11강에서 합성함수를 계산했고 역함수를 구했습니다. 그때 역함수를 구하는 절차는 "y = f ( x ) y = f ( x ) x x
이 강의는 27강의 단사와 전사를 써서 그 경계를 정확히 긋습니다. 결론부터 말하면 역함수는 전단사일 때만 존재하며, 존재하면 하나뿐입니다. 11강에서 x 2 x 2 x ≥ 0 x ≥ 0
두 함수를 합성할 수 있는 조건을 확인하고 합성함수를 만들 수 있습니다.
합성이 결합법칙을 따르지만 교환법칙은 따르지 않음을 반례로 보일 수 있습니다.
단사와 전사가 합성에서 어떻게 전달되는지 증명할 수 있습니다.
역함수가 존재할 필요충분조건이 전단사임을 증명할 수 있습니다.
역함수의 유일성과 ( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1 ( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1
문제. f : R → R f : R → R f ( x ) = x + 1 f ( x ) = x + 1 g : R → R g : R → R g ( x ) = x 2 g ( x ) = x 2 g ∘ f g ∘ f f ∘ g f ∘ g h : [ 0 , ∞ ) → R h : [ 0 , ∞ ) → R h ( x ) = x h ( x ) = x g g h ∘ g h ∘ g g ∘ h g ∘ h
생각의 실마리. (1)에서 g ∘ f g ∘ f
풀이. (1) g ∘ f g ∘ f f f g g
( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( x + 1 ) = ( x + 1 ) 2 ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( x + 1 ) = ( x + 1 ) 2
f ∘ g f ∘ g
( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x 2 ) = x 2 + 1 ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x 2 ) = x 2 + 1
두 결과가 다릅니다. 예를 들어 x = 1 x = 1 ( g ∘ f ) ( 1 ) = 4 ( g ∘ f ) ( 1 ) = 4 ( f ∘ g ) ( 1 ) = 2 ( f ∘ g ) ( 1 ) = 2
(2) h ∘ g h ∘ g g g g g R R h h [ 0 , ∞ ) [ 0 , ∞ ) g g [ 0 , ∞ ) [ 0 , ∞ ) h h
( h ∘ g ) ( x ) = x 2 = ∣ x ∣ ( h ∘ g ) ( x ) = x 2 = ∣ x ∣
g ∘ h g ∘ h h h h h R R g g R R
( g ∘ h ) ( x ) = ( x ) 2 = x ( x ≥ 0 ) ( g ∘ h ) ( x ) = ( x ) 2 = x ( x ≥ 0 )
이 문제에서 배우는 것: 합성의 정의.
f : A → B f : A → B g : B → C g : B → C 합성함수 g ∘ f : A → C g ∘ f : A → C
( g ∘ f ) ( a ) = g ( f ( a ) ) ( g ∘ f ) ( a ) = g ( f ( a ) )
로 정의합니다. 합성이 정의되려면 f f g g f f g g h ∘ g h ∘ g
기호를 읽는 순서에 주의합니다. g ∘ f g ∘ f 오른쪽부터 적용합니다. f f g g g ( f ( a ) ) g ( f ( a ) )
합성함수의 정의역과 공역도 정해집니다. g ∘ f g ∘ f f f A A g g C C 출발점은 앞 함수에서, 도착점은 뒤 함수에서 가져옵니다.
바로 확인.
확인 1-1. f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x g ( x ) = x − 3 g ( x ) = x − 3 ( g ∘ f ) ( 4 ) ( g ∘ f ) ( 4 ) ( f ∘ g ) ( 4 ) ( f ∘ g ) ( 4 )
답. ( g ∘ f ) ( 4 ) = g ( 8 ) = 5 ( g ∘ f ) ( 4 ) = g ( 8 ) = 5 ( f ∘ g ) ( 4 ) = f ( 1 ) = 2 ( f ∘ g ) ( 4 ) = f ( 1 ) = 2
확인 1-2. f : A → B f : A → B g : C → D g : C → D g ∘ f g ∘ f
답. f f g g f ( A ) ⊆ C f ( A ) ⊆ C
확인 1-3. ( g ∘ f ) ( g ∘ f )
답. 정의역은 f f g g
문제. f ( x ) = x + 1 f ( x ) = x + 1 g ( x ) = 2 x g ( x ) = 2 x h ( x ) = x 2 h ( x ) = x 2 R R R R g ∘ f g ∘ f f ∘ g f ∘ g ( h ∘ g ) ∘ f ( h ∘ g ) ∘ f h ∘ ( g ∘ f ) h ∘ ( g ∘ f )
생각의 실마리. (3)에서 두 합성이 같은 함수임을 보이려면 27강 문제 2의 세 조건을 확인해야 합니다. 정의역과 공역은 정의상 자동으로 맞으므로, 임의의 점에서 값이 같은지만 계산하면 됩니다.
풀이. (1) ( g ∘ f ) ( x ) = g ( x + 1 ) = 2 ( x + 1 ) = 2 x + 2 ( g ∘ f ) ( x ) = g ( x + 1 ) = 2 ( x + 1 ) = 2 x + 2 ( f ∘ g ) ( x ) = f ( 2 x ) = 2 x + 1 ( f ∘ g ) ( x ) = f ( 2 x ) = 2 x + 1 x = 0 x = 0 2 2 1 1 합성은 교환법칙을 따르지 않습니다.
(2) 왼쪽부터 계산합니다. h ∘ g h ∘ g ( h ∘ g ) ( x ) = h ( 2 x ) = 4 x 2 ( h ∘ g ) ( x ) = h ( 2 x ) = 4 x 2
( ( h ∘ g ) ∘ f ) ( x ) = ( h ∘ g ) ( x + 1 ) = 4 ( x + 1 ) 2 ( ( h ∘ g ) ∘ f ) ( x ) = ( h ∘ g ) ( x + 1 ) = 4 ( x + 1 ) 2
오른쪽을 계산합니다. ( g ∘ f ) ( x ) = 2 x + 2 ( g ∘ f ) ( x ) = 2 x + 2
( h ∘ ( g ∘ f ) ) ( x ) = h ( 2 x + 2 ) = ( 2 x + 2 ) 2 = 4 ( x + 1 ) 2 ( h ∘ ( g ∘ f ) ) ( x ) = h ( 2 x + 2 ) = ( 2 x + 2 ) 2 = 4 ( x + 1 ) 2
두 결과가 같습니다.
(3) f : A → B f : A → B g : B → C g : B → C h : C → D h : C → D A A D D a ∈ A a ∈ A
( ( h ∘ g ) ∘ f ) ( a ) = ( h ∘ g ) ( f ( a ) ) = h ( g ( f ( a ) ) ) ( ( h ∘ g ) ∘ f ) ( a ) = ( h ∘ g ) ( f ( a ) ) = h ( g ( f ( a ) ) )
( h ∘ ( g ∘ f ) ) ( a ) = h ( ( g ∘ f ) ( a ) ) = h ( g ( f ( a ) ) ) ( h ∘ ( g ∘ f ) ) ( a ) = h ( ( g ∘ f ) ( a ) ) = h ( g ( f ( a ) ) )
두 값이 같습니다. a a
이 문제에서 배우는 것: 결합법칙과 교환법칙의 차이.
합성은 결합법칙을 따릅니다.
( h ∘ g ) ∘ f = h ∘ ( g ∘ f ) ( h ∘ g ) ∘ f = h ∘ ( g ∘ f )
그래서 괄호를 생략하고 h ∘ g ∘ f h ∘ g ∘ f h ( g ( f ( a ) ) ) h ( g ( f ( a ) ) ) 괄호가 계산 순서를 바꾸지 않는다 는 사실을 확인한 것뿐입니다.
반면 합성은 교환법칙을 따르지 않습니다. g ∘ f g ∘ f f ∘ g f ∘ g f : A → B f : A → B g : B → C g : B → C g ∘ f g ∘ f f ∘ g f ∘ g C C A A
이 비대칭이 뒤에서 계속 나타납니다. 66강 이후의 행렬 곱셈도 결합법칙은 따르지만 교환법칙은 따르지 않는데, 그 이유가 여기와 같습니다. 행렬이 선형변환이라는 함수를 나타내고 행렬 곱이 합성이기 때문입니다.
함수 중에 합성에서 아무 일도 하지 않는 것이 있습니다. 항등함수 i d A : A → A i d A : A → A i d A ( a ) = a i d A ( a ) = a
f ∘ i d A = f , i d B ∘ f = f f ∘ i d A = f , i d B ∘ f = f
가 성립합니다. 곱셈에서 1 1
바로 확인.
확인 2-1. f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3 g ( x ) = x + 2 g ( x ) = x + 2 g ∘ f g ∘ f f ∘ g f ∘ g
답. ( g ∘ f ) ( x ) = x 3 + 2 ( g ∘ f ) ( x ) = x 3 + 2 ( f ∘ g ) ( x ) = ( x + 2 ) 3 ( f ∘ g ) ( x ) = ( x + 2 ) 3 x = 0 x = 0 2 2 8 8
확인 2-2. f ∘ g = g ∘ f f ∘ g = g ∘ f
답. f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x g ( x ) = 3 x g ( x ) = 3 x 6 x 6 x
확인 2-3. i d R ∘ f = f i d R ∘ f = f
답. ( i d ∘ f ) ( x ) = i d ( f ( x ) ) = f ( x ) ( i d ∘ f ) ( x ) = i d ( f ( x ) ) = f ( x )
문제. f : A → B f : A → B g : B → C g : B → C f f g g g ∘ f g ∘ f f f g g g ∘ f g ∘ f g ∘ f g ∘ f f f g g
생각의 실마리. (1)과 (2)는 정의를 그대로 따라가면 됩니다. (3)은 방향이 반대이므로 조심합니다. 합성이 단사라는 정보에서 f f g g g g f f
풀이. (1) 참입니다. ( g ∘ f ) ( x 1 ) = ( g ∘ f ) ( x 2 ) ( g ∘ f ) ( x 1 ) = ( g ∘ f ) ( x 2 ) g ( f ( x 1 ) ) = g ( f ( x 2 ) ) g ( f ( x 1 ) ) = g ( f ( x 2 ) ) g g f ( x 1 ) = f ( x 2 ) f ( x 1 ) = f ( x 2 ) f f x 1 = x 2 x 1 = x 2 g ∘ f g ∘ f
(2) 참입니다. 임의의 c ∈ C c ∈ C g g g ( b ) = c g ( b ) = c b ∈ B b ∈ B f f f ( a ) = b f ( a ) = b a ∈ A a ∈ A ( g ∘ f ) ( a ) = g ( f ( a ) ) = g ( b ) = c ( g ∘ f ) ( a ) = g ( f ( a ) ) = g ( b ) = c g ∘ f g ∘ f
(3) 절반만 참입니다. f f g g
f f f ( x 1 ) = f ( x 2 ) f ( x 1 ) = f ( x 2 ) g g g ( f ( x 1 ) ) = g ( f ( x 2 ) ) g ( f ( x 1 ) ) = g ( f ( x 2 ) ) ( g ∘ f ) ( x 1 ) = ( g ∘ f ) ( x 2 ) ( g ∘ f ) ( x 1 ) = ( g ∘ f ) ( x 2 ) g ∘ f g ∘ f x 1 = x 2 x 1 = x 2
g g A = { 1 } A = { 1 } B = { a , b } B = { a , b } C = { p } C = { p } f ( 1 ) = a f ( 1 ) = a g ( a ) = g ( b ) = p g ( a ) = g ( b ) = p g ∘ f g ∘ f g ( a ) = g ( b ) g ( a ) = g ( b ) a ≠ b a = b g g
이 문제에서 배우는 것: 합성에서 성질의 전달 방향.
결과를 표로 정리합니다.
주어진 것
따라 나오는 것
따라 나오지 않는 것
f f g g g ∘ f g ∘ f
f f g g g ∘ f g ∘ f
f f g g g ∘ f g ∘ f
g ∘ f g ∘ f f f g g
g ∘ f g ∘ f g g f f
앞쪽 방향은 성질이 그대로 물려집니다. 뒤쪽 방향은 한쪽만 되돌아옵니다. 어느 쪽이 되돌아오는지 외우는 대신 이유로 기억합니다.
단사는 입구에서 겹치지 않는 성질입니다. 합성이 겹치지 않으려면 먼저 지나가는 f f f f
전사는 출구를 채우는 성질입니다. 합성이 C C C C g g C C g g
되돌아오지 않는 쪽에 반례가 있는 이유도 분명합니다. g g f f f f g g
전사가 되돌아오지 않는 예도 확인해 둡니다. A = { 1 } A = { 1 } B = { a , b } B = { a , b } C = { p } C = { p } f ( 1 ) = a f ( 1 ) = a g ( a ) = g ( b ) = p g ( a ) = g ( b ) = p g ∘ f g ∘ f f f { a } { a } f f
바로 확인.
확인 3-1. f f g g g ∘ f g ∘ f
답. 전단사입니다. (1)과 (2)를 함께 적용하면 단사이면서 전사입니다.
확인 3-2. g ∘ f g ∘ f g g
답. 임의의 c ∈ C c ∈ C g ∘ f g ∘ f ( g ∘ f ) ( a ) = c ( g ∘ f ) ( a ) = c a ∈ A a ∈ A b = f ( a ) b = f ( a ) g ( b ) = c g ( b ) = c g g
확인 3-3. g ∘ f g ∘ f f f g g
답. f f g g
문제. f : A → B f : A → B g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A f ∘ g = i d B f ∘ g = i d B g : B → A g : B → A f f
생각의 실마리. 필요충분조건이므로 두 방향을 각각 증명합니다. 한 방향은 그런 g g f f f f g g f ( x ) = y f ( x ) = y
풀이. 필요성. 그런 g g
f f f ( x 1 ) = f ( x 2 ) f ( x 1 ) = f ( x 2 ) g g g ( f ( x 1 ) ) = g ( f ( x 2 ) ) g ( f ( x 1 ) ) = g ( f ( x 2 ) ) g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A x 1 = x 2 x 1 = x 2
f f b ∈ B b ∈ B a = g ( b ) a = g ( b ) f ( a ) = f ( g ( b ) ) = ( f ∘ g ) ( b ) = i d B ( b ) = b f ( a ) = f ( g ( b ) ) = ( f ∘ g ) ( b ) = i d B ( b ) = b b b
따라서 f f
충분성. f f b ∈ B b ∈ B f ( a ) = b f ( a ) = b a ∈ A a ∈ A 정확히 하나 존재합니다. 그 유일한 a a g ( b ) g ( b )
이 대응이 함수가 되는지 확인합니다. 모든 b b a a a a g : B → A g : B → A 전사가 존재를, 단사가 유일을 보장했다 는 점이 핵심입니다.
이제 두 합성을 확인합니다. 임의의 a ∈ A a ∈ A b = f ( a ) b = f ( a ) g ( b ) g ( b ) f ( x ) = b f ( x ) = b a a g ( b ) = a g ( b ) = a ( g ∘ f ) ( a ) = a ( g ∘ f ) ( a ) = a g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A
임의의 b ∈ B b ∈ B a = g ( b ) a = g ( b ) f ( a ) = b f ( a ) = b ( f ∘ g ) ( b ) = b ( f ∘ g ) ( b ) = b f ∘ g = i d B f ∘ g = i d B
이 문제에서 배우는 것: 역함수의 정의와 존재 조건.
f : A → B f : A → B g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A f ∘ g = i d B f ∘ g = i d B g : B → A g : B → A f f 역함수 라 하고 f − 1 f − 1
f − 1 가 존재한다 ⟺ f 가 전단사이다 f − 1 가 존재한다 ⟺ f 가 전단사이다
두 조건이 어떻게 대응하는지 정리합니다.
f f 역함수에 주는 것
전사
모든 b b f − 1 ( b ) f − 1 ( b ) 존재 합니다
단사
그 값이 유일 합니다
역함수가 함수이려면 정확히 이 두 가지가 필요하고, 그것이 27강에서 나눈 두 성질과 하나씩 짝을 이룹니다. 두 성질을 왜 따로 정의했는지가 여기서 답을 얻습니다.
11강에서 f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 x ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 y ≥ 0 y y 제한은 계산의 편의가 아니라 역함수가 존재하기 위한 필수 조건 이었습니다.
역함수의 기본 성질도 정리합니다.
f − 1 ( f ( a ) ) = a , f ( f − 1 ( b ) ) = b f − 1 ( f ( a ) ) = a , f ( f − 1 ( b ) ) = b
( f − 1 ) − 1 = f ( f − 1 ) − 1 = f
두 번째 식은 역함수의 정의가 f f f − 1 f − 1
바로 확인.
확인 4-1. f : R → R f : R → R f ( x ) = 3 x − 2 f ( x ) = 3 x − 2
답. y = 3 x − 2 y = 3 x − 2 x = y + 2 3 x = 3 y + 2 f − 1 ( y ) = y + 2 3 f − 1 ( y ) = 3 y + 2 f − 1 ( f ( x ) ) = 3 x − 2 + 2 3 = x f − 1 ( f ( x ) ) = 3 3 x − 2 + 2 = x f ( f − 1 ( y ) ) = 3 ⋅ y + 2 3 − 2 = y f ( f − 1 ( y ) ) = 3 ⋅ 3 y + 2 − 2 = y
확인 4-2. f : R → R f : R → R f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2
답. 단사가 아니라 f ( x ) = 4 f ( x ) = 4 2 2 − 2 − 2 f ( x ) = − 1 f ( x ) = − 1
확인 4-3. f : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) f : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2
답. f − 1 ( y ) = y f − 1 ( y ) = y
문제. (1) f f f : A → B f : A → B g : B → C g : B → C ( g ∘ f ) − 1 ( g ∘ f ) − 1 f − 1 f − 1 g − 1 g − 1
생각의 실마리. (1)은 22강 심화 4에서 정리한 유일성 증명의 표준 구조를 따릅니다. 두 개를 가정하고 같음을 보입니다. 두 역함수를 이어 붙일 때 문제 2의 결합법칙과 항등함수의 성질을 씁니다. (2)는 후보를 하나 적어 놓고 정의를 만족하는지 확인하면 유일성에 의해 그것이 답입니다.
풀이. (1) g 1 g 1 g 2 g 2 f f
g 1 ∘ f = i d A , f ∘ g 1 = i d B , g 2 ∘ f = i d A , f ∘ g 2 = i d B g 1 ∘ f = i d A , f ∘ g 1 = i d B , g 2 ∘ f = i d A , f ∘ g 2 = i d B
입니다. g 1 g 1
g 1 = g 1 ∘ i d B = g 1 ∘ ( f ∘ g 2 ) = ( g 1 ∘ f ) ∘ g 2 = i d A ∘ g 2 = g 2 g 1 = g 1 ∘ i d B = g 1 ∘ ( f ∘ g 2 ) = ( g 1 ∘ f ) ∘ g 2 = i d A ∘ g 2 = g 2
두 번째 등호에서 g 2 g 2 g 1 g 1
(2) 후보로 f − 1 ∘ g − 1 f − 1 ∘ g − 1 g ∘ f g ∘ f A A C C C C A A g − 1 g − 1 C C B B f − 1 f − 1 B B A A
한쪽 합성을 계산합니다.
( f − 1 ∘ g − 1 ) ∘ ( g ∘ f ) = f − 1 ∘ ( g − 1 ∘ g ) ∘ f = f − 1 ∘ i d B ∘ f = f − 1 ∘ f = i d A ( f − 1 ∘ g − 1 ) ∘ ( g ∘ f ) = f − 1 ∘ ( g − 1 ∘ g ) ∘ f = f − 1 ∘ i d B ∘ f = f − 1 ∘ f = i d A
다른 쪽도 같은 방식으로 계산합니다.
( g ∘ f ) ∘ ( f − 1 ∘ g − 1 ) = g ∘ ( f ∘ f − 1 ) ∘ g − 1 = g ∘ i d B ∘ g − 1 = g ∘ g − 1 = i d C ( g ∘ f ) ∘ ( f − 1 ∘ g − 1 ) = g ∘ ( f ∘ f − 1 ) ∘ g − 1 = g ∘ i d B ∘ g − 1 = g ∘ g − 1 = i d C
두 조건을 만족하므로 (1)의 유일성에 의해
( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1 ( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 역함수의 유일성과 순서 뒤집힘.
역함수는 존재하면 하나뿐입니다. 그래서 f − 1 f − 1 f − 1 f − 1
유일성 증명의 구조를 기억해 둡니다. 두 개를 가정하고, 한쪽에서 시작해 항등함수를 끼워 넣고 결합법칙으로 재배열해 다른 쪽에 도달합니다. 이 수법은 뒤에서 계속 쓰입니다. 66강 이후 역행렬의 유일성도 정확히 같은 계산으로 증명됩니다.
( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1 ( g ∘ f ) − 1 = f − 1 ∘ g − 1 순서가 뒤집히는 것 이 핵심입니다. 이유는 정의역과 공역만 봐도 알 수 있습니다. g − 1 g − 1 C C
일상의 비유로 확인하면 잊지 않습니다. 양말을 신고 신발을 신었다면 벗을 때는 신발을 먼저 벗고 양말을 벗습니다. 되돌릴 때는 마지막에 한 일부터 되돌립니다.
바로 확인.
확인 5-1. f ( x ) = x + 1 f ( x ) = x + 1 g ( x ) = 2 x g ( x ) = 2 x ( g ∘ f ) − 1 ( g ∘ f ) − 1 f − 1 ∘ g − 1 f − 1 ∘ g − 1
답. ( g ∘ f ) ( x ) = 2 x + 2 ( g ∘ f ) ( x ) = 2 x + 2 y = 2 x + 2 y = 2 x + 2 x = y − 2 2 x = 2 y − 2 ( g ∘ f ) − 1 ( y ) = y − 2 2 ( g ∘ f ) − 1 ( y ) = 2 y − 2 g − 1 ( y ) = y 2 g − 1 ( y ) = 2 y f − 1 ( y ) = y − 1 f − 1 ( y ) = y − 1 ( f − 1 ∘ g − 1 ) ( y ) = y 2 − 1 = y − 2 2 ( f − 1 ∘ g − 1 ) ( y ) = 2 y − 1 = 2 y − 2
확인 5-2. ( f − 1 ) − 1 = f ( f − 1 ) − 1 = f
답. 역함수의 정의가 두 합성 조건이고 그 조건이 f f f − 1 f − 1 f f f − 1 f − 1 f f
확인 5-3. ( g ∘ f ) − 1 = g − 1 ∘ f − 1 ( g ∘ f ) − 1 = g − 1 ∘ f − 1
답. 정의역과 공역이 맞지 않습니다. f − 1 f − 1 B B A A g − 1 g − 1 C C B B
개념
정의
합성
( g ∘ f ) ( a ) = g ( f ( a ) ) ( g ∘ f ) ( a ) = g ( f ( a ) )
정의 조건
f f g g
항등함수
i d A ( a ) = a i d A ( a ) = a
역함수
g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A
성질
성립 여부
( h ∘ g ) ∘ f = h ∘ ( g ∘ f ) ( h ∘ g ) ∘ f = h ∘ ( g ∘ f ) 항상 성립합니다
g ∘ f = f ∘ g g ∘ f = f ∘ g 일반적으로 성립하지 않습니다
f f g g → → g ∘ f g ∘ f 성립합니다
f f g g → → g ∘ f g ∘ f 성립합니다
g ∘ f g ∘ f → → f f 성립합니다
g ∘ f g ∘ f → → g g 성립하지 않습니다
g ∘ f g ∘ f → → g g 성립합니다
g ∘ f g ∘ f → → f f 성립하지 않습니다
f − 1 f − 1 ↔ ↔ f f 성립합니다
(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^
성립합니다
문제 6. f ( x ) = x − 4 f ( x ) = x − 4 g ( x ) = x 2 g ( x ) = x 2 ( g ∘ f ) ( 6 ) ( g ∘ f ) ( 6 ) ( f ∘ g ) ( 6 ) ( f ∘ g ) ( 6 )
답. ( g ∘ f ) ( 6 ) = g ( 2 ) = 4 ( g ∘ f ) ( 6 ) = g ( 2 ) = 4 ( f ∘ g ) ( 6 ) = f ( 36 ) = 32 ( f ∘ g ) ( 6 ) = f ( 3 6 ) = 3 2
문제 7. f : R → R f : R → R f ( x ) = 4 x + 7 f ( x ) = 4 x + 7
답. y = 4 x + 7 y = 4 x + 7 x = y − 7 4 x = 4 y − 7 f − 1 ( y ) = y − 7 4 f − 1 ( y ) = 4 y − 7
문제 8. f : R → R f : R → R f ( x ) = x 3 + 1 f ( x ) = x 3 + 1
답. y = x 3 + 1 y = x 3 + 1 x = y − 1 3 x = 3 y − 1 f − 1 ( y ) = y − 1 3 f − 1 ( y ) = 3 y − 1 x 3 x 3
문제 9. f : R → R f : R → R f ( x ) = ∣ x ∣ f ( x ) = ∣ x ∣
답. f ( − 1 ) = f ( 1 ) f ( − 1 ) = f ( 1 ) [ 0 , ∞ ) [ 0 , ∞ )
문제 10. i d A i d A
답. 자기 자신입니다. i d ∘ i d = i d i d ∘ i d = i d
문제 11. f f f − 1 = f f − 1 = f
답. f : R → R f : R → R f ( x ) = − x f ( x ) = − x f ( f ( x ) ) = x f ( f ( x ) ) = x f ( x ) = 1 x f ( x ) = x 1 x ≠ 0 x = 0
문제 12. g ∘ f g ∘ f g g
답. A = { 1 } A = { 1 } B = { a , b } B = { a , b } C = { p } C = { p } f ( 1 ) = a f ( 1 ) = a g ( a ) = g ( b ) = p g ( a ) = g ( b ) = p g g
문제 13. f : R → R f : R → R f ( x ) = 2 x f ( x ) = 2 x
답. 공역을 ( 0 , ∞ ) ( 0 , ∞ ) f − 1 ( y ) = 2 y f − 1 ( y ) = log 2 y
문제 14. ( f ∘ g ) − 1 = g − 1 ∘ f − 1 ( f ∘ g ) − 1 = g − 1 ∘ f − 1
답. 문제 5의 식에서 f f g g
문제 15. f : A → B f : A → B g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A g g
답. 존재합니다. f f f − 1 f − 1 A A f ∘ g = i d B f ∘ g = i d B
문제 16. f ( x ) = x + 1 f ( x ) = x + 1 f ∘ f ∘ f f ∘ f ∘ f
답. ( f ∘ f ∘ f ) ( x ) = x + 3 ( f ∘ f ∘ f ) ( x ) = x + 3 y − 3 y − 3 ( f − 1 ) 3 ( f − 1 ) 3
문제 17. f : A → B f : A → B g : B → A g : B → A g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A f f
답. 아닙니다. f f A = { 1 } A = { 1 } B = { a , b } B = { a , b } f ( 1 ) = a f ( 1 ) = a g ( a ) = g ( b ) = 1 g ( a ) = g ( b ) = 1 g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A f f
문제 18. f f g g g ∘ f g ∘ f
답. 먼저 g − 1 g − 1 f − 1 f − 1 f − 1 ∘ g − 1 f − 1 ∘ g − 1
심화 1. 역함수의 유일성 증명에서 결합법칙이 어디에 쓰였는지 지목하고, 결합법칙이 없다면 증명이 어떻게 무너지는지 설명하세요.
답. g 1 ∘ ( f ∘ g 2 ) g 1 ∘ ( f ∘ g 2 ) ( g 1 ∘ f ) ∘ g 2 ( g 1 ∘ f ) ∘ g 2
풀이. 증명의 핵심은 세 함수를 이어 붙인 뒤 묶는 방식을 바꿔 양쪽에서 서로 다른 항등함수를 끌어내는 것입니다. g 1 g 1 g 1 ∘ f = i d g 1 ∘ f = i d g 2 g 2 f ∘ g 2 = i d f ∘ g 2 = i d
남는 것. 결합법칙은 당연해 보여서 넘기기 쉽지만 실제로는 이런 증명 전체를 지탱합니다. 결합법칙과 항등원과 역원이라는 세 조건이 함께 있는 구조를 군이라고 부르며, 전단사 함수들의 모임이 합성에 대해 그런 구조를 이룹니다.
심화 2. f : A → B f : A → B g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A g : B → A g : B → A A A
답. 두 방향 모두 성립합니다.
풀이. 그런 g g f ( x 1 ) = f ( x 2 ) f ( x 1 ) = f ( x 2 ) g g x 1 = x 2 x 1 = x 2
역으로 f f A A a 0 a 0 b ∈ f ( A ) b ∈ f ( A ) f ( a ) = b f ( a ) = b a a g ( b ) = a g ( b ) = a b ∉ f ( A ) b ∈ / f ( A ) g ( b ) = a 0 g ( b ) = a 0 a ∈ A a ∈ A g ( f ( a ) ) = a g ( f ( a ) ) = a g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A
남는 것. 이런 g g f ∘ g = i d B f ∘ g = i d B g g f f 양쪽 역원이 모두 있을 때만 역함수 이며, 그때 둘이 같아진다는 것이 심화 1의 계산입니다.
심화 3. A A f : A → A f : A → A g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A f ∘ g = i d A f ∘ g = i d A
답. 유한집합에서는 성립하고 무한집합에서는 성립하지 않습니다.
풀이. g ∘ f = i d A g ∘ f = i d A f f A A f f f − 1 f − 1 g = f − 1 g = f − 1 f ∘ g = i d A f ∘ g = i d A
무한집합에서는 A = N A = N f ( n ) = n + 1 f ( n ) = n + 1 g ( 1 ) = 1 g ( 1 ) = 1 n ≥ 2 n ≥ 2 g ( n ) = n − 1 g ( n ) = n − 1 g ( f ( n ) ) = g ( n + 1 ) = n g ( f ( n ) ) = g ( n + 1 ) = n g ∘ f = i d g ∘ f = i d f ( g ( 1 ) ) = f ( 1 ) = 2 ≠ 1 f ( g ( 1 ) ) = f ( 1 ) = 2 = 1 f ∘ g ≠ i d f ∘ g = i d
남는 것. 유한집합에서는 한쪽 합성만 확인해도 되지만 무한집합에서는 반드시 양쪽을 확인해야 합니다. 27강 문제 5의 동치가 무한에서 깨졌던 것이 여기서 실질적인 차이를 만듭니다. 29강에서 이 차이를 무한의 정의로 삼습니다.
심화 4. f : A → B f : A → B f f P ( A ) P ( A ) P ( B ) P ( B )
답. F ( X ) = f ( X ) = { f ( x ) ∣ x ∈ X } F ( X ) = f ( X ) = { f ( x ) ∣ x ∈ X } F : P ( A ) → P ( B ) F : P ( A ) → P ( B )
풀이. F F G ( Y ) = f − 1 ( Y ) = { f − 1 ( y ) ∣ y ∈ Y } G ( Y ) = f − 1 ( Y ) = { f − 1 ( y ) ∣ y ∈ Y } X ⊆ A X ⊆ A G ( F ( X ) ) = { f − 1 ( f ( x ) ) ∣ x ∈ X } = X G ( F ( X ) ) = { f − 1 ( f ( x ) ) ∣ x ∈ X } = X Y ⊆ B Y ⊆ B F ( G ( Y ) ) = Y F ( G ( Y ) ) = Y F F
남는 것. 전단사는 두 집합을 완전히 같은 것으로 보게 해 주며, 그 위에 세워진 구조까지 함께 옮겨 줍니다. 여기서는 멱집합이 함께 옮겨 갔습니다. 29강에서 집합의 크기를 전단사의 존재로 정의하는 근거가 이것입니다. 전단사로 이어진 두 집합은 이름만 다를 뿐 구조가 같습니다.
심화 5. f : R → R f : R → R
답. 단조증가이면 단사이지만 역은 성립하지 않습니다.
풀이. 단조증가란 x 1 < x 2 → f ( x 1 ) < f ( x 2 ) x 1 < x 2 → f ( x 1 ) < f ( x 2 ) x 1 ≠ x 2 x 1 = x 2
역의 반례로 f ( x ) = 1 x f ( x ) = x 1 x ≠ 0 x = 0 x < 0 x < 0 x > 0 x > 0 f ( − 1 ) = − 1 f ( − 1 ) = − 1 f ( 1 ) = 1 f ( 1 ) = 1 f ( − 1 ) < f ( 1 ) f ( − 1 ) < f ( 1 ) f ( 0.5 ) = 2 f ( 0 . 5 ) = 2
남는 것. 단조성은 단사보다 강한 조건입니다. 실수 위의 연속함수에 한해서는 둘이 동치가 되는데, 그 증명에는 36강의 중간값 정리가 필요합니다. 지금은 조건의 강약만 확인해 두고 그 정리를 만날 때 다시 봅니다.
심화 6. f ∘ f = i d f ∘ f = i d R R
답. 대합은 자기 자신이 역함수이므로 전단사입니다.
풀이. f ∘ f = i d f ∘ f = i d g = f g = f f f
예로 f ( x ) = − x f ( x ) = − x f ( x ) = c − x f ( x ) = c − x f ( f ( x ) ) = c − ( c − x ) = x f ( f ( x ) ) = c − ( c − x ) = x x ≠ 0 x = 0 f ( x ) = 1 x f ( x ) = x 1
남는 것. 대합은 두 번 하면 처음으로 돌아오는 변환이며 대칭을 나타냅니다. 12강에서 다룬 y y ¬ ( ¬ p ) = p ¬ ( ¬ p ) = p
합성과 역함수는 함수를 값으로 다루는 개념이므로 코드로 직접 확인하기 좋습니다. 유한집합에서는 대응표로, 실수 함수는 격자점으로 검산합니다.
import numpy as np
x = np.linspace(-3, 3, 13)
f = lambda t: t + 1
g = lambda t: t**2
h = lambda t: 2 * t
# 문제 2: 교환법칙은 깨지고 결합법칙은 성립합니다.
def compose(u, v):
return lambda t: u(v(t))
print(np.allclose(g(f(x)), f(g(x)))) # False
left = compose(compose(h, g), f) # (h . g) . f
right = compose(h, compose(g, f)) # h . (g . f)
print(np.allclose(left(x), right(x))) # True
# 문제 4: 역함수의 두 조건
F = lambda t: 3 * t - 2
Fi = lambda t: (t + 2) / 3
print(np.allclose(Fi(F(x)), x), np.allclose(F(Fi(x)), x)) # True True
# 문제 4: x^2 은 R 에서 역함수가 없습니다.
print(np.sqrt(np.square(x))[:3], x[:3]) # [3. 2.5 2. ] [-3. -2.5 -2. ]
# 문제 5: (g . f)^-1 = f^-1 . g^-1
gf = lambda t: 2 * (t + 1) # g0 . f0 with g0(t)=2t, f0(t)=t+1
gfi = lambda t: t / 2 - 1 # f0^-1 . g0^-1
print(np.allclose(gfi(gf(x)), x), np.allclose(gf(gfi(x)), x)) # True True
# 문제 3: 유한집합에서 합성이 단사여도 뒤 함수는 단사가 아닐 수 있습니다.
fmap = {1: 'a'}
gmap = {'a': 'p', 'b': 'p'}
comp = {k: gmap[v] for k, v in fmap.items()}
print(len(set(comp.values())) == len(comp)) # True
print(len(set(gmap.values())) == len(gmap)) # False
# 심화 6: 대합은 두 번 적용하면 제자리입니다.
inv1 = lambda t: -t
inv2 = lambda t: 5 - t
print(np.allclose(inv1(inv1(x)), x), np.allclose(inv2(inv2(x)), x)) # True True
출력이 주석과 모두 일치합니다. 네 번째 검산이 문제 4의 두 실패 이유 중 하나를 눈으로 보여 줍니다. x 2 x 2
g ∘ f g ∘ f 합성이 정의되기 위한 조건은 무엇입니까?
합성은 결합법칙을 따릅니까? 교환법칙은 어떻습니까?
g ∘ f g ∘ f g ∘ f g ∘ f 역함수가 존재할 필요충분조건은 무엇입니까?
f f ( g ∘ f ) − 1 ( g ∘ f ) − 1
정답.
f f f f g g 결합법칙은 따르고 교환법칙은 일반적으로 따르지 않습니다.
f f g g f f 전사는 존재를, 단사는 유일성을 보장합니다.
f − 1 ∘ g − 1 f − 1 ∘ g − 1
기호
읽는 법
뜻
g ∘ f g ∘ f 지 서클 에프
f f
\mathrm{id}_
항등함수
모든 원소를 자기 자신으로 보냅니다
f^
에프 인버스
f f
왼쪽 역원
g\circ f=\mathrm{id}_
단사와 동치입니다
오른쪽 역원
f\circ g=\mathrm{id}_
전사와 동치입니다
대합
f\circ f=\mathrm
자기 자신이 역함수입니다
다음 29강에서는 전단사를 잣대로 삼아 무한집합의 크기를 비교합니다. 27강에서 유한집합의 동치가 무한에서 깨졌던 자리가 그때 무한의 정의가 되고, 실수가 자연수보다 많다는 사실을 귀류법으로 증명합니다.