84강부터 89강까지의 내용을 섞어 묻는 48문항입니다. 강의를 모두 읽은 뒤 손으로 풀어야 이 단원이 끝납니다.
푸는 방법. 강의를 다시 보지 않고 먼저 풉니다. 막히면 어느 강의로 돌아가야 하는지 스스로 판단한 뒤 그 강의만 다시 읽습니다. 어디로 돌아가야 할지 모르는 것이 진짜 막힌 것입니다.
통과선은 43문항입니다. 87강의 양정치성이 205강 이후 최적화 전체의 기초이고, 88강의 특이값이 91강의 조건수로 바로 이어지므로 기준을 높게 둡니다.
| 구하려는 것 | 쓸 도구 | 강의 |
|---|---|---|
| 고유값 (손계산) | 특성방정식 | 84 |
| 고유값 (코드) | QR 알고리즘 (eig) |
84 |
| 대칭 고유분해 | eigh |
86 |
| 고유벡터 | 의 영공간 | 84 |
| 대각화 가능 여부 | 기하적 중복도의 합 | 85 |
| , | V f(\Lambda)V^ | 85 |
| 이차형식의 부호 | 고유값, 주소행렬식, 콜레스키 | 87 |
| 임계점 분류 | 헤세의 부호 | 87 |
| 계수·노름·조건수 | 특이값 | 88 |
| 의사역행렬 | V\Sigma^{+}U^ | 88 |
| 최선의 저계수 근사 | 상위 개 특이값 | 88 |
| 분산이 큰 방향 | 중심화 후 SVD | 89 |
첫째, 정의와 계산법이 다릅니다. 고유값은 특성방정식으로 정의되지만 QR 알고리즘으로 계산하고, 특이값은 로 정의되지만 에 직접 계산합니다. 조건수가 제곱되거나 다항식 근이 불안정하기 때문입니다.
둘째, "정확히 인가"는 부동소수점에서 물을 수 없습니다. 결손 판정, 양정치 판정, 계수 판정이 모두 문턱 문제이며 그 선택이 사람의 판단입니다.
셋째, 주성분분석은 척도에 민감합니다. 단위를 바꾸면 결과가 완전히 달라지고, 표준화는 중립이 아니라 "모든 변수가 똑같이 중요하다"는 가정입니다.
문제 1. 고유값과 고유벡터의 정의를 쓰세요.
답. 이고 입니다.
문제 2. 조건이 필요한 이유를 쓰세요.
답. 영벡터를 허용하면 모든 수가 고유값이 되기 때문입니다.
문제 3. 특성방정식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 4. 의 특성방정식을 두 불변량으로 쓰세요.
답. 입니다.
문제 5. 의 고유값을 구하세요.
답. , 이므로 입니다.
문제 6. 고유공간의 정의와 두 중복도의 관계를 쓰세요.
답. 이며 기하적 중복도가 대수적 이하입니다.
문제 7. 고유값의 합과 곱이 무엇입니까?
답. 각각 대각합과 행렬식입니다.
문제 8. 이 고유값인 조건을 쓰세요.
답. 가 특이한 것입니다.
문제 9. 회전행렬의 고유값과 그 뜻을 쓰세요.
답. 이며 실수 고유값이 없습니다. 어떤 방향도 제자리로 오지 않습니다.
문제 10. 대각화의 정의와 핵심 등식을 쓰세요.
답. 이며 핵심 등식은 입니다.
문제 11. 대각화 가능 조건을 쓰세요.
답. 기하적 중복도의 합이 입니다.
문제 12. 고유값이 중복이면 반드시 불가능합니까?
답. 아닙니다. 처럼 중복이어도 대각화됩니다.
문제 13. 멱영이면서 영행렬이 아니면 왜 대각화가 안 됩니까?
답. 대각화되면 이라 이 되어 모순입니다.
문제 14. 결손 행렬의 거듭제곱이 어떻게 됩니까?
답. 블록 크기가 이면 로 지수에 다항식이 곱해집니다.
문제 15. 스펙트럼 정리를 쓰세요.
답. 실대칭행렬은 으로 직교 대각화됩니다.
문제 16. 고유값이 실수임을 보이는 핵심 식을 쓰세요.
답. 이며 분자와 분모가 실수입니다.
문제 17. 직교성 증명의 핵심 등식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 18. 자기수반 성질을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 19. 사영 형태의 분해와 완비성을 쓰세요.
답. 이고 입니다.
문제 20. 를 쓰고 그 의미를 쓰세요.
답. 이며 오차가 증폭되지 않습니다.
문제 21. 바일 부등식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 22. 레일리 몫의 범위를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 23. 중복 고유값의 고유벡터를 어떻게 직교로 만듭니까?
답. 그 고유공간 안에서 그람슈미트를 적용합니다.
문제 24. 의 대칭행렬을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 25. 반대칭 부분이 이차형식에 기여하지 않는 이유를 쓰세요.
답. 가 자기 자신의 음수라 입니다.
문제 26. 양정치의 고유값 조건과 가역성을 쓰세요.
답. 모든 고유값이 양수이며 이 고유값이 아니라 가역입니다.
문제 27. 실베스터 판정법과 조건을 쓰세요.
답. 모든 선행 주소행렬식이 양수이며 에서는 이고 입니다.
문제 28. 양반정치에 선행 주소행렬식을 쓸 수 없는 이유를 쓰세요.
답. 처럼 반례가 있기 때문입니다.
문제 29. 주축과 반축의 길이를 쓰세요.
답. 고유벡터 방향이며 길이가 입니다.
문제 30. 헤세로 임계점을 네 경우로 분류하세요.
답. 양정치면 극소, 음정치면 극대, 부정부호면 안장점, 반정치면 판정 불가입니다.
문제 31. 특이값의 정의와 실수인 근거를 쓰세요.
답. 고유값의 음이 아닌 제곱근이며, 그 행렬이 양반정치라 실수입니다.
문제 32. 와 의 고유값 관계를 쓰세요.
답. 이 아닌 것이 같고 의 개수만 다릅니다.
문제 33. SVD의 형태와 존재 조건을 쓰세요.
답. 이며 모든 행렬에 존재합니다.
문제 34. 의 크기를 쓰세요.
답. 와 같은 입니다.
문제 35. 핵심 관계식을 쓰고 고유값 방정식과 비교하세요.
답. 이며 방향이 바뀌고 기저가 둘입니다.
문제 36. 계수를 특이값으로 쓰세요.
답. 이 아닌 특이값의 개수입니다.
문제 37. 네 부분공간의 기저를 어디서 읽습니까?
답. 의 앞뒤 열이 행공간과 영공간, 의 앞뒤 열이 열공간과 좌영공간입니다.
문제 38. 두 노름과 조건수를 특이값으로 쓰세요.
답. , , 입니다.
문제 39. 를 로 쓰고 그 함의를 쓰세요.
답. 이며 정규방정식이 조건수를 제곱하는 이유입니다.
문제 40. 의사역행렬을 SVD로 쓰세요.
답. 이며 은 그대로 입니다.
문제 41. 에카르트-영 정리를 쓰세요.
답. 계수 이하의 최선 근사가 상위 개 항의 합이며 오차가 입니다.
문제 42. 단위구가 무엇으로 갑니까?
답. 반축이 인 타원체입니다.
문제 43. 중심화를 정사영으로 쓰고 왜 필요한지 쓰세요.
답. 이며 안 하면 첫 성분이 평균 방향을 가리킵니다.
문제 44. 첫 주성분이 무엇을 최대화하고 총분산이 무엇입니까?
답. 사영한 데이터의 분산을 최대화하며 총분산은 입니다.
문제 45. SVD의 특이값과 주성분 분산의 관계, 그리고 공분산을 만들지 않는 이유를 쓰세요.
답. 이며 공분산을 만들면 조건수가 제곱됩니다.
문제 46. 재구성 오차를 고유값으로 쓰고 두 관점을 쓰세요.
답. 이며 분산 최대화와 오차 최소화가 같은 문제입니다.
문제 47. 척도를 바꾸면 공분산이 어떻게 변하고 왜 고유값이 안 보존됩니까?
답. 로 합동변환되며 합동은 부호만 보존하기 때문입니다.
문제 48. 표준화가 무엇을 가정하고 어떤 대가를 치릅니까?
답. 모든 변수가 똑같이 중요하다고 가정하며, 잡음 변수도 분산 이 되어 신호와 같은 비중을 갖습니다.
43문항 이상 맞았으면 07단원으로 넘어갑니다. 그렇지 않으면 아래 표를 보고 해당 강의로 돌아갑니다.
| 틀린 문항 | 돌아갈 곳 |
|---|---|
| 1~9 | 84강 고유값과 고유벡터 |
| 10~14 | 85강 대각화 |
| 15~23 | 86강 대칭행렬과 스펙트럼 정리 |
| 24~30 | 87강 이차형식과 양정치성 |
| 31~42 | 88강 특이값 분해 |
| 43~48 | 89강 저계수 근사와 주성분분석 |
특히 다음 세 문항을 틀렸다면 반드시 돌아가야 합니다.
| 문항 | 왜 중요한가 |
|---|---|
| 15 | 스펙트럼 정리가 87강과 88강의 토대입니다 |
| 30 | 최적화 전체가 이 판정 위에 세워집니다 |
| 39 | 왜 정규방정식 대신 QR을 쓰는지의 근거입니다 |