- 벡터공간을 여덟 개의 공리로 정의할 수 있습니다.
- 주어진 집합이 부분공간인지 세 조건으로 판정할 수 있습니다.
- 일차결합과 생성(span)의 뜻을 정확히 진술할 수 있습니다.
- 열공간, 영공간 같은 대표적 부분공간을 구별할 수 있습니다.
| 기호 |
읽는 법 |
뜻 |
| V |
벡터공간 브이 |
공리를 만족하는 벡터들의 집합 |
| W⊆V |
더블유는 브이의 부분집합 |
W가 V의 부분집합 |
| \mathbf |
영벡터 |
덧셈의 항등원 |
| c1v1+⋯+ckvk |
일차결합 |
벡터들에 스칼라를 곱해 더한 것 |
| span{v1,…,vk} |
스팬 |
벡터들의 모든 일차결합의 집합 |
| Col(A) |
콜 오브 에이 |
행렬 A의 열공간 |
| Nul(A) |
널 오브 에이 |
행렬 A의 영공간 |
| Pn |
피 엔 |
차수가 n 이하인 다항식의 공간 |
1강에서 Rn의 덧셈과 스칼라배가 여덟 가지 성질을 만족함을 봤습니다. 이 성질들을 만족하는 임의의 집합을 벡터공간이라고 부르면, Rn뿐 아니라 다항식, 함수, 행렬의 집합도 같은 언어로 다룰 수 있습니다.
정의. 집합 V에 덧셈과 스칼라배가 정의되어 있고, 임의의 u,v,w∈V와 스칼라 c,d∈R에 대해 다음 여덟 공리를 모두 만족하면 V를 (실)벡터공간이라고 합니다.
- u+v∈V (덧셈에 대한 닫힘)
- \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf
- (u+v)+w=u+(v+w)
- u+0=u인 영벡터 0이 존재
- 각 u에 대해 u+(−u)=0인 −u가 존재
- cu∈V (스칼라배에 대한 닫힘)
- c(u+v)=cu+cv, (c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf
- c(du)=(cd)u, 1\mathbf{u}=\mathbf
직관은 이렇습니다. 벡터공간이란 그 안에서 덧셈과 스칼라배를 아무리 해도 밖으로 나가지 않고, 그 연산이 익숙한 규칙을 따르는 세계입니다. Rn이 가장 기본 예이고, 차수가 n 이하인 다항식의 집합 Pn, m×n 실행렬 전체, 실수 구간에서 정의된 연속함수 전체도 모두 벡터공간입니다.
문제 1. (기초) R2가 공리 4를 만족하도록 하는 영벡터는 무엇입니까?
답. 0=[00]입니다.
풀이. 임의의 u=[u1u2]에 대해 u+0=[u1+0u2+0]=u가 되려면 두 성분이 모두 0이어야 합니다.
문제 2. (기초) 차수가 2 이하인 다항식 p(x)=1+2x와 q(x)=3x−x2의 합이 P2 안에 있는지 확인하십시오.
답. P2 안에 있습니다.
풀이. p(x)+q(x)=1+5x−x2이고 차수가 2이므로 P2에 속합니다. 다항식 덧셈은 차수를 높이지 않으므로 닫힘이 성립합니다.
문제 3. (표준) 실수 전체 R을 스칼라가 실수인 벡터공간으로 볼 수 있는지 설명하십시오.
답. 볼 수 있습니다.
풀이. R은 1차원 벡터공간 R1과 같습니다. 실수 덧셈과 실수배가 여덟 공리를 모두 만족하므로 벡터공간입니다.
큰 벡터공간 안에 그 자체로 벡터공간이 되는 부분집합이 자주 나타납니다. 이를 부분공간이라고 합니다.
정의. 벡터공간 V의 부분집합 W가 다음 세 조건을 만족하면 W를 V의 부분공간이라고 합니다.
- 0∈W (영벡터 포함)
- u,v∈W⇒u+v∈W (덧셈에 닫힘)
- u∈W, c∈R⇒cu∈W (스칼라배에 닫힘)
왜 세 조건만으로 충분한지 봅니다. 나머지 공리(교환, 결합, 분배 등)는 W가 V의 부분집합이므로 V에서 이미 성립하고, W가 두 연산에 대해 닫혀 있기만 하면 그 성립이 그대로 물려받아집니다. 조건 1은 W가 비어 있지 않고 항등원을 가짐을 보장합니다. 실제로 조건 2와 3에서 c=−1을 쓰면 역원도 자동으로 W 안에 들어옵니다.
부분공간을 판정할 때 가장 빠른 첫 점검은 "0을 포함하는가"입니다. 영벡터를 포함하지 않으면 곧바로 부분공간이 아닙니다.
예를 들어 R2에서 원점을 지나는 직선 {c[12]:c∈R}은 부분공간입니다. 반면 원점을 지나지 않는 직선 {[10]+c[12]}은 0을 포함하지 않아 부분공간이 아닙니다.
문제 1. (기초) W={[x0]:x∈R}이 R2의 부분공간인지 판정하십시오.
답. 부분공간입니다.
풀이. 0=[00]∈W입니다. 두 원소의 합 [x10]+[x20]=[x1+x20]도 둘째 성분이 0이라 W에 있고, c[x0]=[cx0]도 W에 있습니다. 세 조건을 만족합니다.
문제 2. (표준) W={[xy]:x+y=1}이 R2의 부분공간인지 판정하십시오.
답. 부분공간이 아닙니다.
풀이. 0=[00]은 0+0=0=1이므로 W에 속하지 않습니다. 영벡터를 포함하지 않으므로 부분공간이 아닙니다.
문제 3. (표준) W={[xy]:x+y=0}이 R2의 부분공간인지 판정하십시오.
답. 부분공간입니다.
풀이. 0+0=0이므로 0∈W입니다. [x1y1],[x2y2]∈W이면 (x1+x2)+(y1+y2)=(x1+y1)+(x2+y2)=0이라 합도 W에 있고, c배도 cx+cy=c(x+y)=0이라 W에 있습니다.
문제 4. (표준) W={[xy]:xy=0}이 R2의 부분공간인지 판정하십시오.
답. 부분공간이 아닙니다.
풀이. 0∈W이고 스칼라배에는 닫혀 있지만, 덧셈에는 닫혀 있지 않습니다. [10]과 [01]은 각각 곱이 0이라 W에 있으나, 합 [11]은 1⋅1=1=0이라 W에 없습니다.
문제 5. (심화) 부분공간의 조건 2, 3이 성립하면 조건 "각 u∈W에 대해 −u∈W"가 자동으로 따라옴을 보이십시오.
답. 스칼라 −1을 곱하면 됩니다.
풀이. 조건 3에서 c=−1을 택하면 (−1)u=−u∈W입니다. 따라서 역원의 존재를 따로 요구할 필요가 없습니다.
부분공간을 만드는 가장 자연스러운 방법이 생성입니다. 먼저 일차결합을 정의합니다.
정의. 벡터 v1,…,vk와 스칼라 c1,…,ck에 대해
c1v1+c2v2+⋯+ckvk
를 이 벡터들의 일차결합이라고 합니다. 이 벡터들로 만들 수 있는 모든 일차결합의 집합을 생성이라고 하고
span{v1,…,vk}={c1v1+⋯+ckvk:c1,…,ck∈R}
로 씁니다.
정리. span{v1,…,vk}는 항상 부분공간입니다.
증명은 세 조건을 확인하면 됩니다. 모든 ci=0으로 두면 0을 얻으므로 영벡터를 포함합니다. 두 일차결합의 합은 다시 같은 벡터들의 일차결합이고(대응 계수끼리 더함), 일차결합의 스칼라배도 계수 전체에 그 스칼라를 곱한 일차결합이므로 두 연산에 닫혀 있습니다. 따라서 부분공간입니다.
직관적으로 span은 주어진 벡터들을 재료로 도달할 수 있는 모든 점의 집합입니다. R3에서 한 벡터의 span은 직선, 평행하지 않은 두 벡터의 span은 평면입니다.
문제 1. (기초) [36]이 span{[12]}에 속하는지 판정하십시오.
답. 속합니다.
풀이. [36]=3[12]이므로 계수 c=3인 일차결합입니다. 따라서 span에 속합니다.
문제 2. (표준) [11]이 span{[20],[03]}에 속하는지 판정하십시오.
답. 속합니다.
풀이. c1[20]+c2[03]=[2c13c2]=[11]에서 c1=21, c2=31입니다. 해가 존재하므로 속합니다.
문제 3. (표준) span{⎣⎢⎡100⎦⎥⎤,⎣⎢⎡010⎦⎥⎤}은 R3에서 무엇을 이루는지 말하십시오.
답. xy평면입니다.
풀이. 두 벡터의 일차결합은 ⎣⎢⎡c1c20⎦⎥⎤ 형태로 셋째 성분이 항상 0입니다. 이는 z=0인 평면, 즉 xy평면입니다.
문제 4. (심화) span{v1,v2}가 부분공간임을 세 조건으로 직접 확인하십시오.
답. 영벡터 포함, 덧셈 닫힘, 스칼라배 닫힘이 모두 성립합니다.
풀이. 0v1+0v2=0이라 영벡터를 포함합니다. (a1v1+a2v2)+(b1v1+b2v2)=(a1+b1)v1+(a2+b2)v2로 다시 일차결합이라 덧셈에 닫혀 있고, c(a1v1+a2v2)=(ca1)v1+(ca2)v2로 스칼라배에도 닫혀 있습니다.
행렬 A는 두 개의 중요한 부분공간을 낳습니다. 이는 다음 단원의 선형변환과 연립방정식으로 곧장 이어집니다.
열공간. A의 열벡터들이 생성하는 부분공간을 열공간이라고 합니다. A=[a1 ⋯ an]이면
Col(A)=span{a1,…,an}={Ax:x∈Rn}
두 표현이 같은 이유는 Ax=x1a1+⋯+xnan이 바로 열벡터들의 일차결합이기 때문입니다. 따라서 Ax=b가 해를 가질 필요충분조건은 b∈Col(A)입니다.
영공간. Ax=0을 만족하는 모든 x의 집합을 영공간이라고 합니다.
Nul(A)={x∈Rn:Ax=0}
영공간이 부분공간임을 확인합니다. A0=0이라 0∈Nul(A)이고, Ax1=0, Ax2=0이면 A(x1+x2)=0, A(cx)=cAx=0이므로 두 연산에 닫혀 있습니다. 여기서 행렬곱의 선형성 A(x+y)=Ax+Ay와 A(cx)=cAx을 사용했습니다.
문제 1. (기초) A=[1001]의 열공간은 무엇입니까?
답. R2 전체입니다.
풀이. 두 열 [10],[01]의 일차결합으로 R2의 임의의 벡터 [xy]를 x[10]+y[01]로 만들 수 있습니다.
문제 2. (표준) A=[1224]의 영공간을 구하십시오.
답. Nul(A)=span{[−21]}입니다.
풀이. Ax=0은 x1+2x2=0 하나로 요약됩니다(둘째 식은 첫 식의 2배). x1=−2x2이므로 x=x2[−21]입니다.
문제 3. (표준) A=[1224]의 열공간을 구하십시오.
답. Col(A)=span{[12]}인 직선입니다.
풀이. 둘째 열 [24]=2[12]은 첫째 열의 배수라 새 방향을 더하지 않습니다. 따라서 열공간은 [12]이 생성하는 직선입니다.
문제 4. (심화) 영공간이 부분공간임을 세 조건으로 보이십시오.
답. A의 선형성으로 세 조건이 성립합니다.
풀이. A0=0이라 0∈Nul(A)입니다. Ax1=Ax2=0이면 A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0, A(cx1)=cAx1=0입니다. 세 조건이 모두 성립합니다.
| 유형 |
판정 방법 |
요령 |
| 벡터공간 여부 |
여덟 공리 확인 |
닫힘 두 개가 자주 깨진다 |
| 부분공간 여부 |
0 포함, 덧셈 닫힘, 스칼라배 닫힘 |
0부터 확인 |
| 부분공간 아님 반례 |
두 원소의 합이 밖으로 나감 |
곱=0 같은 비선형 조건 의심 |
| 일차결합 |
c1v1+⋯+ckvk |
계수를 미지수로 놓고 방정식 |
| span 소속 |
일차결합 방정식의 해 존재 여부 |
해 있으면 소속 |
| 열공간 |
Col(A)={Ax} |
Ax=b 해 존재 ⟺ b∈Col(A) |
| 영공간 |
Ax=0의 해집합 |
항상 부분공간 |
문제 1. (기초) W={⎣⎢⎡0yz⎦⎥⎤:y,z∈R}이 R3의 부분공간인지 판정하십시오.
답. 부분공간입니다.
풀이. 첫 성분이 0인 벡터들의 집합입니다. 0을 포함하고, 합과 스칼라배 모두 첫 성분이 0으로 유지되므로 세 조건을 만족합니다.
문제 2. (기초) W={[xy]:x≥0}이 부분공간인지 판정하십시오.
답. 부분공간이 아닙니다.
풀이. [10]∈W이지만 (−1)[10]=[−10]은 첫 성분이 음수라 W에 없습니다. 스칼라배에 닫혀 있지 않습니다.
문제 3. (표준) [45]이 span{[11],[12]}에 속하는지 판정하십시오.
답. 속합니다.
풀이. c1[11]+c2[12]=[c1+c2c1+2c2]=[45]입니다. 두 식을 빼면 c2=1, 대입하면 c1=3입니다. 해가 있으므로 속합니다.
문제 4. (표준) span{[12],[24]}은 R2 전체인지 판정하십시오.
답. 전체가 아니라 직선입니다.
풀이. 둘째 벡터가 첫째의 2배라 새 방향을 주지 않습니다. 두 벡터의 일차결합은 모두 [12] 방향의 직선 위에 놓입니다. 예를 들어 [10]은 이 직선 위에 없습니다.
문제 5. (표준) A=[111−1]의 영공간을 구하십시오.
답. Nul(A)={0}입니다.
풀이. x1+x2=0, x1−x2=0을 더하면 2x1=0이라 x1=0, 따라서 x2=0입니다. 자명해만 있으므로 영공간은 영벡터 하나입니다.
문제 6. (표준) 다항식 공간 P2에서 W={p∈P2:p(0)=0}이 부분공간인지 판정하십시오.
답. 부분공간입니다.
풀이. 영다항식은 0에서 값이 0이라 W에 있습니다. p(0)=q(0)=0이면 (p+q)(0)=0, (cp)(0)=0이므로 두 연산에 닫혀 있습니다.
문제 7. (표준) R3에서 W={⎣⎢⎡xyz⎦⎥⎤:x+2y−z=0}이 부분공간인지 판정하고, 생성 벡터를 구하십시오.
답. 부분공간이며 span{⎣⎢⎡−210⎦⎥⎤,⎣⎢⎡101⎦⎥⎤}입니다.
풀이. x+2y−z=0은 원점을 지나는 평면이라 부분공간입니다. x=−2y+z로 두면 ⎣⎢⎡xyz⎦⎥⎤=y⎣⎢⎡−210⎦⎥⎤+z⎣⎢⎡101⎦⎥⎤입니다.
문제 8. (심화) 두 부분공간 U,W⊆V의 교집합 U∩W가 부분공간임을 보이십시오.
답. 세 조건이 양쪽에서 동시에 성립하므로 부분공간입니다.
풀이. 0은 U,W 모두에 있으므로 교집합에 있습니다. x,y∈U∩W이면 x+y가 U에도 W에도 있으므로 교집합에 있고, cx도 마찬가지입니다.
문제 9. (심화) 두 부분공간의 합집합 U∪W는 일반적으로 부분공간이 아님을 반례로 보이십시오.
답. x축과 y축의 합집합이 반례입니다.
풀이. R2에서 U를 x축, W를 y축이라 하면 [10]∈U, [01]∈W이지만 합 [11]은 어느 축에도 없습니다. 덧셈에 닫혀 있지 않으므로 부분공간이 아닙니다.
문제 10. (심화) Ax=b가 b=0일 때 그 해집합이 부분공간이 아닌 이유를 말하십시오.
답. 영벡터를 포함하지 않기 때문입니다.
풀이. x=0이면 A0=0=b이므로 0은 해가 아닙니다. 영벡터를 포함하지 않으므로 부분공간이 아닙니다. 다만 해집합은 특수해에 영공간을 더한 아핀 집합입니다.
- 벡터공간의 여덟 공리를 큰 항목으로 나눠 말할 수 있는가?
- 부분공간 판정의 세 조건을 말할 수 있는가?
- 부분공간이 아님을 보이려면 무엇을 찾아야 하는가?
- 일차결합과 span의 정의를 진술할 수 있는가?
- span이 항상 부분공간인 이유를 설명할 수 있는가?
- 열공간과 영공간을 정의하고 구별할 수 있는가?
- Ax=b의 가해성이 열공간과 어떻게 연결되는가?
정답 요지. 1. 덧셈 관련(닫힘·교환·결합·항등원·역원)과 스칼라배 관련(닫힘·분배·결합·항등). 2. 0 포함, 덧셈 닫힘, 스칼라배 닫힘. 3. 세 조건 중 하나를 깨는 반례(특히 합이 밖으로 나가는 예). 4. 일차결합은 ∑civi, span은 그 전체 집합. 5. 영벡터 포함하고 두 연산에 닫혀 있으므로. 6. 열공간은 열의 span={Ax}, 영공간은 Ax=0의 해집합. 7. Ax=b가 풀림 ⟺ b∈Col(A).