- 일차독립과 일차종속을 정의하고 판정할 수 있습니다.
- 기저를 정의하고 좌표가 유일함을 설명할 수 있습니다.
- 차원을 정의하고 기저의 크기가 일정함을 이해할 수 있습니다.
- 부분공간의 기저를 구하고 차원을 셀 수 있습니다.
이 강의는 AI를 위한 수학의 07. 벡터공간과 기저 강의와 관련 주제를 더 볼 수 있습니다.
| 기호 |
읽는 법 |
뜻 |
| v1,…,vk |
벡터들 |
판정 대상 벡터 목록 |
| 일차독립 |
linearly independent |
자명한 결합만 영벡터를 만드는 상태 |
| 일차종속 |
linearly dependent |
자명하지 않은 결합이 영벡터가 되는 상태 |
| 기저 |
basis |
일차독립이면서 전체를 생성하는 집합 |
| dimV |
다이멘션 브이 |
벡터공간 V의 차원 |
| [v]B |
좌표벡터 |
기저 B에 대한 v의 좌표 |
| ei |
표준기저벡터 |
i번째 성분만 1인 벡터 |
같은 span을 만들더라도 벡터 목록에 군더더기가 있을 수 있습니다. 군더더기가 없는 상태를 일차독립으로 정의합니다.
정의. 벡터 v1,…,vk에 대해
c1v1+c2v2+⋯+ckvk=0
의 해가 오직 c1=c2=⋯=ck=0뿐이면 이 벡터들을 일차독립이라고 합니다. 만약 모두 0이 아닌 계수 조합으로도 위 식이 성립하면 일차종속이라고 합니다.
핵심은 자명한 해 ci=0은 언제나 성립한다는 점입니다. 따라서 판정의 관건은 "자명하지 않은 해가 있는가"입니다. 자명하지 않은 해가 있으면 종속, 없으면 독립입니다.
직관적으로 일차종속은 어떤 한 벡터가 나머지 벡터들의 일차결합으로 표현된다는 뜻입니다. 실제로 cj=0인 종속 관계가 있으면
vj=−cj1i=j∑civi
로 그 벡터를 나머지로 나타낼 수 있어, 목록에서 빼도 span이 줄지 않습니다. 즉 종속인 벡터는 정보의 중복입니다.
문제 1. (기초) [10],[01]이 일차독립인지 판정하십시오.
답. 일차독립입니다.
풀이. c1[10]+c2[01]=[c1c2]=0이면 c1=c2=0입니다. 자명한 해뿐이므로 독립입니다.
문제 2. (기초) [12],[24]이 일차독립인지 판정하십시오.
답. 일차종속입니다.
풀이. 둘째 벡터가 첫째의 2배이므로 2[12]−1[24]=0입니다. 계수 (2,−1)은 자명하지 않으므로 종속입니다.
문제 3. (표준) ⎣⎢⎡110⎦⎥⎤,⎣⎢⎡011⎦⎥⎤,⎣⎢⎡10−1⎦⎥⎤이 일차독립인지 판정하십시오.
답. 일차종속입니다.
풀이. 셋째 벡터를 앞 둘로 표현해 봅니다. ⎣⎢⎡110⎦⎥⎤−⎣⎢⎡011⎦⎥⎤=⎣⎢⎡10−1⎦⎥⎤입니다. 따라서 v1−v2−v3=0인 자명하지 않은 결합이 있어 종속입니다.
문제 4. (표준) 벡터 하나 v=0은 항상 일차독립임을 보이십시오.
답. cv=0에서 c=0뿐이기 때문입니다.
풀이. cv=0이고 v=0이면 c=0이어야 합니다. 자명한 해뿐이므로 독립입니다. 반대로 영벡터를 포함한 목록은 항상 종속입니다.
문제 5. (심화) 벡터 목록이 영벡터를 포함하면 항상 일차종속임을 보이십시오.
답. 영벡터의 계수를 1로 두면 자명하지 않은 결합이 영이 되기 때문입니다.
풀이. v1=0이라 하면 1⋅v1+0⋅v2+⋯+0⋅vk=0입니다. 계수 (1,0,…,0)은 자명하지 않으므로 종속입니다.
부분공간을 낭비 없이 딱 채우는 벡터 목록이 기저입니다.
정의. 벡터공간(또는 부분공간) V의 벡터 집합 B={v1,…,vn}이 다음 두 조건을 만족하면 V의 기저라고 합니다.
- B는 일차독립이다.
- B는 V를 생성한다. 즉 span(B)=V이다.
기저의 가장 중요한 성질은 좌표의 유일성입니다.
정리. B={v1,…,vn}가 V의 기저이면, 각 v∈V는 기저벡터들의 일차결합으로 유일하게 표현됩니다.
증명을 봅니다. B가 V를 생성하므로 표현 v=∑civi는 적어도 하나 존재합니다. 이제 두 표현
v=i∑civi=i∑divi
이 있다고 하면 빼서 ∑i(ci−di)vi=0을 얻습니다. B가 일차독립이므로 모든 ci−di=0, 즉 ci=di입니다. 따라서 표현은 유일합니다.
이 유일한 계수 (c1,…,cn)을 기저 B에 대한 v의 좌표라고 하고 [v]B로 씁니다. 기저를 정하는 순간 추상적 벡터가 구체적인 숫자 목록으로 번역되며, 이것이 좌표의 본질입니다.
Rn에서 가장 기본이 되는 기저는 표준기저 {e1,…,en}입니다. ei는 i번째 성분만 1이고 나머지가 0인 벡터입니다.
문제 1. (기초) {[10],[01]}이 R2의 기저인지 판정하십시오.
답. 기저입니다.
풀이. 두 벡터는 일차독립이고, 임의의 [xy]를 xe1+ye2로 생성합니다. 두 조건을 만족하므로 기저입니다. 이것이 표준기저입니다.
문제 2. (표준) {[11],[1−1]}이 R2의 기저인지 판정하십시오.
답. 기저입니다.
풀이. c1[11]+c2[1−1]=0이면 c1+c2=0, c1−c2=0에서 c1=c2=0이라 독립입니다. 두 독립인 벡터가 R2를 생성하므로 기저입니다.
문제 3. (표준) v=[31]의 기저 B={[11],[1−1]}에 대한 좌표 [v]B를 구하십시오.
답. [v]B=[21]입니다.
풀이. c1[11]+c2[1−1]=[31]은 c1+c2=3, c1−c2=1입니다. 더하면 2c1=4이라 c1=2, c2=1입니다.
문제 4. (심화) 기저에 대한 좌표가 유일한 이유를 일차독립으로 설명하십시오.
답. 두 표현의 차이가 자명한 결합만 남기기 때문입니다.
풀이. 두 표현을 빼면 계수 차이를 계수로 하는 결합이 영벡터가 됩니다. 기저는 일차독립이므로 이 결합의 계수가 모두 0, 즉 두 표현의 계수가 같아야 합니다. 따라서 유일합니다.
기저를 이루는 벡터의 개수는 기저를 어떻게 고르든 항상 같습니다. 이 불변량이 차원입니다.
정리(기저 크기의 불변성). 유한생성 벡터공간 V의 두 기저는 원소 개수가 같습니다.
이 정리의 바탕에는 다음 교환 정리가 있습니다. V가 m개의 벡터로 생성되면, V 안의 임의의 일차독립 집합의 크기는 m을 넘을 수 없습니다. 두 기저 B1(크기 p), B2(크기 q)를 서로에게 이 사실을 적용하면 p≤q이고 q≤p이므로 p=q입니다.
정의. 벡터공간 V의 한 기저의 원소 개수를 V의 차원이라 하고 dimV로 씁니다. V={0}이면 dimV=0으로 약속합니다.
대표적인 차원은 다음과 같습니다.
- dimRn=n (표준기저의 크기)
- 차수 n 이하 다항식 공간 dimPn=n+1 (기저 {1,x,x2,…,xn})
- m×n 행렬 공간의 차원은 mn
유한차원에서 유용한 사실이 있습니다. dimV=n일 때, n개의 벡터로 이루어진 집합은 일차독립이기만 하면 자동으로 기저이고, V를 생성하기만 하면 역시 자동으로 기저입니다. 즉 개수가 차원과 같으면 두 조건 중 하나만 확인하면 됩니다.
문제 1. (기초) R4의 차원은 무엇입니까?
답. 4입니다.
풀이. 표준기저 {e1,e2,e3,e4}가 4개의 벡터로 이루어지므로 차원은 4입니다.
문제 2. (기초) P2의 차원과 한 기저를 말하십시오.
답. 차원은 3, 기저는 {1,x,x2}입니다.
풀이. 임의의 차수 2 이하 다항식은 a+bx+cx2로 유일하게 쓰이고, {1,x,x2}은 일차독립이면서 생성하므로 기저이며 개수가 3입니다.
문제 3. (표준) R3에서 두 벡터만으로 이루어진 집합이 기저가 될 수 없는 이유를 말하십시오.
답. 개수가 차원 3보다 작아 생성할 수 없기 때문입니다.
풀이. dimR3=3입니다. 기저는 정확히 3개여야 합니다. 두 벡터의 span은 많아야 평면이라 R3 전체를 생성하지 못하므로 기저가 아닙니다.
문제 4. (표준) R3에서 네 개의 벡터가 항상 일차종속인 이유를 말하십시오.
답. 일차독립 집합의 크기는 차원 3을 넘을 수 없기 때문입니다.
풀이. 교환 정리에 따라 n차원 공간에서 일차독립 벡터는 많아야 n개입니다. R3에서 4개는 3을 넘으므로 반드시 종속입니다.
문제 5. (심화) dimV=n이고 S⊆V가 n개의 일차독립 벡터로 이루어지면 S가 기저임을 설명하십시오.
답. 개수가 차원과 같은 일차독립 집합은 자동으로 생성하기 때문입니다.
풀이. S가 생성하지 못한다면 S에 속하지 않는 벡터를 하나 추가해 n+1개의 일차독립 집합을 만들 수 있는데, 이는 일차독립 크기가 n을 넘을 수 없다는 사실에 모순입니다. 따라서 S는 V를 생성하고 기저입니다.
행렬로 주어진 부분공간에서 기저와 차원을 구하는 절차를 정리합니다. 다음 단원에서 가우스 소거로 체계화하지만, 여기서는 정의 수준에서 원리를 봅니다.
열공간의 기저는 서로 독립인 열들만 남긴 것입니다. 종속인 열은 다른 열의 일차결합이라 span을 늘리지 않으므로 버립니다. 남은 독립인 열의 개수가 열공간의 차원, 즉 계수(rank)입니다.
영공간의 기저는 Ax=0의 해를 자유변수로 매개변수화한 뒤, 각 자유변수에 대응하는 해벡터를 모은 것입니다. 자유변수의 개수가 영공간의 차원입니다.
예를 들어 A=[122436]을 봅니다. 둘째 행이 첫째 행의 2배이고, 둘째, 셋째 열이 첫째 열의 배수라 독립인 열은 하나뿐입니다. 따라서 열공간의 차원은 1이고 기저는 {[12]}입니다. 한편 x1+2x2+3x3=0 하나가 조건이라 자유변수가 둘(x2,x3)이므로 영공간의 차원은 2입니다.
문제 1. (표준) A=[100123]의 열공간의 기저와 차원을 구하십시오.
답. 기저 {[10],[01]}, 차원 2입니다.
풀이. 앞의 두 열은 독립입니다. 셋째 열 [23]=2[10]+3[01]은 앞 둘의 결합이라 버립니다. 독립인 열이 2개이므로 차원 2입니다.
문제 2. (표준) 위 A=[100123]의 영공간의 기저와 차원을 구하십시오.
답. 기저 {⎣⎢⎡−2−31⎦⎥⎤}, 차원 1입니다.
풀이. x1+2x3=0, x2+3x3=0에서 x3을 자유변수로 두면 x1=−2x3, x2=−3x3입니다. 따라서 x=x3⎣⎢⎡−2−31⎦⎥⎤이고 자유변수가 하나라 차원 1입니다.
문제 3. (심화) 위 두 문제에서 열공간 차원과 영공간 차원의 합이 무엇과 같은지 확인하십시오.
답. 열의 개수 3과 같습니다.
풀이. 열공간 차원 2와 영공간 차원 1을 더하면 3으로, 이는 A의 열의 개수입니다. 이것이 다음 단원에서 배울 계수정리 rank(A)+dimNul(A)=n의 예입니다.
| 유형 |
판정 방법 |
요령 |
| 일차독립 |
∑civi=0이 자명해뿐 |
종속이면 자명하지 않은 결합 존재 |
| 일차종속 |
한 벡터가 나머지의 결합 |
배수 관계, 영벡터 포함 의심 |
| 기저 |
일차독립 + 생성 |
개수=차원이면 한 조건만 확인 |
| 좌표 |
v=∑civi의 유일한 계수 |
연립방정식으로 계수 계산 |
| 차원 |
한 기저의 원소 개수 |
기저 선택과 무관하게 일정 |
| 열공간 기저 |
독립인 열만 남김 |
개수=rank |
| 영공간 기저 |
자유변수로 해벡터 구성 |
개수=자유변수 수 |
문제 1. (기초) [24],[36]의 독립성을 판정하십시오.
답. 일차종속입니다.
풀이. [36]=23[24]로 배수 관계입니다. 3[24]−2[36]=0인 자명하지 않은 결합이 있습니다.
문제 2. (기초) {e1,e2,e3}이 R3의 기저인 이유를 말하십시오.
답. 표준기저로 일차독립이고 생성하기 때문입니다.
풀이. c1e1+c2e2+c3e3=⎣⎢⎡c1c2c3⎦⎥⎤=0은 모든 ci=0을 강제해 독립이고, 임의의 벡터를 성분으로 생성합니다.
문제 3. (표준) ⎣⎢⎡123⎦⎥⎤,⎣⎢⎡014⎦⎥⎤,⎣⎢⎡005⎦⎥⎤이 일차독립인지 판정하십시오.
답. 일차독립입니다.
풀이. c1⎣⎢⎡123⎦⎥⎤+c2⎣⎢⎡014⎦⎥⎤+c3⎣⎢⎡005⎦⎥⎤=0의 첫 성분에서 c1=0, 둘째에서 c2=0, 셋째에서 c3=0이 차례로 나옵니다. 계단 모양이라 자명해뿐입니다.
문제 4. (표준) v=[53]의 표준기저에 대한 좌표를 말하십시오.
답. [53]입니다.
풀이. 표준기저에서 좌표는 성분과 같습니다. v=5e1+3e2이므로 [v]B=[53]입니다.
문제 5. (표준) {[21],[13]}이 R2의 기저인지 판정하십시오.
답. 기저입니다.
풀이. c1[21]+c2[13]=0은 2c1+c2=0, c1+3c2=0입니다. 첫 식에서 c2=−2c1, 둘째에 넣으면 c1−6c1=−5c1=0이라 c1=c2=0입니다. 독립인 두 벡터라 R2의 기저입니다.
문제 6. (표준) W=span{⎣⎢⎡101⎦⎥⎤,⎣⎢⎡011⎦⎥⎤,⎣⎢⎡112⎦⎥⎤}의 차원을 구하십시오.
답. 2입니다.
풀이. 셋째 벡터 = 첫째 + 둘째이므로 종속입니다. 앞 두 벡터는 독립이라 W의 기저가 되고 차원은 2입니다.
문제 7. (표준) A=[101001]의 영공간의 차원을 구하십시오.
답. 1입니다.
풀이. x1+x2=0, x3=0에서 x2가 자유변수, x1=−x2, x3=0입니다. 자유변수가 하나라 차원 1이고 기저는 {⎣⎢⎡−110⎦⎥⎤}입니다.
문제 8. (심화) R3의 세 벡터가 일차독립이면 자동으로 기저인 이유를 말하십시오.
답. 개수 3이 차원과 같은 일차독립 집합은 생성도 하기 때문입니다.
풀이. dimR3=3입니다. 3개의 일차독립 벡터가 생성하지 못하면 4번째 독립 벡터를 추가할 수 있어 독립 크기가 3을 넘는 모순이 생깁니다. 따라서 생성하고 기저입니다.
문제 9. (심화) 일차독립인 벡터 집합에 벡터를 하나 추가할 때 독립이 유지되려면 그 벡터가 어떤 조건을 만족해야 하는지 말하십시오.
답. 기존 벡터들의 span에 속하지 않아야 합니다.
풀이. 추가 벡터 w가 기존 span에 있으면 기존 벡터들의 결합으로 표현되어 종속이 됩니다. w∈/span이면 새 방향을 더해 독립이 유지됩니다.
문제 10. (심화) P2에서 {1, 1+x, 1+x+x2}이 기저인지 판정하십시오.
답. 기저입니다.
풀이. a⋅1+b(1+x)+c(1+x+x2)=0은 x2 계수에서 c=0, x 계수에서 b=0, 상수에서 a=0을 줍니다. 독립인 3개이고 dimP2=3이므로 기저입니다.
- 일차독립과 일차종속을 정의할 수 있는가?
- 일차종속이 정보의 중복임을 설명할 수 있는가?
- 기저의 두 조건을 말할 수 있는가?
- 기저에 대한 좌표가 유일한 이유를 설명할 수 있는가?
- 차원을 정의하고 기저 크기가 불변임을 말할 수 있는가?
- 개수가 차원과 같으면 한 조건만 확인해도 되는 이유를 아는가?
- 열공간과 영공간의 기저를 각각 어떻게 구하는가?
정답 요지. 1. 자명해만 영벡터를 만들면 독립, 아니면 종속. 2. 종속 벡터는 나머지의 결합이라 빼도 span 불변. 3. 일차독립 + 생성. 4. 두 표현의 차가 자명한 결합만 남기므로. 5. 한 기저의 크기, 교환 정리로 불변. 6. n개 독립이면 생성도 함, 반대로 n개 생성이면 독립도 함. 7. 독립인 열만 남김 / 자유변수로 해벡터 구성.