벡터를 순서쌍이자 방향으로 정의하고 두 관점을 오갈 수 있습니다.
벡터의 덧셈과 스칼라배를 정의하고 그 성질을 진술할 수 있습니다.
내적을 정의하고 노름과 각도를 내적으로 표현할 수 있습니다.
코시-슈바르츠 부등식과 삼각부등식을 이해하고 사용할 수 있습니다.
이 강의는 AI를 위한 수학의 07. 벡터공간과 기저 강의와 관련 주제를 더 볼 수 있습니다. 이 교본은 정의와 증명을 중심으로 진행합니다.
기호
읽는 법
뜻
\mathbb
실수 전체
실수들의 집합
R n R n 알엔
실수 n n
\mathbf
벡터 브이
여러 실수를 순서대로 모은 대상
v i v i 브이 아이
벡터 v v i i
\mathbf{u}+\mathbf
유 플러스 브이
두 벡터의 덧셈
c\mathbf
씨 브이
스칼라 c c
\mathbf{u}\cdot\mathbf
유 닷 브이
두 벡터의 내적
\mathbf{u}^T\mathbf
유 전치 브이
내적을 행렬곱으로 쓴 표기
∥ v ∥ ∥ v ∥ 브이의 노름
벡터의 길이
\mathbf
영벡터
모든 성분이 0인 벡터
정의부터 세웁니다. 실수 n n n n R n R n
v = [ v 1 v 2 v n ] , v 1 , … , v n ∈ R v = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ v 1 v 2 ⋮ v n ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , v 1 , … , v n ∈ R
여기서 v i v i v v i i
벡터에는 두 가지 관점이 있습니다.
대수적 관점: 벡터는 성분들의 순서 있는 목록입니다.
기하적 관점: 벡터는 원점에서 어떤 점으로 향하는 화살표, 즉 방향과 크기를 가진 양입니다.
예를 들어 v = [ 3 2 ] v = [ 3 2 ]
문제 1. (기초) 벡터 v = [ − 1 4 ] v = [ − 1 4 ] 답. 왼쪽으로 1, 위로 4만큼 가는 화살표입니다.풀이. 첫 성분 − 1 − 1 x x 4 4 y y ( − 1 , 4 ) ( − 1 , 4 )
문제 2. (기초) R 3 R 3 [ 2 0 − 5 ] ⎣ ⎢ ⎡ 2 0 − 5 ⎦ ⎥ ⎤ 답. − 5 − 5 풀이. 성분은 위에서부터 순서대로 첫째 2 2 0 0 − 5 − 5 v 3 = − 5 v 3 = − 5
문제 3. (표준) 두 벡터 [ 1 2 ] [ 1 2 ] [ 2 1 ] [ 2 1 ] 답. 같지 않습니다.풀이. 두 벡터가 같으려면 대응하는 모든 성분이 같아야 합니다. 첫 성분은 1 1 2 2
두 벡터의 덧셈은 같은 자리 성분끼리 더해 정의합니다.
u + v = [ u 1 + v 1 u n + v n ] u + v = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ u 1 + v 1 ⋮ u n + v n ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
스칼라 c ∈ R c ∈ R c c
c v = [ c v 1 c v n ] c v = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ c v 1 ⋮ c v n ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
기하적으로 덧셈은 화살표를 이어 붙이는 것입니다. u u v v u + v u + v ∣ c ∣ ∣ c ∣ c < 0 c < 0
이 두 연산은 다음 성질을 만족합니다. u , v , w ∈ R n u , v , w ∈ R n c , d ∈ R c , d ∈ R
u + v = v + u , ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u + v = v + u , ( u + v ) + w = u + ( v + w )
v + 0 = v , v + ( − v ) = 0 v + 0 = v , v + ( − v ) = 0
c ( d v ) = ( c d ) v , c ( u + v ) = c u + c v , ( c + d ) v = c v + d v , 1 v = v c ( d v ) = ( c d ) v , c ( u + v ) = c u + c v , ( c + d ) v = c v + d v , 1 v = v
이 성질들은 각각 성분별 계산으로 바로 증명됩니다. 예를 들어 교환법칙은 각 성분에서 u i + v i = v i + u i u i + v i = v i + u i
문제 1. (기초) u = [ 1 3 ] u = [ 1 3 ] v = [ 4 − 1 ] v = [ 4 − 1 ] u + v u + v 답. [ 5 2 ] [ 5 2 ] 풀이. 같은 자리끼리 더합니다. 첫 성분은 1 + 4 = 5 1 + 4 = 5 3 + ( − 1 ) = 2 3 + ( − 1 ) = 2 u + v = [ 5 2 ] u + v = [ 5 2 ]
문제 2. (기초) v = [ 2 − 4 6 ] v = ⎣ ⎢ ⎡ 2 − 4 6 ⎦ ⎥ ⎤ − 1 2 v − 2 1 v 답. [ − 1 2 − 3 ] ⎣ ⎢ ⎡ − 1 2 − 3 ⎦ ⎥ ⎤ 풀이. 모든 성분에 − 1 2 − 2 1 − 1 2 ⋅ 2 = − 1 − 2 1 ⋅ 2 = − 1 − 1 2 ⋅ ( − 4 ) = 2 − 2 1 ⋅ ( − 4 ) = 2 − 1 2 ⋅ 6 = − 3 − 2 1 ⋅ 6 = − 3
문제 3. (표준) u = [ 1 0 ] u = [ 1 0 ] v = [ 0 1 ] v = [ 0 1 ] 3 u − 2 v 3 u − 2 v 답. [ 3 − 2 ] [ 3 − 2 ] 풀이. 먼저 3 u = [ 3 0 ] 3 u = [ 3 0 ] 2 v = [ 0 2 ] 2 v = [ 0 2 ] [ 3 − 0 0 − 2 ] = [ 3 − 2 ] [ 3 − 0 0 − 2 ] = [ 3 − 2 ]
문제 4. (표준) 덧셈의 교환법칙 u + v = v + u u + v = v + u 답. 각 성분에서 실수 덧셈의 교환법칙이 성립하기 때문입니다.풀이. u + v u + v i i u i + v i u i + v i v + u v + u i i v i + u i v i + u i u i + v i = v i + u i u i + v i = v i + u i
문제 5. (심화) a = [ 2 1 ] a = [ 2 1 ] b = [ − 1 3 ] b = [ − 1 3 ] a a b b 답. 0 = [ 0 0 ] 0 = [ 0 0 ] a = [ 2 1 ] a = [ 2 1 ] b = [ − 1 3 ] b = [ − 1 3 ] a + b = [ 1 4 ] a + b = [ 1 4 ] 풀이. 평행사변형 법칙에 따라 네 꼭짓점은 원점, a a b b a + b a + b a + b = [ 2 + ( − 1 ) 1 + 3 ] = [ 1 4 ] a + b = [ 2 + ( − 1 ) 1 + 3 ] = [ 1 4 ]
두 벡터의 관계를 재려면 내적이 필요합니다. u , v ∈ R n u , v ∈ R n
u ⋅ v = ∑ i = 1 n u i v i = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ⋯ + u n v n u ⋅ v = i = 1 ∑ n u i v i = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ⋯ + u n v n
이는 같은 자리 성분끼리 곱해서 모두 더한 값이며, 결과는 벡터가 아니라 하나의 실수입니다. 행렬곱 표기로는 u u u T u T v v
u ⋅ v = u T v u ⋅ v = u T v
라고도 씁니다. 두 표기는 같은 값을 가리킵니다.
내적은 다음 성질을 만족합니다.
u ⋅ v = v ⋅ u ( 대칭성 ) u ⋅ v = v ⋅ u ( 대칭성 )
( c u + d w ) ⋅ v = c ( u ⋅ v ) + d ( w ⋅ v ) ( 선형성 ) ( c u + d w ) ⋅ v = c ( u ⋅ v ) + d ( w ⋅ v ) ( 선형성 )
v ⋅ v ≥ 0 , 그리고 v ⋅ v = 0 ⟺ v = 0 ( 양의 정부호성 ) v ⋅ v ≥ 0 , 그리고 v ⋅ v = 0 ⟺ v = 0 ( 양의 정부호성 )
양의 정부호성은 v ⋅ v = ∑ v i 2 v ⋅ v = ∑ v i 2 v i = 0 v i = 0
문제 1. (기초) u = [ 2 3 ] u = [ 2 3 ] v = [ 4 − 1 ] v = [ 4 − 1 ] 답. 5 5 풀이. u ⋅ v = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ ( − 1 ) = 8 − 3 = 5 u ⋅ v = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ ( − 1 ) = 8 − 3 = 5
문제 2. (기초) v = [ 1 − 2 2 ] v = ⎣ ⎢ ⎡ 1 − 2 2 ⎦ ⎥ ⎤ v ⋅ v v ⋅ v 답. 9 9 풀이. v ⋅ v = 1 2 + ( − 2 ) 2 + 2 2 = 1 + 4 + 4 = 9 v ⋅ v = 1 2 + ( − 2 ) 2 + 2 2 = 1 + 4 + 4 = 9
문제 3. (표준) 내적의 선형성을 이용해 ( 2 u ) ⋅ v = 2 ( u ⋅ v ) ( 2 u ) ⋅ v = 2 ( u ⋅ v ) 답. 성분별로 각 항에 2가 곱해지기 때문입니다.풀이. ( 2 u ) ⋅ v = ∑ i ( 2 u i ) v i = 2 ∑ i u i v i = 2 ( u ⋅ v ) ( 2 u ) ⋅ v = ∑ i ( 2 u i ) v i = 2 ∑ i u i v i = 2 ( u ⋅ v )
문제 4. (표준) u = [ 1 2 ] u = [ 1 2 ] v = [ 2 − 1 ] v = [ 2 − 1 ] 답. 내적은 0 0 풀이. u ⋅ v = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) = 2 − 2 = 0 u ⋅ v = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) = 2 − 2 = 0
벡터의 길이, 즉 노름을 내적으로 정의합니다.
∥ v ∥ = v ⋅ v = v 1 2 + ⋯ + v n 2 ∥ v ∥ = v ⋅ v = v 1 2 + ⋯ + v n 2
이는 피타고라스 정리를 n n
∥ v ∥ ≥ 0 , ∥ v ∥ = 0 ⟺ v = 0 , ∥ c v ∥ = ∣ c ∣ ∥ v ∥ ∥ v ∥ ≥ 0 , ∥ v ∥ = 0 ⟺ v = 0 , ∥ c v ∥ = ∣ c ∣ ∥ v ∥
두 번째 성질은 스칼라배가 길이를 ∣ c ∣ ∣ c ∣ v v
v ^ = v ∥ v ∥ v ^ = ∥ v ∥ v
로 단위벡터를 얻습니다. 이를 정규화라고 합니다.
두 벡터 사이의 각도 θ θ u , v u , v
cos θ = u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ , 0 ≤ θ ≤ π cos θ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v , 0 ≤ θ ≤ π
이 정의가 뜻을 가지려면 우변이 항상 [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] cos θ = 0 cos θ = 0 θ = 9 0 ∘ θ = 9 0 ∘
문제 1. (기초) v = [ 3 4 ] v = [ 3 4 ] 답. 5 5 풀이. ∥ v ∥ = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 ∥ v ∥ = 3 2 + 4 2 = 9 + 1 6 = 2 5 = 5
문제 2. (표준) v = [ 3 4 ] v = [ 3 4 ] 답. [ 3 / 5 4 / 5 ] [ 3 / 5 4 / 5 ] 풀이. 노름이 5 5 v ^ = 1 5 [ 3 4 ] = [ 3 / 5 4 / 5 ] v ^ = 5 1 [ 3 4 ] = [ 3 / 5 4 / 5 ] ( 3 / 5 ) 2 + ( 4 / 5 ) 2 = 9 / 25 + 16 / 25 = 1 ( 3 / 5 ) 2 + ( 4 / 5 ) 2 = 9 / 2 5 + 1 6 / 2 5 = 1
문제 3. (표준) u = [ 1 0 ] u = [ 1 0 ] v = [ 1 1 ] v = [ 1 1 ] 답. 4 5 ∘ 4 5 ∘ 풀이. u ⋅ v = 1 u ⋅ v = 1 ∥ u ∥ = 1 ∥ u ∥ = 1 ∥ v ∥ = 2 ∥ v ∥ = 2 cos θ = 1 1 ⋅ 2 = 1 2 cos θ = 1 ⋅ 2 1 = 2 1 θ = 4 5 ∘ θ = 4 5 ∘
문제 4. (심화) ∥ c v ∥ = ∣ c ∣ ∥ v ∥ ∥ c v ∥ = ∣ c ∣ ∥ v ∥ 답. 제곱근 안에서 c 2 c 2 ∣ c ∣ ∣ c ∣ 풀이. ∥ c v ∥ = ∑ i ( c v i ) 2 = c 2 ∑ i v i 2 = c 2 ∑ i v i 2 = ∣ c ∣ ∥ v ∥ ∥ c v ∥ = ∑ i ( c v i ) 2 = c 2 ∑ i v i 2 = c 2 ∑ i v i 2 = ∣ c ∣ ∥ v ∥ c 2 = ∣ c ∣ c 2 = ∣ c ∣
각도 정의가 성립하려면 다음 부등식이 필요합니다.
코시-슈바르츠 부등식. 임의의 u , v ∈ R n u , v ∈ R n
∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥
이고, 등호는 u u v v
증명을 봅니다. v = 0 v = 0 v ≠ 0 v = 0 t t ∥ u − t v ∥ 2 ≥ 0 ∥ u − t v ∥ 2 ≥ 0
0 ≤ ∥ u − t v ∥ 2 = ( u − t v ) ⋅ ( u − t v ) = ∥ u ∥ 2 − 2 t ( u ⋅ v ) + t 2 ∥ v ∥ 2 0 ≤ ∥ u − t v ∥ 2 = ( u − t v ) ⋅ ( u − t v ) = ∥ u ∥ 2 − 2 t ( u ⋅ v ) + t 2 ∥ v ∥ 2
이는 t t
( 2 u ⋅ v ) 2 − 4 ∥ v ∥ 2 ∥ u ∥ 2 ≤ 0 ( 2 u ⋅ v ) 2 − 4 ∥ v ∥ 2 ∥ u ∥ 2 ≤ 0
정리하면 ( u ⋅ v ) 2 ≤ ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 ( u ⋅ v ) 2 ≤ ∥ u ∥ 2 ∥ v ∥ 2 t t u − t v = 0 u − t v = 0
이 부등식에서 곧바로 삼각부등식 이 따라 나옵니다.
∥ u + v ∥ ≤ ∥ u ∥ + ∥ v ∥ ∥ u + v ∥ ≤ ∥ u ∥ + ∥ v ∥
유도는 다음과 같습니다.
∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 ( u ⋅ v ) + ∥ v ∥ 2 ≤ ∥ u ∥ 2 + 2 ∥ u ∥ ∥ v ∥ + ∥ v ∥ 2 = ( ∥ u ∥ + ∥ v ∥ ) 2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 ( u ⋅ v ) + ∥ v ∥ 2 ≤ ∥ u ∥ 2 + 2 ∥ u ∥ ∥ v ∥ + ∥ v ∥ 2 = ( ∥ u ∥ + ∥ v ∥ ) 2
가운데에서 u ⋅ v ≤ ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v ≤ ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥
문제 1. (표준) u = [ 1 2 ] u = [ 1 2 ] v = [ 2 4 ] v = [ 2 4 ] 답. 등호가 성립합니다.풀이. u ⋅ v = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 = 10 u ⋅ v = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 = 1 0 ∥ u ∥ = 5 ∥ u ∥ = 5 ∥ v ∥ = 20 = 2 5 ∥ v ∥ = 2 0 = 2 5 ∥ u ∥ ∥ v ∥ = 10 ∥ u ∥ ∥ v ∥ = 1 0 10 1 0 v = 2 u v = 2 u
문제 2. (표준) u = [ 3 0 ] u = [ 3 0 ] v = [ 0 4 ] v = [ 0 4 ] 답. 좌변 5 5 7 7 풀이. u + v = [ 3 4 ] u + v = [ 3 4 ] ∥ u + v ∥ = 5 ∥ u + v ∥ = 5 ∥ u ∥ + ∥ v ∥ = 3 + 4 = 7 ∥ u ∥ + ∥ v ∥ = 3 + 4 = 7 5 < 7 5 < 7
문제 3. (심화) 코시-슈바르츠 부등식에서 판별식 조건이 왜 등장하는지 설명하십시오.답. 이차식이 모든 t t 풀이. f ( t ) = ∥ u − t v ∥ 2 f ( t ) = ∥ u − t v ∥ 2 t t
유형
핵심 식
요령
벡터 덧셈
( u + v ) i = u i + v i ( u + v ) i = u i + v i 같은 자리끼리 더한다
스칼라배
( c v ) i = c v i ( c v ) i = c v i 모든 성분에 곱한다, 부호는 방향 반전
내적
u ⋅ v = ∑ u i v i u ⋅ v = ∑ u i v i 곱해서 더한다, 결과는 스칼라
노름
∥ v ∥ = v ⋅ v ∥ v ∥ = v ⋅ v 제곱합의 제곱근
정규화
v ^ = v / ∥ v ∥ v ^ = v / ∥ v ∥ 노름으로 나눈다, 영벡터 제외
각도
cos θ = u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v 내적을 노름 곱으로 나눈다
직교 판정
u ⋅ v = 0 u ⋅ v = 0 내적이 0이면 직교
코시-슈바르츠
∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ 등호는 평행일 때
삼각부등식
∥ u + v ∥ ≤ ∥ u ∥ + ∥ v ∥ ∥ u + v ∥ ≤ ∥ u ∥ + ∥ v ∥ 한 변은 두 변 합 이하
문제 1. (기초) [ 2 − 1 3 ] + [ 1 4 − 2 ] ⎣ ⎢ ⎡ 2 − 1 3 ⎦ ⎥ ⎤ + ⎣ ⎢ ⎡ 1 4 − 2 ⎦ ⎥ ⎤ 답. [ 3 3 1 ] ⎣ ⎢ ⎡ 3 3 1 ⎦ ⎥ ⎤ 풀이. 성분별로 2 + 1 = 3 2 + 1 = 3 − 1 + 4 = 3 − 1 + 4 = 3 3 + ( − 2 ) = 1 3 + ( − 2 ) = 1
문제 2. (기초) 5 [ 2 − 1 ] 5 [ 2 − 1 ] 답. [ 10 − 5 ] [ 1 0 − 5 ] 풀이. 모든 성분에 5를 곱하면 5 ⋅ 2 = 10 5 ⋅ 2 = 1 0 5 ⋅ ( − 1 ) = − 5 5 ⋅ ( − 1 ) = − 5
문제 3. (기초) [ 1 1 1 ] ⋅ [ 2 − 3 4 ] ⎣ ⎢ ⎡ 1 1 1 ⎦ ⎥ ⎤ ⋅ ⎣ ⎢ ⎡ 2 − 3 4 ⎦ ⎥ ⎤ 답. 3 3 풀이. 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ ( − 3 ) + 1 ⋅ 4 = 2 − 3 + 4 = 3 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ ( − 3 ) + 1 ⋅ 4 = 2 − 3 + 4 = 3
문제 4. (기초) [ − 6 8 ] [ − 6 8 ] 답. 10 1 0 풀이. ( − 6 ) 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 = 10 ( − 6 ) 2 + 8 2 = 3 6 + 6 4 = 1 0 0 = 1 0
문제 5. (표준) u = [ 1 2 2 ] u = ⎣ ⎢ ⎡ 1 2 2 ⎦ ⎥ ⎤ 답. [ 1 / 3 2 / 3 2 / 3 ] ⎣ ⎢ ⎡ 1 / 3 2 / 3 2 / 3 ⎦ ⎥ ⎤ 풀이. 노름은 1 + 4 + 4 = 3 1 + 4 + 4 = 3
문제 6. (표준) u = [ 2 2 ] u = [ 2 2 ] v = [ 0 3 ] v = [ 0 3 ] 답. 4 5 ∘ 4 5 ∘ 풀이. u ⋅ v = 0 + 6 = 6 u ⋅ v = 0 + 6 = 6 ∥ u ∥ = 2 2 ∥ u ∥ = 2 2 ∥ v ∥ = 3 ∥ v ∥ = 3 cos θ = 6 6 2 = 1 2 cos θ = 6 2 6 = 2 1 θ = 4 5 ∘ θ = 4 5 ∘
문제 7. (표준) u = [ k 2 ] u = [ k 2 ] v = [ 3 − 6 ] v = [ 3 − 6 ] k k 답. k = 4 k = 4 풀이. 직교 조건 u ⋅ v = 0 u ⋅ v = 0 3 k + 2 ⋅ ( − 6 ) = 0 3 k + 2 ⋅ ( − 6 ) = 0 3 k − 12 = 0 3 k − 1 2 = 0 k = 4 k = 4
문제 8. (표준) u = [ 1 − 1 ] u = [ 1 − 1 ] v = [ 3 1 ] v = [ 3 1 ] ∥ u + v ∥ 2 ∥ u + v ∥ 2 답. 둘 다 16 1 6 풀이. 직접 계산하면 u + v = [ 4 0 ] u + v = [ 4 0 ] ∥ u + v ∥ 2 = 4 2 + 0 2 = 16 ∥ u + v ∥ 2 = 4 2 + 0 2 = 1 6 ∥ u ∥ 2 + 2 ( u ⋅ v ) + ∥ v ∥ 2 = 2 + 2 ( 2 ) + 10 = 16 ∥ u ∥ 2 + 2 ( u ⋅ v ) + ∥ v ∥ 2 = 2 + 2 ( 2 ) + 1 0 = 1 6 u ⋅ v = 3 − 1 = 2 u ⋅ v = 3 − 1 = 2 16 1 6
문제 9. (표준) 세 벡터 a = [ 1 0 ] a = [ 1 0 ] b = [ 0 1 ] b = [ 0 1 ] c = [ 2 3 ] c = [ 2 3 ] c = x a + y b c = x a + y b x , y x , y 답. x = 2 x = 2 y = 3 y = 3 풀이. x a + y b = [ x y ] x a + y b = [ x y ] [ x y ] = [ 2 3 ] [ x y ] = [ 2 3 ] x = 2 x = 2 y = 3 y = 3
문제 10. (심화) u , v u , v ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 답. 교차항 2 ( u ⋅ v ) 2 ( u ⋅ v ) 풀이. ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 ( u ⋅ v ) + ∥ v ∥ 2 ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + 2 ( u ⋅ v ) + ∥ v ∥ 2 u ⋅ v = 0 u ⋅ v = 0
문제 11. (심화) 임의의 단위벡터 v ^ v ^ u ⋅ v ^ u ⋅ v ^ u u v ^ v ^ 답. u ⋅ v ^ = ∥ u ∥ cos θ u ⋅ v ^ = ∥ u ∥ cos θ v ^ v ^ 풀이. u ⋅ v ^ = ∥ u ∥ ∥ v ^ ∥ cos θ = ∥ u ∥ cos θ u ⋅ v ^ = ∥ u ∥ ∥ v ^ ∥ cos θ = ∥ u ∥ cos θ ∥ v ^ ∥ = 1 ∥ v ^ ∥ = 1 ∥ u ∥ ∥ u ∥ v ^ v ^
문제 12. (심화) u = [ 1 2 2 ] u = ⎣ ⎢ ⎡ 1 2 2 ⎦ ⎥ ⎤ v = [ 2 0 1 ] v = ⎣ ⎢ ⎡ 2 0 1 ⎦ ⎥ ⎤ 답. ∣ u ⋅ v ∣ = 4 ≤ 3 5 ≈ 6.7 ∣ u ⋅ v ∣ = 4 ≤ 3 5 ≈ 6 . 7 풀이. u ⋅ v = 2 + 0 + 2 = 4 u ⋅ v = 2 + 0 + 2 = 4 ∥ u ∥ = 3 ∥ u ∥ = 3 ∥ v ∥ = 5 ∥ v ∥ = 5 3 5 ≈ 6.7 3 5 ≈ 6 . 7 4 ≤ 6.7 4 ≤ 6 . 7
벡터의 대수적 정의와 기하적 정의를 각각 말할 수 있는가?
벡터 덧셈과 스칼라배를 성분으로 정의할 수 있는가?
내적을 정의하고 그 결과가 스칼라임을 설명할 수 있는가?
노름을 내적으로 정의하고 ∥ c v ∥ = ∣ c ∣ ∥ v ∥ ∥ c v ∥ = ∣ c ∣ ∥ v ∥
두 벡터 사이 각도를 내적으로 표현할 수 있는가?
코시-슈바르츠 부등식을 진술하고 등호 조건을 말할 수 있는가?
삼각부등식을 코시-슈바르츠에서 유도할 수 있는가?
정답 요지. 1. 순서 있는 실수 목록 / 방향과 크기를 가진 화살표. 2. ( u + v ) i = u i + v i ( u + v ) i = u i + v i ( c v ) i = c v i ( c v ) i = c v i ∑ u i v i ∑ u i v i ∑ ( c v i ) 2 = ∣ c ∣ ∑ v i 2 ∑ ( c v i ) 2 = ∣ c ∣ ∑ v i 2 cos θ = u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ = ∥ u ∥ ∥ v ∥ u ⋅ v ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ u ⋅ v ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∥ u + v ∥ 2 ∥ u + v ∥ 2