이 문제집은 1단원 세 강의(벡터와 연산 / 벡터공간과 부분공간 / 일차독립, 기저, 차원)의 내용을 본문보다 한 단계 어렵게 훈련하기 위한 것입니다. 각 문제는 난이도(기초·표준·심화)를 표시했고, 답과 단계별 풀이를 함께 실었습니다. 손으로 풀 때는 답을 가리고 풀이의 중간식을 스스로 재현해 보시기 바랍니다.
문제 1. (기초) u=⎣⎢⎡3−12⎦⎥⎤, v=⎣⎢⎡−241⎦⎥⎤의 내적을 구하십시오. 답.−8입니다. 풀이.u⋅v=3⋅(−2)+(−1)⋅4+2⋅1=−6−4+2=−8입니다.
문제 2. (기초) v=⎣⎢⎡1−48⎦⎥⎤의 노름을 구하십시오. 답.9입니다. 풀이.∥v∥=12+(−4)2+82=1+16+64=81=9입니다.
문제 3. (기초) v=⎣⎢⎡2−21⎦⎥⎤를 정규화하십시오. 답.⎣⎢⎡2/3−2/31/3⎦⎥⎤입니다. 풀이. 노름은 4+4+1=9=3이므로 각 성분을 3으로 나눕니다. 검산하면 (2/3)2+(−2/3)2+(1/3)2=94+4+1=1이라 단위벡터입니다.
문제 4. (표준) u=⎣⎢⎡k2−1⎦⎥⎤가 v=⎣⎢⎡3k5⎦⎥⎤와 직교하도록 k를 구하십시오. 답.k=1입니다. 풀이. 직교 조건 u⋅v=0은 3k+2k+(−1)⋅5=5k−5=0이므로 k=1입니다. 검산하면 3⋅1+2⋅1−1⋅5=3+2−5=0입니다.
문제 5. (표준) u=⎣⎢⎡10−1⎦⎥⎤와 v=⎣⎢⎡110⎦⎥⎤ 사이의 각도를 구하십시오. 답.60∘입니다. 풀이.u⋅v=1+0+0=1, ∥u∥=2, ∥v∥=2입니다. 따라서 cosθ=2⋅21=21이고 θ=60∘입니다.
문제 6. (표준) u=[23]를 v=[4−1] 방향으로 사영한 벡터를 구하십시오. 답.[20/17−5/17]입니다. 풀이. 사영은 projvu=v⋅vu⋅vv입니다. u⋅v=8−3=5, v⋅v=16+1=17이므로 175[4−1]=[20/17−5/17]입니다.
문제 7. (표준) v=⎣⎢⎡a11⎦⎥⎤의 노름이 3이 되는 a≥0을 구하십시오. 답.a=7입니다. 풀이.∥v∥2=a2+1+1=9이므로 a2=7입니다. a≥0이므로 a=7입니다.
문제 8. (표준) u=⎣⎢⎡221⎦⎥⎤, v=⎣⎢⎡034⎦⎥⎤ 사이 각도의 코사인 값을 구하십시오. 답.cosθ=32입니다. 풀이.u⋅v=0+6+4=10, ∥u∥=4+4+1=3, ∥v∥=0+9+16=5입니다. 따라서 cosθ=3⋅510=1510=32입니다.
문제 9. (표준) u=[12], v=[2−1]에 대해 삼각부등식 ∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥의 양변을 구해 비교하십시오. 답. 좌변 10≈3.16, 우변 25≈4.47로 진부등식입니다. 풀이.u+v=[31]이므로 좌변은 9+1=10≈3.16입니다. ∥u∥=5, ∥v∥=5이므로 우변은 25≈4.47입니다. u⋅v=2−2=0으로 두 벡터가 평행이 아니므로 등호가 아닌 진부등식이 성립합니다.
문제 10. (심화) u=⎣⎢⎡122⎦⎥⎤, v=⎣⎢⎡236⎦⎥⎤에서 코시-슈바르츠 부등식이 성립함을 수치로 확인하고 등호 여부를 판정하십시오. 답.∣u⋅v∣=20≤21=∥u∥∥v∥인 진부등식입니다. 풀이.u⋅v=2+6+12=20입니다. ∥u∥=1+4+4=3, ∥v∥=4+9+36=7이므로 우변은 21입니다. 20≤21이고, v가 u의 배수가 아니어서 평행이 아니므로 등호가 아닌 진부등식입니다.
문제 11. (심화) 두 단위벡터 u,v 사이 각도가 120∘일 때 ∥u+v∥을 구하십시오. 답.1입니다. 풀이.∥u+v∥2=∥u∥2+2(u⋅v)+∥v∥2입니다. 단위벡터이므로 ∥u∥=∥v∥=1이고 u⋅v=cos120∘=−21입니다. 따라서 ∥u+v∥2=1+2(−21)+1=1이라 ∥u+v∥=1입니다.
문제 12. (심화) ∥u∥=∥v∥이면 u+v와 u−v가 직교함을 보이십시오. 답. 내적이 ∥u∥2−∥v∥2=0이 되기 때문입니다. 풀이.(u+v)⋅(u−v)=u⋅u−u⋅v+v⋅u−v⋅v=∥u∥2−∥v∥2입니다. 대칭성으로 가운데 두 항이 상쇄됩니다. 두 노름이 같으면 이 값이 0이라 직교합니다. 기하적으로 마름모의 두 대각선이 직교한다는 사실입니다.
문제 13. (심화) 평행사변형 항등식 ∥u+v∥2+∥u−v∥2=2∥u∥2+2∥v∥2을 증명하십시오. 답. 두 노름 제곱을 전개해 더하면 교차항이 상쇄됩니다. 풀이.∥u+v∥2=∥u∥2+2(u⋅v)+∥v∥2이고 ∥u−v∥2=∥u∥2−2(u⋅v)+∥v∥2입니다. 두 식을 더하면 2(u⋅v) 항이 상쇄되어 2∥u∥2+2∥v∥2이 남습니다.
문제 14. (심화) 코시-슈바르츠 부등식을 이용해 임의의 실수 x,y,z에 대해 (x+y+z)2≤3(x2+y2+z2)임을 보이십시오. 답.u=⎣⎢⎡xyz⎦⎥⎤, v=⎣⎢⎡111⎦⎥⎤에 부등식을 적용하면 됩니다. 풀이.u⋅v=x+y+z이고 ∥u∥2=x2+y2+z2, ∥v∥2=3입니다. 코시-슈바르츠의 제곱꼴 (u⋅v)2≤∥u∥2∥v∥2에 대입하면 (x+y+z)2≤3(x2+y2+z2)입니다. 등호는 x=y=z일 때 성립합니다.
문제 15. (심화) 임의의 u,v에 대해 u⋅v=41(∥u+v∥2−∥u−v∥2)임을 보이십시오(편극 항등식). 답. 두 노름 제곱의 차에서 교차항만 살아남기 때문입니다. 풀이.∥u+v∥2=∥u∥2+2(u⋅v)+∥v∥2에서 ∥u−v∥2=∥u∥2−2(u⋅v)+∥v∥2을 빼면 4(u⋅v)이 남습니다. 양변을 4로 나누면 항등식을 얻습니다. 이는 노름만으로 내적을 복원할 수 있음을 뜻합니다.
문제 1. (기초) W={⎣⎢⎡xyz⎦⎥⎤:z=0}이 R3의 부분공간인지 판정하십시오. 답. 부분공간입니다. 풀이.0은 셋째 성분이 0이라 W에 속합니다. 셋째 성분이 0인 두 벡터의 합과 스칼라배도 셋째 성분이 0으로 유지되므로 세 조건을 모두 만족합니다. 이는 xy평면입니다.
문제 2. (기초) W={[xy]:x=2y}가 R2의 부분공간인지 판정하십시오. 답. 부분공간입니다. 풀이.0은 0=2⋅0을 만족합니다. x1=2y1, x2=2y2이면 x1+x2=2(y1+y2), cx1=2(cy1)이라 합과 스칼라배도 조건을 유지합니다. 원점을 지나는 직선이라 부분공간입니다.
문제 3. (표준) W={[xy]:x2=y2}이 R2의 부분공간인지 판정하십시오. 답. 부분공간이 아닙니다. 풀이.[11]과 [1−1]은 모두 x2=y2을 만족해 W에 있습니다. 그러나 합 [20]은 22=4=0=02이라 W에 없습니다. 덧셈에 닫혀 있지 않으므로 부분공간이 아닙니다.
문제 4. (표준) R3에서 W={⎣⎢⎡xyz⎦⎥⎤:x+y+z=0}의 생성 벡터 두 개를 구하십시오. 답.span⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡−110⎦⎥⎤,⎣⎢⎡−101⎦⎥⎤⎭⎪⎬⎪⎫입니다. 풀이.x=−y−z로 두면 ⎣⎢⎡xyz⎦⎥⎤=y⎣⎢⎡−110⎦⎥⎤+z⎣⎢⎡−101⎦⎥⎤입니다. y,z가 자유변수이므로 두 벡터가 이 평면을 생성합니다.
문제 5. (표준) ⎣⎢⎡123⎦⎥⎤이 span⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡110⎦⎥⎤,⎣⎢⎡011⎦⎥⎤⎭⎪⎬⎪⎫에 속하는지 판정하십시오. 답. 속하지 않습니다. 풀이.c1⎣⎢⎡110⎦⎥⎤+c2⎣⎢⎡011⎦⎥⎤=⎣⎢⎡c1c1+c2c2⎦⎥⎤=⎣⎢⎡123⎦⎥⎤은 c1=1, c2=3을 주지만 둘째 식은 c1+c2=4=2입니다. 모순이라 해가 없으므로 속하지 않습니다.
문제 6. (표준) A=[102131]의 영공간을 구하십시오. 답.Nul(A)=span⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡−1−11⎦⎥⎤⎭⎪⎬⎪⎫입니다. 풀이.x1+2x2+3x3=0, x2+x3=0에서 x3을 자유변수로 두면 x2=−x3, x1=−2(−x3)−3x3=−x3입니다. 따라서 x=x3⎣⎢⎡−1−11⎦⎥⎤입니다.
문제 7. (표준) A=[12−1−224]의 영공간의 차원을 구하십시오. 답.2입니다. 풀이. 둘째 행은 첫째 행의 2배라 조건은 x1−x2+2x3=0 하나뿐입니다. x2,x3이 자유변수이므로 x1=x2−2x3이고 x=x2⎣⎢⎡110⎦⎥⎤+x3⎣⎢⎡−201⎦⎥⎤입니다. 자유변수가 둘이라 차원 2입니다.
문제 8. (표준) ⎣⎢⎡333⎦⎥⎤이 A=⎣⎢⎡110011⎦⎥⎤의 열공간에 속하는지 판정하십시오. 답. 속하지 않습니다. 풀이.Col(A)=span⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡110⎦⎥⎤,⎣⎢⎡011⎦⎥⎤⎭⎪⎬⎪⎫입니다. c1⎣⎢⎡110⎦⎥⎤+c2⎣⎢⎡011⎦⎥⎤=⎣⎢⎡c1c1+c2c2⎦⎥⎤=⎣⎢⎡333⎦⎥⎤은 c1=3, c2=3을 주지만 둘째 식은 c1+c2=6=3이라 모순입니다. 해가 없으므로 속하지 않습니다.
문제 9. (표준) P2에서 W={p∈P2:p(1)=0}이 부분공간인지 판정하십시오. 답. 부분공간입니다. 풀이. 영다항식은 1에서 값이 0이라 W에 있습니다. p(1)=q(1)=0이면 (p+q)(1)=p(1)+q(1)=0, (cp)(1)=cp(1)=0이므로 두 연산에 닫혀 있습니다. 세 조건을 만족합니다.
문제 10. (표준) R4에서 W={⎣⎢⎢⎢⎡xyzw⎦⎥⎥⎥⎤:x+y=0,z=w}의 차원을 구하십시오. 답.2입니다. 풀이. 두 조건에서 y=−x, w=z이므로 x,z가 자유변수입니다. ⎣⎢⎢⎢⎡xyzw⎦⎥⎥⎥⎤=x⎣⎢⎢⎢⎡1−100⎦⎥⎥⎥⎤+z⎣⎢⎢⎢⎡0011⎦⎥⎥⎥⎤이라 생성 벡터가 둘이고, 두 벡터는 독립이라 차원 2입니다.
문제 11. (심화) 두 부분공간 U,W⊆V의 교집합 U∩W가 부분공간임을 보이십시오. 답. 세 조건이 양쪽에서 동시에 성립하므로 부분공간입니다. 풀이.0은 U에도 W에도 있으므로 U∩W에 있습니다. x,y∈U∩W이면 U가 부분공간이라 x+y∈U이고, W도 부분공간이라 x+y∈W이므로 합이 교집합에 있습니다. cx도 같은 이유로 양쪽에 있습니다. 세 조건을 만족합니다.
문제 12. (심화) Ax=b에서 b=0이면 그 해집합이 부분공간이 아님을 보이십시오. 답. 영벡터가 해가 아니기 때문입니다. 풀이.x=0을 넣으면 A0=0=b이므로 0은 해집합에 없습니다. 부분공간은 반드시 영벡터를 포함해야 하므로 이 해집합은 부분공간이 아닙니다. 다만 특수해 하나에 영공간을 더한 아핀 집합의 꼴을 가집니다.
문제 13. (심화) 2×2 실행렬 공간에서 대칭행렬 전체 W={A:A=AT}가 부분공간임을 보이고 차원을 구하십시오. 답. 부분공간이며 차원은 3입니다. 풀이. 영행렬은 대칭이라 W에 있습니다. A=AT, B=BT이면 (A+B)T=AT+BT=A+B, (cA)T=cAT=cA이라 두 연산에 닫혀 있습니다. 대칭행렬은 [abbd]로 자유 성분이 a,b,d 셋이므로 차원은 3입니다.
문제 14. (심화) 두 부분공간의 합집합 U∪W가 일반적으로 부분공간이 아님을 반례로 보이십시오. 답.R2의 두 좌표축의 합집합이 반례입니다. 풀이.U를 x축, W를 y축이라 하면 각각 부분공간입니다. [10]∈U, [01]∈W이지만 합 [11]은 어느 축에도 없어 U∪W에 없습니다. 덧셈에 닫혀 있지 않으므로 부분공간이 아닙니다.
문제 15. (심화) R2에서 U가 x축, W={[tt]:t∈R}일 때 U∩W를 구하십시오. 답.U∩W={0}입니다. 풀이.U의 원소는 [s0], W의 원소는 [tt]입니다. 두 꼴이 같으려면 둘째 성분에서 t=0이고 첫째 성분에서 s=t=0이어야 합니다. 따라서 교집합은 영벡터 하나뿐입니다.
문제 3. (표준) ⎣⎢⎡111⎦⎥⎤,⎣⎢⎡124⎦⎥⎤,⎣⎢⎡139⎦⎥⎤이 일차독립인지 판정하십시오. 답. 일차독립입니다. 풀이. 이 세 열을 나란히 둔 행렬의 행렬식은 노드 1,2,3의 판데르몬데 행렬식 (2−1)(3−1)(3−2)=1⋅2⋅1=2=0입니다. 행렬식이 0이 아니므로 세 벡터는 독립입니다.
문제 4. (표준) v=[51]의 기저 B={[11],[1−1]}에 대한 좌표 [v]B를 구하십시오. 답.[v]B=[32]입니다. 풀이.c1[11]+c2[1−1]=[51]은 c1+c2=5, c1−c2=1입니다. 더하면 2c1=6이라 c1=3, 따라서 c2=2입니다.
문제 5. (표준) span⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎡123⎦⎥⎤,⎣⎢⎡246⎦⎥⎤,⎣⎢⎡101⎦⎥⎤⎭⎪⎬⎪⎫의 차원을 구하십시오. 답.2입니다. 풀이. 둘째 벡터는 첫째의 2배라 새 방향을 더하지 않습니다. 남은 ⎣⎢⎡123⎦⎥⎤과 ⎣⎢⎡101⎦⎥⎤은 배수 관계가 아니라 독립이므로 이 둘이 기저가 되고 차원은 2입니다.
문제 9. (표준) 문제 8의 행렬 A에서 계수정리 rank(A)+dimNul(A)=n이 성립함을 확인하십시오. 답.2+2=4로 열의 개수와 같습니다. 풀이.A의 서로 독립인 열은 [10],[01] 두 개라 rank(A)=2입니다. 문제 8에서 dimNul(A)=2입니다. 둘을 더하면 4로 A의 열의 개수 n=4와 같습니다.
문제 10. (표준) P2에서 {1+x,x+x2,1+x2}이 기저인지 판정하십시오. 답. 기저입니다. 풀이. 세 다항식을 {1,x,x2} 좌표로 옮기면 ⎣⎢⎡110⎦⎥⎤,⎣⎢⎡011⎦⎥⎤,⎣⎢⎡101⎦⎥⎤입니다. 문제 6에서 이 세 벡터가 독립임을 보였고, dimP2=3과 개수가 같으므로 기저입니다.
문제 11. (심화) R3의 임의의 네 벡터가 항상 일차종속임을 설명하십시오. 답. 일차독립 집합의 크기는 차원 3을 넘을 수 없기 때문입니다. 풀이. 교환 정리에 따라 n개의 벡터로 생성되는 공간에서 일차독립 벡터는 많아야 n개입니다. dimR3=3이므로 독립인 벡터는 최대 3개입니다. 네 벡터는 3을 넘으므로 반드시 종속입니다.
문제 12. (심화) 일차독립인 집합 {v1,…,vk}에 벡터 w를 추가해도 독립이 유지될 조건을 말하고 이유를 설명하십시오. 답.w∈/span{v1,…,vk}이어야 합니다. 풀이.w가 기존 span에 있으면 w=∑civi로 표현되어 w−∑civi=0인 자명하지 않은 결합이 생기므로 종속입니다. 반대로 w가 span 밖이면 dw+∑civi=0에서 d=0이면 w가 span에 들어가 모순이라 d=0이고, 이어 기존 독립성으로 모든 ci=0이 되어 독립이 유지됩니다.
문제 13. (심화) dimV=n이고 S⊆V가 V를 생성하는 n개의 벡터로 이루어지면 S가 기저임을 설명하십시오. 답. 개수가 차원과 같은 생성 집합은 자동으로 독립이기 때문입니다. 풀이.S가 종속이라면 어떤 벡터가 나머지의 결합이라 그것을 제거해도 V를 생성합니다. 그러면 n−1개로 V를 생성하게 되는데, 이는 n차원 공간의 일차독립 집합(예: 한 기저)의 크기 n이 생성 집합의 크기를 넘을 수 없다는 사실에 모순입니다. 따라서 S는 독립이고 기저입니다.
문제 14. (심화) p(x)=2+3x+x2의 기저 B={1,1+x,1+x+x2}에 대한 좌표 [p]B를 구하십시오. 답.[p]B=⎣⎢⎡−121⎦⎥⎤입니다. 풀이.a⋅1+b(1+x)+c(1+x+x2)=2+3x+x2로 두고 계수를 비교합니다. x2 계수에서 c=1, x 계수에서 b+c=3이라 b=2, 상수항에서 a+b+c=2이라 a=2−2−1=−1입니다. 검산하면 −1+2(1+x)+(1+x+x2)=2+3x+x2입니다.
문제 15. (심화) 벡터 ⎣⎢⎡1k1⎦⎥⎤,⎣⎢⎡11k⎦⎥⎤,⎣⎢⎡k11⎦⎥⎤이 일차종속이 되는 k를 모두 구하십시오. 답.k=1 또는 k=−2입니다. 풀이. 세 벡터를 열로 하는 행렬은 첫 행이 (1,1,k)인 순환행렬입니다. 3×3 순환행렬의 행렬식 공식 (c0+c1+c2)(c02+c12+c22−c0c1−c1c2−c2c0)에 (c0,c1,c2)=(1,1,k)를 넣습니다. 앞 인수는 2+k이고, 뒤 인수는 (2+k2)−(1+2k)=k2−2k+1=(k−1)2입니다. 따라서 det=(k+2)(k−1)2입니다. 이것이 0이 되는 값은 k=−2와 k=1(중근)입니다. 실제로 k=1이면 세 벡터가 모두 ⎣⎢⎡111⎦⎥⎤로 같아 종속이고, k=−2이면 세 벡터의 합이 ⎣⎢⎡000⎦⎥⎤이 되어 종속입니다.