18강에서 시그마 기호를 도입하고 몇 가지 성질을 썼습니다. 그때는 합을 짧게 적는 표기법으로만 다뤘고, 어떤 조작이 허용되고 어떤 것이 안 되는지는 정하지 않았습니다.
이 강의는 그 규칙을 정합니다. 앞으로 만날 거의 모든 식에 시그마가 들어갑니다. 급수와 테일러 전개가 무한합이고, 행렬 곱의 각 성분이 합이며, 기댓값과 손실함수가 합입니다. 시그마를 잘못 조작하면 그 뒤의 모든 계산이 무너지므로 여기서 손에 붙여 둡니다.
특히 조심할 것이 두 가지입니다. 곱은 시그마 밖으로 나가지 않습니다. 그리고 이중합의 순서를 바꿀 때 범위가 함께 바뀝니다.
- 시그마의 정의를 적고 지표가 이름일 뿐임을 설명할 수 있습니다.
- 선형성을 써서 합을 분해하고, 곱에 대해서는 쓸 수 없음을 반례로 보일 수 있습니다.
- 지표를 옮기거나 뒤집어 합의 모양을 바꿀 수 있습니다.
- 이중합의 순서를 범위와 함께 정확히 바꿀 수 있습니다.
- 곱 기호를 다루고 로그로 합으로 바꿀 수 있습니다.
문제. (1) i=1∑4(2i−1)을 계산하세요.
(2) i=1∑ni와 j=1∑nj와 k=1∑nk는 같은 값입니까?
(3) i=1∑n3을 계산하세요.
생각의 실마리. (2)에서 지표 문자가 결과에 나타나는지 봅니다. (3)에서는 더할 식에 지표가 들어 있지 않은데 그래도 n번 더하는지 따집니다. 시그마가 무엇을 몇 번 더하라는 뜻인지 정의로 돌아가 확인합니다.
풀이. (1) 지표 i에 1,2,3,4를 차례로 넣어 더합니다.
i=1∑4(2i−1)=1+3+5+7=16
25강 확인 1-1에서 증명한 ∑i=1n(2i−1)=n2과 비교하면 42=16으로 일치합니다.
(2) 세 식 모두 1+2+⋯+n입니다. 지표 문자는 더하는 과정에서만 쓰이고 결과에는 남지 않으므로 어떤 문자를 써도 값이 같습니다.
(3) 더할 식 3에 지표가 없지만, 시그마는 지표가 범위를 훑는 동안 매번 더하라는 뜻입니다. i=1부터 i=n까지 n번이므로
i=1∑n3=3+3+⋯+3=3n
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 시그마의 정의와 더미 지표.
i=m∑nai=am+am+1+⋯+an
정확히 하려면 다음과 같이 재귀적으로 정의합니다.
i=m∑mai=am,i=m∑n+1ai=(i=m∑nai)+an+1
25강의 귀납법으로 합에 관한 명제를 증명할 때 쓰는 것이 바로 이 두 번째 식입니다. "앞의 k개와 새 항으로 쪼갠다"는 절차가 정의 자체에서 나옵니다.
지표 i를 더미 지표라고 합니다. 이름일 뿐이라 다른 문자로 바꿔도 값이 변하지 않습니다. 이 성질이 중요한 이유는 이중합에서 같은 문자를 두 번 쓰면 뜻이 뒤엉키기 때문입니다. 안쪽과 바깥쪽 지표는 반드시 다른 문자로 씁니다.
두 가지 규약을 정해 둡니다.
- 시작이 끝보다 크면 빈 합이고 값은 0입니다. ∑i=32ai=0입니다.
- 항의 개수는 n−m+1개입니다. n−m개가 아닙니다.
빈 합을 0으로 두는 이유는 덧셈의 항등원이 0이기 때문이며, 이렇게 정하면 범위를 쪼갤 때 예외가 생기지 않습니다.
i=1∑nc=cn
이 식에서 c가 지표와 무관한 상수라는 점이 핵심입니다. ∑i=1ni처럼 지표가 들어 있으면 이 규칙을 쓸 수 없습니다.
바로 확인.
확인 1-1. k=2∑5k2을 계산하세요.
답. 4+9+16+25=54입니다.
확인 1-2. i=3∑101을 계산하세요.
답. 항의 개수가 10−3+1=8이므로 8입니다.
확인 1-3. i=1∑naj에서 j가 지표가 아닐 때 값은 무엇입니까?
답. aj가 지표 i와 무관한 상수이므로 naj입니다. 지표가 아닌 문자는 상수처럼 다룹니다.
문제. 다음 네 등식 중 항상 성립하는 것을 고르고, 성립하지 않는 것은 반례를 드세요.
(가) i=1∑n(ai+bi)=i=1∑nai+i=1∑nbi
(나) i=1∑ncai=ci=1∑nai
(다) i=1∑naibi=(i=1∑nai)(i=1∑nbi)
(라) \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)^
생각의 실마리. 시그마를 풀어써 보면 (가)와 (나)는 덧셈의 교환·결합법칙과 분배법칙일 뿐입니다. (다)와 (라)는 곱이 들어 있으므로 n=2처럼 작은 경우에 양변을 직접 전개해 비교합니다.
풀이. (가)는 성립합니다. 왼쪽을 풀어쓰면
(a1+b1)+(a2+b2)+⋯+(an+bn)
이고, 덧셈의 순서를 바꿔 a끼리 b끼리 모으면 오른쪽이 됩니다.
(나)도 성립합니다. 왼쪽은 ca1+ca2+⋯+can이고 분배법칙으로 c를 묶으면 오른쪽입니다.
(다)는 성립하지 않습니다. n=2로 봅니다. 왼쪽은 a1b1+a2b2이고 오른쪽은
(a1+a2)(b1+b2)=a1b1+a1b2+a2b1+a2b2
입니다. 오른쪽에 교차항 a1b2+a2b1이 더 있습니다. 구체적으로 a=(1,1), b=(1,1)이면 왼쪽은 2, 오른쪽은 4입니다. 반례입니다.
(라)도 성립하지 않습니다. (다)에서 bi=ai로 둔 경우입니다. a=(1,1)이면 왼쪽은 2, 오른쪽은 4입니다.
이 문제에서 배우는 것: 시그마의 선형성과 그 한계.
성립하는 두 성질을 합쳐 선형성이라고 합니다.
i=m∑n(αai+βbi)=αi=m∑nai+βi=m∑nbi
시그마 안에서 덧셈은 나뉘고 상수는 밖으로 나갑니다. 그러나 곱과 거듭제곱은 그렇지 않습니다.
∑aibi=(∑ai)(∑bi),∑ai2=(∑ai)2,∑ai1=∑ai1
차이가 나는 이유가 (다)의 전개에 그대로 있습니다. 오른쪽에는 지표가 다른 항끼리 곱한 교차항이 들어 있고 왼쪽에는 없습니다.
여기서 밖으로 나갈 수 있는 상수가 무엇인지 정확히 해 둡니다. 지표와 무관한 것만 나갑니다. ∑i=1niai에서 i를 밖으로 빼내 i∑ai라고 쓰면 안 됩니다. i가 지표이기 때문입니다.
한 가지 더 유용한 규칙은 범위를 쪼개는 것입니다. m≤p<n일 때
i=m∑nai=i=m∑pai+i=p+1∑nai
입니다. 빈 합을 0으로 정해 두었으므로 p가 양 끝에 있어도 그대로 성립합니다.
바로 확인.
확인 2-1. i=1∑n(3i+2)를 18강의 공식으로 계산하세요.
답. 선형성으로 3∑i+∑2=3⋅2n(n+1)+2n=23n2+7n입니다.
확인 2-2. i=1∑3i⋅2i를 계산하고, (∑i)(∑2i)와 비교하세요.
답. 왼쪽은 2+8+24=34입니다. 오른쪽은 6×14=84이므로 다릅니다. 곱은 나뉘지 않습니다.
확인 2-3. i=1∑nnai에서 n1을 밖으로 빼도 됩니까?
답. 됩니다. n은 지표 i와 무관하므로 상수입니다. 결과는 n1∑ai이며 이것이 평균입니다.
문제. (1) i=1∑nai+1을 지표가 a의 첨자와 같아지도록 다시 쓰세요.
(2) i=0∑nan−i를 지표를 뒤집어 다시 쓰세요.
(3) i=1∑n(i1−i+11)을 계산하세요.
생각의 실마리. (1)에서 새 지표 j=i+1로 두면 j의 범위가 어떻게 되는지 확인합니다. (3)은 18강에서 다룬 망원합입니다. 항을 몇 개 적어 보고 무엇이 지워지는지 봅니다.
풀이. (1) j=i+1로 놓습니다. i=1일 때 j=2이고 i=n일 때 j=n+1입니다. 따라서
i=1∑nai+1=j=2∑n+1aj
입니다. 항의 개수는 양쪽 모두 n개로 같습니다.
(2) j=n−i로 놓습니다. i=0일 때 j=n이고 i=n일 때 j=0입니다. 지표가 거꾸로 움직이지만 덧셈은 순서와 무관하므로
i=0∑nan−i=j=0∑naj
입니다. 합을 거꾸로 더해도 값은 같습니다. 18강에서 등차수열의 합을 유도할 때 합을 두 번 적어 하나를 뒤집었던 것이 바로 이 조작입니다.
(3) 항을 몇 개 적습니다.
(11−21)+(21−31)+(31−41)+⋯+(n1−n+11)
가운데 항들이 서로 지워지고 처음과 마지막만 남습니다.
=1−n+11=n+1n
지표 이동으로 정리하면 이유가 더 분명합니다. 선형성으로 나누면
i=1∑ni1−i=1∑ni+11=i=1∑ni1−j=2∑n+1j1
이고, 두 합은 j=2부터 j=n까지 겹칩니다. 겹치는 부분이 상쇄되고 앞 합의 첫 항 1과 뒤 합의 마지막 항 n+11만 남습니다.
이 문제에서 배우는 것: 지표 이동, 뒤집기, 망원합.
지표 이동. 새 지표를 정하면 더할 식과 범위를 함께 바꿉니다.
i=m∑nai+c=j=m+c∑n+caj
가장 흔한 실수는 식만 바꾸고 범위를 그대로 두는 것입니다. 항의 개수가 양쪽에서 같은지 확인하면 이 실수를 잡을 수 있습니다.
지표 뒤집기. j=m+n−i로 두면 범위가 그대로 유지되면서 순서가 뒤집힙니다.
i=m∑nai=i=m∑nam+n−i
망원합. 더할 식이 bi−bi+1 꼴이면 가운데가 모두 지워집니다.
i=m∑n(bi−bi+1)=bm−bn+1
이 공식이 유용한 이유는 계산량이 항의 개수와 무관해지기 때문입니다. 항이 백만 개여도 양 끝만 보면 됩니다. 실전에서 할 일은 주어진 식을 bi−bi+1 꼴로 만드는 것이며, 4강의 부분분수가 그 주된 도구입니다.
i(i+1)1=i1−i+11
25강 문제 9에서 귀납법으로 증명한 식이 여기서는 망원합으로 곧바로 나옵니다. 귀납법은 답을 검증하고 망원합은 답을 만듭니다.
바로 확인.
확인 3-1. i=2∑n+1ai−1을 지표를 옮겨 다시 쓰세요.
답. j=i−1로 두면 범위가 1부터 n까지이므로 j=1∑naj입니다.
확인 3-2. i=1∑ni(i+1)1을 계산하세요.
답. 부분분수로 i1−i+11이 되므로 망원합에 의해 1−n+11=n+1n입니다.
확인 3-3. i=1∑n(ai+1−ai)를 계산하세요.
답. 부호가 반대인 망원합이므로 an+1−a1입니다.
문제. (1) i=1∑2j=1∑3ij를 두 가지 순서로 계산해 값이 같음을 확인하세요.
(2) i=1∑nj=1∑iaij의 합하는 순서를 바꿔 쓰세요.
생각의 실마리. (1)은 범위가 i와 j에 대해 독립이므로 직사각형 영역입니다. (2)는 안쪽 범위가 바깥 지표 i에 의존하므로 삼각형 영역입니다. 어느 칸들을 더하는지 격자에 점을 찍어 보면 바뀐 범위가 보입니다.
풀이. (1) 안쪽부터 계산합니다.
i=1∑2j=1∑3ij=i=1∑2i(1+2+3)=6i=1∑2i=6⋅3=18
순서를 바꿔도 봅니다.
j=1∑3i=1∑2ij=j=1∑3j(1+2)=3j=1∑3j=3⋅6=18
같습니다. 범위가 서로 무관하므로 순서를 그냥 바꿔도 됩니다.
(2) 더하는 칸을 적어 봅니다. i가 1부터 n까지 가고 각 i에서 j가 1부터 i까지 갑니다. 즉 조건은
1≤j≤i≤n
입니다. 이 조건을 j가 바깥으로 오도록 다시 읽습니다. j는 1부터 n까지 가능하고, j가 정해지면 i는 j 이상 n 이하입니다. 따라서
i=1∑nj=1∑iaij=j=1∑ni=j∑naij
입니다. 바깥 범위가 1∼n으로 고정되고 안쪽 범위가 j∼n으로 바뀌었습니다.
이 문제에서 배우는 것: 이중합과 순서 교환.
이중합은 두 지표가 훑는 영역 위의 합입니다. 그래서 순서를 바꾸는 일은 같은 영역을 다른 방향으로 훑는 것일 뿐이고, 유한합에서는 값이 항상 같습니다.
(i,j)∈S∑aij
를 계산할 때 어느 지표를 바깥에 두느냐만 다릅니다. 여기서 지켜야 할 절차가 있습니다.
- 두 지표가 만족하는 부등식 조건을 모두 적습니다.
- 바깥에 둘 지표의 범위를 조건에서 읽습니다.
- 그 지표를 고정한 채 안쪽 지표의 범위를 읽습니다.
(2)에서 조건이 1≤j≤i≤n이었고, j를 바깥에 두니 1≤j≤n이며 j를 고정하면 j≤i≤n이 나왔습니다.
범위가 서로 무관하면 순서를 바꿔도 범위가 그대로입니다. 이때는 더 강한 성질도 성립합니다. 더할 식이 aibj처럼 분리되면 합도 분리됩니다.
i=1∑mj=1∑naibj=(i=1∑mai)(j=1∑nbj)
문제 2의 (다)와 헷갈리지 않도록 주의합니다. 그쪽은 지표가 하나여서 교차항이 없었고, 이쪽은 지표가 둘이라 모든 교차항이 이미 들어 있습니다. 같은 문자를 두 번 쓰면 이 구분이 무너지므로 지표는 반드시 다른 문자로 씁니다.
무한합에서는 순서를 바꿀 때 조건이 필요합니다. 항의 부호가 섞인 무한급수는 순서를 바꾸면 값이 달라질 수 있습니다. 그 조건은 56강에서 절대수렴을 배울 때 다룹니다. 지금 다루는 것은 모두 유한합이므로 자유롭게 바꿔도 됩니다.
바로 확인.
확인 4-1. i=1∑3j=1∑2(i+j)를 계산하세요.
답. 안쪽이 2i+3이므로 ∑i=13(2i+3)=(2+3)+(4+3)+(6+3)=21입니다.
확인 4-2. i=1∑nj=i∑naij의 순서를 바꿔 쓰세요.
답. 조건이 1≤i≤j≤n이므로 j를 바깥에 두면 j=1∑ni=1∑jaij입니다.
확인 4-3. i=1∑3j=1∑4i⋅j를 분리해서 계산하세요.
답. 더할 식이 분리되므로 (∑i=13i)(∑j=14j)=6×10=60입니다.
문제. (1) i=1∏4i와 i=1∏nc를 각각 계산하세요.
(2) i=1∏nii+1을 계산하세요.
(3) logi=1∏nai를 합으로 바꾸세요. (모든 ai>0)
생각의 실마리. (2)는 항을 몇 개 적어 보면 분자와 분모가 어떻게 지워지는지 보입니다. 망원합의 곱셈판입니다. (3)은 14강에서 배운 로그의 성질을 씁니다. 곱을 합으로 바꾸는 것이 로그의 핵심 기능이었습니다.
풀이. (1) 곱 기호는 지표를 훑으며 곱하라는 뜻입니다.
i=1∏4i=1⋅2⋅3⋅4=24=4!
19강의 계승이 곱 기호로 적힌 것입니다. 상수의 곱은
i=1∏nc=c⋅c⋯c=cn
입니다. 합에서 cn이었던 자리가 곱에서는 cn이 됩니다.
(2) 항을 적습니다.
12⋅23⋅34⋯nn+1
앞 분자와 뒤 분모가 차례로 지워지고 처음 분모 1과 마지막 분자 n+1만 남습니다.
=n+1
25강 문제 17에서 귀납법으로 증명한 식과 같습니다.
(3) 14강에서 log(xy)=logx+logy였습니다. 이것을 n개로 확장하면
logi=1∏nai=i=1∑nlogai
입니다. 확장 자체는 25강의 귀납법으로 증명됩니다.
이 문제에서 배우는 것: 곱 기호와 로그 변환.
i=m∏nai=am⋅am+1⋯an
곱 기호의 성질은 합 기호의 성질을 곱셈으로 옮긴 것입니다. 대응을 표로 정리합니다.
| 합 기호 |
곱 기호 |
| 빈 합은 0입니다 |
빈 곱은 1입니다 |
| ∑c=cn |
\prod c=c^ |
| \sum(a_{i}+b_{i})=\sum a_{i}+\sum b_ |
\prod(a_{i}b_{i})=\prod a_{i}\cdot\prod b_ |
| \sum ca_{i}=c\sum a_ |
\prod(ca_{i})=c^{n}\prod a_ |
| 망원합 \sum(b_{i}-b_{i+1})=b_{m}-b_ |
망원곱 ∏bi+1bi=bn+1bm |
빈 곱을 1로 정하는 이유는 곱셈의 항등원이 1이기 때문입니다. 빈 합을 0으로 정한 것과 같은 원리이며, 이렇게 두면 0!=1도 자연스럽게 설명됩니다.
네 번째 줄에서 주의합니다. 곱에서 상수를 밖으로 빼면 지수가 붙습니다. 상수가 n번 곱해지기 때문입니다. 합에서 c가 그대로 나오는 것과 다릅니다.
로그 변환이 곱 기호를 다루는 가장 강력한 도구입니다.
logi=1∏nai=i=1∑nlogai
곱을 합으로 바꾸면 앞에서 익힌 모든 시그마 조작을 쓸 수 있습니다. 그리고 실용적인 이유도 큽니다. 확률을 여러 개 곱하면 값이 지수적으로 작아져 계산기에서 0이 되어 버리는데, 로그를 취해 더하면 그런 일이 생기지 않습니다. 이 기법을 로그 우도라고 하며 137강 이후의 최대가능도추정에서 계속 씁니다.
바로 확인.
확인 5-1. i=1∏n2를 계산하세요.
답. 2n입니다.
확인 5-2. i=2∏n(1−i1)을 계산하세요.
답. 1−i1=ii−1이므로 망원곱이 되어 n1입니다.
확인 5-3. i=1∏n(3ai)를 ∏ai로 나타내세요.
답. 3ni=1∏nai입니다. 상수를 빼내면 지수가 붙습니다.
| 성질 |
식 |
성립 |
| 선형성 |
\sum(\alpha a_{i}+\beta b_{i})=\alpha\sum a_{i}+\beta\sum b_ |
성립합니다 |
| 상수 |
∑i=1nc=cn |
성립합니다 |
| 곱 |
∑aibi=(∑ai)(∑bi) |
성립하지 않습니다 |
| 제곱 |
\sum a_{i}^{2}=(\sum a_{i})^ |
성립하지 않습니다 |
| 범위 쪼개기 |
\sum_{m}^{n}=\sum_{m}^{p}+\sum_{p+1}^ |
성립합니다 |
| 지표 이동 |
\sum_{i=m}^{n}a_{i+c}=\sum_{j=m+c}^{n+c}a_ |
성립합니다 |
| 뒤집기 |
\sum_{i=m}^{n}a_{i}=\sum_{i=m}^{n}a_ |
성립합니다 |
| 망원합 |
\sum_{i=m}^{n}(b_{i}-b_{i+1})=b_{m}-b_ |
성립합니다 |
| 순서 교환 |
유한 이중합은 순서를 바꿔도 같습니다 |
성립합니다 |
| 분리 |
∑i∑jaibj=(∑ai)(∑bj) |
성립합니다 |
| 자주 쓰는 합 |
값 |
| ∑i=1ni |
\dfrac{n(n+1)} |
| \sum_{i=1}^{n}i^ |
\dfrac{n(n+1)(2n+1)} |
| \sum_{i=1}^{n}i^ |
\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^ |
| \sum_{i=0}^{n-1}r^ |
r−1rn−1 (r=1) |
문제 6. i=1∑5(2i+1)을 계산하세요.
답. 2⋅15+5=35입니다.
문제 7. i=1∑n(i2−i)를 n의 식으로 나타내세요.
답. 6n(n+1)(2n+1)−2n(n+1)=6n(n+1)(2n+1−3)=3n(n+1)(n−1)입니다.
문제 8. i=5∑201을 계산하세요.
답. 항의 개수가 20−5+1=16이므로 16입니다.
문제 9. i=1∑n(2i−1)(2i+1)1을 계산하세요.
답. 부분분수로 21(2i−11−2i+11)이므로 망원합에 의해 21(1−2n+11)=2n+1n입니다.
문제 10. i=1∑10i⋅2i=(i=1∑10i)(i=1∑102i)임을 작은 경우로 확인하세요.
답. n=2로 보면 왼쪽은 2+8=10이고 오른쪽은 3×6=18입니다. 다릅니다.
문제 11. j=3∑n+2aj−2를 지표를 옮겨 다시 쓰세요.
답. k=j−2로 두면 k=1∑nak입니다.
문제 12. i=1∑nj=1∑n(i+j)를 계산하세요.
답. 분해하면 ∑i∑ji+∑i∑jj=n∑i+n∑j=2n⋅2n(n+1)=n2(n+1)입니다.
문제 13. 1≤i<j≤n∑1을 계산하세요.
답. i<j인 순서쌍의 개수이므로 n개 중 2개를 뽑는 조합과 같아 (2n)=2n(n−1)입니다.
문제 14. i=1∏5i+1i을 계산하세요.
답. 망원곱이므로 61입니다.
문제 15. i=1∏ni=n!임을 확인하고 0!의 값이 왜 1인지 설명하세요.
답. 정의가 같습니다. 0!은 빈 곱이고 곱셈의 항등원이 1이므로 1입니다.
문제 16. log10i=1∏410i를 계산하세요.
답. 합으로 바꾸면 ∑i=14i=10입니다.
문제 17. i=1∑nai=S일 때 i=1∑n(ai−aˉ)를 구하세요. 단 aˉ=nS입니다.
답. 선형성으로 S−naˉ=S−S=0입니다. 편차의 합은 항상 0이며 158강 이후 통계에서 계속 쓰입니다.
문제 18. i=1∑n(ai−aˉ)2=i=1∑nai2−naˉ2임을 보이세요.
답. 왼쪽을 전개하면 ∑ai2−2aˉ∑ai+naˉ2입니다. ∑ai=naˉ이므로 가운데가 −2naˉ2이 되어 전체가 ∑ai2−naˉ2입니다.
심화 1. (∑i=1nai)2을 이중합으로 정확히 쓰고, ∑ai2과의 차이를 지목하세요.
답. 차이는 교차항 전체입니다.
풀이. 합의 제곱은 두 개의 합을 곱한 것이므로 지표를 달리해 이중합으로 적습니다.
(i=1∑nai)2=(i=1∑nai)(j=1∑naj)=i=1∑nj=1∑naiaj
이 이중합을 i=j인 부분과 i=j인 부분으로 쪼갭니다.
=i=1∑nai2+i=j∑aiaj=i=1∑nai2+21≤i<j≤n∑aiaj
마지막에서 aiaj와 ajai가 같아 두 번씩 세어졌으므로 2가 붙었습니다.
남는 것. 문제 2의 (라)가 왜 틀렸는지 정확히 답한 것입니다. 두 식의 차이가 2∑i<jaiaj이며, 모든 ai가 같은 부호이면 이 값이 양수이므로 합의 제곱이 더 큽니다. 이 분해는 143강의 분산 계산에서 그대로 재사용됩니다. 독립인 확률변수의 합의 분산에서 교차항이 사라지는 것이 핵심이기 때문입니다.
심화 2. 아벨의 합 변형이라 불리는 다음 항등식을 망원합으로 유도하세요. Sk=∑i=1kai라 할 때
i=1∑naibi=Snbn−i=1∑n−1Si(bi+1−bi)
답. ai=Si−Si−1로 바꾸고 지표를 옮기면 나옵니다.
풀이. S0=0으로 두면 ai=Si−Si−1입니다. 대입합니다.
i=1∑naibi=i=1∑n(Si−Si−1)bi=i=1∑nSibi−i=1∑nSi−1bi
뒤 합에서 j=i−1로 지표를 옮기면 ∑j=0n−1Sjbj+1이고 S0=0이므로 j=1부터 시작해도 같습니다.
=i=1∑nSibi−i=1∑n−1Sibi+1=Snbn+i=1∑n−1Si(bi−bi+1)
부호를 정리하면 주어진 식이 됩니다.
남는 것. 이 항등식은 적분의 부분적분에 대응합니다. 한쪽을 미분하고 다른 쪽을 적분하는 대신, 여기서는 한쪽의 차분을 취하고 다른 쪽의 부분합을 취합니다. 51강에서 부분적분을 배울 때 이 대응을 다시 확인합니다. 합과 적분이 같은 구조를 가진다는 사실은 48강의 리만합에서 정식으로 나타납니다.
심화 3. i=1∑ni⋅2i를 닫힌 형태로 구하세요.
답. (n−1)2n+1+2입니다.
풀이. S=∑i=1ni⋅2i로 둡니다. 18강에서 등비수열의 합을 유도할 때 쓴 방법을 씁니다. 양변에 2를 곱합니다.
2S=i=1∑ni⋅2i+1=j=2∑n+1(j−1)2j
두 번째 등호에서 j=i+1로 지표를 옮겼습니다. 이제 2S−S를 계산합니다.
S=j=2∑n+1(j−1)2j−i=1∑ni⋅2i
겹치는 범위 2≤i≤n에서 계수를 비교하면 (i−1)−i=−1이므로 −2i가 남고, 겹치지 않는 부분은 j=n+1의 n⋅2n+1과 i=1의 −2입니다.
S=n⋅2n+1−2−i=2∑n2i=n⋅2n+1−2−(2n+1−4)=(n−1)2n+1+2
n=3으로 검산하면 2+8+24=34이고 공식은 2⋅16+2=34입니다.
남는 것. 지표 이동이 계산을 만들어 내는 도구로 쓰였습니다. S와 2S의 지표 범위가 한 칸 어긋나게 만들어 빼면 대부분이 상쇄됩니다. 18강에서 등비수열 합을 구할 때 한 일과 완전히 같으며, 차이는 계수 i가 붙어 있어 상쇄 후 등비수열이 하나 남는다는 점뿐입니다.
심화 4. i=1∑nj=1∑ij를 두 가지 순서로 계산해 같은 값이 나옴을 확인하세요.
답. 두 방법 모두 6n(n+1)(n+2)을 줍니다.
풀이. 원래 순서로 계산합니다. 안쪽 합이 2i(i+1)이므로
i=1∑n2i2+i=21(6n(n+1)(2n+1)+2n(n+1))=12n(n+1)(2n+4)=6n(n+1)(n+2)
순서를 바꿔 계산합니다. 조건이 1≤j≤i≤n이므로 j를 바깥으로 보내면
j=1∑ni=j∑nj=j=1∑nj(n−j+1)=(n+1)j=1∑nj−j=1∑nj2
=(n+1)2n(n+1)−6n(n+1)(2n+1)=6n(n+1)(3(n+1)−(2n+1))=6n(n+1)(n+2)
같습니다.
남는 것. 순서를 바꾼 쪽에서 안쪽 합이 ∑i=jnj가 되었는데, 더할 식에 i가 없으므로 상수처럼 다뤄 항의 개수 n−j+1을 곱했습니다. 지표가 안쪽 식에 나타나지 않으면 개수를 세어 곱합니다. 문제 1의 (3)에서 익힌 규칙이 이중합에서 쓰인 자리입니다.
심화 5. i=2∏n(1−i21)을 계산하세요.
답. 2nn+1입니다.
풀이. 각 항을 인수분해합니다. 2강의 합차 공식으로
1−i21=i2i2−1=i⋅i(i−1)(i+1)=ii−1⋅ii+1
입니다. 곱을 두 개로 나눕니다.
i=2∏nii−1⋅i=2∏nii+1
앞은 망원곱으로 n1이고, 뒤는 망원곱으로 2n+1입니다. 곱하면 2nn+1입니다.
n=3으로 검산하면 (1−41)(1−91)=43⋅98=32이고 공식은 64=32입니다.
남는 것. 망원 구조가 곧바로 보이지 않을 때는 인수분해로 만들어 냅니다. 합에서 부분분수가 하던 역할을 곱에서는 인수분해가 합니다. 두 경우 모두 한 항을 두 조각으로 쪼개 이웃 항과 지워지게 만드는 것이 목표입니다.
심화 6. i=1∑nai에서 지표 이동을 할 때 범위를 바꾸지 않으면 어떤 오류가 생기는지 구체적인 예로 보이세요.
답. 항의 개수가 맞더라도 더하는 항이 달라져 값이 틀립니다.
풀이. ai=i이고 n=3이라고 합시다. ∑i=13ai+1=a2+a3+a4=2+3+4=9입니다.
여기서 식만 aj로 바꾸고 범위를 그대로 두면 ∑j=13aj=1+2+3=6이 되어 틀립니다. 올바르게는 범위도 함께 옮겨 ∑j=24aj=9입니다.
남는 것. 검산하는 습관을 정해 둡니다. 지표를 옮긴 뒤 양쪽의 첫 항과 마지막 항을 각각 적어 비교합니다. 위에서 왼쪽의 첫 항은 a2이고 마지막은 a4인데, 잘못 옮긴 식은 첫 항이 a1이라 곧바로 어긋남이 드러납니다. 항의 개수만 세는 것으로는 이 오류를 잡을 수 없습니다.
시그마와 파이는 numpy의 sum과 prod로 그대로 계산됩니다. 손으로 구한 닫힌 형태와 대조합니다.
import numpy as np
n = 12
i = np.arange(1, n + 1)
# 문제 2: 선형성은 성립하고 곱은 성립하지 않습니다.
a = i.astype(float)
b = 2.0 ** i
print(np.isclose(np.sum(3*a + 5*b), 3*np.sum(a) + 5*np.sum(b))) # True
print(np.isclose(np.sum(a * b), np.sum(a) * np.sum(b))) # False
print(float(np.sum(a * b)), float(np.sum(a) * np.sum(b)))
# 90114.0 638820.0
# 문제 3: 망원합
tel = np.sum(1.0 / i - 1.0 / (i + 1))
print(np.isclose(tel, n / (n + 1))) # True
# 문제 3: 지표 뒤집기
print(np.isclose(np.sum(a), np.sum(a[::-1]))) # True
# 문제 4: 이중합의 순서를 바꿔도 같습니다.
A = np.outer(i, i).astype(float) # A[p, q] = (p+1)(q+1)
tri_lower = sum(A[p, q] for p in range(n) for q in range(p + 1))
tri_other = sum(A[p, q] for q in range(n) for p in range(q, n))
print(np.isclose(tri_lower, tri_other), tri_lower)
# True 3367.0
# 문제 4: 분리되는 이중합
print(np.isclose(A.sum(), np.sum(i) * np.sum(i))) # True
# 문제 5: 망원곱
print(np.isclose(np.prod((i + 1) / i), n + 1)) # True
# 문제 5: 로그는 곱을 합으로 바꿉니다.
pos = np.arange(1, 8, dtype=float)
print(np.isclose(np.log(np.prod(pos)), np.sum(np.log(pos)))) # True
# 심화 1: 합의 제곱에는 교차항이 들어 있습니다.
cross = 2 * sum(a[p] * a[q] for p in range(n) for q in range(p + 1, n))
print(np.isclose(np.sum(a)**2, np.sum(a**2) + cross)) # True
# 심화 3: sum i*2^i = (n-1)2^(n+1) + 2
print(float(np.sum(i * 2.0**i)), float((n - 1) * 2.0**(n + 1) + 2))
# 90114.0 90114.0
# 심화 5: prod (1 - 1/i^2) = (n+1)/(2n)
j = np.arange(2, n + 1, dtype=float)
print(np.isclose(np.prod(1 - 1 / j**2), (n + 1) / (2 * n))) # True
출력이 주석과 모두 일치합니다. 세 번째 줄에서 ∑aibi=90114이고 (∑ai)(∑bi)=638820으로 크게 다릅니다. 곱이 시그마 밖으로 나가지 않는다는 사실이 숫자로 확인되며, 그 차이가 심화 1에서 분해한 교차항입니다. 또 ∑i⋅2i의 값 90114가 심화 3의 닫힌 형태와 정확히 일치합니다.
- ∑i=1nc는 얼마입니까?
- ∑i=mn에서 항의 개수는 몇 개입니까?
- 시그마 밖으로 나갈 수 있는 것은 무엇입니까?
- ∑aibi와 (∑ai)(∑bi)는 같습니까?
- 지표를 옮길 때 함께 바꿔야 하는 것은 무엇입니까?
- 망원합의 값은 무엇으로 결정됩니까?
- 이중합의 순서를 바꿀 때 무엇을 먼저 적습니까?
- 빈 곱의 값은 얼마입니까?
정답.
- cn입니다.
- n−m+1개입니다.
- 지표와 무관한 상수만 나갑니다.
- 같지 않습니다. 오른쪽에 교차항이 더 있습니다.
- 범위를 함께 바꿔야 합니다.
- 양 끝 항만으로 결정됩니다.
- 두 지표가 만족하는 부등식 조건을 먼저 적습니다.
- 1입니다.
| 기호 |
읽는 법 |
뜻 |
| \sum_{i=m}^{n}a_ |
시그마 |
am부터 an까지의 합입니다 |
| \prod_{i=m}^{n}a_ |
파이 |
am부터 an까지의 곱입니다 |
| 더미 지표 |
dummy index |
이름일 뿐 결과에 남지 않습니다 |
| 빈 합 |
empty sum |
값이 0입니다 |
| 빈 곱 |
empty product |
값이 1입니다 |
| \sum_ |
조건부 합 |
조건을 만족하는 지표쌍 전체의 합입니다 |
| \bar |
평균 |
n1∑ai입니다 |
다음 32강에서는 점화식으로 정의된 수열을 닫힌 형태로 바꾸는 법을 배웁니다. 25강에서 검증만 했던 식들을 이번에는 직접 만들어 냅니다. 30강의 복소수가 그 과정에서 다시 쓰일 수 있다는 점도 확인합니다.