이 문제집은 26강부터 29강까지의 도구를 섞어 다시 묻습니다. 01단원 문제집과 마찬가지로 어느 도구를 쓸지부터 스스로 정해야 합니다.
이 단원에서 판단의 첫 갈림길은 다음 표입니다. 문제를 읽고 무엇을 보여야 하는지 정한 뒤 손을 움직입니다.
| 보여야 할 것 |
어떻게 합니까 |
| A⊆B |
임의의 x∈A를 잡고 x∈B를 유도합니다 |
| A=B |
양쪽 포함을 각각 보입니다 |
| A=B |
한쪽에만 있는 원소를 하나 제시합니다 |
| 단사 |
f(x1)=f(x2)에서 x1=x2를 유도합니다 |
| 단사가 아님 |
값이 같은 서로 다른 두 입력을 제시합니다 |
| 전사 |
임의의 y에 대해 x를 y의 식으로 만듭니다 |
| 전사가 아님 |
도달되지 않는 y를 제시합니다 |
| 셀 수 있음 |
빠짐없는 나열 규칙을 제시합니다 |
| 셀 수 없음 |
목록을 가정하고 대각선 논법을 씁니다 |
답을 보기 전에 반드시 손으로 먼저 씁니다.
문제 1. {x∈Z∣x2≤9}를 원소나열법으로 쓰세요.
답. {−3,−2,−1,0,1,2,3}입니다.
문제 2. U={1,…,8}, A={1,3,5,7}, B={2,3,4,5}일 때 A∪B, A∩B, A∖B, Bc를 구하세요.
답. A∪B={1,2,3,4,5,7}, A∩B={3,5}, A∖B={1,7}, Bc={1,6,7,8}입니다.
문제 3. ∅과 {∅}의 원소 개수를 각각 쓰세요.
답. 0개와 1개입니다.
문제 4. A⊆B의 정의를 논리식으로 쓰세요.
답. ∀x,(x∈A→x∈B)입니다.
문제 5. ∅⊆A가 모든 집합에서 참인 이유를 쓰세요.
답. 정의가 조건문인데 가정 x∈∅이 항상 거짓이므로 21강의 공허하게 참에 해당합니다.
문제 6. (A∪B)c=Ac∩Bc를 논리의 드모르간 법칙으로 증명하세요.
답. x∈(A∪B)c는 ¬(x∈A∨x∈B)이고, 드모르간 법칙으로 x∈/A∧x∈/B이며 이는 x∈Ac∩Bc입니다. 모든 단계가 동치이므로 양쪽 포함이 동시에 성립합니다.
문제 7. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)의 ⊇ 방향을 증명하세요.
답. x∈(A∪B)∩(A∪C)를 잡습니다. x∈A이면 곧바로 왼쪽에 속합니다. x∈/A이면 x∈A∪B에서 x∈B이고 x∈A∪C에서 x∈C이므로 x∈B∩C이고 역시 왼쪽에 속합니다.
문제 8. A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)임을 증명하세요.
답. A∖(B∩C)=A∩(B∩C)c=A∩(Bc∪Cc)이고 분배법칙으로 (A∩Bc)∪(A∩Cc)=(A∖B)∪(A∖C)입니다.
문제 9. ∣A∣=7, ∣B∣=5, ∣A∩B∣=3일 때 ∣A∪B∣와 ∣A∖B∣를 구하세요.
답. ∣A∪B∣=7+5−3=9이고 ∣A∖B∣=7−3=4입니다.
문제 10. ∣A∣=6일 때 ∣P(A)∣와 ∣A×A∣를 구하세요.
답. 26=64와 6×6=36입니다.
문제 11. P(A)⊆P(B)이면 A⊆B임을 증명하세요.
답. A⊆A이므로 A∈P(A)⊆P(B)이고, 따라서 A⊆B입니다.
문제 12. A×B=∅이 되는 조건을 쓰세요.
답. A=∅이거나 B=∅입니다. 한쪽이 비면 순서쌍을 하나도 만들 수 없습니다.
문제 13. ∣A∪B∪C∣를 포함배제로 쓰세요.
답. ∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣B∩C∣−∣C∩A∣+∣A∩B∩C∣입니다.
문제 14. A={1,2,3}, B={a,b}일 때 {(1,a),(2,b)}가 A에서 B로 가는 함수입니까?
답. 아닙니다. 3에 대응하는 원소가 없어 존재 조건이 깨집니다.
문제 15. f:R→R, f(x)=x2+1의 치역을 구하세요.
답. x2≥0이므로 [1,∞)입니다.
문제 16. f:R→R, f(x)=7x−3이 전단사임을 증명하세요.
답. 7x1−3=7x2−3이면 x1=x2이므로 단사입니다. 임의의 y에 대해 x=7y+3이 실수이고 f(x)=y이므로 전사입니다.
문제 17. f:R→R, f(x)=x4가 단사가 아님을 반례로 보이세요.
답. f(−1)=1=f(1)이고 −1=1입니다.
문제 18. 문제 17의 함수가 단사가 되도록 정의역을 좁히고, 전사가 되도록 공역을 고치세요.
답. 정의역을 [0,∞)로 좁히면 단사이고, 공역을 [0,∞)로 고치면 전사입니다. 둘 다 하면 전단사입니다.
문제 19. f:Z→Z, f(n)=3n+1은 전사입니까?
답. 아닙니다. y=2에 대해 3n+1=2를 만족하는 정수 n이 없습니다. 단사이기는 합니다.
문제 20. 두 함수가 같은지 판정할 때 확인해야 할 세 가지를 쓰세요.
답. 정의역이 같은지, 공역이 같은지, 모든 점에서 값이 같은지입니다.
문제 21. f:R→R, f(x)=x−2x2−4와 g:R→R, g(x)=x+2는 같은 함수입니까?
답. 같지 않습니다. f는 x=2에서 정의되지 않아 정의역이 다릅니다.
문제 22. A={1,2,3,4}에서 B={a,b,c}로 가는 단사 함수가 있습니까?
답. 없습니다. 서로 다른 값 네 개가 필요한데 공역에 세 개뿐이므로 반드시 겹칩니다.
문제 23. ∣A∣=∣B∣=4인 유한집합에서 f:A→B가 단사이면 전사입니까?
답. 전사입니다. 단사이면 치역의 원소가 4개이고 B의 원소도 4개이므로 치역이 B 전체입니다.
문제 24. 무한집합에서 문제 23이 성립하지 않는 예를 드세요.
답. f:N→N, f(n)=n+1은 단사이지만 y=1에 도달하지 못해 전사가 아닙니다.
문제 25. ∣A∣=4, ∣B∣=6일 때 A에서 B로 가는 단사 함수의 개수를 구하세요.
답. 6⋅5⋅4⋅3=360개입니다.
문제 26. f(x)=x+5, g(x)=3x일 때 (g∘f)(2)와 (f∘g)(2)를 구하세요.
답. (g∘f)(2)=g(7)=21이고 (f∘g)(2)=f(6)=11입니다.
문제 27. 합성이 결합법칙을 따름을 임의의 점에서의 값으로 증명하세요.
답. ((h∘g)∘f)(a)=h(g(f(a)))이고 (h∘(g∘f))(a)=h(g(f(a)))입니다. 정의역과 공역도 양쪽이 같으므로 두 함수가 같습니다.
문제 28. g∘f가 단사이면 f가 단사임을 증명하세요.
답. f(x1)=f(x2)이면 양변에 g를 적용해 (g∘f)(x1)=(g∘f)(x2)이고, 합성이 단사이므로 x1=x2입니다.
문제 29. g∘f가 단사인데 g는 단사가 아닌 예를 만드세요.
답. A={1}, B={a,b}, C={p}에서 f(1)=a, g(a)=g(b)=p입니다.
문제 30. 역함수가 존재할 필요충분조건을 쓰고, 전사와 단사가 각각 무엇을 보장하는지 적으세요.
답. f가 전단사인 것입니다. 전사는 모든 b에서 f−1(b)의 존재를, 단사는 그 값의 유일성을 보장합니다.
문제 31. f:R→R, f(x)=2x−1의 역함수를 구하세요.
답. y=2x−1에서 x=2y+1이므로 f−1(y)=2y+1입니다.
문제 32. f(x)=x3−2의 역함수를 구하세요.
답. y=x3−2에서 x=3y+2이므로 f−1(y)=3y+2입니다.
문제 33. 역함수가 유일함을 증명하세요.
답. g1과 g2가 모두 역함수라면 g1=g1∘id=g1∘(f∘g2)=(g1∘f)∘g2=id∘g2=g2입니다. 결합법칙과 항등함수의 성질을 썼습니다.
문제 34. (g∘f)−1을 f−1과 g−1로 쓰고 순서가 뒤집히는 이유를 설명하세요.
답. f−1∘g−1입니다. g∘f의 역함수는 C에서 출발해야 하는데 C에서 출발할 수 있는 것이 g−1뿐이므로 그것이 먼저 와야 합니다.
문제 35. f∘f=id인 함수를 두 개 드세요.
답. f(x)=−x와 f(x)=7−x입니다. x=0에서 f(x)=x1도 그렇습니다.
문제 36. g∘f=idA만 성립하면 f가 전단사입니까?
답. 아닙니다. 단사임은 따라오지만 전사는 보장되지 않습니다. A={1}, B={a,b}, f(1)=a, g(a)=g(b)=1이 반례입니다.
문제 37. 두 집합의 크기가 같다는 것을 어떻게 정의합니까?
답. 두 집합 사이에 전단사가 존재하면 크기가 같다고 정의합니다.
문제 38. 무한집합의 정의를 쓰고 N이 무한임을 보이세요.
답. 자기 진부분집합과 대등한 집합입니다. f(n)=2n이 N에서 짝수 전체로 가는 전단사이므로 N은 무한입니다.
문제 39. Z가 셀 수 있음을 나열로 보이세요.
답. 0,1,−1,2,−2,3,−3,…로 나열하면 모든 정수가 유한한 번호를 받습니다.
문제 40. Q가 셀 수 있음을 보이는 방법을 요약하세요.
답. 분자와 분모의 격자를 만들고 p+q가 작은 대각선부터 훑습니다. 각 대각선의 원소가 유한하므로 모든 칸이 유한한 번호를 받고, 중복은 지웁니다.
문제 41. N×N∼N임을 식으로 보이세요.
답. f(m,n)=2m−1(2n−1)이 전단사입니다. 모든 자연수가 2의 거듭제곱과 홀수의 곱으로 유일하게 분해되기 때문입니다.
문제 42. (0,1)이 셀 수 없음을 대각선 논법으로 증명하세요.
답. 목록 x1,x2,…가 있다고 가정하고 y의 n번째 자리를 xn의 n번째 자리와 다르게 정합니다. y∈(0,1)인데 어느 xk와도 k번째 자리에서 다르므로 목록에 없습니다. 목록이 빠짐없다는 가정에 어긋납니다.
문제 43. 대각선 논법에서 숫자를 5와 6으로만 고르는 이유를 쓰세요.
답. 0이나 9를 쓰면 0.4999⋯=0.5처럼 한 실수가 두 표기를 가져 자릿수 비교가 무너지기 때문입니다.
문제 44. 무리수 전체가 셀 수 없음을 증명하세요.
답. 셀 수 있다면 셀 수 있는 Q와의 합집합도 셀 수 있어야 하는데 그 합집합이 R이고 R는 셀 수 없으므로 모순입니다.
문제 45. 칸토어 정리를 쓰고 증명의 핵심 집합을 적으세요.
답. 어떤 집합도 자기 멱집합과 대등하지 않습니다. 임의의 f:A→P(A)에 대해 D={a∈A∣a∈/f(a)}가 치역에 없음을 보입니다.
문제 46. 가장 큰 무한집합이 없는 이유를 쓰세요.
답. 어떤 집합을 가져오든 그 멱집합이 더 크므로 최대가 존재할 수 없습니다.
문제 47. (0,1)과 R가 대등함을 보이는 함수를 하나 제시하세요.
답. f(x)=tan(πx−2π)입니다. 16강에서 본 대로 탄젠트가 반주기 구간에서 실수 전체를 훑습니다.
문제 48. 대수적 수가 셀 수 있음을 이용해 초월수가 존재함을 보이세요.
답. 정수 계수 다항식은 셀 수 있게 많고 각각 유한개의 근을 가지므로 대수적 수 전체가 셀 수 있습니다. 실수는 셀 수 없으므로 대수적이지 않은 실수가 반드시 존재합니다. 구체적인 예를 들지 않고 개수 비교만으로 존재를 얻은 비구성적 증명입니다.
48문항 중 맞힌 개수로 다음을 판단합니다.
| 정답 수 |
판단 |
| 43개 이상 |
03단원으로 넘어갑니다 |
| 34∼42개 |
틀린 문제가 속한 강의만 다시 읽고 넘어갑니다 |
| 33개 이하 |
26강부터 29강까지 다시 읽습니다 |
2부와 3부에서 절반 이하를 맞혔다면 반드시 되돌아갑니다. 단사와 전사를 판정하는 손은 33강 이후 극한과 연속을 다룰 때, 62강 이후 선형변환을 다룰 때 계속 요구됩니다.