ⊥ u
크기
∥ u × v ∥ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ ∥ u × v ∥ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ
결합법칙 성립하지 않습니다
마지막 줄을 특히 조심해야 합니다. 곱셈이라는 이름이 붙었지만 ( a × b ) × c ≠ a × ( b × c ) ( a × b ) × c = a × ( b × c )
내적과 나란히 놓고 비교하면 성격 차이가 분명합니다.
내적
외적
결과
스칼라
벡터
차원
모든 n n
3 3
교환
대칭
반대칭
크기
∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ
평행일 때
최대
\mathbf
수직일 때
0 0 최대
정확히 반대로 움직입니다. 내적은 나란할수록 크고 외적은 수직일수록 큽니다. 라그랑주 항등식이 그 관계를 정확히 적어 줍니다. 검산에서 ∥ u × v ∥ 2 + ( u ⋅ v ) 2 ∥ u × v ∥ 2 + ( u ⋅ v ) 2 ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 = 1078 ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 = 1 0 7 8
u × v = 0 u × v = 0 sin θ = 0 sin θ = 0 두 벡터가 평행 하다는 뜻입니다. 62강 문제 4에서 "평행한가"로 판정했던 것이 여기서 계산 가능한 조건이 됩니다.
바로 확인 2.
확인 2-1. u × v = 0 u × v = 0
답. 두 벡터가 평행합니다. 둘 중 하나가 영벡터인 경우도 포함합니다.
확인 2-2. ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) ( 0 , 2 , 0 ) ( 0 , 2 , 0 )
답. 외적이 ( 0 , 0 , 2 ) ( 0 , 0 , 2 ) 2 2
확인 2-3. 라그랑주 항등식을 쓰세요.
답. ∥ u × v ∥ 2 + ( u ⋅ v ) 2 = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 ∥ u × v ∥ 2 + ( u ⋅ v ) 2 = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2
문제. 점 A A d ≠ 0 d = 0 A A B B
생각의 실마리. (1)은 62강의 관점 그대로입니다. A A d d
풀이. (1) 매개변수 t t
r ( t ) = A + t d r ( t ) = A + t d
가 직선 위의 모든 점을 훑습니다. 성분으로 쓰면
x = a 1 + t d 1 , y = a 2 + t d 2 , z = a 3 + t d 3 x = a 1 + t d 1 , y = a 2 + t d 2 , z = a 3 + t d 3
입니다.
(2) 각 식에서 t t d k ≠ 0 d k = 0
t = x − a 1 d 1 = y − a 2 d 2 = z − a 3 d 3 t = d 1 x − a 1 = d 2 y − a 2 = d 3 z − a 3
입니다. 이를 대칭형 이라 합니다. d k = 0 d k = 0 x = a 1 x = a 1
(3) 방향벡터를 d = B − A d = B − A
r ( t ) = A + t ( B − A ) = ( 1 − t ) A + t B r ( t ) = A + t ( B − A ) = ( 1 − t ) A + t B
t ∈ [ 0 , 1 ] t ∈ [ 0 , 1 ]
이 문제에서 배우는 것: 직선의 표현.
세 가지 표현을 정리합니다.
형태
식
쓰기 좋은 곳
매개변수형
\mathbf{r}=A+t\mathbf
점을 생성할 때
대칭형
x − a 1 d 1 = y − a 2 d 2 = z − a 3 d 3 d 1 x − a 1 = d 2 y − a 2 = d 3 z − a 3 방정식으로 다룰 때
두 점
( 1 − t ) A + t B ( 1 − t ) A + t B 선분을 다룰 때
매개변수형이 가장 쓰기 편합니다. 차원에 무관하게 같은 꼴이고, 방향벡터가 겉으로 드러나 계산에 바로 쓸 수 있습니다. 대칭형은 삼차원에서만 자연스럽고 성분이 0 0
64강의 거리 문제도 매개변수형에서 나왔습니다. 점 P P ∥ P − r ( t ) ∥ ∥ P − r ( t ) ∥
이차원에서는 직선을 a x + b y = c a x + b y = c 평면 이 되며, 문제 4의 주제입니다. 차원이 올라가면 같은 형태의 식이 다른 대상을 나타냅니다.
식
R 2 R 2 R 3 R 3
일차방정식 하나
직선
평면
매개변수 하나
직선
직선
**"방정식 하나가 차원을 하나 줄인다"**는 것이 규칙이며, 73강의 차원 정리에서 정확히 다뤄집니다.
바로 확인 3.
확인 3-1. 점 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) ( 2 , − 1 , 4 ) ( 2 , − 1 , 4 )
답. r ( t ) = ( 1 + 2 t , 2 − t , 3 + 4 t ) r ( t ) = ( 1 + 2 t , 2 − t , 3 + 4 t )
확인 3-2. 확인 3-1을 대칭형으로 쓰세요.
답. x − 1 2 = y − 2 − 1 = z − 3 4 2 x − 1 = − 1 y − 2 = 4 z − 3
확인 3-3. 두 점 ( 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 )
답. r ( t ) = ( t , t , t ) r ( t ) = ( t , t , t ) t ∈ [ 0 , 1 ] t ∈ [ 0 , 1 ]
문제. 점 A A n n P P
생각의 실마리. (1)에서 평면 위의 점끼리 이은 벡터는 모두 평면 안에 있고, 따라서 법선에 수직 입니다. 그 조건이 평면을 결정합니다. (3)은 64강의 정사영을 법선 방향에 적용하면 됩니다.
풀이. (1) P P P − A P − A
( P − A ) ⋅ n = 0 ( P − A ) ⋅ n = 0
이것이 평면의 정의식입니다.
(2) n = ( n 1 , n 2 , n 3 ) n = ( n 1 , n 2 , n 3 ) P = ( x , y , z ) P = ( x , y , z ) A = ( a 1 , a 2 , a 3 ) A = ( a 1 , a 2 , a 3 )
n 1 ( x − a 1 ) + n 2 ( y − a 2 ) + n 3 ( z − a 3 ) = 0 n 1 ( x − a 1 ) + n 2 ( y − a 2 ) + n 3 ( z − a 3 ) = 0
이고 정리하면
n 1 x + n 2 y + n 3 z = d , d = n ⋅ A n 1 x + n 2 y + n 3 z = d , d = n ⋅ A
입니다. 일차방정식의 계수가 곧 법선벡터입니다.
(3) 64강의 정사영을 씁니다. P − A P − A
거리 = ∣ n ( P − A ) ∣ = ∣ ( P − A ) ⋅ n ∣ ∥ n ∥ = ∣ n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 − d ∣ n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 거리 = ∣ c o m p n ( P − A ) ∣ = ∥ n ∥ ∣ ( P − A ) ⋅ n ∣ = n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ∣ n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 − d ∣
64강에서 미뤄 둔 공식이 완성되었습니다.
이 문제에서 배우는 것: 평면의 방정식과 거리.
평면의 방정식. 점 A A n n
( P − A ) ⋅ n = 0 ⟺ n 1 x + n 2 y + n 3 z = d ( P − A ) ⋅ n = 0 ⟺ n 1 x + n 2 y + n 3 z = d
입니다.
점과 평면 사이의 거리.
거리 = ∣ n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 − d ∣ ∥ n ∥ 거리 = ∥ n ∥ ∣ n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 − d ∣
일차방정식을 보면 법선을 바로 읽을 수 있습니다. x + 2 y + 2 z = 6 x + 2 y + 2 z = 6 ( 1 , 2 , 2 ) ( 1 , 2 , 2 ) 3 3 ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 )
∣ 1 + 2 + 2 − 6 ∣ 3 = 1 3 3 ∣ 1 + 2 + 2 − 6 ∣ = 3 1
입니다. 검산에서 확인합니다.
세 점이 주어졌을 때 평면을 구하는 절차도 정리합니다.
단계
할 일
1
두 변 벡터 B − A B − A C − A C − A
2
외적으로 법선을 구합니다: n = ( B − A ) × ( C − A ) n = ( B − A ) × ( C − A )
3
( P − A ) ⋅ n = 0 ( P − A ) ⋅ n = 0
2단계가 이 강의에서 외적이 필요한 첫 이유 입니다. 내적만으로는 "두 벡터에 모두 수직인 방향"을 직접 얻을 수 없습니다.
직선과 평면을 비교해 둡니다.
직선
평면
자연스러운 표현
매개변수형 (방향으로)
방정식형 (법선으로)
결정하는 것
지나는 점 + 방향벡터
지나는 점 + 법선벡터
거리 공식
정사영의 나머지
정사영 자체
R 3 R 3 1 1 2 2
세 번째 줄이 헷갈리기 쉽습니다. 직선에서는 방향벡터에 정사영한 것을 빼고 남은 부분을 재고, 평면에서는 법선에 정사영한 것을 잽니다. 무엇이 "따라가는 방향"이고 무엇이 "벗어나는 방향"인지가 반대 이기 때문입니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. 평면 2 x − y + 3 z = 7 2 x − y + 3 z = 7
답. ( 2 , − 1 , 3 ) ( 2 , − 1 , 3 )
확인 4-2. 점 ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) x + y + z = 3 x + y + z = 3
답. ∣ 1 − 3 ∣ 3 = 2 3 3 ∣ 1 − 3 ∣ = 3 2
확인 4-3. 세 점으로 평면을 구할 때 외적을 어디에 씁니까?
답. 두 변 벡터의 외적으로 법선벡터를 얻는 데 씁니다.
문제. 세 벡터 a a b b c c 0 0 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) ( 4 , 5 , 6 ) ( 4 , 5 , 6 ) ( 7 , 8 , 9 ) ( 7 , 8 , 9 )
생각의 실마리. 평행육면체의 부피는 밑면의 넓이 곱하기 높이 입니다. 밑면을 b b c c a a
풀이. (1) 밑면의 넓이는 ∥ b × c ∥ ∥ b × c ∥ a a b × c b × c
높이 = ∣ a ⋅ ( b × c ) ∣ ∥ b × c ∥ 높이 = ∥ b × c ∥ ∣ a ⋅ ( b × c ) ∣
곱하면 분모가 상쇄됩니다.
V = ∣ a ⋅ ( b × c ) ∣ V = ∣ a ⋅ ( b × c ) ∣
(2) 부피가 0 0 세 벡터가 한 평면 위에 있습니다. 이를 공면이라 합니다.
(3) 계산합니다. b × c = ( 4 , 5 , 6 ) × ( 7 , 8 , 9 ) = ( 45 − 48 , 42 − 36 , 32 − 35 ) = ( − 3 , 6 , − 3 ) b × c = ( 4 , 5 , 6 ) × ( 7 , 8 , 9 ) = ( 4 5 − 4 8 , 4 2 − 3 6 , 3 2 − 3 5 ) = ( − 3 , 6 , − 3 )
a ⋅ ( b × c ) = ( 1 ) ( − 3 ) + ( 2 ) ( 6 ) + ( 3 ) ( − 3 ) = − 3 + 12 − 9 = 0 a ⋅ ( b × c ) = ( 1 ) ( − 3 ) + ( 2 ) ( 6 ) + ( 3 ) ( − 3 ) = − 3 + 1 2 − 9 = 0
입니다. 세 벡터가 공면입니다. 검산에서도 정확히 0 0
이 문제에서 배우는 것: 스칼라 삼중곱.
스칼라 삼중곱. [ a , b , c ] = a ⋅ ( b × c ) [ a , b , c ] = a ⋅ ( b × c )
부호도 정보를 담습니다.
부호
뜻
양수
세 벡터가 오른손 방향입니다
음수
왼손 방향입니다
0 0 공면입니다
순환 대칭성 도 성립합니다.
a ⋅ ( b × c ) = b ⋅ ( c × a ) = c ⋅ ( a × b ) a ⋅ ( b × c ) = b ⋅ ( c × a ) = c ⋅ ( a × b )
세 벡터의 순서를 순환시켜도 값이 같습니다. 두 개를 맞바꾸면 부호가 뒤집힙니다. 외적의 반교환성이 그대로 반영된 것 입니다.
이 값이 78강의 행렬식과 같습니다. 세 벡터를 행으로 놓은 행렬의 행렬식이 삼중곱이며, 검산에서 ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 2 , 0 ) ( 1 , 2 , 0 ) ( 1 , 1 , 3 ) ( 1 , 1 , 3 ) 6 6 79강에서 "행렬식이 부피의 배율"이라고 배울 텐데, 그 기하적 뿌리가 여기 있습니다.
공면 판정은 실용적입니다. 세 벡터가 공면이면 그중 하나가 나머지 둘의 일차결합이므로, 72강의 일차종속과 같은 조건 입니다. 삼중곱이 그것을 계산 하나로 판정해 줍니다.
바로 확인 5.
확인 5-1. e 1 ⋅ ( e 2 × e 3 ) e 1 ⋅ ( e 2 × e 3 )
답. e 2 × e 3 = e 1 e 2 × e 3 = e 1 1 1
확인 5-2. 삼중곱이 0 0
답. 공면입니다. 하나가 나머지 둘의 일차결합으로 적힙니다.
확인 5-3. 삼중곱에서 두 벡터를 맞바꾸면 어떻게 됩니까?
답. 부호가 뒤집힙니다.
개념
식
외적
u × v = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 , u 3 v 1 − u 1 v 3 , u 1 v 2 − u 2 v 1 ) u × v = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 , u 3 v 1 − u 1 v 3 , u 1 v 2 − u 2 v 1 )
크기
∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ
라그랑주 항등식
\lVert\mathbf{u}\times\mathbf{v}\rVert^{2}+(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^{2}=\lVert\mathbf{u}\rVert^{2}\lVert\mathbf{v}\rVert^
삼중곱
a ⋅ ( b × c ) a ⋅ ( b × c )
성질
내용
반교환
v × u = − ( u × v ) v × u = − ( u × v )
\mathbf{u}\times\mathbf
\mathbf
분배
성립합니다
결합
성립하지 않습니다
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf
두 벡터가 평행
도형
표현
직선(매개변수)
\mathbf{r}=A+t\mathbf
직선(대칭형)
x − a 1 d 1 = y − a 2 d 2 = z − a 3 d 3 d 1 x − a 1 = d 2 y − a 2 = d 3 z − a 3
평면
( P − A ) ⋅ n = 0 ( P − A ) ⋅ n = 0 n 1 x + n 2 y + n 3 z = d n 1 x + n 2 y + n 3 z = d
세 점으로 평면
n = ( B − A ) × ( C − A ) n = ( B − A ) × ( C − A )
거리
공식
점과 직선
∥ ( P − A ) − d ( P − A ) ∥ ∥ ( P − A ) − p r o j d ( P − A ) ∥
점과 평면
∣ ( P − A ) ⋅ n ∣ ∥ n ∥ ∥ n ∥ ∣ ( P − A ) ⋅ n ∣
두 꼬인 직선
∣ ( P 2 − P 1 ) ⋅ ( d 1 × d 2 ) ∣ ∥ d 1 × d 2 ∥ ∥ d 1 × d 2 ∥ ∣ ( P 2 − P 1 ) ⋅ ( d 1 × d 2 ) ∣
자주 하는 실수
바로잡기
외적에 결합법칙을 씁니다
성립하지 않습니다
외적의 순서를 바꿉니다
부호가 뒤집힙니다
점-직선과 점-평면 공식을 섞습니다
정사영의 나머지인지 자체인지 확인합니다
사차원에서 외적을 쓰려 합니다
삼차원에서만 정의됩니다
문제 6. ( 1 , 0 , 0 ) × ( 0 , 1 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) × ( 0 , 1 , 0 )
답. ( 0 , 0 , 1 ) ( 0 , 0 , 1 )
문제 7. ( 2 , 1 , 0 ) × ( 1 , 3 , 0 ) ( 2 , 1 , 0 ) × ( 1 , 3 , 0 )
답. ( 0 , 0 , 6 − 1 ) = ( 0 , 0 , 5 ) ( 0 , 0 , 6 − 1 ) = ( 0 , 0 , 5 )
문제 8. ( 1 , 2 , 3 ) × ( 2 , 4 , 6 ) ( 1 , 2 , 3 ) × ( 2 , 4 , 6 )
답. ( 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 0 )
문제 9. ( 1 , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 0 ) ( 0 , 1 , 1 ) ( 0 , 1 , 1 )
답. 외적이 ( 1 , − 1 , 1 ) ( 1 , − 1 , 1 ) 3 3
문제 10. 점 ( 2 , 0 , 1 ) ( 2 , 0 , 1 ) ( 1 , 1 , − 1 ) ( 1 , 1 , − 1 )
답. r ( t ) = ( 2 + t , t , 1 − t ) r ( t ) = ( 2 + t , t , 1 − t )
문제 11. 평면 3 x − 4 y + z = 12 3 x − 4 y + z = 1 2
답. ( 3 , − 4 , 1 ) ( 3 , − 4 , 1 ) 26 2 6
문제 12. 원점에서 평면 3 x − 4 y + z = 12 3 x − 4 y + z = 1 2
답. ∣ − 12 ∣ 26 = 12 26 2 6 ∣ − 1 2 ∣ = 2 6 1 2
문제 13. 세 점 ( 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) ( 0 , 1 , 0 ) ( 0 , 1 , 0 )
답. 법선이 ( 1 , 0 , 0 ) × ( 0 , 1 , 0 ) = ( 0 , 0 , 1 ) ( 1 , 0 , 0 ) × ( 0 , 1 , 0 ) = ( 0 , 0 , 1 ) z = 0 z = 0
문제 14. ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 2 , 0 ) ( 1 , 2 , 0 ) ( 1 , 1 , 3 ) ( 1 , 1 , 3 )
답. 삼중곱이 6 6 6 6
문제 15. 세 벡터가 공면인지 판정하는 방법을 쓰세요.
답. 스칼라 삼중곱이 0 0
문제 16. u × v u × v u u
답. 정의가 그 조건에서 유도되었으며, 내적을 계산하면 항들이 상쇄되어 0 0
문제 17. 내적과 외적이 평행일 때 각각 어떻게 됩니까?
답. 내적은 최대가 되고 외적은 영벡터가 됩니다.
문제 18. 삼중곱의 순환 대칭성을 쓰세요.
답. a ⋅ ( b × c ) = b ⋅ ( c × a ) = c ⋅ ( a × b ) a ⋅ ( b × c ) = b ⋅ ( c × a ) = c ⋅ ( a × b )
심화 1. 외적이 결합법칙을 만족하지 않음을 반례로 보이고, 대신 성립하는 항등식을 제시하세요.
풀이. 표준기저로 확인합니다.
( e 1 × e 1 ) × e 2 = 0 × e 2 = 0 ( e 1 × e 1 ) × e 2 = 0 × e 2 = 0
e 1 × ( e 1 × e 2 ) = e 1 × e 3 = − e 2 e 1 × ( e 1 × e 2 ) = e 1 × e 3 = − e 2
한쪽은 0 0 − e 2 − e 2 결합법칙이 깨집니다.
그러면 외적은 어떤 구조를 가지는가. 결합법칙 대신 다음이 성립합니다.
야코비 항등식.
a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b ) = 0 a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b ) = 0
검산에서 세 성분이 모두 정확히 0 0
이 항등식이 결합법칙의 대체물 입니다. 반교환성과 야코비 항등식을 만족하는 대수 구조를 리 대수 라 하며, 외적은 그 대표적인 예입니다.
리 대수는 이 커리큘럼의 범위를 넘지만 어디에 쓰이는지는 알아 둘 값이 있습니다. 회전을 다루는 수학 이 리 대수이며, 384강 이후 삼차원 장면을 다룰 때 회전의 미소 변화가 정확히 이 구조를 가집니다.
곱셈이라는 이름이 붙었지만 성질이 다르다는 점을 다시 강조합니다.
성질
실수 곱셈
외적
교환
성립
반대칭
결합
성립
불성립
항등원
1 1 없습니다
a b = 0 a b = 0 하나가 0 0
평행하면 됩니다
62강 심화 6에서 벡터에 나눗셈을 정의할 수 없다고 한 이유가 여기서도 드러납니다. 항등원이 없으므로 역원을 말할 수도 없습니다.
심화 2. 삼중 외적 공식 a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b )
풀이. 성분으로 전개하면 확인됩니다. 첫 성분만 봅니다. b × c b × c ( p , q , r ) ( p , q , r )
[ a × ( b × c ) ] 1 = a 2 r − a 3 q = a 2 ( b 1 c 2 − b 2 c 1 ) − a 3 ( b 3 c 1 − b 1 c 3 ) [ a × ( b × c ) ] 1 = a 2 r − a 3 q = a 2 ( b 1 c 2 − b 2 c 1 ) − a 3 ( b 3 c 1 − b 1 c 3 )
정리하면
= b 1 ( a 2 c 2 + a 3 c 3 ) − c 1 ( a 2 b 2 + a 3 b 3 ) = b 1 ( a 2 c 2 + a 3 c 3 ) − c 1 ( a 2 b 2 + a 3 b 3 )
입니다. 여기에 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1
= b 1 ( a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 ) − c 1 ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) = b 1 ( a ⋅ c ) − c 1 ( a ⋅ b ) = b 1 ( a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 ) − c 1 ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) = b 1 ( a ⋅ c ) − c 1 ( a ⋅ b )
입니다. 나머지 성분도 같습니다. 검산에서 임의의 세 벡터로 확인됩니다.
기억법 은 오른쪽의 모양을 읽는 것입니다.
a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b )
영어권에서는 오른쪽을 읽어 **"BAC 빼기 CAB"**라 부릅니다. 우리말로는 **"안쪽 괄호의 두 벡터가 앞에 나오고, 바깥 벡터와의 내적이 뒤에 붙으며, 가운데 것이 먼저"**로 기억하면 됩니다.
이 공식의 값어치는 외적을 내적으로 바꿔 준다 는 데 있습니다. 외적이 두 번 겹치면 다루기 어려운데, 이 공식을 쓰면 내적만 남아 계산이 쉬워집니다.
문제 4에서 본 벡터 정사영과의 관계도 흥미롭습니다. a a
a × ( v × a ) = v − a ( a ⋅ v ) = v − a v a × ( v × a ) = v − a ( a ⋅ v ) = v − p r o j a v
입니다. 외적을 두 번 하면 정사영의 나머지가 나옵니다. 64강에서 뺄셈으로 얻은 수직 성분을 외적으로도 얻을 수 있습니다.
심화 3. 외적이 삼차원에서만 정의되는 이유를 설명하세요.
풀이. 문제 1의 유도를 다시 봅니다. **"두 벡터에 모두 수직인 벡터"**를 찾는 문제였고, 미지수가 n n 2 2
해의 자유도 = n − 2 해의 자유도 = n − 2
n n 자유도
결과
2 2 0 0 영벡터뿐입니다
3 3 1 1 방향이 하나로 정해집니다
4 4 2 2 수직인 방향이 평면을 이룹니다
n ≥ 4 n ≥ 4 n − 2 n − 2 하나를 고를 근거가 없습니다
n = 3 n = 3
일반화하는 방법이 없지는 않습니다.
대안
내용
n − 1 n − 1 R n R n n − 1 n − 1
쐐기곱
결과가 벡터가 아니라 이차 형식이 됩니다
칠차원 외적
팔원수를 이용해 n = 7 n = 7
첫 줄이 자연스러운 일반화 입니다. 삼차원에서 두 개, 사차원에서 세 개를 주면 수직 방향이 하나로 정해집니다. 이 관점에서 보면 외적은 "n − 1 n − 1
두 번째 줄은 미분기하와 물리학의 표준 도구입니다. 쐐기곱 u ∧ v u ∧ v 차원이 올라가면 평면과 법선의 대응이 깨져 쐐기곱만 남습니다.
세 번째 줄은 62강 심화 6에서 본 팔원수와 이어집니다. 나눗셈 대수가 n = 1 , 2 , 4 , 8 n = 1 , 2 , 4 , 8 n = 3 , 7 n = 3 , 7
심화 4. 꼬인 위치에 있는 두 직선 사이의 거리를 구하세요.
풀이. 두 직선을
L 1 : r 1 = P 1 + s d 1 , L 2 : r 2 = P 2 + t d 2 L 1 : r 1 = P 1 + s d 1 , L 2 : r 2 = P 2 + t d 2
라 하고 평행하지 않다고 합시다(d 1 × d 2 ≠ 0 d 1 × d 2 = 0
두 직선에 모두 수직인 방향 이 필요합니다. 외적이 정확히 그것을 줍니다.
n = d 1 × d 2 n = d 1 × d 2
이제 두 직선 위의 아무 점을 하나씩 잡아 잇고, 그 벡터를 n n
거리 = ∣ n ( P 2 − P 1 ) ∣ = ∣ ( P 2 − P 1 ) ⋅ ( d 1 × d 2 ) ∣ ∥ d 1 × d 2 ∥ 거리 = ∣ c o m p n ( P 2 − P 1 ) ∣ = ∥ d 1 × d 2 ∥ ∣ ( P 2 − P 1 ) ⋅ ( d 1 × d 2 ) ∣
어느 점을 잡아도 답이 같습니다. 다른 점을 잡으면 P 2 − P 1 P 2 − P 1 d 1 d 1 d 2 d 2 n n
분자가 스칼라 삼중곱이라는 점도 눈여겨보십시오. 문제 5에서 본 부피이며, P 2 − P 1 P 2 − P 1 d 1 d 1 d 2 d 2
검산에서 x x y = 1 y = 1 z z n = ( 0 , − 1 , 0 ) n = ( 0 , − 1 , 0 ) 1 1
삼중곱이 0 0 0 0 두 직선이 만납니다. 세 벡터가 공면이라는 뜻이며, 문제 5의 판정이 여기서 쓰입니다.
심화 5. 외적을 행렬식으로 적는 표현이 왜 정당한지 설명하세요.
풀이. 78강에서 행렬식을 정식으로 배우지만, 여기서는 3 × 3 3 × 3
∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ = a 1 ( b 2 c 3 − b 3 c 2 ) − a 2 ( b 1 c 3 − b 3 c 1 ) + a 3 ( b 1 c 2 − b 2 c 1 ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = a 1 ( b 2 c 3 − b 3 c 2 ) − a 2 ( b 1 c 3 − b 3 c 1 ) + a 3 ( b 1 c 2 − b 2 c 1 )
첫 행을 따라 전개한 것입니다. 괄호 안을 보면 정확히 b × c b × c 입니다. 그러므로
∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ = a ⋅ ( b × c ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = a ⋅ ( b × c )
입니다. 행렬식이 스칼라 삼중곱입니다.
여기서 첫 행에 a a
u × v = ∣ i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 ∣ u × v = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i u 1 v 1 j u 2 v 2 k u 3 v 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
전개하면 i i u 2 v 3 − u 3 v 2 u 2 v 3 − u 3 v 2
엄밀히 말하면 이것은 행렬식이 아닙니다. 첫 행이 수가 아니라 벡터이기 때문입니다. 그럼에도 이 표기가 널리 쓰이는 이유는 기억하기 쉽고 결과가 맞기 때문 입니다. 계산 규칙을 형식적으로 빌려 온 기억법으로 이해하면 됩니다.
78강과 79강에서 행렬식의 성질을 배우면 외적의 성질이 자동으로 설명됩니다.
외적의 성질
행렬식의 성질
반교환
두 행을 바꾸면 부호가 뒤집힙니다
\mathbf{u}\times\mathbf{u}=\mathbf
같은 행이 둘이면 0 0
분배
한 행에 대해 선형입니다
삼중곱 = 0 = 0
행렬식이 0 0
네 성질이 모두 행렬식에서 나옵니다. 79강에서 "행렬식은 부피"라고 배울 때 이 표를 다시 보면 좋습니다.
심화 6. 외적이 물리학에서 어떤 양을 나타내는지 정리하고, 왜 벡터 결과가 필요한지 설명하세요.
풀이. 외적으로 정의되는 물리량들을 봅니다.
양
정의
뜻
토크
\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf
회전시키는 능력
각운동량
\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf
회전 운동량
로렌츠 힘
\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf
자기장 속 전하가 받는 힘
면적 속도
\frac12\mathbf{r}\times\mathbf
케플러 제2법칙
공통점은 "회전"입니다. 회전에는 축이 있고 축은 방향을 가지므로, 결과가 벡터여야 그 정보를 담을 수 있습니다.
왜 스칼라로는 부족한지 를 토크로 봅니다. 힘의 크기와 팔의 길이만 알면 회전의 세기는 알 수 있지만, 어느 축을 중심으로 도는지 는 모릅니다. 문을 밀 때 경첩을 축으로 도는 것과 문 자체를 비트는 것은 전혀 다른 일입니다.
외적의 크기 공식도 물리적으로 읽힙니다.
∥ r × F ∥ = ∥ r ∥ ∥ F ∥ sin θ ∥ r × F ∥ = ∥ r ∥ ∥ F ∥ sin θ
힘 중에서 팔에 수직인 성분만 회전에 기여합니다. 팔 방향으로 미는 힘은 문을 돌리지 못하고, 그때 sin θ = 0 sin θ = 0 0 0 F ⋅ d F ⋅ d 나란한 성분 만 세는 것과 정확히 반대입니다.
양
쓰는 연산
세는 성분
일
내적
나란한 성분
토크
외적
수직인 성분
같은 두 벡터에서 서로 보완적인 정보를 뽑습니다. 라그랑주 항등식이 두 정보를 합치면 길이의 곱이 된다는 것을 말해 주므로, 내적과 외적이 함께 있어야 두 벡터의 관계가 완전히 기술됩니다.
한 가지 주의할 점이 있습니다. 외적으로 만든 양은 좌표계를 거울에 비추면 부호가 뒤집힙니다. 보통의 벡터와 달리 이런 성질을 가지는 것을 유사벡터라 하며, 오른손 규칙이라는 임의의 약속이 들어갔기 때문입니다. 물리학에서 반전 대칭을 논할 때 이 구별이 중요해집니다.
이 강의에서는 numpy만 씁니다. 외적은 np.cross로 계산되지만 정의대로 손으로 만든 것과 대조 해 공식을 확인합니다. 성질은 여러 벡터에서 검사합니다.
import numpy as np
u = np.array([1.0, 2.0, 3.0]); v = np.array([4.0, 5.0, 6.0])
# --- 문제 1: 외적과 수직성 ----------------------------------------------
c = np.cross(u, v)
print(c.tolist(), float(c @ u), float(c @ v)) # [-3.0, 6.0, -3.0] 0.0 0.0
manual = np.array([u[1]*v[2]-u[2]*v[1], u[2]*v[0]-u[0]*v[2], u[0]*v[1]-u[1]*v[0]])
print(bool(np.allclose(c, manual))) # True
# --- 문제 2: 성질 -------------------------------------------------------
print(bool(np.allclose(np.cross(v, u), -c))) # True
print(bool(np.allclose(np.cross(u, u), np.zeros(3)))) # True
w = np.array([2.0, -1.0, 1.0])
print(bool(np.allclose(np.cross(u, v + w), np.cross(u, v) + np.cross(u, w))))
# True
nu = float(np.linalg.norm(u)); nv = float(np.linalg.norm(v))
ct = float(u @ v)/(nu*nv); st = float(np.sqrt(1 - ct**2))
print("%.8f %.8f" % (float(np.linalg.norm(c)), nu*nv*st))
# 7.34846923 7.34846923
print("%.8f %.8f" % (float(np.linalg.norm(c)**2 + (u @ v)**2), (nu*nv)**2))
# 1078.00000000 1078.00000000 (라그랑주 항등식)
# --- 문제 4: 점과 평면 사이의 거리 --------------------------------------
n = np.array([1.0, 2.0, 2.0]); A = np.array([6.0, 0.0, 0.0]); P = np.array([1.0, 1.0, 1.0])
print("%.8f" % (abs(float((P - A) @ n))/float(np.linalg.norm(n)))) # 0.33333333
print("%.8f" % (abs(1 + 2 + 2 - 6)/3.0)) # 0.33333333
# --- 문제 5: 스칼라 삼중곱과 부피 ---------------------------------------
e = np.eye(3)
print(float(e[0] @ np.cross(e[1], e[2]))) # 1.0
a = np.array([1.0,2.0,3.0]); b = np.array([4.0,5.0,6.0]); d = np.array([7.0,8.0,9.0])
print("%.6e" % float(a @ np.cross(b, d))) # 0.000000e+00 (공면)
a2 = np.array([1.0,0.0,0.0]); b2 = np.array([1.0,2.0,0.0]); d2 = np.array([1.0,1.0,3.0])
print(float(a2 @ np.cross(b2, d2)), float(np.linalg.det(np.array([a2, b2, d2]))))
# 6.0 6.0 (삼중곱 = 행렬식)
# --- 심화 1: 결합법칙이 성립하지 않습니다 -------------------------------
lhs = np.cross(np.cross(e[0], e[0]), e[1]); rhs = np.cross(e[0], np.cross(e[0], e[1]))
print(lhs.tolist(), rhs.tolist()) # [0.0, 0.0, 0.0] [0.0, -1.0, 0.0]
jac = np.cross(u, np.cross(v, w)) + np.cross(v, np.cross(w, u)) + np.cross(w, np.cross(u, v))
print(["%.3e" % z for z in jac]) # ['0.000e+00', '0.000e+00', '0.000e+00']
# --- 심화 2: BAC-CAB --------------------------------------------------
print(bool(np.allclose(np.cross(u, np.cross(v, w)), v*float(u @ w) - w*float(u @ v))))
# True
# --- 심화 4: 두 직선 사이의 거리 ----------------------------------------
P1 = np.zeros(3); d1 = np.array([1.0,0.0,0.0])
P2 = np.array([0.0,1.0,0.0]); d2 = np.array([0.0,0.0,1.0])
nn = np.cross(d1, d2)
print(nn.tolist(), "%.8f" % (abs(float((P2 - P1) @ nn))/float(np.linalg.norm(nn))))
# [0.0, -1.0, 0.0] 1.00000000
실행하면 주석과 같은 값이 나옵니다. 다섯 곳을 짚어 둡니다.
첫째, 외적이 두 벡터 모두와 내적이 **정확히 0 0 np.cross가 같은 값을 줍니다. 문제 1의 유도가 확인됩니다.
둘째, 라그랑주 항등식이 정확합니다. ∥ u × v ∥ 2 + ( u ⋅ v ) 2 ∥ u × v ∥ 2 + ( u ⋅ v ) 2 ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 1078 1 0 7 8 내적과 외적이 정보를 나눠 가지고 합치면 온전해진다 는 것이 이 한 줄에 담겨 있습니다. 외적의 크기 7.34846923 7 . 3 4 8 4 6 9 2 3 ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ
셋째, 점-평면 거리가 두 방법으로 1 3 3 1 64강에서 미룬 공식이 완성되었습니다.
넷째, 삼중곱이 세 가지를 보여 줍니다. 단위정육면체에서 1 1 ( 1 , 2 , 3 ) , ( 4 , 5 , 6 ) , ( 7 , 8 , 9 ) ( 1 , 2 , 3 ) , ( 4 , 5 , 6 ) , ( 7 , 8 , 9 ) 0 0 6 6
다섯째, 심화 1의 반례가 명확합니다. ( e 1 × e 1 ) × e 2 = 0 ( e 1 × e 1 ) × e 2 = 0 e 1 × ( e 1 × e 2 ) = − e 2 e 1 × ( e 1 × e 2 ) = − e 2 결합법칙이 확실히 깨집니다. 반면 야코비 항등식은 세 성분이 모두 정확히 0 0
코드로 할 수 없는 일도 분명히 해 둡니다. 성질을 몇 개의 벡터에서 확인한 것은 증명이 아닙니다. 특히 라그랑주 항등식과 BAC-CAB는 모든 벡터에 대한 주장이므로 성분 전개가 필요합니다. 그리고 심화 3의 "삼차원에서만 정의된다"는 주장은 자유도를 세는 논증이지 계산으로 확인할 수 있는 것이 아닙니다.
외적의 정의를 성분으로 쓰세요.
외적이 두 벡터에 수직인 이유를 쓰세요.
외적의 크기가 뜻하는 것을 쓰세요.
라그랑주 항등식을 쓰세요.
외적이 만족하지 않는 성질을 쓰고 대신 성립하는 항등식을 말하세요.
직선의 매개변수형과 대칭형을 쓰세요.
평면의 방정식을 내적으로 쓰고 계수가 무엇인지 말하세요.
점과 평면 사이의 거리 공식을 쓰세요.
스칼라 삼중곱이 뜻하는 것과 0 0
외적이 삼차원에서만 정의되는 이유를 쓰세요.
정답.
( u 2 v 3 − u 3 v 2 , u 3 v 1 − u 1 v 3 , u 1 v 2 − u 2 v 1 ) ( u 2 v 3 − u 3 v 2 , u 3 v 1 − u 1 v 3 , u 1 v 2 − u 2 v 1 ) 두 내적이 0 0
두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이이며 ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ
∥ u × v ∥ 2 + ( u ⋅ v ) 2 = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 ∥ u × v ∥ 2 + ( u ⋅ v ) 2 = ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 결합법칙입니다. 대신 야코비 항등식이 성립합니다.
r = A + t d r = A + t d x − a 1 d 1 = y − a 2 d 2 = z − a 3 d 3 d 1 x − a 1 = d 2 y − a 2 = d 3 z − a 3 ( P − A ) ⋅ n = 0 ( P − A ) ⋅ n = 0 ∣ ( P − A ) ⋅ n ∣ ∥ n ∥ ∥ n ∥ ∣ ( P − A ) ⋅ n ∣ 평행육면체의 부호 있는 부피이며 0 0
두 벡터에 수직인 방향의 자유도가 n − 2 n − 2 n = 3 n = 3 1 1
기호
읽는 법
뜻
\mathbf{u}\times\mathbf
외적, 벡터곱
두 벡터에 수직인 벡터입니다
[ a , b , c ] [ a , b , c ] 스칼라 삼중곱
a ⋅ ( b × c ) a ⋅ ( b × c )
\mathbf
법선벡터
평면에 수직인 벡터입니다
\mathbf
방향벡터
직선을 따라가는 벡터입니다
오른손 규칙
right-hand rule
외적의 방향을 정하는 약속입니다
라그랑주 항등식
Lagrange identity
내적과 외적을 잇습니다
야코비 항등식
Jacobi identity
결합법칙을 대신합니다
유사벡터
pseudovector
거울에 비추면 부호가 뒤집힙니다
이 강의로 01단원 벡터와 기하가 끝납니다. 62강에서 벡터와 두 연산을, 63강에서 내적과 각도를, 64강에서 정사영과 최소 거리를, 여기서 외적과 도형의 방정식을 세웠습니다. 네 강의가 모두 "성분으로 계산하고 기하로 읽는" 훈련이었습니다.
다음 02단원에서는 여러 개의 일차방정식을 한꺼번에 다룹니다. 이 단원에서 평면 하나를 방정식 하나로 적었는데, 평면 여럿이 만나는 곳을 찾는 것이 연립일차방정식입니다. 66강의 행렬은 그 방정식들을 정리하는 표이고, 67강의 가우스 소거법이 푸는 절차이며, 그 과정에서 행렬이 숫자 표가 아니라 공간을 옮기는 변환 이라는 이 과목의 중심 관점이 세워집니다.