이 문제집은 30강부터 32강까지의 도구를 섞어 다시 묻습니다. 앞 두 문제집과 달리 계산 문제의 비중이 높습니다. 답만 맞히는 것이 아니라 어느 형식으로 계산할지 먼저 고르는 판단을 훈련합니다.
| 상황 |
고를 도구 |
| 복소수를 더하거나 뺍니다 |
직교형식 |
| 복소수를 나눕니다 |
켤레를 곱합니다 |
| 복소수를 거듭제곱합니다 |
극형식과 드무아브르 |
| n제곱근을 구합니다 |
편각에 2kπ를 더한 뒤 나눕니다 |
| 합을 닫힌 형태로 만듭니다 |
선형성, 지표 이동, 망원합 |
| 이중합을 다룹니다 |
부등식 조건을 먼저 적습니다 |
| 점화식에 상수가 붙어 있습니다 |
고정점 이동 |
| 더해지는 양이 변합니다 |
계차형, 합으로 |
| 앞의 두 항이 필요합니다 |
특성방정식 |
답을 보기 전에 반드시 손으로 먼저 씁니다.
문제 1. (4−3i)+(2+7i)를 계산하세요.
답. 6+4i입니다.
문제 2. (2−i)(3+4i)를 계산하세요.
답. 6+8i−3i−4i2=6+5i+4=10+5i입니다.
문제 3. 1+2i5를 a+bi 꼴로 쓰세요.
답. 켤레 1−2i를 곱하면 분모가 1+4=5이므로 55(1−2i)=1−2i입니다.
문제 4. x2+2x+10=0을 푸세요.
답. x=2−2±4−40=2−2±6i=−1±3i입니다.
문제 5. i2027을 계산하세요.
답. 2027=4⋅506+3이므로 i3=−i입니다.
문제 6. ∣5+12i∣를 구하세요.
답. 25+144=13입니다.
문제 7. zzˉ가 항상 0 이상의 실수인 이유를 쓰세요.
답. z=a+bi이면 zzˉ=a2+b2이고 실수의 제곱의 합이므로 0 이상입니다.
문제 8. z=−2−2i의 극형식을 구하세요.
답. ∣z∣=8=22이고 점이 제3사분면에 있으며 tanθ=1이므로 θ=45π입니다. 따라서 22(cos45π+isin45π)입니다.
문제 9. (1+i)12를 드무아브르 정리로 계산하세요.
답. r=2, θ=4π이므로 (2)12(cos3π+isin3π)=64⋅(−1)=−64입니다.
문제 10. z4=16의 해를 모두 구하세요.
답. r4=16에서 r=2이고 θ=42kπ이므로 해는 2,2i,−2,−2i입니다.
문제 11. 1의 5제곱근을 모두 더하면 얼마입니까?
답. 0입니다. 등비수열의 합 ω−1ω5−1에서 분자가 0이기 때문입니다.
문제 12. 복소수에 대소 관계를 줄 수 없는 이유를 설명하세요.
답. i>0이라 하면 양변에 i를 곱해 −1>0이 되고, i<0이라 해도 음수를 곱하며 부등호가 뒤집혀 같은 모순이 나옵니다. 어느 쪽으로도 순서를 줄 수 없습니다.
문제 13. −4⋅−9를 계산하고, (−4)(−9)와 다름을 확인하세요.
답. 앞은 2i⋅3i=6i2=−6이고 뒤는 36=6입니다. 실수의 근호 규칙이 복소수에서 깨집니다.
문제 14. 실수 계수 다항식이 근 2+i를 가지면 또 어떤 근을 반드시 가집니까?
답. 켤레인 2−i입니다. 방정식 양변에 켤레를 취해도 실수 계수는 그대로이기 때문입니다.
문제 15. 대수학의 기본정리를 쓰세요.
답. 복소수 계수 n차 다항식은 중근을 개수에 넣어 세면 복소수 근을 정확히 n개 가집니다.
문제 16. i=1∑n(4i−3)을 n의 식으로 나타내세요.
답. 4⋅2n(n+1)−3n=2n2−n입니다.
문제 17. i=7∑251을 계산하세요.
답. 항의 개수가 25−7+1=19이므로 19입니다.
문제 18. i=1∑naibi=(∑ai)(∑bi)가 거짓임을 n=2로 보이세요.
답. 왼쪽은 a1b1+a2b2이고 오른쪽은 그것에 교차항 a1b2+a2b1이 더해진 값입니다. a=b=(1,1)이면 2와 4로 다릅니다.
문제 19. i=1∑n(i3+i)를 n의 식으로 나타내세요.
답. (2n(n+1))2+2n(n+1)입니다.
문제 20. i=1∑n(3i−2)(3i+1)1을 계산하세요.
답. 부분분수로 31(3i−21−3i+11)이므로 망원합에 의해 31(1−3n+11)=3n+1n입니다.
문제 21. i=4∑n+3ai−3을 지표를 옮겨 다시 쓰세요.
답. k=i−3으로 두면 k=1∑nak입니다.
문제 22. i=1∑nj=1∑nij를 계산하세요.
답. 분리되므로 (2n(n+1))2입니다.
문제 23. i=1∑nj=1∑i1을 계산하세요.
답. 안쪽이 i이므로 i=1∑ni=2n(n+1)입니다.
문제 24. i=1∑nj=i∑naij의 순서를 바꿔 쓰세요.
답. 조건이 1≤i≤j≤n이므로 j=1∑ni=1∑jaij입니다.
문제 25. i=1∏n5를 계산하세요.
답. 5n입니다. 합이었다면 5n이지만 곱이므로 지수가 붙습니다.
문제 26. i=3∏nii−1을 계산하세요.
답. 망원곱이므로 n2입니다.
문제 27. logi=1∏nai를 합으로 바꾸고, 이 변환이 실무에서 유용한 이유를 쓰세요.
답. i=1∑nlogai입니다. 작은 확률을 여러 개 곱하면 값이 0으로 뭉개지는데, 로그로 더하면 그런 일이 생기지 않습니다.
문제 28. aˉ=n1∑ai일 때 ∑(ai−aˉ)를 구하세요.
답. 선형성으로 ∑ai−naˉ=0입니다.
문제 29. (∑i=1nai)2을 ∑ai2과 교차항으로 분해하세요.
답. i=1∑nai2+21≤i<j≤n∑aiaj입니다.
문제 30. a1=5, an+1=an+7의 닫힌 형태를 구하세요.
답. an=5+7(n−1)=7n−2입니다.
문제 31. a1=1, an+1=4an의 닫힌 형태를 구하세요.
답. an=4n−1입니다.
문제 32. a1=0, an+1=2an+1의 닫힌 형태를 구하세요.
답. 고정점은 x=2x+1에서 x=−1입니다. bn=an+1이면 b1=1이고 bn=2n−1이므로 an=2n−1−1입니다.
문제 33. a1=10, an+1=21an+3의 고정점을 구하고 n이 커질 때 값이 어디로 가는지 말하세요.
답. x=21x+3에서 x=6입니다. 공비의 절댓값이 1보다 작으므로 an은 6에 가까워집니다.
문제 34. a1=2, an+1=an+3n의 닫힌 형태를 구하세요.
답. an=2+3k=1∑n−1k=2+23(n−1)n입니다.
문제 35. 계차형에서 합의 위끝을 n으로 두면 어떻게 확인해 잡을 수 있습니까?
답. n=2를 넣어 a2=a1+f(1)이 나오는지 봅니다. 위끝이 n이면 f(2)까지 더해져 어긋납니다.
문제 36. a1=1, an+1=nn+1an의 닫힌 형태를 구하세요.
답. 망원곱이므로 an=k=1∏n−1kk+1=n입니다.
문제 37. a1=0, a2=1, an+2=5an+1−6an의 닫힌 형태를 구하세요.
답. 특성방정식 t2−5t+6=0의 근이 2,3이므로 an=A⋅2n+B⋅3n입니다. 2A+3B=0과 4A+9B=1을 풀면 B=31, A=−21이므로 an=3n−1−2n−1입니다.
문제 38. 특성방정식이 중근 α를 가지면 일반해는 어떤 모양입니까? 그 이유도 쓰세요.
답. (A+Bn)αn입니다. Aαn+Bαn으로 놓으면 미지수가 하나로 줄어 초기 조건 두 개를 동시에 맞출 수 없기 때문입니다.
문제 39. an+2=2an+1−5an의 특성근을 구하고 수열의 거동을 말하세요.
답. t2−2t+5=0에서 t=1±2i입니다. 절댓값이 5>1이므로 진동하면서 진폭이 커집니다.
문제 40. 하노이 탑의 hn+1=2hn+1, h1=1을 풀고 원반 10개일 때 횟수를 구하세요.
답. hn=2n−1이므로 h10=1023입니다.
문제 41. 피보나치 수열의 비네 공식을 쓰고 Fn+1/Fn의 극한을 말하세요.
답. Fn=51(αn−βn)이며 α=21+5, β=21−5입니다. ∣β∣<1이라 βn이 사라지므로 비율은 황금비 α에 가까워집니다.
문제 42. 비네 공식이 무리수를 담고도 항상 정수를 주는 이유를 쓰세요.
답. 이항정리로 전개하면 αn과 βn의 5 짝수 거듭제곱 항이 같아 빼면 지워지고, 홀수 거듭제곱 항만 남습니다. 그것을 5로 나누면 정수가 됩니다.
문제 43. 이차 선형 점화식의 해가 초기항 두 개로 유일하게 정해짐을 어떤 방법으로 증명합니까?
답. 강한 귀납법입니다. 같은 점화식과 같은 두 초기항을 만족하는 두 수열이 앞의 두 항에서 같으면 다음 항도 같아지므로 전부 같습니다.
문제 44. a1=1, an+1=3an+2n을 푸는 방법을 제시하세요.
답. 양변을 3n+1로 나눠 bn=3nan으로 두면 bn+1=bn+3n+12n이라는 계차형이 됩니다. 등비수열의 합으로 bn을 구한 뒤 3n을 곱해 되돌립니다.
문제 45. 25강 심화 5의 직선 문제 Ak+1=Ak+(k+1), A0=1을 계차형으로 풀어 닫힌 형태를 얻으세요.
답. An=1+j=1∑nj=2n2+n+2입니다.
문제 46. 32강에서 얻은 닫힌 형태를 왜 검증해야 합니까?
답. 해의 모양을 추측해서 초기 조건으로 맞춘 것이므로 추측이 옳았는지 확인해야 합니다. 작은 n을 대입하거나 귀납법으로 증명합니다.
문제 47. 점화식 an+1=g(an)의 고정점 정의를 쓰고 초기항이 고정점이면 어떻게 되는지 말하세요.
답. x=g(x)를 만족하는 값입니다. 초기항이 고정점이면 수열이 모든 항에서 그 값에 머뭅니다.
문제 48. 특성근이 실근일 때와 허근일 때 수열의 거동이 어떻게 다른지 한 문장으로 대비하세요.
답. 실근이면 지수적으로 커지거나 줄어들기만 하고, 허근이면 삼각함수가 나타나 진동합니다.
48문항 중 맞힌 개수로 다음을 판단합니다.
| 정답 수 |
판단 |
| 43개 이상 |
관문 1로 넘어갑니다 |
| 34∼42개 |
틀린 문제가 속한 강의만 다시 읽고 관문 1을 봅니다 |
| 33개 이하 |
30강부터 32강까지 다시 읽습니다 |
이 문제집을 마치면 S2가 끝납니다. 바로 뒤의 관문 1에서 1강부터 32강까지를 섞어 다시 물으며, 정답률 80퍼센트를 넘어야 33강의 미적분학으로 넘어갑니다.