이 문제집은 01단원 네 강의(실수와 수직선, 다항식의 연산, 인수분해, 유리식과 무리식)의 종합 훈련용입니다. 본문 예제보다 한 단계 어렵게 구성했으며, 각 문제는 세 줄(문제, 답, 풀이)로 되어 있습니다. 풀이는 중간 계산식을 모두 드러내고 결과는 검산까지 포함합니다.
풀 때는 답을 가리고 먼저 스스로 세운 뒤 풀이와 대조하기를 권합니다. 난이도는 기초, 표준, 심화로 표시했습니다. 유리식과 무리식이 나오는 문제에서는 답에 정의역을 함께 적는 습관을 들입니다.
문제 1. (표준) 0.272727⋯(27이 반복)을 기약분수로 고치세요. 답.113 풀이. 마디가 두 자리이므로 100을 곱합니다. x=0.2727⋯일 때 100x=27.2727⋯=27+x이므로 99x=27입니다. x=9927=113이고, 검산으로 3÷11=0.2727⋯입니다.
문제 2. (표준) ∣x−4∣≤6의 해를 구간으로 쓰세요. 답.[−2,10] 풀이. 점 x와 점 4의 거리가 6 이하이므로 4−6≤x≤4+6입니다. 등호가 있으므로 양 끝을 포함합니다.
문제 3. (표준) ∣3x+2∣=7의 해를 구하세요. 답.x=35 또는 x=−3 풀이.3x+2=7이면 x=35이고, 3x+2=−7이면 3x=−9이므로 x=−3입니다. 두 값을 원식에 넣으면 각각 ∣7∣=7과 ∣−7∣=7로 맞습니다.
문제 4. (심화) ∣x+1∣+∣x−5∣=10의 해를 구하세요. 답.x=7 또는 x=−3 풀이. 점 −1과 점 5까지의 거리 합이 10이라는 뜻입니다. 두 점 사이 거리는 6이므로 사이에 있으면 합이 항상 6이라 조건을 만족할 수 없습니다. 바깥에서는 한 걸음 나갈 때마다 합이 2씩 늘어나고 10−6=4만큼 더 필요하므로 양 끝에서 2씩 벗어납니다. 오른쪽은 5+2=7, 왼쪽은 −1−2=−3입니다. 검산하면 x=7에서 8+2=10이고 x=−3에서 2+8=10입니다.
문제 6. (표준) 7의 정수부분을 a, 소수부분을 b라 할 때 a+b2의 값을 구하세요. 답.13−47 풀이.22=4<7<9=32이므로 a=2이고 b=7−2입니다. b2=7−47+4=11−47이므로 a+b2=2+11−47=13−47입니다. 수치로는 약 13−10.583=2.417입니다.
문제 7. (심화) 5+11과 6+10의 대소를 비교하세요. 답.6+10이 더 큽니다. 풀이. 둘 다 양수이므로 제곱해 비교합니다. 앞의 제곱은 5+11+255=16+255이고 뒤의 제곱은 6+10+260=16+260입니다. 55<60이므로 뒤가 큽니다. 두 수의 합이 같을 때 곱이 클수록 제곱근의 합이 커진다는 구조입니다.
문제 8. (표준) x=3−2일 때 x2−6x+7의 값을 구하세요. 답.0 풀이.x−3=−2이므로 양변을 제곱하면 x2−6x+9=2입니다. 따라서 x2−6x=−7이고 x2−6x+7=0입니다. 직접 계산해도 x2=11−62, −6x=−18+62이므로 합이 0입니다.
문제 9. (심화) 유리수 a,b에 대해 a+b2=0이면 a=b=0임을 보이세요. 답.b=0이라고 두면 2가 유리수가 되어 모순입니다. 풀이.b=0이라고 가정하면 2=−ba입니다. 오른쪽은 유리수끼리의 나눗셈이므로 유리수인데, 1강 문제 2에서 2는 무리수임을 보였으므로 모순입니다. 따라서 b=0이고, 그러면 원식이 a=0이 됩니다.
문제 10. (표준) ∣x−2∣<∣x+4∣의 해를 구하세요. 답.x>−1 풀이. 양변이 음이 아니므로 제곱해도 대소가 유지됩니다. x2−4x+4<x2+8x+16에서 −12x<12이므로 x>−1입니다. 거리로 읽으면 점 x가 점 2에 더 가깝다는 뜻이고, 두 점의 중점인 −1의 오른쪽이 답입니다.
문제 11. (심화) ∣∣∣∣x∣−3∣∣∣=1의 해를 구하세요. 답.x=±4 또는 x=±2 풀이. 바깥 절댓값을 풀면 ∣x∣−3=1 또는 ∣x∣−3=−1입니다. 각각 ∣x∣=4와 ∣x∣=2이므로 x=±4와 x=±2입니다. 네 값을 모두 원식에 넣어 확인합니다.
문제 15. (표준) a+b=4, ab=2일 때 a3+b3의 값을 구하세요. 답.40 풀이.a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)=64−3×2×4=64−24=40입니다.
문제 16. (표준) x+x1=5일 때 x2+x21의 값을 구하세요. 답.3 풀이. 양변을 제곱하면 x2+2+x21=5이므로 값은 3입니다.
문제 17. (표준) x4−3x2+2를 x−2로 나눈 나머지를 구하세요. 답.6 풀이. 나머지정리로 x=2를 대입하면 16−12+2=6입니다.
문제 18. (표준) 3x3−5x2+2를 x+1로 나눈 몫과 나머지를 조립제법으로 구하세요. 답. 몫은 3x2−8x+8이고 나머지는 −6입니다. 풀이. 계수는 3,−5,0,2이고 a=−1입니다. 3을 내리고, 3×(−1)=−3을 −5에 더해 −8, −8×(−1)=8을 0에 더해 8, 8×(−1)=−8을 2에 더해 −6입니다. 검산으로 P(−1)=−3−5+0+2=−6입니다.
문제 19. (심화) P(x)를 x−2로 나눈 나머지가 4이고 x+1로 나눈 나머지가 1일 때, (x−2)(x+1)로 나눈 나머지를 구하세요. 답.x+2 풀이. 나머지는 일차 이하이므로 ax+b로 둡니다. P(x)=(x−2)(x+1)Q(x)+ax+b에 x=2를 넣으면 2a+b=4이고 x=−1을 넣으면 −a+b=1입니다. 빼면 3a=3이므로 a=1이고 b=2입니다.
문제 21. (표준) 모든 x에 대해 x3+2x−3=(x−1)(x2+px+q)일 때 p와 q를 구하세요. 답.p=1, q=3 풀이. 오른쪽을 전개하면 x3+(p−1)x2+(q−p)x−q입니다. 계수를 비교하면 p−1=0에서 p=1이고 −q=−3에서 q=3이며, 일차항도 q−p=2로 맞습니다.
문제 22. (심화) (1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)의 전개에서 x7의 계수를 구하세요. 답.1 풀이. 양변에 (1−x)를 곱하면 (1−x)(1+x)=1−x2이고 이어서 (1−x2)(1+x2)=1−x4, (1−x4)(1+x4)=1−x8, 마지막으로 1−x16이 됩니다. 따라서 원래 곱은 1−x1−x16=1+x+x2+⋯+x15이고 모든 계수가 1입니다. 각 지수를 이진법으로 한 번씩만 만들 수 있다는 사실을 식으로 확인한 것입니다.
문제 42. (심화) xx+5−5를 약분 가능한 꼴로 고치세요. 답.x+5+51 풀이. 분자에 켤레 x+5+5를 곱하면 분자가 (x+5)−5=x가 되어 분모의 x와 약분됩니다. 정의역은 x≥−5이고 x=0입니다.
문제 43. (심화) −1≤x≤2일 때 x2+2x+1−x2−4x+4를 간단히 하세요. 답.2x−1 풀이. 근호 안을 완전제곱으로 고치면 ∣x+1∣−∣x−2∣입니다. 주어진 범위에서 x+1≥0이므로 앞은 x+1이고, x−2≤0이므로 뒤는 −(x−2)=2−x입니다. 따라서 (x+1)−(2−x)=2x−1입니다. 범위 밖에서는 결과가 달라지므로 부호 확인이 반드시 필요합니다.
문제 44. (심화) 방정식 2x+3=x의 해를 구하세요. 답.x=3 풀이. 양변을 제곱하면 2x+3=x2이고 x2−2x−3=0이므로 (x−3)(x+1)=0에서 x=3 또는 x=−1입니다. 왼쪽이 근호이므로 오른쪽 x도 0 이상이어야 하고, x=−1은 이 조건을 어깁니다. 실제로 대입하면 왼쪽은 1=1이고 오른쪽은 −1이라 다르므로 무연근입니다. x=3은 9=3으로 맞습니다.