21강 문제 1에서 "입니다"는 명제가 되지 못했습니다. 가 무엇인지 모르면 참거짓을 말할 수 없기 때문입니다. 그때 명제로 만드는 방법이 두 가지라고 했고, 그중 하나가 범위를 지정하는 말을 붙이는 것이었습니다. 이 강의는 그 말을 기호로 적습니다.
이 기호가 없으면 수학의 정리를 정확히 읽을 수 없습니다. "연속함수는 최댓값을 가집니다"라는 문장은 실제로는 "닫힌구간에서 정의된 모든 연속함수 에 대하여, 가 최대가 되는 점 가 그 구간 안에 존재합니다"라는 뜻입니다. 36강에서 이 정리를 만날 때 두 한정 기호의 위치가 정리의 내용 전부를 결정합니다.
문제. 다음 세 문장을 기호로 적고 참거짓을 판정하세요. 범위는 실수 전체 로 합니다.
(가) 모든 실수의 제곱은 이상입니다.
(나) 어떤 실수는 제곱하면 가 됩니다.
(다) 모든 실수는 제곱하면 가 됩니다.
생각의 실마리. 세 문장 모두 에 대한 조건을 말하고 있는데 앞에 붙은 말이 다릅니다. "모든"은 범위 안의 하나도 빠짐없이 성립해야 하고, "어떤"은 하나라도 성립하면 됩니다. 이 차이가 참거짓을 어떻게 가르는지 봅니다.
풀이. (가)는 으로 씁니다. 1강에서 확인한 대로 실수를 제곱하면 음수가 나오지 않으므로 참입니다.
(나)는 로 씁니다. 가 실제로 존재하고 이므로 참입니다. 하나만 찾으면 되므로 이것으로 증명이 끝났습니다.
(다)는 로 씁니다. 을 넣으면 이므로 성립하지 않는 실수가 있습니다. 따라서 거짓입니다.
이 문제에서 배우는 것: 전칭 기호와 존재 기호.
을 전칭 기호라고 하고 "모든"이라고 읽습니다. 는 "집합 의 모든 원소 에 대하여 가 성립합니다"라는 뜻입니다.
를 존재 기호라고 하고 "어떤" 또는 "존재합니다"라고 읽습니다. 는 "가 성립하는 가 안에 적어도 하나 있습니다"라는 뜻입니다.
여기서 두 가지를 반드시 지킵니다.
첫째, 범위를 항상 밝힙니다. 는 범위가 실수면 참이지만 유리수면 거짓입니다. 24강에서 가 유리수가 아님을 증명하면서 이 차이를 확인합니다. 범위를 적지 않은 한정 명제는 참거짓을 말할 수 없습니다.
둘째, "어떤"은 적어도 하나라는 뜻입니다. 일상어에서 "어떤 학생은 지각했습니다"라고 하면 전부는 아니라는 뜻으로 들리지만, 수학에서 는 하나 이상이면 참이고 전부여도 참입니다.
한정 기호가 하는 일을 한 줄로 정리하면, 변수가 들어 있어 참거짓이 정해지지 않던 조건 를 참거짓이 정해지는 명제로 바꾸는 것입니다.
바로 확인.
확인 1-1. "모든 자연수는 보다 큽니다"를 기호로 적고 참거짓을 판정하세요.
답. 입니다. 1강의 약속에서 자연수는 부터이므로 참입니다.
확인 1-2. 의 참거짓을 판정하세요.
답. 참입니다. 이면 이므로 조건을 만족하는 자연수가 존재합니다.
확인 1-3. 의 참거짓을 판정하세요.
답. 거짓입니다. 이면 이므로 보다 크지 않습니다. 부등호에 등호가 없다는 점이 (가)와의 차이입니다.
문제. 다음 두 명제의 부정을 만들고, 부정이 참인지 거짓인지 판정하세요.
(가) 은 짝수입니다.
(나) 입니다.
생각의 실마리. (가)가 거짓이 되려면 무엇이 필요한지 말로 먼저 정리합니다. "모든 자연수가 짝수는 아니다"를 더 정확히 말하면 무엇입니까? 하나도 짝수가 아니라는 뜻입니까, 아니면 짝수가 아닌 것이 하나라도 있다는 뜻입니까?
풀이. (가)에서 "모든 자연수가 짝수"라는 주장이 무너지려면 짝수가 아닌 자연수가 하나만 있으면 충분합니다. 전부가 홀수일 필요는 없습니다. 그러므로 부정은
입니다. 이 그런 자연수이므로 이 부정은 참입니다. 따라서 원래 명제 (가)는 거짓입니다.
(나)에서 "인 실수가 존재한다"는 주장이 무너지려면 그런 실수가 하나도 없어야 합니다. 그러므로 부정은
입니다. 모든 실수에서 이므로 이고, 따라서 은 결코 이 되지 않습니다. 부정이 참이므로 원래 명제 (나)는 거짓입니다.
이 문제에서 배우는 것: 한정 기호의 부정 규칙.
말로 옮기면 부정이 한정 기호를 통과하면서 과 가 서로 뒤바뀌고, 안쪽 조건에 부정이 붙습니다.
이 규칙이 21강의 드모르간 법칙과 같은 것임을 보면 기억하기 쉽습니다. 범위가 처럼 유한하면
이고, 여기에 드모르간 법칙을 적용하면 이 되어 가 됩니다. 은 무한히 긴 이고 는 무한히 긴 인 셈입니다.
범위는 부정할 때 바뀌지 않습니다. 의 부정은 이지 이 아닙니다. 부정되는 것은 범위가 아니라 조건입니다.
바로 확인.
확인 2-1. 의 부정을 쓰고 참거짓을 판정하세요.
답. 부정은 입니다. 이면 이므로 부정이 참이고 원래 명제는 거짓입니다.
확인 2-2. 의 부정을 쓰고 참거짓을 판정하세요.
답. 부정은 입니다. 모든 자연수에서 은 보다 크므로 부정이 참이고 원래 명제는 거짓입니다.
확인 2-3. "모든 학생이 시험에 합격하지는 않았습니다"와 "모든 학생이 시험에 불합격했습니다"를 각각 기호로 적어 다름을 보이세요.
답. 앞은 이고 이는 입니다. 뒤는 입니다. 앞은 불합격자가 하나라도 있다는 뜻이고 뒤는 전원이 불합격이라는 뜻입니다. 21강 문제 12에서 한국어로 구분하기 어려웠던 차이가 기호로는 분명해집니다.
문제. "모든 소수는 홀수입니다"가 거짓임을 보이세요. 그리고 "모든 자연수 에 대하여 은 소수입니다"가 거짓임을 보이세요.
생각의 실마리. 앞 문제에서 명제의 부정이 명제임을 확인했습니다. 그러니 명제가 거짓임을 보이려면 조건을 만족하지 않는 대상을 하나만 찾아 제시하면 끝입니다. 두 번째 식에서는 작은 수부터 넣어 보되, 소수가 되지 않을 만한 구조가 보이는지도 살핍니다.
풀이. 첫 번째 명제에서 를 봅니다. 는 약수가 과 뿐이므로 소수이고, 동시에 짝수입니다. 소수이면서 홀수가 아닌 수가 존재하므로 명제는 거짓입니다.
두 번째 명제는 작은 값에서 잘 맞습니다. 이면 , 이면 , 이면 으로 모두 소수입니다. 이런 식으로 까지 계속 소수가 나옵니다. 그러나 을 넣으면
이므로 로 나누어떨어져 소수가 아닙니다. 에서도 이므로 소수가 아닙니다. 반례가 존재하므로 명제는 거짓입니다.
이 문제에서 배우는 것: 반례.
가 거짓임을 보이는 방법은 가 거짓이 되는 를 하나 제시하는 것이며, 이 를 반례라고 합니다. 부정 규칙에 따라 명제의 부정이 명제이고, 명제를 증명하는 방법은 실제 예를 하나 드는 것이기 때문입니다.
반례를 제시할 때 지켜야 할 것이 두 가지입니다.
첫째, 반례는 범위 안에 있어야 합니다. "모든 자연수는 "에 대한 반례로 을 들 수 없습니다.
둘째, 반례가 실제로 조건을 깨는지 계산으로 보여야 합니다. 이 반례라고 말만 하는 것이 아니라 까지 적어야 증명이 완성됩니다.
두 번째 명제가 주는 교훈이 더 중요합니다. 개의 사례가 맞는다고 해서 명제가 참이 되지는 않습니다. 확인한 사례가 아무리 많아도 그것은 증명이 아닙니다. 명제를 참이라고 주장하려면 범위 안의 모든 대상을 한꺼번에 다루는 논증이 필요하며, 그 방법이 23강부터 25강까지의 내용입니다.
여기서 비대칭이 하나 생깁니다. 명제는 반박은 하나로 끝나지만 증명은 전부를 다뤄야 합니다. 명제는 반대로 증명은 하나로 끝나지만 반박은 전부를 다뤄야 합니다.
| 명제 | 참임을 보이려면 | 거짓임을 보이려면 |
|---|---|---|
| 임의의 에 대해 논증합니다 | 반례 하나를 듭니다 | |
| 예 하나를 듭니다 | 모든 에 대해 논증합니다 |
바로 확인.
확인 3-1. "모든 실수 에 대하여 입니다"의 반례를 하나 드세요.
답. 입니다. 인데 이므로 같지 않습니다.
확인 3-2. "모든 자연수 에 대하여 입니다"의 반례를 하나 드세요.
답. 입니다. 이고 이므로 가 성립하지 않습니다. 과 도 반례입니다. 이고 입니다.
확인 3-3. 이 거짓임을 보이려면 무엇을 해야 합니까?
답. 예를 드는 것으로는 안 되고, 모든 실수에서 임을 논증해야 합니다. 명제의 부정이 명제이기 때문입니다.
문제. 범위를 실수 전체로 하고 다음 두 명제를 비교하세요.
(가)
(나)
각각을 말로 옮기고 참거짓을 판정하세요.
생각의 실마리. 한정 기호는 왼쪽부터 순서대로 읽습니다. 앞에 있는 변수가 먼저 정해지고, 뒤에 있는 변수는 앞 변수를 알고 나서 고를 수 있습니다. 이 순서가 (가)와 (나)에서 누가 누구에게 맞추는지를 결정합니다.
풀이. (가)를 말로 옮기면 "어떤 실수 를 가져오든, 그에 맞는 를 찾아 이 되게 할 수 있습니다"입니다. 가 먼저 주어지고 는 그 뒤에 고릅니다. 가 무엇이든 로 잡으면 이므로 항상 성립합니다. 따라서 (가)는 참입니다.
(나)를 말로 옮기면 "어떤 실수 하나가 있어서, 그 하나가 모든 에 대하여 을 만족시킵니다"입니다. 여기서는 가 먼저 정해지고, 그다음 모든 가 들어옵니다. 를 하나 고정했다고 합시다. 을 넣으면 이어야 합니다. 그런데 을 넣으면 에서 이어야 합니다. 하나의 가 이면서 동시에 일 수는 없으므로 그런 는 존재하지 않습니다. 따라서 (나)는 거짓입니다.
이 문제에서 배우는 것: 한정 기호의 순서와 의존.
한정 기호는 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 읽습니다. 뒤에 오는 변수는 앞에 오는 변수에 의존할 수 있고, 앞에 오는 변수는 뒤에 오는 변수를 알 수 없습니다.
는 "마다 를 따로 골라도 된다"는 뜻이고, 는 "모든 에 통하는 하나가 있다"는 뜻입니다. 뒤쪽이 훨씬 강한 주장입니다. 실제로 가 참이면 도 참이지만, 그 역은 (가)와 (나)가 보여 주듯 성립하지 않습니다.
같은 기호끼리는 순서를 바꿔도 됩니다. 와 는 같고, 와 도 같습니다. 다른 기호가 섞였을 때만 순서가 뜻을 바꿉니다.
이 구별은 뒤에서 계속 결정적입니다. 33강의 수열 수렴 정의와 35강의 연속 정의는 모두 꼴이며, 이 순서를 으로 바꾸면 훨씬 강한 조건인 균등수렴이 되어 다른 개념이 됩니다.
부정 규칙은 여러 개가 붙어 있어도 그대로 적용됩니다. 왼쪽부터 차례로 뒤집습니다.
바로 확인.
확인 4-1. 의 참거짓을 판정하세요.
답. 참입니다. 가 주어지면 로 잡으면 됩니다.
확인 4-2. 의 참거짓을 판정하세요.
답. 거짓입니다. 모든 실수보다 큰 실수 하나가 있다는 뜻인데, 를 고정하면 이 그보다 크므로 그런 는 없습니다.
확인 4-3. 의 부정을 쓰세요.
답. 입니다.
문제. 수학의 정리는 대개 "범위 안의 모든 대상에 대하여, 조건을 만족하면 결론이 성립합니다"라는 꼴입니다. 다음 명제를 기호로 적고 부정을 만드세요.
"모든 실수 에 대하여, 이면 입니다."
그리고 같은 방법으로 "모든 실수 에 대하여, 이면 입니다"의 부정을 만들고 이 명제의 참거짓을 판정하세요.
생각의 실마리. 전체 구조가 입니다. 부정할 것이 두 겹이므로 바깥부터 차례로 처리합니다. 먼저 을 로 바꾸고, 그다음 안쪽 조건문의 부정을 21강 문제 4의 결과로 처리합니다.
풀이. 첫 명제를 기호로 적으면
입니다. 부정을 두 단계로 만듭니다. 먼저 한정 기호를 뒤집습니다.
이제 안쪽에 21강의 를 적용합니다.
말로 옮기면 "보다 큰데 제곱은 이하인 실수가 존재합니다"입니다. 이것이 바로 반례의 정의입니다. 이면 양변에 양수 를 곱해 이므로 그런 는 없고, 원래 명제는 참입니다.
두 번째 명제는 이고 부정은
입니다. 을 봅니다. 이고 이므로 부정이 참입니다. 따라서 두 번째 명제는 거짓이며 이 반례입니다.
이 문제에서 배우는 것: 정리의 표준형과 그 부정.
수학의 정리는 거의 모두 다음 꼴입니다.
여기서 를 가정, 를 결론이라고 합니다. 이 명제의 부정은 항상 같은 모양으로 나옵니다.
말로 옮기면 **"가정은 만족하는데 결론은 만족하지 않는 대상이 존재합니다"**이며, 이 대상이 반례입니다. 반례가 갖춰야 할 조건이 여기서 정확히 나옵니다. 반례는 안에 있고, 를 만족하며, 를 만족하지 않아야 합니다. 셋 중 하나라도 확인하지 않으면 반례로 인정되지 않습니다.
두 번째 명제는 첫 명제의 역이라는 점에 주목합니다. 21강에서 역이 원래 명제와 동치가 아님을 진리표로 확인했는데, 여기서는 그 사실이 구체적인 반례 으로 나타났습니다. 역이 성립하지 않는다는 것은 곧 반례가 존재한다는 뜻입니다.
바로 확인.
확인 5-1. "모든 자연수 에 대하여, 이 의 배수이면 은 의 배수입니다"의 부정을 쓰세요.
답. , 은 의 배수이고 의 배수가 아닙니다.
확인 5-2. "모든 자연수 에 대하여, 이 의 배수이면 은 의 배수입니다"의 반례를 드세요.
답. 입니다. 은 의 배수이지만 의 배수가 아니므로 가정은 참, 결론은 거짓입니다.
확인 5-3. "모든 실수 에 대하여, 이면 입니다"의 부정을 쓰고, 이 명제가 참인지 판정하세요.
답. 부정은 , 이고 입니다. 이면 이므로 그런 는 없고 원래 명제는 참입니다.
| 기호 | 읽는 법 | 참이 되는 때 |
|---|---|---|
| 모든 | 의 모든 원소가 를 만족할 때 | |
| 어떤, 존재 | 를 만족하는 원소가 하나 이상 있을 때 |
| 원래 | 부정 |
|---|---|
| 상황 | 쓸 도구 |
|---|---|
| 명제가 거짓임을 보입니다 | 반례 하나를 제시합니다 |
| 명제가 참임을 보입니다 | 예 하나를 제시합니다 |
| 명제가 참임을 보입니다 | 임의의 원소로 논증합니다 |
| 명제가 거짓임을 보입니다 | 모든 원소에 대해 논증합니다 |
| 두 한정 기호가 섞여 있습니다 | 왼쪽부터 순서대로 읽습니다 |
문제 6. 의 반례를 드세요.
답. 입니다. 이고 입니다. 인 모든 실수가 반례입니다.
문제 7. 의 참거짓을 판정하세요.
답. 참입니다. 이면 입니다.
문제 8. "모든 자연수 에 대하여 입니다"가 참인 이유를 설명하세요.
답. 이므로 양변에 양수 을 곱하면 입니다. 문제 6의 반례가 자연수가 아니었다는 점이 범위의 차이입니다.
문제 9. 을 한정 기호가 앞에 오도록 정리하세요.
답. 입니다.
문제 10. 의 참거짓을 판정하세요.
답. 거짓입니다. 이면 어떤 에 대해서도 이므로 이 반례입니다. 범위를 인 실수로 좁히면 로 잡을 수 있어 참이 됩니다.
문제 11. 공집합을 범위로 하는 의 진리값은 무엇입니까?
답. 참입니다. 거짓이 되려면 를 만족하지 않는 원소가 있어야 하는데 원소가 하나도 없으므로 반례를 찾을 수 없습니다. 21강의 공허하게 참과 같은 현상입니다.
문제 12. 의 진리값은 무엇입니까?
답. 거짓입니다. 참이 되려면 조건을 만족하는 원소가 있어야 하는데 원소가 하나도 없습니다.
문제 13. "모든 정수 에 대하여, 이 짝수이면 도 짝수입니다"의 부정을 쓰세요.
답. , 은 짝수이고 은 홀수입니다.
문제 14. 의 참거짓을 판정하세요.
답. 참입니다. 실수는 보다 크거나 이하 중 정확히 하나에 속하므로 논리합이 항상 참입니다.
문제 15. "적어도 하나의 자연수는 소수가 아닙니다"를 기호로 적고 참거짓을 판정하세요.
답. 은 소수가 아닙니다. 이 소수가 아니므로 참입니다.
문제 16. 와 는 같은 뜻입니까?
답. 같습니다. 같은 한정 기호끼리는 순서를 바꿔도 뜻이 변하지 않습니다. 두 변수 모두 범위 전체를 훑기 때문입니다.
문제 17. "어떤 학생은 모든 과목을 통과했습니다"와 "모든 과목은 어떤 학생이 통과했습니다"의 차이를 설명하세요.
답. 앞은 이므로 전 과목을 혼자 통과한 학생이 있다는 뜻입니다. 뒤는 이므로 과목마다 통과한 학생이 있으면 되고 그 학생이 과목마다 달라도 됩니다. 앞이 뒤보다 강한 주장이며, 앞이 참이면 뒤도 참이지만 역은 성립하지 않습니다.
문제 18. "모든 실수 에 대하여 입니다"의 반례를 들고, 명제를 참이 되도록 최소한으로 고치세요.
답. 이 반례입니다. 이므로 보다 크지 않습니다. 부등호를 고쳐 으로 하거나, 범위를 좁혀 "인 모든 실수"로 하면 참이 됩니다.
심화 1. 가 참인데 가 거짓인 예를 자연수 범위에서 하나 만드세요.
답. 를 ""로 잡습니다.
풀이. 는 로 잡으면 항상 성립하므로 참입니다. 반면 는 모든 자연수보다 큰 자연수가 있다는 뜻인데, 를 고정하면 가 를 깨므로 거짓입니다.
남는 것. 이 예에서 가 에 의존한다는 것이 핵심입니다. 에서는 를 의 식으로 적을 수 있으면 증명이 끝나고, 에서는 가 를 포함하면 안 됩니다. 증명을 쓸 때 "로 잡습니다"라는 한 줄에 가 를 쓰고 있는지 확인하는 습관을 들입니다.
심화 2. 유한한 범위 에서 를 드모르간 법칙만으로 유도하세요.
답. 유한 논리곱을 펼쳐 드모르간 법칙을 두 번 적용하면 됩니다.
풀이. 범위가 세 원소이므로 는 입니다. 부정하면 드모르간 법칙에 의해 이고, 오른쪽에 한 번 더 적용하면 입니다. 이것이 곧 입니다.
남는 것. 범위가 무한하면 이렇게 펼칠 수 없으므로 무한 범위의 부정 규칙은 유도가 아니라 정의로 받아들입니다. 다만 유한한 경우에 드모르간 법칙과 일치한다는 사실이 그 정의가 자연스러운 근거입니다.
심화 3. "모든 자연수 에 대하여 은 소수입니다"에서 이 반례임을 이미 보았습니다. 이 식이 왜 에서 처음 깨지는지, 에서도 깨지는 이유와 함께 설명하세요.
답. 식이 상수 을 포함하므로 이 의 배수가 되면 전체가 로 나누어떨어집니다.
풀이. 로 놓으면 이므로 의 배수입니다. 이면 괄호 안이 보다 크므로 소수가 아닙니다. 그래서 에서 반드시 깨집니다. 의 경우는 다른 이유로, 이 되어 우연히 의 제곱이 됩니다.
남는 것. 반례를 찾을 때 무작정 대입하는 것보다 식의 구조를 보고 깨질 자리를 예측하는 것이 빠릅니다. 상수항이 이므로 의 배수를 먼저 시도하는 것이 자연스러운 전략이며, 이 사고방식은 24강에서 반례를 체계적으로 찾을 때 다시 씁니다.
심화 4. 는 "를 만족하는 가 정확히 하나 존재합니다"를 뜻합니다. 이것을 와 만으로 적으세요.
답. 입니다.
풀이. 정확히 하나라는 것은 두 가지 주장을 합친 것입니다. 하나는 존재한다는 것이고, 다른 하나는 두 개 이상은 아니라는 것입니다. 앞은 이고, 뒤는 "를 만족하는 것은 무엇이든 그 와 같습니다"이므로 입니다. 두 주장을 논리곱으로 묶습니다.
남는 것. 유일성 증명은 언제나 이 두 단계로 나뉩니다. 존재를 보이고, 그다음 두 개를 가정해 같음을 보입니다. 28강에서 역함수가 유일함을 증명할 때 정확히 이 구조를 씁니다.
심화 5. 수열이 에 수렴한다는 정의는 입니다. 이 명제의 부정을 만드세요.
답. 입니다.
풀이. 왼쪽부터 차례로 뒤집습니다. 은 이 되고, 은 이 되며, 은 이 됩니다. 마지막으로 안쪽 부등식 의 부정은 입니다. 범위 조건인 과 은 부정되지 않습니다.
남는 것. 이 부정이 33강에서 발산을 증명할 때 그대로 쓰입니다. 말로 옮기면 "아무리 뒤로 가도 에서 이상 떨어지는 항이 계속 나오는 그런 이 있습니다"입니다. 한정 기호 세 개짜리 문장을 기계적으로 부정할 수 있으면 해석학의 반쪽을 얻은 셈입니다.
심화 6. 가 참이고 가 참이면 는 반드시 참입니까?
답. 반드시 참입니다.
풀이. 두 번째 가정에서 가 참인 가 존재합니다. 첫 번째 가정을 이 에 적용하면 가 참이고, 가 참이므로 가 참입니다. 따라서 를 만족하는 원소가 존재합니다.
남는 것. 여기서 라는 가정이 반드시 필요합니다. 이것이 없으면 안에 를 만족하는 원소가 하나도 없을 수 있고, 그때 첫 번째 명제는 공허하게 참이면서도 를 만족하는 원소를 하나도 주지 못합니다. 정리를 적용할 때 가정을 만족하는 대상이 실제로 있는지 확인하는 것이 빠뜨리기 쉬운 단계입니다.
한정 기호는 유한한 범위에서라면 numpy의 all과 any로 그대로 계산됩니다. 무한 범위는 계산할 수 없으므로 유한한 구간으로 잘라 확인하고, 그 결과가 증명을 대신하지 못한다는 점을 함께 기억합니다.
import numpy as np
# 문제 3: n^2 + n + 41 은 n=39 까지 소수이지만 n=40 에서 깨집니다.
def is_prime(m):
if m < 2:
return False
d = np.arange(2, int(m**0.5) + 1)
return bool(len(d) == 0 or np.all(m % d != 0))
n = np.arange(1, 42)
vals = n**2 + n + 41
flags = np.array([is_prime(int(v)) for v in vals])
print(int(n[~flags][0])) # 40
print(int(vals[n == 40][0])) # 1681
print(1681 == 41**2) # True
# 문제 4: 순서가 뜻을 바꿉니다. x + y = 0 을 격자에서 확인합니다.
xs = np.linspace(-5, 5, 11)
ys = np.linspace(-5, 5, 11)
table = xs[:, None] + ys[None, :] == 0
print(bool(np.all(np.any(table, axis=1)))) # True forall x exists y
print(bool(np.any(np.all(table, axis=0)))) # False exists y forall x
# 문제 6: x^2 >= x 는 실수에서 거짓, 자연수에서 참입니다.
r = np.linspace(0.1, 0.9, 9)
print(bool(np.all(r**2 >= r))) # False
k = np.arange(1, 1001)
print(bool(np.all(k**2 >= k))) # True
# 문제 18: |x| > 0 의 반례는 x = 0 하나뿐입니다.
z = np.linspace(-2, 2, 401)
print(z[np.abs(z) <= 0]) # [0.]
출력이 주석과 모두 일치합니다. 마지막 두 검산에서 주의할 점이 있습니다. 자연수 개까지 확인했다고 해서 이 증명된 것은 아닙니다. 문제 3이 보여 준 대로 개가 맞아도 번째에서 깨질 수 있습니다. 코드는 반례를 찾는 데는 강하지만 전칭 명제를 증명하는 데는 쓸 수 없습니다.
정답.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 모든 | 범위 안 전부에 대해 성립합니다 | |
| 어떤, 존재 | 범위 안에 적어도 하나 있습니다 | |
| 유일하게 존재 | 정확히 하나 있습니다 | |
| 피 오브 엑스 | 변수를 담은 조건입니다 | |
| 엑스는 에이의 원소 | 가 범위 안에 있습니다 | |
| 공집합 | 원소가 하나도 없는 집합입니다 |
다음 23강에서는 지금까지 읽기만 한 명제를 직접 증명하는 법을 배웁니다. 명제를 참이라고 주장하려면 임의의 원소로 논증해야 한다고 했는데, 그 논증을 실제로 쓰는 방법이 직접증명과 대우증명입니다.