9강에서 함수를 " 하나에 하나가 대응하는 관계"라고 배웠고 그래프로 확인했습니다. 그 설명은 그림에 기대고 있어서, 그래프를 그릴 수 없는 대상에는 쓸 수 없습니다. 예를 들어 집합에서 집합으로 가는 대응이나 함수를 함수로 보내는 대응은 좌표평면에 그려지지 않습니다.
이 강의는 26강의 곱집합을 써서 함수를 그림 없이 정의합니다. 그리고 9강에서 나눌 수 없었던 함수의 성질을 단사와 전사라는 두 축으로 갈라 놓습니다. 이 구분이 28강의 역함수 존재 조건을 결정하고, 29강에서 무한집합의 크기를 비교하는 잣대가 됩니다.
문제. , 일 때 다음 세 대응 중 에서 로 가는 함수인 것을 고르고, 아닌 것은 이유를 적으세요.
(가)
(나)
(다) h=\
생각의 실마리. 세 대응 모두 의 부분집합입니다. 그런데 함수라고 부르려면 조건이 더 필요합니다. 9강에서 " 하나에 하나"라고 했던 말을 두 조각으로 나눠 봅니다. 하나도 없으면 안 되고, 둘 이상이어도 안 됩니다.
풀이. (가)는 각각에 대해 짝이 정확히 하나씩 있습니다. 함수입니다.
(나)는 에 대응하는 원소가 없습니다. 의 모든 원소에 짝이 있어야 하는데 이 빠졌으므로 함수가 아닙니다.
(다)는 에 대응하는 원소가 와 둘입니다. 하나여야 하므로 함수가 아닙니다.
이 문제에서 배우는 것: 함수의 정의.
에서 로 가는 함수 는 의 부분집합으로서 다음 조건을 만족하는 것입니다.
여기서 는 22강 심화 4에서 정의한 "정확히 하나 존재"입니다. 이 한 줄이 두 가지를 동시에 요구합니다.
일 때 로 씁니다. 그리고 가 에서 로 가는 함수임을 로 적습니다.
여기서 세 가지 집합을 구분합니다.
| 이름 | 기호 | 뜻 |
|---|---|---|
| 정의역 | 출발하는 집합입니다 | |
| 공역 | 도착할 수 있는 집합입니다 | |
| 치역 | 실제로 도착하는 값들의 집합입니다 |
치역은 로 정의되며 항상 입니다. (가)에서 치역은 이고 공역과 같지만, 만약 였다면 치역은 로 공역보다 작습니다.
9강의 수직선 판정법이 여기서 설명됩니다. 그래프에 수직선을 그어 두 점 이상에서 만나면 유일 조건이 깨지고, 한 점도 만나지 않는 가 정의역에 있으면 존재 조건이 깨집니다.
바로 확인.
확인 1-1. 는 에서 로 가는 함수입니까?
답. 아닙니다. 에 와 가 모두 대응하므로 유일 조건이 깨집니다.
확인 1-2. , 의 정의역, 공역, 치역을 각각 쓰세요.
답. 정의역은 , 공역은 , 치역은 입니다. 실수의 제곱은 음수가 되지 않기 때문입니다.
확인 1-3. 가 에서 를 정하는 함수입니까?
답. 아닙니다. 일 때 와 가 모두 가능하므로 유일 조건이 깨집니다.
문제. 다음 세 함수가 서로 같은지 판정하세요.
(가) ,
(나) ,
(다) , h(x)=x^
생각의 실마리. 세 함수의 계산식이 모두 같습니다. 그런데 함수는 곱집합의 부분집합으로 정의했으므로, 어느 곱집합의 부분집합인지가 함수의 일부입니다. 정의역과 공역이 다르면 서로 다른 곱집합을 쓰고 있다는 점에 주목합니다.
풀이. (가)와 (다)를 비교합니다. 정의역이 다릅니다. (가)는 에서 값을 가지지만 (다)는 이 정의역에 없어 값을 가지지 않습니다. 두 함수는 서로 다른 순서쌍의 집합이므로 같지 않습니다.
(가)와 (나)를 비교합니다. 정의역이 같고 모든 에서 값도 같습니다. 순서쌍의 집합으로 보면 정확히 같습니다. 그러나 공역이 다릅니다.
여기서 판단이 갈립니다. 함수를 순서쌍의 집합으로만 보면 (가)와 (나)는 같고, 공역까지 포함해 정의하면 다릅니다. 이 강의에서는 공역까지 함수의 일부로 봅니다. 그렇게 정해야 전사 여부가 함수의 성질로 말이 되기 때문입니다. 이 약속에 따라 (가)와 (나)도 서로 다른 함수입니다.
이 문제에서 배우는 것: 함수의 상등과 공역의 역할.
두 함수 와 가 같다는 것은 다음 세 가지가 모두 성립한다는 뜻입니다.
세 조건 중 하나라도 어긋나면 다른 함수입니다. 계산식이 같다고 같은 함수인 것이 아닙니다.
공역을 함수의 일부로 두는 이유가 중요합니다. 문제 4에서 볼 전사라는 성질은 "치역이 공역과 같습니까"를 묻는 것인데, 공역이 함수에 붙어 있지 않으면 이 질문 자체가 성립하지 않습니다. (가)는 전사가 아니고 (나)는 전사인데, 둘을 같은 함수로 본다면 같은 함수가 전사이면서 전사가 아니게 되어 모순입니다.
정의역을 바꾸는 것을 제한, 공역을 치역까지 줄이는 것을 공역 축소라고 부릅니다. 둘 다 원래 함수와 다른 함수를 만듭니다.
바로 확인.
확인 2-1. , 와 , 은 같은 함수입니까?
답. 같습니다. 정의역과 공역이 같고, 1강에서 확인한 대로 모든 실수에서 이므로 값도 같습니다.
확인 2-2. , 과 , 은 같은 함수입니까?
답. 같지 않습니다. 는 에서 정의되지 않으므로 정의역이 이고 의 정의역은 입니다. 24강 문제 4의 (다)와 같은 상황입니다.
확인 2-3. 함수의 상등을 판정할 때 확인할 세 가지를 쓰세요.
답. 정의역이 같은지, 공역이 같은지, 모든 점에서 값이 같은지입니다.
문제. 다음 세 함수가 단사인지 판정하세요. 단사란 서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 간다는 뜻입니다.
(가) ,
(나) ,
(다) , h(x)=x^
생각의 실마리. "서로 다르면 서로 다르게 간다"를 그대로 증명하려면 라는 부정형 가정에서 출발해야 합니다. 23강 문제 3에서 부정형이 나오면 대우를 보라고 했습니다. 대우를 적어 보면 훨씬 다루기 쉬운 형태가 나옵니다.
풀이. 단사의 정의는 입니다. 대우를 취하면
이고 이쪽이 계산하기 쉽습니다.
(가) 라고 하면 입니다. 양변에서 을 빼고 으로 나누면 입니다. 따라서 단사입니다.
(나) 라고 하면 이고, 23강 문제 14에서 본 대로 여기서 가 나오지 않습니다. 실제로 이지만 이므로 단사가 아닙니다. , 가 반례입니다.
(다) 정의역이 로 좁혀졌습니다. 이면 이고 이므로 양변에 제곱근을 취하면 입니다. 단사입니다. (나)의 반례였던 가 정의역에서 빠졌기 때문입니다.
이 문제에서 배우는 것: 단사.
가 단사라는 것은 다음이 성립한다는 뜻이며, 두 표현은 대우 관계로 동치입니다.
일대일 함수라고도 부릅니다. 판정 방법을 정리합니다.
| 무엇을 보입니까 | 어떻게 합니까 |
|---|---|
| 단사임을 증명합니다 | 를 놓고 계산해 를 유도합니다 |
| 단사가 아님을 보입니다 | 이면서 인 구체적인 를 제시합니다 |
증명은 대우로, 반박은 반례로입니다. 22강에서 정리한 전칭 명제의 비대칭이 그대로 나타납니다.
(나)와 (다)의 차이가 알려 주는 것이 있습니다. 단사 여부는 계산식만으로 정해지지 않고 정의역에 달려 있습니다. 같은 이라도 정의역을 좁히면 단사가 됩니다. 11강에서 역함수를 구할 때 정의역을 제한했던 이유가 이것이며, 28강에서 정식으로 다룹니다.
그래프로는 수평선 판정이 됩니다. 어떤 수평선도 그래프와 두 점 이상에서 만나지 않으면 단사입니다. (나)의 그래프에서 인 수평선이 두 점에서 만나는 것이 반례를 그림으로 본 것입니다.
바로 확인.
확인 3-1. , 은 단사입니까?
답. 단사입니다. 이면 세제곱근이 실수에서 유일하므로 입니다. 홀수 차수 거듭제곱은 부호를 보존하므로 짝수 차수와 달리 겹치지 않습니다.
확인 3-2. , 가 단사가 아님을 반례로 보이세요.
답. 이고 이므로 단사가 아닙니다. 16강에서 본 주기성 때문에 반례가 무한히 많습니다.
확인 3-3. , 가 단사가 아님을 보이고, 단사가 되도록 정의역을 좁히세요.
답. 이므로 단사가 아닙니다. 정의역을 로 좁히면 가 되어 단사입니다.
문제. 다음 세 함수가 전사인지 판정하세요. 전사란 공역의 모든 원소가 적어도 하나의 입력에서 나온다는 뜻입니다.
(가) ,
(나) ,
(다) , k(x)=x^
생각의 실마리. 전사임을 보이려면 공역의 임의의 원소 를 잡고 가 되는 를 실제로 찾아야 합니다. 22강에서 꼴이었으므로, 를 의 식으로 적을 수 있으면 증명이 끝납니다. 방정식을 에 대해 푸는 일과 같습니다.
풀이. 전사의 정의는 입니다.
(가) 임의의 를 잡습니다. 를 에 대해 풀면 입니다. 이것은 실수이므로 정의역 안에 있고, 대입하면 입니다. 따라서 전사입니다.
(나) 을 봅니다. 을 만족하는 실수 는 없습니다. 공역의 원소 중 도달되지 않는 것이 있으므로 전사가 아닙니다. 이 반례입니다.
(다) 공역이 로 줄었습니다. 임의의 을 잡으면 가 실수이고 입니다. 따라서 전사입니다. (나)의 반례였던 음수가 공역에서 빠졌기 때문입니다.
이 문제에서 배우는 것: 전사.
가 전사라는 것은
라는 뜻이며, 이는 치역이 공역과 같다는 말과 같습니다.
판정 방법을 정리합니다.
| 무엇을 보입니까 | 어떻게 합니까 |
|---|---|
| 전사임을 증명합니다 | 임의의 를 잡고 를 에 대해 풀어 그 해가 에 있음을 확인합니다 |
| 전사가 아님을 보입니다 | 어떤 로도 도달되지 않는 를 하나 제시합니다 |
(나)와 (다)의 차이가 문제 2에서 공역을 함수의 일부로 둔 이유를 보여 줍니다. 전사 여부는 계산식이 아니라 공역이 무엇인지에 달려 있습니다. 어떤 함수든 공역을 치역으로 줄이면 전사가 됩니다.
단사와 전사를 나란히 놓으면 대칭이 보입니다.
| 단사 | 전사 | |
|---|---|---|
| 무엇을 요구합니까 | 겹치지 않습니다 | 빠짐없이 채웁니다 |
| 의 해 | 많아야 하나입니다 | 적어도 하나입니다 |
| 무엇에 달려 있습니까 | 정의역 | 공역 |
| 그래프 판정 | 수평선이 두 번 만나지 않습니다 | 모든 수평선이 적어도 한 번 만납니다 |
둘을 합치면 모든 에 대해 의 해가 정확히 하나가 됩니다. 이것이 다음 문제의 전단사이며, 28강의 역함수가 존재하는 조건입니다.
바로 확인.
확인 4-1. , 은 전사입니까?
답. 아닙니다. 에 대해 을 만족하는 정수 이 없으므로 반례입니다.
확인 4-2. , 은 전사입니까?
답. 전사입니다. 임의의 에 대해 가 실수이고 입니다.
확인 4-3. , 의 치역을 구하고 전사 여부를 판정하세요.
답. 16강에서 본 대로 치역은 입니다. 공역 과 다르므로 전사가 아니며 가 반례입니다. 공역을 로 줄이면 전사가 됩니다.
문제. , 입니다.
(1) 가 단사이면서 전사임을 확인하세요.
(2) 에서 로 가는 함수 중 단사인데 전사가 아닌 것이 있습니까?
(3) 인 유한집합에서 단사와 전사가 동치인 이유를 설명하세요.
생각의 실마리. (2)에서 무작정 예를 찾기보다 개수를 세어 봅니다. 의 원소 개가 서로 다른 곳으로 간다면 도착점이 몇 개 생깁니까? 의 크기와 비교하면 답이 나옵니다.
풀이. (1) 서로 다른 세 입력이 서로 다른 세 출력으로 가므로 단사입니다. 치역이 이므로 전사입니다.
(2) 없습니다. 가 단사라면 의 상이 서로 달라 치역의 원소가 개입니다. 그런데 치역은 의 부분집합이고 이므로 원소가 개인 부분집합은 자신뿐입니다. 따라서 치역이 와 같아지고 전사가 됩니다.
(3) 일반적으로 이라고 합니다.
단사이면 치역의 원소가 정확히 개이고, 치역은 의 부분집합이며 이므로 치역이 전체입니다. 따라서 전사입니다.
전사이면 치역이 전체이므로 원소가 개입니다. 의 원소 개가 이 개의 값을 모두 만들어야 하는데, 만약 두 원소가 같은 값으로 간다면 서로 다른 값이 개 이하가 되어 모자랍니다. 따라서 모든 원소가 서로 다른 값으로 가고 단사입니다.
이 문제에서 배우는 것: 전단사와 유한집합에서의 동치.
단사이면서 전사인 함수를 전단사라고 합니다. 일대일 대응이라고도 부릅니다. 전단사의 뜻을 한 줄로 적으면
입니다. 모든 에 대해 의 해가 정확히 하나 있다는 뜻이며, 이것이 28강에서 역함수를 정의할 수 있게 하는 조건입니다.
방금 증명한 것을 정리합니다. 와 가 같은 크기의 유한집합이면 단사, 전사, 전단사가 모두 같은 말입니다. 셋 중 하나만 확인하면 나머지가 따라옵니다.
이 동치는 유한집합에서만 성립합니다. 무한집합에서는 깨집니다. , 은 단사이지만 홀수에 도달하지 못해 전사가 아닙니다. 은 자기 자신과 크기가 같은데도 그렇습니다.
이 실패가 우연이 아니라 무한집합의 본질입니다. 29강에서 이 성질을 무한의 정의로 삼고, 그 위에서 무한집합끼리도 크기를 비교하는 방법을 만듭니다.
바로 확인.
확인 5-1. 에서 로 가는 전사 함수가 있습니까?
답. 없습니다. 치역의 원소가 많아야 개인데 는 개이므로 항상 도달되지 않는 원소가 남습니다.
확인 5-2. 에서 로 가는 단사 함수가 있습니까?
답. 없습니다. 서로 다른 세 값이 필요한데 에는 두 개뿐이므로 19강의 비둘기집 원리에 따라 반드시 겹칩니다.
확인 5-3. , 은 단사입니까? 전사입니까?
답. 단사입니다. 이면 입니다. 그러나 에 도달하는 자연수가 없으므로 전사가 아닙니다. 무한집합에서 동치가 깨지는 또 하나의 예입니다.
| 개념 | 정의 |
|---|---|
| 함수 | |
| 치역 | f(A)=\ |
| 단사 | f(x_{1})=f(x_{2})\to x_{1}=x_ |
| 전사 | |
| 전단사 | 단사이면서 전사입니다 |
| 함수의 상등 | 정의역, 공역, 모든 점의 값이 같습니다 |
| 무엇을 보입니까 | 어떻게 합니까 |
|---|---|
| 단사임을 증명 | 에서 를 유도합니다 |
| 단사가 아님 | 값이 같은 서로 다른 두 입력을 제시합니다 |
| 전사임을 증명 | 임의의 에 대해 를 의 식으로 만듭니다 |
| 전사가 아님 | 도달되지 않는 를 제시합니다 |
| 단사로 만들기 | 정의역을 좁힙니다 |
| 전사로 만들기 | 공역을 치역으로 줄입니다 |
문제 6. , 가 전단사임을 증명하세요.
답. 이면 이므로 단사입니다. 임의의 에 대해 이면 이므로 전사입니다.
문제 7. , 이 단사가 아님을 보이세요.
답. 이므로 입니다. 이므로 단사가 아닙니다.
문제 8. 문제 7의 함수가 단사가 되도록 정의역을 좁히세요.
답. 또는 로 좁히면 됩니다. 6강에서 본 대로 꼭짓점 를 기준으로 한쪽만 남기면 겹치지 않습니다.
문제 9. 문제 7의 함수의 치역을 구하고 전사 여부를 판정하세요.
답. 이므로 치역은 입니다. 공역 과 다르므로 전사가 아니며 이 반례입니다.
문제 10. , 이 전단사임을 보이세요.
답. 이면 이므로 단사입니다. 임의의 정수 에 대해 이 정수이고 이므로 전사입니다.
문제 11. , 의 치역을 구하세요.
답. 이므로 이고, 가 커지면 값이 에 가까워지지만 이 되지는 않습니다. 치역은 입니다.
문제 12. 에서 로 가는 함수는 몇 개입니까?
답. 각 원소가 두 곳 중 하나로 가므로 개입니다.
문제 13. 문제 12에서 전사인 것은 몇 개입니까?
답. 전체 개에서 치역이 한 원소뿐인 경우 개를 빼면 개입니다. 19강의 여사건 방식입니다.
문제 14. 가 단사이고 일 때 를 구하세요.
답. 입니다. 단사이면 서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 가므로 치역의 크기가 정의역의 크기와 같습니다.
문제 15. , 은 단사입니까? 전사입니까?
답. 단사입니다. 자연수에서 이면 둘 다 양수이므로 입니다. 전사는 아닙니다. 가 어떤 자연수의 제곱도 아니므로 반례입니다.
문제 16. , 의 치역을 구하고 공역을 어떻게 바꾸면 전사가 되는지 쓰세요.
답. 13강에서 본 대로 치역은 입니다. 공역을 로 바꾸면 전사가 됩니다.
문제 17. 상수함수 , 는 단사입니까? 전사입니까?
답. 둘 다 아닙니다. 이므로 단사가 아니고, 치역이 뿐이라 에 도달하지 못하므로 전사가 아닙니다.
문제 18. 가 전사일 때 와 의 대소 관계는 어떻게 됩니까? 유한집합에서 답하세요.
답. 입니다. 의 각 원소마다 적어도 하나의 원소가 대응되어야 하므로 정의역이 공역보다 작을 수 없습니다.
심화 1. 단사임을 증명할 때 왜 대우 형태를 쓰는지 설명하세요.
답. 원래 형태의 가정이 부정형이라 식으로 옮기기 어렵기 때문입니다.
풀이. 원래 정의는 입니다. 가정 에서 시작하면 두 수가 다르다는 것 말고는 쓸 정보가 없고, 결론도 부정형이라 계산으로 도달하기 어렵습니다. 대우를 취하면 가정이 라는 등식이 되어 양변을 계산할 수 있고 결론도 등식이 됩니다. 23강 문제 3의 첫 번째 신호와 정확히 같은 상황입니다.
남는 것. 정의를 그대로 쓰지 않고 동치인 형태로 바꿔 쓰는 것이 실전에서 늘 필요합니다. 단사의 두 표현은 어느 쪽을 정의로 삼아도 되지만, 증명에는 등식 쪽이 압도적으로 편합니다.
심화 2. 에 대하여 가 단사일 필요충분조건이 "모든 에 대해 의 해가 많아야 하나"임을 보이세요.
답. 두 조건이 동치입니다.
풀이. 가 단사라고 합시다. 어떤 에 대해 해가 둘이라면 이고 이므로 단사에 어긋납니다. 따라서 해는 많아야 하나입니다.
역으로 모든 에서 해가 많아야 하나라고 합시다. 이면 과 가 모두 의 해이므로 해가 하나뿐이라는 조건에서 입니다.
남는 것. 단사와 전사를 방정식 의 해의 개수로 통일해 읽을 수 있습니다. 단사는 해가 개나 개, 전사는 해가 개 이상, 전단사는 정확히 개입니다. 이 관점이 28강의 역함수를 자연스럽게 만듭니다. 해가 정확히 하나면 그 해를 에 대응시키는 함수를 만들 수 있습니다.
심화 3. 중에서 단사이지만 전사가 아닌 것과, 전사이지만 단사가 아닌 것을 각각 만드세요.
답. 과 아래의 가 각각 그런 예입니다.
풀이. 은 에서 이므로 단사이고, 홀수에 도달하지 못하므로 전사가 아닙니다.
를 이고 에서 로 정의합니다. 임의의 에 대해 이므로 전사입니다. 그러나 이므로 단사가 아닙니다.
남는 것. 두 예가 함께 보여 주는 것은 무한집합에서 단사와 전사가 완전히 독립적인 성질이라는 사실입니다. 문제 5에서 본 유한집합의 동치가 무한에서는 어느 방향으로도 성립하지 않습니다. 이 실패를 뒤집어 정의로 삼으면 "자기 자신의 진부분집합과 전단사 대응이 되는 집합"이 무한집합이며, 29강에서 이 관점을 씁니다.
심화 4. 가 단사일 때 의 공역을 치역으로 줄인 함수 가 전단사임을 증명하세요.
답. 전단사입니다.
풀이. 는 정의역과 값이 와 같고 공역만 다릅니다. 단사는 정의역과 값만으로 결정되므로 도 단사입니다. 전사를 봅니다. 임의의 를 잡으면 치역의 정의에 따라 인 가 존재하고, 그 에 대해 입니다. 따라서 전사입니다.
남는 것. 어떤 함수든 공역을 치역으로 줄이면 전사가 되고, 단사이기까지 하면 전단사가 됩니다. 이것이 29강에서 집합의 크기를 비교할 때 결정적으로 쓰입니다. "에서 로 가는 단사가 있다"는 것은 "가 의 어떤 부분집합과 일대일로 대응한다"와 같은 말이 되기 때문입니다.
심화 5. , 인 유한집합에서 에서 로 가는 단사 함수의 개수를 구하세요.
답. 이면 개이고, 이면 개입니다.
풀이. 단사이므로 의 원소들이 서로 다른 곳으로 가야 합니다. 첫 원소의 상을 고르는 방법이 가지, 둘째는 이미 쓴 하나를 빼고 가지, 이런 식으로 번 고릅니다. 19강의 순열이 정확히 이 셈이므로 개수는
입니다. 이면 도중에 고를 것이 떨어지므로 단사가 존재하지 않고 개수는 입니다.
남는 것. 19강에서 "개 중 개를 순서 있게 뽑는다"고 설명했던 순열이 실제로는 단사 함수를 세는 일이었습니다. 셈의 대상에 이름을 붙이면 같은 공식이 여러 문맥에서 재사용됩니다. 이 관점은 확률에서 표본공간을 세울 때 다시 쓰입니다.
심화 6. 가 단사가 아니면서 전사가 아닌 예를 유한집합에서 만들고, 그런 예가 일 때 존재할 수 있는지 판정하세요.
답. 일 때는 존재할 수 없습니다.
풀이. , 에서 로 두면 단사가 아니고 에 도달하지 못해 전사도 아닙니다. 그런데 이 예는 입니다. 문제 5의 결과와 어긋나 보이지만 그렇지 않습니다. 문제 5는 단사와 전사가 서로 동치라고 했지 둘 중 하나가 반드시 성립한다고 하지 않았습니다. 둘 다 거짓인 경우는 동치를 깨지 않습니다.
남는 것. 동치 는 두 진리값이 같다는 뜻이며, 21강 문제 17에서 확인한 대로 둘 다 참인 경우와 둘 다 거짓인 경우 모두를 허용합니다. 정리를 읽을 때 동치를 "둘 중 하나는 성립한다"로 잘못 읽지 않도록 주의합니다.
유한집합 위의 함수는 대응표로 나타낼 수 있으므로 단사와 전사를 직접 세어 판정할 수 있습니다. 무한집합의 함수는 유한한 구간에서 확인합니다.
import numpy as np
# 문제 5: |A| = |B| 인 유한집합에서 단사와 전사는 동치입니다.
def check(vals, codomain):
vals = np.asarray(vals)
inj = len(np.unique(vals)) == len(vals)
sur = len(np.unique(vals)) == len(codomain)
return inj, sur
B3 = np.arange(3)
print(check([0, 1, 2], B3)) # (True, True)
print(check([0, 0, 2], B3)) # (False, False)
# 문제 3: x^2 은 R 에서 단사가 아니고 [0, inf) 에서 단사입니다.
x = np.linspace(-3, 3, 7)
print(x[x**2 == 4]) # [-2. 2.]
xp = np.linspace(0, 3, 7)
print(len(np.unique(xp**2)) == len(xp)) # True
# 문제 4: 전사 판정은 공역에 달려 있습니다.
y = np.linspace(-2, 2, 5)
print(y[y < 0]) # [-2. -1.]
print(np.allclose(np.sqrt(np.abs(y[y >= 0]))**2, y[y >= 0])) # True
# 심화 3: 무한집합에서 단사와 전사가 갈라집니다.
n = np.arange(1, 21)
f = 2 * n
print(len(np.unique(f)) == len(n), bool(np.any(f == 3))) # True False
g = np.where(n == 1, 1, n - 1)
print(len(np.unique(g)) == len(n), [int(v) for v in np.unique(g)[:3]]) # False [1, 2, 3]
# 심화 5: 단사 함수의 개수는 순열과 같습니다.
def perm(n, m):
r = 1
for i in range(m):
r *= (n - i)
return r
print(perm(5, 3), 5 * 4 * 3) # 60 60
print(perm(3, 5)) # 0
출력이 주석과 모두 일치합니다. 마지막 줄에서 일 때 곱이 이 되는 것을 확인합니다. 가 일 때 이 되어 곱 전체를 으로 만들기 때문이며, 손으로 세었을 때 "고를 것이 떨어진다"고 한 상황이 식에서 그대로 나타납니다.
정답.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 에이에서 비로 가는 함수 | 정의역 , 공역 입니다 | |
| 에프 오브 에이 | 의 상입니다 | |
| 치역 | 입니다 | |
| 단사 | injective, 일대일 | 서로 다른 것이 서로 다르게 갑니다 |
| 전사 | surjective, 위로의 | 공역을 빠짐없이 채웁니다 |
| 전단사 | bijective, 일대일 대응 | 단사이면서 전사입니다 |
| 유일하게 존재 | 22강에서 정의한 기호입니다 |
다음 28강에서는 두 함수를 이어 붙이는 합성을 정의하고, 전단사 함수에만 역함수가 존재함을 증명합니다. 11강에서 계산으로만 구했던 역함수가 그때 존재 조건을 얻습니다.