90강부터 92강까지의 내용을 섞어 묻는 48문항입니다. 강의를 모두 읽은 뒤 손으로 풀어야 이 단원이 끝납니다.
푸는 방법. 강의를 다시 보지 않고 먼저 풉니다. 막히면 어느 강의로 돌아가야 하는지 스스로 판단한 뒤 그 강의만 다시 읽습니다. 어디로 돌아가야 할지 모르는 것이 진짜 막힌 것입니다.
통과선은 43문항입니다. 이 단원이 S4를 닫으며, 여기서 세운 판단 기준이 S5 이후 모든 수치 계산에 쓰입니다.
| 구하려는 것 | 쓸 도구 | 강의 |
|---|---|---|
| 벡터의 크기 | 상황에 맞는 -노름 | 90 |
| 행렬이 얼마나 늘이는가 | 유도 노름 | 90 |
| , \lVert A\rVert_ | 열·행 절댓값 합의 최댓값 | 90 |
| \lVert A\rVert_ | \sigma_ | 90 |
| 거듭제곱의 장기 거동 | 스펙트럼 반지름 | 90 |
| 답을 믿을지 판단 | 조건수 | 91 |
| 유효 자릿수 | 91 | |
| 알고리즘 문제인지 판단 | 잔차(후방 오차) | 91 |
| 작은 차를 안전하게 | 식을 다시 씁니다 | 92 |
| 긴 합 | 쌍대합, 카한 | 92 |
| 큰 값의 노름·지수 | 척도 조정 | 92 |
첫째, 스펙트럼 반지름은 노름이 아닙니다. 멱영행렬에서 인데 노름이 양수입니다. 이라고 안심하면 중간에 크게 부풀 수 있습니다.
둘째, 잔차가 작아도 해가 정확한 것이 아닙니다. 오차가 잔차의 배까지 갑니다. 게다가 잔차 계산 자체가 상쇄를 겪을 수 있습니다.
셋째, 라이브러리도 실패합니다. np.linalg.norm이 에서 inf를 냅니다. 참값이 표현 범위 안인데도 그렇습니다.
문제 1. 의 세 노름을 구하세요.
답. , , 입니다.
문제 2. -노름의 정의를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 3. 의 극한과 그 이유를 쓰세요.
답. 절댓값의 최댓값이며 가장 큰 성분이 지수적으로 지배하기 때문입니다.
문제 4. 노름의 세 공리를 쓰세요.
답. 양정치성, 동차성, 삼각부등식입니다.
문제 5. 내적에서 온 노름의 특징을 쓰세요.
답. 평행사변형 법칙을 만족합니다.
문제 6. 05단원의 이론이 에서만 성립하는 이유를 쓰세요.
답. 정사영과 직교가 내적을 전제하는데 만 내적에서 옵니다.
문제 7. 유한차원 노름의 동치성을 쓰세요.
답. 두 노름이 상수배 범위로 서로를 감싸며 상수가 규모입니다.
문제 8. 단위구의 모양과 그 함의를 쓰세요.
답. 마름모이며 꼭짓점이 축 위에 있어 해가 축에 붙기 쉽습니다.
문제 9. 유도 노름의 정의를 쓰세요.
답. 단위벡터를 가장 많이 늘이는 배율입니다.
문제 10. 의 과 를 구하세요.
답. 열 합이 이므로 이고, 행 합이 이므로 입니다.
문제 11. 와 를 특이값으로 쓰세요.
답. 과 입니다.
문제 12. 프로베니우스 노름이 유도가 아닌 증거를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 13. 일관성과 준곱셈성을 쓰세요.
답. 이고 입니다.
문제 14. 스펙트럼 반지름과 노름의 관계와 등호 조건을 쓰세요.
답. 이며 대칭이나 정규행렬이면 같습니다.
문제 15. 인데 위험한 경우를 쓰세요.
답. 결손이거나 비정규이면 이라 중간에 크게 부풀 수 있습니다.
문제 16. 겔판트 공식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 17. 조건수의 정의를 두 가지로 쓰세요.
답. 이고 에서는 입니다.
문제 18. 인 이유를 쓰세요.
답. 준곱셈성에서 입니다.
문제 19. 와 를 쓰세요.
답. 각각 와 입니다.
문제 20. 조건수의 기하적 뜻을 쓰세요.
답. 단위구가 옮겨간 타원체의 찌그러진 정도입니다.
문제 21. 행렬식이 작은 것과 조건이 나쁜 것이 다른 예를 드세요.
답. 는 인데 입니다.
문제 22. 오차 전파 부등식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 23. 그 유도의 두 단계를 쓰세요.
답. 와 를 곱합니다.
문제 24. 등호가 되는 두 방향을 쓰세요.
답. 가 , 섭동이 방향입니다.
문제 25. 그 상한이 최선인 이유를 쓰세요.
답. 실제로 달성되므로 더 줄일 수 없습니다.
문제 26. 특이까지의 거리를 쓰세요.
답. 이며 상대적으로는 입니다.
문제 27. 잔차와 오차의 관계를 쓰세요.
답. 오차가 잔차의 배 이내입니다.
문제 28. 후방 오차와 후방 안정을 쓰세요.
답. 계산 결과를 정확한 해로 갖는 섭동의 크기이며, 그것이 이면 후방 안정입니다.
문제 29. 전방 오차를 두 양의 곱으로 쓰세요.
답. 조건수 곱하기 후방 오차입니다.
문제 30. 유효 자릿수를 조건수로 어림하세요.
답. 약 자리입니다.
문제 31. 조건과 안정성을 구별하고 각각 고칠 수 있는지 쓰세요.
답. 조건은 문제의 성질이라 못 고치고, 안정성은 알고리즘의 성질이라 고칠 수 있습니다.
문제 32. 를 쓰고 함의를 쓰세요.
답. 이며 정규방정식 대신 QR을 쓰는 이유입니다.
문제 33. 이 부정확한 이유를 쓰세요.
답. 이진수로 순환소수이기 때문입니다.
문제 34. IEEE 754 배정밀도의 비트 구성을 쓰세요.
답. 부호 , 지수 , 가수 비트입니다.
문제 35. 의 정의와 값을 쓰세요.
답. 과 그다음 표현 가능한 수의 간격이며 입니다.
문제 36. 간격이 크기에 비례한다는 것의 뜻을 쓰세요.
답. 상대 정밀도가 일정합니다.
문제 37. 반올림의 모형을 쓰세요.
답. 이며 입니다.
문제 38. 파국적 상쇄를 정의하고 뺄셈의 역할을 쓰세요.
답. 비슷한 수를 빼서 유효숫자가 사라지는 현상이며, 뺄셈은 숨은 오차를 드러낼 뿐입니다.
문제 39. 와 를 안전하게 쓰세요.
답. 와 입니다.
문제 40. 와 을 어떻게 계산합니까?
답. log1p와 expm1을 씁니다.
문제 41. 근의 공식을 안전하게 고치는 방법을 쓰세요.
답. 부호를 맞춰 한 근을 구하고 로 나머지를 얻습니다.
문제 42. 잔차가 크면 언제나 답이 나쁩니까?
답. 아닙니다. 잔차 계산 자체가 상쇄를 겪을 수 있습니다.
문제 43. 큰 것부터 더하면 왜 잃습니까?
답. 합이 커져 간격이 벌어지면 작은 항이 사라집니다.
문제 44. 카한 합의 원리와 오차를 쓰세요.
답. 잃은 양을 기억해 보정하며 오차가 입니다.
문제 45.
np.sum이 파이썬 루프보다 정확한 이유를 쓰세요.
답. 쌍대합을 써서 오차가 입니다.
문제 46. 노름과 로그-합-지수의 척도 조정을 쓰세요.
답. 최댓값으로 나누고, 지수에서는 최댓값을 뺀 뒤 되돌립니다.
문제 47. 넘침과 밑넘침 중 어느 것이 위험하고 왜 그렇습니까?
답. 밑넘침입니다. 조용히 이 되어 정상처럼 보입니다.
문제 48. 결합법칙이 깨지는 예와 그 실무적 함의를 쓰세요.
답. 이지만 입니다. 병렬 계산에서 합의 순서가 바뀌면 결과가 달라져 재현성이 깨집니다.
43문항 이상 맞았으면 S4가 완결됩니다. 그렇지 않으면 아래 표를 보고 해당 강의로 돌아갑니다.
| 틀린 문항 | 돌아갈 곳 |
|---|---|
| 1~16 | 90강 벡터 노름과 행렬 노름 |
| 17~32 | 91강 조건수와 오차 증폭 |
| 33~48 | 92강 부동소수점과 안전한 계산 |
특히 다음 세 문항을 틀렸다면 반드시 돌아가야 합니다.
| 문항 | 왜 중요한가 |
|---|---|
| 27 | 잔차만 보고 판단하는 습관을 막습니다 |
| 31 | 문제를 진단하는 순서가 여기서 정해집니다 |
| 38 | 이 과목에서 여덟 번 나온 실패의 공통 원인입니다 |
62강에서 벡터를 정의하고 시작해 92강까지 왔습니다. 다음은 93강 S5 다변수 미적분과 최적화이며, 120강 뒤에 관문 3이 62강부터 120강까지를 섞어 묻습니다.