6강에서 이차방정식의 판별식을 배우면서 D < 0 D < 0 실근 이라고 적은 이유가 이 강의에 있습니다. 실수 밖으로 나가면 근이 있습니다.
수를 넓히는 일은 이번이 처음이 아닙니다. 1강에서 N N Z Z Q Q R R 더 이상 넓힐 필요가 없어집니다.
복소수를 정의하고 사칙연산을 계산할 수 있습니다.
켤레복소수와 절댓값의 성질을 유도할 수 있습니다.
복소수를 평면 위의 점으로 읽고 극형식으로 바꿀 수 있습니다.
드무아브르 정리로 거듭제곱과 n n
실수에서 성립하던 성질 중 복소수에서 깨지는 것을 반례로 지목할 수 있습니다.
문제. x 2 + 1 = 0 x 2 + 1 = 0 x 2 + 4 x + 13 = 0 x 2 + 4 x + 1 3 = 0
생각의 실마리. 1강에서 2 2 2 2 − 1 − 1
풀이. 제곱해서 − 1 − 1 i i
i 2 = − 1 i 2 = − 1
이 하나만 약속하면 x 2 + 1 = 0 x 2 + 1 = 0 x = ± i x = ± i
이제 x 2 + 4 x + 13 = 0 x 2 + 4 x + 1 3 = 0
x = − 4 ± 16 − 52 2 = − 4 ± − 36 2 x = 2 − 4 ± 1 6 − 5 2 = 2 − 4 ± − 3 6
− 36 − 3 6 − 36 = 36 ⋅ ( − 1 ) − 3 6 = 3 6 ⋅ ( − 1 ) − 36 = 6 i − 3 6 = 6 i
x = − 4 ± 6 i 2 = − 2 ± 3 i x = 2 − 4 ± 6 i = − 2 ± 3 i
입니다. 검산해 봅니다. x = − 2 + 3 i x = − 2 + 3 i
( − 2 + 3 i ) 2 + 4 ( − 2 + 3 i ) + 13 = ( 4 − 12 i + 9 i 2 ) − 8 + 12 i + 13 ( − 2 + 3 i ) 2 + 4 ( − 2 + 3 i ) + 1 3 = ( 4 − 1 2 i + 9 i 2 ) − 8 + 1 2 i + 1 3
i 2 = − 1 i 2 = − 1 9 i 2 = − 9 9 i 2 = − 9 ( 4 − 12 i − 9 ) − 8 + 12 i + 13 = 0 ( 4 − 1 2 i − 9 ) − 8 + 1 2 i + 1 3 = 0
이 문제에서 배우는 것: 허수단위와 복소수.
i 2 = − 1 i 2 = − 1 i i 허수단위 라고 합니다. 그리고 실수 a , b a , b
z = a + b i z = a + b i
꼴로 적히는 수를 복소수 라고 하며, 복소수 전체의 집합을 C C a a 실수부 Re z R e z b b 허수부 Im z I m z b b b i b i
26강의 곱집합으로 정확히 말하면 복소수는 실수의 순서쌍 ( a , b ) ( a , b )
( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )
( a , b ) ⋅ ( c , d ) = ( a c − b d , a d + b c ) ( a , b ) ⋅ ( c , d ) = ( a c − b d , a d + b c )
곱셈 규칙이 이상해 보이지만 a + b i a + b i i 2 = − 1 i 2 = − 1
( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i
실수 a a a + 0 i a + 0 i R ⊂ C R ⊂ C
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
두 복소수가 같다 는 것은 실수부와 허수부가 각각 같다는 뜻입니다. 그래서 복소수 등식 하나는 실수 등식 두 개와 같습니다. 이 성질이 문제를 푸는 데 자주 쓰입니다.
a + b i = c + d i ⟺ a = c 이고 b = d a + b i = c + d i ⟺ a = c 이고 b = d
바로 확인.
확인 1-1. ( 3 + 2 i ) + ( 1 − 5 i ) ( 3 + 2 i ) + ( 1 − 5 i ) ( 3 + 2 i ) ( 1 − 5 i ) ( 3 + 2 i ) ( 1 − 5 i )
답. 합은 4 − 3 i 4 − 3 i 3 − 15 i + 2 i − 10 i 2 = 3 − 13 i + 10 = 13 − 13 i 3 − 1 5 i + 2 i − 1 0 i 2 = 3 − 1 3 i + 1 0 = 1 3 − 1 3 i
확인 1-2. x 2 − 2 x + 5 = 0 x 2 − 2 x + 5 = 0
답. x = 2 ± 4 − 20 2 = 2 ± 4 i 2 = 1 ± 2 i x = 2 2 ± 4 − 2 0 = 2 2 ± 4 i = 1 ± 2 i
확인 1-3. i 3 i 3 i 4 i 4 i n i n
답. i 3 = i 2 ⋅ i = − i i 3 = i 2 ⋅ i = − i i 4 = ( i 2 ) 2 = 1 i 4 = ( i 2 ) 2 = 1 i 4 = 1 i 4 = 1 4 4 i , − 1 , − i , 1 i , − 1 , − i , 1
문제. 3 + 2 i 1 − i 1 − i 3 + 2 i a + b i a + b i
생각의 실마리. 분모에 i i 2 − 1 2 − 1 2 + 1 2 + 1
풀이. 분모 1 − i 1 − i 1 + i 1 + i
3 + 2 i 1 − i ⋅ 1 + i 1 + i = ( 3 + 2 i ) ( 1 + i ) ( 1 − i ) ( 1 + i ) 1 − i 3 + 2 i ⋅ 1 + i 1 + i = ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 3 + 2 i ) ( 1 + i )
분모를 먼저 계산합니다. 2강의 합차 공식을 씁니다.
( 1 − i ) ( 1 + i ) = 1 2 − i 2 = 1 − ( − 1 ) = 2 ( 1 − i ) ( 1 + i ) = 1 2 − i 2 = 1 − ( − 1 ) = 2
실수가 되었습니다. 분자를 계산합니다.
( 3 + 2 i ) ( 1 + i ) = 3 + 3 i + 2 i + 2 i 2 = 3 + 5 i − 2 = 1 + 5 i ( 3 + 2 i ) ( 1 + i ) = 3 + 3 i + 2 i + 2 i 2 = 3 + 5 i − 2 = 1 + 5 i
따라서
3 + 2 i 1 − i = 1 + 5 i 2 = 1 2 + 5 2 i 1 − i 3 + 2 i = 2 1 + 5 i = 2 1 + 2 5 i
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 켤레복소수와 절댓값.
z = a + b i z = a + b i z ˉ = a − b i z ˉ = a − b i 켤레복소수 라고 합니다. 방금 계산에서 핵심은 다음 성질이었습니다.
z z ˉ = ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 − b 2 i 2 = a 2 + b 2 z z ˉ = ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 − b 2 i 2 = a 2 + b 2
복소수와 그 켤레의 곱은 항상 0 0 그래서 분모에 켤레를 곱하면 분모가 실수가 됩니다.
이 값의 제곱근을 절댓값 이라고 합니다.
∣ z ∣ = a 2 + b 2 , z z ˉ = ∣ z ∣ 2 ∣ z ∣ = a 2 + b 2 , z z ˉ = ∣ z ∣ 2
z z b = 0 b = 0 ∣ z ∣ = a 2 = ∣ a ∣ ∣ z ∣ = a 2 = ∣ a ∣
켤레와 절댓값의 성질을 정리합니다. 모두 정의를 대입해 계산하면 나옵니다.
성질
식
켤레의 켤레
z ˉ ‾ = z z ˉ = z
합과 곱의 켤레
z + w ‾ = z ˉ + w ˉ z + w = z ˉ + w ˉ
실수 판정
z = z ˉ ⟺ z z = z ˉ ⟺ z
실수부와 허수부
Re z = z + z ˉ 2 R e z = 2 z + z ˉ
절댓값의 곱
$\lvert zw\rvert =\lvert z\rvert \lvert w\rvert $
역수
z − 1 = z ˉ ∣ z ∣ 2 z − 1 = ∣ z ∣ 2 z ˉ z ≠ 0 z = 0
마지막 줄이 나눗셈의 일반 공식입니다. 방금 한 계산이 이 공식의 적용이었습니다.
z = z ˉ z = z ˉ a + b i = a − b i a + b i = a − b i b = − b b = − b b = 0 b = 0
바로 확인.
확인 2-1. 1 2 + 3 i 2 + 3 i 1 a + b i a + b i
답. 켤레 2 − 3 i 2 − 3 i 4 + 9 = 13 4 + 9 = 1 3 2 − 3 i 13 = 2 13 − 3 13 i 1 3 2 − 3 i = 1 3 2 − 1 3 3 i
확인 2-2. ∣ 3 − 4 i ∣ ∣ 3 − 4 i ∣
답. 9 + 16 = 25 = 5 9 + 1 6 = 2 5 = 5
확인 2-3. z + z ˉ z + z ˉ
답. z = a + b i z = a + b i z + z ˉ = 2 a z + z ˉ = 2 a
문제. z = 1 + 3 i z = 1 + 3 i x x z z
생각의 실마리. 복소수가 실수부와 허수부라는 두 실수로 정해지므로 평면의 점 ( a , b ) ( a , b )
풀이. z = 1 + 3 i z = 1 + 3 i ( 1 , 3 ) ( 1 , 3 )
원점에서의 거리는 절댓값입니다.
∣ z ∣ = 1 2 + ( 3 ) 2 = 4 = 2 ∣ z ∣ = 1 2 + ( 3 ) 2 = 4 = 2
각을 구합니다. tan θ = 3 1 = 3 tan θ = 1 3 = 3 θ = π 3 θ = 3 π
이제 좌표를 거리와 각으로 되돌립니다. 15강에서 단위원 위의 점이 ( cos θ , sin θ ) ( cos θ , sin θ ) r r ( r cos θ , r sin θ ) ( r cos θ , r sin θ )
1 = 2 cos π 3 , 3 = 2 sin π 3 1 = 2 cos 3 π , 3 = 2 sin 3 π
이고 z z
z = 2 ( cos π 3 + i sin π 3 ) z = 2 ( cos 3 π + i sin 3 π )
이 문제에서 배우는 것: 복소평면과 극형식.
복소수 z = a + b i z = a + b i ( a , b ) ( a , b ) 복소평면 이라고 합니다. 가로축이 실수축, 세로축이 허수축입니다.
이 평면에서 복소수를 나타내는 방법이 두 가지입니다.
표현
모양
무엇에 편한가
직교형식
z = a + b i z = a + b i 덧셈과 뺄셈
극형식
z = r ( cos θ + i sin θ ) z = r ( cos θ + i sin θ ) 곱셈과 나눗셈, 거듭제곱
여기서 r = ∣ z ∣ r = ∣ z ∣ θ θ 편각 이라고 하며 arg z arg z
a = r cos θ , b = r sin θ , r = a 2 + b 2 , tan θ = b a a = r cos θ , b = r sin θ , r = a 2 + b 2 , tan θ = a b
편각을 구할 때 tan θ = b a tan θ = a b 점이 어느 사분면에 있는지 함께 확인해야 합니다. tan tan π π 1 + i 1 + i − 1 − i − 1 − i tan tan π 4 4 π 5 π 4 4 5 π π π
편각은 2 π 2 π 0 ≤ θ < 2 π 0 ≤ θ < 2 π − π < θ ≤ π − π < θ ≤ π
덧셈은 직교형식에서 성분끼리 더하는 것이고, 이는 평면에서 화살표를 이어 붙이는 것과 같습니다. 62강에서 벡터의 덧셈을 배울 때 같은 그림이 다시 나옵니다.
바로 확인.
확인 3-1. z = − 1 + i z = − 1 + i
답. ∣ z ∣ = 2 ∣ z ∣ = 2 ( − 1 , 1 ) ( − 1 , 1 ) tan θ = − 1 tan θ = − 1 θ = 3 π 4 θ = 4 3 π
확인 3-2. z = 3 ( cos π 6 + i sin π 6 ) z = 3 ( cos 6 π + i sin 6 π )
답. cos π 6 = 3 2 cos 6 π = 2 3 sin π 6 = 1 2 sin 6 π = 2 1 z = 3 3 2 + 3 2 i z = 2 3 3 + 2 3 i
확인 3-3. tan θ tan θ
답. 1 + i 1 + i − 1 − i − 1 − i tan θ = 1 tan θ = 1 π 4 4 π 5 π 4 4 5 π
문제. z 1 = r 1 ( cos α + i sin α ) z 1 = r 1 ( cos α + i sin α ) z 2 = r 2 ( cos β + i sin β ) z 2 = r 2 ( cos β + i sin β ) z 1 z 2 z 1 z 2
생각의 실마리. 두 극형식을 그대로 곱해 전개합니다. 전개하면 cos α cos β cos α cos β sin α sin β sin α sin β
풀이. 두 식을 곱합니다.
z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos α + i sin α ) ( cos β + i sin β ) z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos α + i sin α ) ( cos β + i sin β )
괄호를 전개합니다.
= r 1 r 2 [ cos α cos β + i cos α sin β + i sin α cos β + i 2 sin α sin β ] = r 1 r 2 [ cos α cos β + i cos α sin β + i sin α cos β + i 2 sin α sin β ]
i 2 = − 1 i 2 = − 1
= r 1 r 2 [ ( cos α cos β − sin α sin β ) + i ( sin α cos β + cos α sin β ) ] = r 1 r 2 [ ( cos α cos β − sin α sin β ) + i ( sin α cos β + cos α sin β ) ]
여기서 17강의 덧셈정리를 씁니다.
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
대입하면
z 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos ( α + β ) + i sin ( α + β ) ] z 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos ( α + β ) + i sin ( α + β ) ]
입니다.
이 결과를 읽으면 절댓값은 곱해지고 편각은 더해집니다. 복소평면에서 z 2 z 2 r 2 r 2 β β
이 문제에서 배우는 것: 곱셈의 기하학적 뜻과 드무아브르 정리.
∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ , arg ( z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 ∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ , arg ( z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2
나눗셈은 반대입니다. 절댓값은 나누고 편각은 뺍니다.
이 결과를 같은 수에 반복 적용하면 거듭제곱 공식이 나옵니다. z = r ( cos θ + i sin θ ) z = r ( cos θ + i sin θ )
z n = r n ( cos n θ + i sin n θ ) z n = r n ( cos n θ + i sin n θ )
이며 이것을 드무아브르 정리 라고 합니다. 25강의 귀납법으로 정식 증명합니다. n = 1 n = 1 z k = r k ( cos k θ + i sin k θ ) z k = r k ( cos k θ + i sin k θ ) z z r k + 1 r k + 1 ( k + 1 ) θ ( k + 1 ) θ
이 정리의 쓸모는 직교형식으로 계산하기 어려운 거듭제곱을 한 줄로 처리하는 데 있습니다. ( 1 + i ) 10 ( 1 + i ) 1 0 r = 2 r = 2 θ = π 4 θ = 4 π
( 1 + i ) 10 = ( 2 ) 10 ( cos 10 π 4 + i sin 10 π 4 ) = 32 ( cos π 2 + i sin π 2 ) = 32 i ( 1 + i ) 1 0 = ( 2 ) 1 0 ( cos 4 1 0 π + i sin 4 1 0 π ) = 3 2 ( cos 2 π + i sin 2 π ) = 3 2 i
로 끝납니다. 마지막에서 10 π 4 = 5 π 2 4 1 0 π = 2 5 π π 2 2 π 2 π 2 π
바로 확인.
확인 4-1. z = 2 ( cos π 6 + i sin π 6 ) z = 2 ( cos 6 π + i sin 6 π ) z 3 z 3
답. z 3 = 8 ( cos π 2 + i sin π 2 ) = 8 i z 3 = 8 ( cos 2 π + i sin 2 π ) = 8 i
확인 4-2. i i
답. ∣ i ∣ = 1 ∣ i ∣ = 1 arg i = π 2 arg i = 2 π 90 9 0
확인 4-3. ( 1 − i ) 8 ( 1 − i ) 8
답. ∣ 1 − i ∣ = 2 ∣ 1 − i ∣ = 2 − π 4 − 4 π ( 2 ) 8 ( cos ( − 2 π ) + i sin ( − 2 π ) ) = 16 ( 2 ) 8 ( cos ( − 2 π ) + i sin ( − 2 π ) ) = 1 6
문제. z 3 = 1 z 3 = 1
생각의 실마리. z = 1 z = 1 2 π 2 π
풀이. z = r ( cos θ + i sin θ ) z = r ( cos θ + i sin θ )
z 3 = r 3 ( cos 3 θ + i sin 3 θ ) z 3 = r 3 ( cos 3 θ + i sin 3 θ )
이고, 오른쪽 1 1 1 = 1 ⋅ ( cos 0 + i sin 0 ) 1 = 1 ⋅ ( cos 0 + i sin 0 )
두 복소수가 같으려면 절댓값이 같고 편각이 2 π 2 π
r 3 = 1 , 3 θ = 0 + 2 k π ( k ∈ Z ) r 3 = 1 , 3 θ = 0 + 2 k π ( k ∈ Z )
r r 0 0 r = 1 r = 1
θ = 2 k π 3 θ = 3 2 k π
입니다. k = 0 , 1 , 2 k = 0 , 1 , 2 θ = 0 , 2 π 3 , 4 π 3 θ = 0 , 3 2 π , 3 4 π k = 3 k = 3 θ = 2 π θ = 2 π k = 0 k = 0
세 해를 직교형식으로 적습니다.
z 0 = 1 , z 1 = − 1 2 + 3 2 i , z 2 = − 1 2 − 3 2 i z 0 = 1 , z 1 = − 2 1 + 2 3 i , z 2 = − 2 1 − 2 3 i
세 점 모두 절댓값이 1 1 2 π 3 3 2 π 정삼각형의 꼭짓점 을 이룹니다.
이 문제에서 배우는 것: n n
z n = w z n = w w w n n w = ρ ( cos φ + i sin φ ) w = ρ ( cos φ + i sin φ ) w ≠ 0 w = 0 n n
z k = ρ 1 / n ( cos φ + 2 k π n + i sin φ + 2 k π n ) , k = 0 , 1 , … , n − 1 z k = ρ 1 / n ( cos n φ + 2 k π + i sin n φ + 2 k π ) , k = 0 , 1 , … , n − 1
입니다. 모든 해의 절댓값이 같으므로 반지름 ρ 1 / n ρ 1 / n n n 에 놓입니다.
k k 0 0 n − 1 n − 1 k = n k = n φ n + 2 π n φ + 2 π k = 0 k = 0 정확히 n n 라는 것이 여기서 나옵니다.
실수 범위에서는 사정이 달랐습니다. x 3 = 1 x 3 = 1 1 1 x 2 = − 1 x 2 = − 1 대수학의 기본정리 입니다.
복소수 계수를 가진 n n n n
이 정리의 증명은 이 커리큘럼의 범위를 넘습니다. 다만 그 뜻은 분명히 새겨 둡니다. 더 이상 수를 넓힐 필요가 없습니다. 1강부터 이어진 확장의 사슬이 C C C C C C
1 1 n n
바로 확인.
확인 5-1. z 4 = 1 z 4 = 1
답. r = 1 r = 1 θ = 2 k π 4 θ = 4 2 k π θ = 0 , π 2 , π , 3 π 2 θ = 0 , 2 π , π , 2 3 π 1 , i , − 1 , − i 1 , i , − 1 , − i
확인 5-2. z 2 = i z 2 = i
답. i = cos π 2 + i sin π 2 i = cos 2 π + i sin 2 π θ = π 4 + k π θ = 4 π + k π 2 2 ( 1 + i ) 2 2 ( 1 + i ) − 2 2 ( 1 + i ) − 2 2 ( 1 + i )
확인 5-3. 1 1 6 6
답. 단위원 위의 정육각형 꼭짓점을 이룹니다. 편각이 π 3 3 π
개념
정의 또는 식
허수단위
i 2 = − 1 i 2 = − 1
복소수
z = a + b i z = a + b i
켤레
z ˉ = a − b i z ˉ = a − b i
절댓값
∣ z ∣ = a 2 + b 2 ∣ z ∣ = a 2 + b 2
극형식
z = r ( cos θ + i sin θ ) z = r ( cos θ + i sin θ )
곱셈
절댓값은 곱하고 편각은 더합니다
드무아브르
z n = r n ( cos n θ + i sin n θ ) z n = r n ( cos n θ + i sin n θ )
n n 원 위 정n n n n
상황
쓸 도구
덧셈과 뺄셈을 합니다
직교형식으로 성분끼리 계산합니다
나눗셈을 합니다
분모의 켤레를 분자와 분모에 곱합니다
거듭제곱을 합니다
극형식으로 바꿔 드무아브르 정리를 씁니다
n n 편각에 2 k π 2 k π n n
실수임을 보입니다
z = z ˉ z = z ˉ
편각을 정합니다
tan tan
문제 6. ( 2 + 3 i ) − ( 4 − i ) ( 2 + 3 i ) − ( 4 − i )
답. − 2 + 4 i − 2 + 4 i
문제 7. ( 1 + 2 i ) ( 3 − i ) ( 1 + 2 i ) ( 3 − i )
답. 3 − i + 6 i − 2 i 2 = 3 + 5 i + 2 = 5 + 5 i 3 − i + 6 i − 2 i 2 = 3 + 5 i + 2 = 5 + 5 i
문제 8. 2 − i 3 + 2 i 3 + 2 i 2 − i a + b i a + b i
답. 켤레 3 − 2 i 3 − 2 i 9 + 4 = 13 9 + 4 = 1 3 6 − 4 i − 3 i + 2 i 2 = 4 − 7 i 6 − 4 i − 3 i + 2 i 2 = 4 − 7 i 4 13 − 7 13 i 1 3 4 − 1 3 7 i
문제 9. x 2 − 6 x + 25 = 0 x 2 − 6 x + 2 5 = 0
답. x = 6 ± 36 − 100 2 = 6 ± 8 i 2 = 3 ± 4 i x = 2 6 ± 3 6 − 1 0 0 = 2 6 ± 8 i = 3 ± 4 i
문제 10. ∣ 1 + i ∣ 2 ∣ 1 + i ∣ 2
답. 정의로는 ( 2 ) 2 = 2 ( 2 ) 2 = 2 z z ˉ z z ˉ ( 1 + i ) ( 1 − i ) = 1 + 1 = 2 ( 1 + i ) ( 1 − i ) = 1 + 1 = 2
문제 11. i 2026 i 2 0 2 6
답. 2026 = 4 ⋅ 506 + 2 2 0 2 6 = 4 ⋅ 5 0 6 + 2 i 2026 = i 2 = − 1 i 2 0 2 6 = i 2 = − 1
문제 12. z = − 3 + i z = − 3 + i
답. ∣ z ∣ = 3 + 1 = 2 ∣ z ∣ = 3 + 1 = 2 tan θ = − 1 3 tan θ = − 3 1 θ = 5 π 6 θ = 6 5 π 2 ( cos 5 π 6 + i sin 5 π 6 ) 2 ( cos 6 5 π + i sin 6 5 π )
문제 13. ( 1 + i ) 6 ( 1 + i ) 6
답. r = 2 r = 2 θ = π 4 θ = 4 π ( 2 ) 6 ( cos 3 π 2 + i sin 3 π 2 ) = 8 ⋅ ( − i ) = − 8 i ( 2 ) 6 ( cos 2 3 π + i sin 2 3 π ) = 8 ⋅ ( − i ) = − 8 i
문제 14. z 2 = − 9 z 2 = − 9
답. z = ± 3 i z = ± 3 i
문제 15. 실수 계수 이차방정식이 허근 a + b i a + b i a − b i a − b i
답. 방정식 z 2 + p z + q = 0 z 2 + p z + q = 0 z ‾ 2 + p z ˉ + q = 0 z 2 + p z ˉ + q = 0 p , q p , q z ˉ z ˉ D < 0 D < 0 − p ± i − D 2 2 − p ± i − D
문제 16. ∣ z ∣ = 1 ∣ z ∣ = 1
답. 원점을 중심으로 하는 반지름 1 1
문제 17. z = 1 z = 1 z + 1 z z + z 1 ∣ z ∣ = 1 ∣ z ∣ = 1 z z
답. z = 1 z = 1 2 2 ∣ z ∣ = 1 ∣ z ∣ = 1 z z ˉ = 1 z z ˉ = 1 1 z = z ˉ z 1 = z ˉ z + 1 z = z + z ˉ = 2 Re z z + z 1 = z + z ˉ = 2 R e z
문제 18. z 3 = 8 z 3 = 8
답. 8 = 8 ( cos 0 + i sin 0 ) 8 = 8 ( cos 0 + i sin 0 ) r = 2 r = 2 θ = 2 k π 3 θ = 3 2 k π 2 2 − 1 + 3 i − 1 + 3 i − 1 − 3 i − 1 − 3 i
심화 1. 실수에서 성립하던 성질 중 복소수에서 깨지는 것을 하나 찾고 반례를 드세요.
답. 대소 비교가 깨집니다. 그리고 a b = a b a b = a b
풀이. 복소수에는 실수처럼 크기 순서를 줄 수 없습니다. i > 0 i > 0 i i i 2 > 0 i 2 > 0 − 1 > 0 − 1 > 0 i < 0 i < 0 i i i 2 > 0 i 2 > 0
근호 성질의 반례는 다음과 같습니다.
− 1 ⋅ − 1 = i ⋅ i = − 1 , ( − 1 ) ( − 1 ) = 1 = 1 − 1 ⋅ − 1 = i ⋅ i = − 1 , ( − 1 ) ( − 1 ) = 1 = 1
두 값이 다릅니다.
남는 것. 수를 넓히면 얻는 것도 있고 잃는 것도 있습니다. 얻은 것은 모든 다항방정식이 풀린다는 사실이고, 잃은 것은 대소 비교입니다. 24강 문제 5에서 반례가 명제의 경계를 알려 준다고 했는데, 여기서는 반례가 정리를 쓸 수 있는 수 체계의 경계 를 알려 줍니다. 실수에서 배운 부등식 성질을 복소수에 그대로 옮기지 않도록 주의합니다.
심화 2. 드무아브르 정리를 25강의 귀납법으로 정식 증명하세요.
답. 기초 단계와 귀납 단계로 나뉩니다.
풀이. P ( n ) P ( n ) z n = r n ( cos n θ + i sin n θ ) z n = r n ( cos n θ + i sin n θ )
기초 단계에서 n = 1 n = 1 z z
귀납 단계에서 P ( k ) P ( k ) z z
z k + 1 = r k ( cos k θ + i sin k θ ) ⋅ r ( cos θ + i sin θ ) z k + 1 = r k ( cos k θ + i sin k θ ) ⋅ r ( cos θ + i sin θ )
이고, 문제 4의 곱셈 규칙에 의해 절댓값은 r k ⋅ r = r k + 1 r k ⋅ r = r k + 1 k θ + θ = ( k + 1 ) θ k θ + θ = ( k + 1 ) θ P ( k + 1 ) P ( k + 1 )
남는 것. 문제 4에서 유도한 곱셈 규칙이 귀납 단계의 전부입니다. 정리 하나를 세워 두면 그것을 반복 적용하는 정리가 귀납법으로 거의 자동으로 따라옵니다. 25강 문제 2에서 정리한 귀납 단계의 표준 절차 중 "앞의 k k z k z k z z
심화 3. 1 1 n n n ≥ 2 n ≥ 2
답. 0 0
풀이. ω = cos 2 π n + i sin 2 π n ω = cos n 2 π + i sin n 2 π n n 1 , ω , ω 2 , … , ω n − 1 1 , ω , ω 2 , … , ω n − 1 1 1 ω ω ω ≠ 1 ω = 1
1 + ω + ⋯ + ω n − 1 = ω n − 1 ω − 1 1 + ω + ⋯ + ω n − 1 = ω − 1 ω n − 1
이고 ω n = 1 ω n = 1 0 0 0 0
남는 것. 기하학적으로 읽으면 정n n 0 0 0 0
심화 4. ∣ z + w ∣ ≤ ∣ z ∣ + ∣ w ∣ ∣ z + w ∣ ≤ ∣ z ∣ + ∣ w ∣
답. 삼각부등식이 복소수에서도 성립합니다.
풀이. 양변이 0 0
∣ z + w ∣ 2 = ( z + w ) ( z + w ) ‾ = z z ˉ + z w ˉ + w z ˉ + w w ˉ = ∣ z ∣ 2 + ∣ w ∣ 2 + ( z w ˉ + z w ˉ ‾ ) ∣ z + w ∣ 2 = ( z + w ) ( z + w ) = z z ˉ + z w ˉ + w z ˉ + w w ˉ = ∣ z ∣ 2 + ∣ w ∣ 2 + ( z w ˉ + z w ˉ )
마지막 괄호는 확인 2-3에 의해 2 Re ( z w ˉ ) 2 R e ( z w ˉ )
2 Re ( z w ˉ ) ≤ 2 ∣ z w ˉ ∣ = 2 ∣ z ∣ ∣ w ∣ 2 R e ( z w ˉ ) ≤ 2 ∣ z w ˉ ∣ = 2 ∣ z ∣ ∣ w ∣
입니다. 따라서
∣ z + w ∣ 2 ≤ ∣ z ∣ 2 + 2 ∣ z ∣ ∣ w ∣ + ∣ w ∣ 2 = ( ∣ z ∣ + ∣ w ∣ ) 2 ∣ z + w ∣ 2 ≤ ∣ z ∣ 2 + 2 ∣ z ∣ ∣ w ∣ + ∣ w ∣ 2 = ( ∣ z ∣ + ∣ w ∣ ) 2
이고 양변에 제곱근을 취하면 결과가 나옵니다.
남는 것. 8강에서 실수의 삼각부등식을 경우 나누기로 증명했는데, 복소수에서는 경우를 나눌 수 없으므로 켤레를 써서 제곱을 전개하는 방식으로 바꿨습니다. 같은 정리라도 수 체계가 달라지면 증명 방법이 달라집니다. 이 켤레 전개 방식은 62강 이후 벡터의 내적에서 그대로 재사용됩니다.
심화 5. ( 1 + i 1 − i ) 100 ( 1 − i 1 + i ) 1 0 0
답. 1 1
풀이. 먼저 괄호 안을 정리합니다. 분모의 켤레를 곱하면
1 + i 1 − i = ( 1 + i ) 2 ( 1 − i ) ( 1 + i ) = 1 + 2 i + i 2 2 = 2 i 2 = i 1 − i 1 + i = ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 1 + i ) 2 = 2 1 + 2 i + i 2 = 2 2 i = i
입니다. 따라서 구하는 값은 i 100 i 1 0 0 100 = 4 ⋅ 25 1 0 0 = 4 ⋅ 2 5 i 100 = 1 i 1 0 0 = 1
극형식으로도 확인됩니다. 분자의 편각이 π 4 4 π − π 4 − 4 π π 2 2 π 2 2 = 1 2 2 = 1
남는 것. 큰 거듭제곱을 만나면 먼저 밑을 최대한 단순하게 만듭니다. i i
심화 6. ω ω 1 1 1 1 ω 2 + ω + 1 = 0 ω 2 + ω + 1 = 0 ( 1 + ω ) 3 ( 1 + ω ) 3
답. ( 1 + ω ) 3 = − 1 ( 1 + ω ) 3 = − 1
풀이. ω 3 = 1 ω 3 = 1 ω 3 − 1 = 0 ω 3 − 1 = 0 ( ω − 1 ) ( ω 2 + ω + 1 ) = 0 ( ω − 1 ) ( ω 2 + ω + 1 ) = 0 ω ≠ 1 ω = 1 ω − 1 ≠ 0 ω − 1 = 0 ω 2 + ω + 1 = 0 ω 2 + ω + 1 = 0
이 관계에서 1 + ω = − ω 2 1 + ω = − ω 2
( 1 + ω ) 3 = ( − ω 2 ) 3 = − ω 6 = − ( ω 3 ) 2 = − 1 ( 1 + ω ) 3 = ( − ω 2 ) 3 = − ω 6 = − ( ω 3 ) 2 = − 1
입니다.
남는 것. ω 2 + ω + 1 = 0 ω 2 + ω + 1 = 0 0 0 1 + ω + ω 2 = 0 1 + ω + ω 2 = 0 ω ω 2 2
파이썬은 복소수를 기본 자료형으로 지원하고 numpy도 복소수 배열을 다룹니다. 손으로 구한 값과 대조합니다.
import numpy as np
# 문제 1: x^2 + 4x + 13 = 0 의 근
z = np.array([-2 + 3j, -2 - 3j])
print(np.abs(z**2 + 4*z + 13).max() < 1e-12) # True
# 문제 2: 나눗셈은 켤레를 곱하는 것과 같습니다.
a = (3 + 2j) / (1 - 1j)
print(a, np.isclose(a, 0.5 + 2.5j)) # (0.5+2.5j) True
# 문제 3: 극형식 변환
w = 1 + np.sqrt(3) * 1j
print(round(abs(w), 10), round(np.angle(w), 10), round(np.pi/3, 10))
# 2.0 1.0471975512 1.0471975512
# 문제 4: 곱하면 절댓값은 곱해지고 편각은 더해집니다.
z1, z2 = 2 * np.exp(1j * np.pi / 6), 3 * np.exp(1j * np.pi / 4)
print(np.isclose(abs(z1 * z2), abs(z1) * abs(z2))) # True
print(np.isclose(np.angle(z1 * z2), np.angle(z1) + np.angle(z2))) # True
# 문제 4: (1+i)^10 = 32i
print(np.isclose((1 + 1j)**10, 32j)) # True
# 문제 5: z^3 = 1 의 세 근은 단위원 위 정삼각형입니다.
k = np.arange(3)
roots = np.exp(2j * np.pi * k / 3)
print([(round(float(r.real), 6), round(float(r.imag), 6)) for r in roots])
# [(1.0, 0.0), (-0.5, 0.866025), (-0.5, -0.866025)]
print(np.abs(roots**3 - 1).max() < 1e-12) # True
print([round(float(v), 10) for v in np.abs(roots)]) # [1.0, 1.0, 1.0]
# 심화 3: 1의 n제곱근의 합은 0 입니다.
sums = [bool(abs(np.exp(2j * np.pi * np.arange(n) / n).sum()) < 1e-12)
for n in (2, 3, 5, 8)]
print(sums) # [True, True, True, True]
# 심화 4: 삼각부등식
rng = np.array([1+2j, -3+1j, 0.5-0.5j, 4+0j])
p, q = rng[:, None], rng[None, :]
print(bool(np.all(np.abs(p + q) <= np.abs(p) + np.abs(q) + 1e-12))) # True
# 심화 1: 근호 성질이 깨집니다.
print(np.sqrt(-1+0j) * np.sqrt(-1+0j), np.sqrt((-1)*(-1)+0j)) # (-1+0j) (1+0j)
출력이 주석과 모두 일치합니다. 마지막 줄이 심화 1의 반례를 그대로 보여 줍니다. − 1 ⋅ − 1 − 1 ⋅ − 1 − 1 − 1 ( − 1 ) ( − 1 ) ( − 1 ) ( − 1 ) 1 1
허수단위 i i
z = a + b i z = a + b i 복소수 나눗셈은 어떻게 합니까?
극형식을 쓰세요.
두 복소수를 곱하면 절댓값과 편각은 각각 어떻게 됩니까?
드무아브르 정리를 쓰세요.
z n = w z n = w w ≠ 0 w = 0 대수학의 기본정리는 무엇을 말합니까?
정답.
i 2 = − 1 i 2 = − 1 z ˉ = a − b i z ˉ = a − b i ∣ z ∣ = a 2 + b 2 ∣ z ∣ = a 2 + b 2 분모의 켤레를 분자와 분모에 곱해 분모를 실수로 만듭니다.
z = r ( cos θ + i sin θ ) z = r ( cos θ + i sin θ ) 절댓값은 곱해지고 편각은 더해집니다.
z n = r n ( cos n θ + i sin n θ ) z n = r n ( cos n θ + i sin n θ ) 정확히 n n n n
n n n n
기호
읽는 법
뜻
i i 허수단위
i 2 = − 1 i 2 = − 1
\mathbb
복소수 전체
a + b i a + b i
Re z R e z 실수부
z = a + b i z = a + b i a a
Im z I m z 허수부
z = a + b i z = a + b i b b
\bar
켤레복소수
a − b i a − b i
∣ z ∣ ∣ z ∣ 절댓값
원점에서의 거리입니다
arg z arg z 편각
실수축 양의 방향과 이루는 각입니다
다음 31강에서는 합 기호와 곱 기호를 정확히 다루는 법을 배웁니다. 18강에서 쓰기 시작한 시그마의 성질을 정의에서 유도하고, 지표를 바꾸거나 이중합의 순서를 바꿀 때 무엇을 조심해야 하는지 정리합니다.