이 강의는 474개 강의 가운데 첫 번째입니다. 앞에서 끌어낸 도구가 아직 하나도 없으므로, 여기서는 뒤의 모든 강의가 딛고 설 바닥을 놓습니다. 우리가 다룰 수가 어떤 것들인지 정하고, 그 수들을 한 줄 위에 늘어놓고, 두 수의 거리를 재는 법을 만듭니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다. 각 문제는 "문제, 생각의 실마리, 풀이, 이 문제에서 배우는 것, 바로 확인" 순서로 진행합니다. 문제를 읽으면 바로 풀이로 내려가지 말고, 먼저 손으로 풀어 본 뒤 대조합니다.
이 커리큘럼 전체가 쓰는 기호 약속도 이 강의에서 확정합니다. 마지막 부록에 정리해 두었으니, 뒤에서 낯선 기호를 만나면 그 표로 돌아옵니다.
문제. 무한히 이어지는 소수 가 과 같은 수인지 판단하고, 근거를 대세요.
생각의 실마리. 이 수를 라고 이름 붙여 봅니다. 소수점을 한 칸 옮기면, 즉 를 만들면 반복되는 부분이 겹쳐 사라집니다. 또 다른 접근으로, 두 수가 다르다면 그 사이에 무엇이 있어야 하는지 생각해 봅니다.
풀이. 로 둡니다. 양변에 을 곱하면 입니다. 오른쪽은 에 원래의 를 더한 것과 같으므로 입니다. 정리하면
입니다. 같은 결론을 다른 길로도 얻습니다. 만약 두 수가 다르다면 는 보다 큰 어떤 수가 되어야 합니다. 그런데 이 차는 보다 작고 보다 작고 보다도 작아서, 양수라면 가져야 할 자리를 어디에도 갖지 못합니다. 보다 크면서 모든 양수보다 작은 실수는 없으므로 차는 이고 두 수는 같습니다.
이 문제에서 배우는 것: 수 체계와 수직선.
우리가 쓰는 수는 다음 순서로 커집니다.
은 자연수 이고, 는 여기에 과 음수를 더한 정수이며, 는 정수 와 이 아닌 정수 로 라고 쓸 수 있는 유리수입니다. 은 실수이고, 유리수가 아닌 실수를 무리수라고 부릅니다.
실수는 수직선 위의 점과 빠짐없이 하나씩 짝지어집니다. 직선 위에 과 의 자리를 정하면 나머지 모든 실수의 자리가 따라서 정해지고, 반대로 직선 위 어느 점을 찍어도 그 점에 해당하는 실수가 정확히 하나 있습니다. 이 성질을 실수의 완비성이라고 합니다. 유리수만으로는 직선이 채워지지 않고 자리에 구멍이 남는데, 실수는 그 구멍까지 메웁니다.
또 서로 다른 두 실수 사이에는 반드시 다른 실수가 있습니다. 이것을 조밀성이라고 합니다. 그래서 "두 수 사이에 아무것도 없다"는 말은 곧 "두 수가 같다"는 뜻이 되고, 문제 1의 두 번째 근거가 성립합니다.
바로 확인.
확인 1-1. (기초) 을 분수로 고치세요.
답.
풀이. 이면 이므로 , 입니다.
확인 1-2. (표준) (이 반복)을 기약분수로 고치세요.
답.
풀이. 반복 마디가 두 자리이므로 을 곱합니다. 일 때 이므로 , 입니다.
확인 1-3. (표준) 가 수직선 위 어느 점인지 자와 컴퍼스로 찾는 방법을 설명하세요.
답. 한 변의 길이가 인 정사각형의 대각선 길이를 원점에서 오른쪽으로 옮겨 찍으면 됩니다.
풀이. 한 변이 인 정사각형의 대각선은 피타고라스 정리로 입니다. 그 길이를 컴퍼스로 떠서 원점에 대고 오른쪽으로 찍으면 그 점이 입니다. 이렇게 실제로 찍을 수 있다는 사실이 무리수도 수직선 위의 어엿한 점이라는 것을 보여 줍니다.
문제. 를 두 정수의 비 로 쓸 수 있는지 판단하세요.
생각의 실마리. 쓸 수 있다고 일단 가정하고 식을 정리해 봅니다. 양변을 제곱하면 근호가 사라져 정수만 남습니다. 그다음 양변에 소인수 가 몇 개씩 들어 있는지 세어 비교합니다.
풀이. 로 쓸 수 있다고 가정합니다. 여기서 와 는 정수이고 입니다. 양변을 제곱하고 정리하면
입니다. 이제 양변에 들어 있는 소인수 의 개수를 셉니다. 어떤 정수든 제곱하면 각 소인수의 개수가 두 배가 되므로, 에 든 의 개수는 짝수이고 에 든 의 개수도 짝수입니다. 그런데 오른쪽은 그 짝수에 을 더한 것이므로 홀수입니다. 같은 수를 두 가지로 소인수분해할 수는 없으므로 짝수와 홀수가 같다는 모순이 생깁니다. 따라서 처음 가정이 틀렸고 는 두 정수의 비로 쓸 수 없습니다.
이 문제에서 배우는 것: 유리수와 무리수의 구분.
유리수는 소수로 쓰면 반드시 유한소수이거나 순환소수가 됩니다. 를 나눗셈으로 풀 때 나머지는 부터 까지만 나올 수 있어, 늦어도 번 안에 같은 나머지가 다시 등장하고 거기서부터 같은 자리가 반복되기 때문입니다. 반대로 무리수는 순환하지 않는 무한소수입니다. , , 원주율 , 자연상수 가 무리수입니다.
방금 쓴 논증은 "성립한다고 가정한 뒤 모순을 끌어내어 성립하지 않음을 보이는" 방식입니다. 이 방식에 정식 이름을 붙이고 그 논리 구조를 따지는 일은 24강 귀류법에서 합니다. 지금은 결론만 손에 쥐고 갑니다.
바로 확인.
확인 2-1. (기초) 는 유리수입니까, 무리수입니까?
답. 유리수입니다.
풀이. 이고 이므로 유리수입니다. 근호가 씌워져 있다고 해서 무리수인 것은 아닙니다.
확인 2-2. (표준) 유리수 과 무리수 의 합 는 항상 무리수임을 설명하세요.
답. 합이 유리수라고 가정하면 가 유리수가 되어 모순입니다.
풀이. 가 유리수라고 가정합니다. 그러면 인데, 유리수끼리 빼면 유리수이므로 가 유리수가 됩니다. 이것은 가 무리수라는 조건에 어긋납니다. 따라서 는 무리수입니다.
문제. 부등식 를 만족하는 의 범위를 구하고, 수직선 위에서 그 범위가 무엇을 뜻하는지 말하세요.
생각의 실마리. 절댓값 기호를 부호로 나누어 두 경우를 따로 풀 수도 있습니다. 그러나 이라는 식 자체를 하나의 뜻으로 읽으면 훨씬 빠릅니다. 이 식이 재고 있는 것이 무엇인지 생각해 봅니다.
풀이. 은 수직선 위에서 점 와 점 사이의 거리입니다. 그 거리가 보다 작다는 뜻이므로, 는 에서 왼쪽으로 안쪽, 오른쪽으로 안쪽에 있습니다. 따라서
입니다. 부호로 나누어 풀어도 같습니다. 이면 에서 이고, 이면 에서 입니다. 두 결과를 합치면 입니다.
이 문제에서 배우는 것: 절댓값은 거리다.
실수 의 절댓값은 다음과 같이 정의합니다.
정의만 보면 부호를 떼는 장치처럼 보이지만, 실제로 쓸 때는 원점에서 까지의 거리로 읽는 것이 훨씬 유용합니다. 그러면 는 두 점 와 사이의 거리가 됩니다. 다음 성질이 정의에서 바로 나옵니다.
마지막 것을 삼각부등식이라고 합니다. 두 점을 곧장 잇는 거리가 다른 점을 거쳐 가는 거리보다 짧다는 뜻입니다.
해집합을 쓸 때는 구간 기호를 씁니다. 양 끝을 포함하지 않으면 소괄호, 포함하면 대괄호를 씁니다.
는 수가 아니라 "끝없이 간다"는 방향 표시이므로 언제나 소괄호로 씁니다. 예를 들어 는 를 뜻합니다.
바로 확인.
확인 3-1. (기초) 의 해를 구하세요.
답. 또는
풀이. 이므로 점 와 점 사이의 거리가 입니다. 에서 오른쪽으로 인 점은 이고 왼쪽으로 인 점은 입니다.
확인 3-2. (표준) 의 해를 구하세요.
답. 또는
풀이. 이면 이고, 이면 입니다. 거리가 이상이므로 바깥쪽 두 조각이 답이며 구간으로는 입니다.
확인 3-3. (표준) 삼각부등식 에서 등호가 성립하는 조건을 말하세요.
답. 와 의 부호가 같거나 둘 중 하나가 일 때입니다.
풀이. 부호가 같으면 더할 때 크기가 그대로 합쳐지므로 등호가 됩니다. 부호가 다르면 서로 상쇄되어 왼쪽이 더 작아집니다.
문제. 과 의 대소를 비교하세요.
생각의 실마리. 근호가 분모에 있으면 크기를 가늠하기 어렵습니다. 분모에서 근호를 없애는 방법을 떠올려 봅니다. 을 계산해 보면 실마리가 보입니다.
풀이. 분모와 분자에 을 곱합니다.
따라서 두 수는 같습니다. 겉모습이 달라 보였을 뿐 같은 수를 다르게 쓴 것입니다.
이 문제에서 배우는 것: 유리화와 대소 비교.
꼴의 분모는 부호만 바꾼 를 위아래에 곱하면 없앨 수 있습니다. 이때 를 의 켤레라고 하고, 이 조작을 분모의 유리화라고 합니다. 곱셈공식 이 근호를 걷어 내는 원리입니다.
대소를 비교하는 기본 방법은 두 가지입니다. 첫째는 차의 부호를 조사하는 것으로, 이면 입니다. 둘째는 두 수가 모두 양수일 때 제곱해서 비교하는 것으로, 일 때 와 가 서로 같은 말이 됩니다. 근호가 섞여 있으면 두 번째 방법이 편합니다.
바로 확인.
확인 4-1. (기초) 의 분모를 유리화하세요.
답.
풀이. 켤레 를 위아래에 곱하면 분모가 이 되어 가 남습니다.
확인 4-2. (표준) 과 의 대소를 비교하세요.
답. 이 더 큽니다.
풀이. 둘 다 양수이므로 제곱해 비교합니다. 앞의 제곱은 이고 뒤의 제곱은 입니다. 이므로 이고 앞이 더 큽니다.
확인 4-3. (표준) 이면 임을 차의 부호로 보이세요.
답. 차가 음수이므로 성립합니다.
풀이. 입니다. 이므로 분자 는 음수이고, 이므로 분모 는 양수입니다. 따라서 차는 음수이고 입니다.
문제. 을 어떤 실수로 정하면 안 되는 이유를 설명하세요. 또 은 왜 정할 수 없는지도 말하세요.
생각의 실마리. 나눗셈이 무엇인지부터 정합니다. 라는 식은 곱셈으로 다시 쓰면 어떤 뜻이 되는지 생각해 봅니다. 그리고 어떤 수에 을 곱하면 무엇이 되는지 확인합니다.
풀이. 나눗셈은 곱셈을 되돌리는 연산이므로, 라는 것은 라는 뜻입니다. 그런데 어떤 실수 를 데려와도 입니다. 따라서 이면 를 만족하는 가 하나도 없어 값을 정할 수 없습니다. 이면 반대로 모든 가 식을 만족해서 값이 하나로 정해지지 않습니다. 어느 쪽이든 은 정의할 수 없습니다.
이 문제에서 배우는 것: 실수의 연산 법칙.
실수의 덧셈과 곱셈은 다음 법칙을 만족합니다.
| 법칙 | 덧셈 | 곱셈 |
|---|---|---|
| 교환법칙 | ||
| 결합법칙 | ||
| 항등원 | ||
| 역원 | 이면 | |
| 분배법칙 | 두 연산을 잇습니다 |
곱셈의 역원 자리에만 이라는 단서가 붙어 있고, 이것이 으로 나눌 수 없는 근본 이유입니다. 위 법칙만으로 우리가 외우던 규칙들이 유도됩니다.
부호 규칙은 외울 대상이 아니라 이렇게 끌어낼 수 있는 결과입니다.
바로 확인.
확인 5-1. (표준) 임을 위 법칙에서 유도하세요.
답. 의 덧셈 역원이 임을 보이면 됩니다.
풀이. 앞에서 얻은 에 을 넣으면 입니다. 은 의 덧셈 역원인데 이므로 그 역원은 입니다. 따라서 입니다.
확인 5-2. (표준) 이면 또는 임을 보이세요.
답. 이라고 두면 이 따라 나옵니다.
풀이. 이면 곱셈 역원 가 있습니다. 양변에 곱하면 이고, 왼쪽은 결합법칙으로 이며 오른쪽은 입니다. 따라서 입니다. 이 성질은 3강에서 인수분해로 방정식을 풀 때 근거가 됩니다.
| 상황 | 도구 | 식 또는 요령 |
|---|---|---|
| 순환소수를 분수로 | 마디 길이만큼 자리 이동 | 마디가 자리면 를 만듭니다 |
| 무리수임을 보이기 | 유리수로 가정하고 소인수 세기 | 에서 의 개수가 짝수와 홀수로 갈립니다 |
| 절댓값 방정식 | 거리로 읽기 | 는 에서 거리 인 두 점입니다 |
| 절댓값 부등식 (안쪽) | 거리로 읽기 | |
| 절댓값 부등식 (바깥쪽) | 거리로 읽기 | 또는 |
| 분모에 근호 | 켤레 곱하기 | (\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b)=a-b^ |
| 양수끼리 대소 비교 | 제곱해 비교 | 일 때 A>B\iff A^{2}>B^ |
| 일반적인 대소 비교 | 차의 부호 |
핵심 습관은 이렇습니다. 절댓값을 보면 부호를 나누기 전에 먼저 거리로 읽고, 근호를 보면 제곱하거나 켤레를 곱할 자리인지 살핍니다.
문제 6. (기초) 을 계산하세요.
답.
풀이. 각각 , , 이므로 입니다.
문제 7. (기초) (가 반복)을 기약분수로 고치세요.
답.
풀이. 일 때 이므로 입니다. 입니다.
문제 8. (기초) 구간 를 부등식으로 쓰세요.
답.
풀이. 소괄호 쪽 끝은 포함하지 않고 대괄호 쪽 끝은 포함합니다.
문제 9. (표준) 의 해를 구하세요.
답.
풀이. 점 가 점 과 점 에서 같은 거리에 있다는 뜻이므로 두 점의 한가운데입니다. 입니다.
문제 10. (표준) 을 부등식 하나로 풀어 쓰세요.
답.
풀이. 에서 거리가 미만이므로 입니다. 이 꼴은 뒤에서 오차를 다룰 때 계속 등장합니다.
문제 11. (표준) 의 분모를 유리화하세요.
답.
풀이. 켤레 를 위아래에 곱하면 분모가 가 됩니다.
문제 12. (표준) 모든 실수 에 대해 을 로 나타내세요.
답.
풀이. 근호는 음이 아닌 값을 돌려주도록 약속했으므로 가 음수일 때 가 됩니다. 두 경우를 한 식으로 묶으면 절댓값입니다. 을 넣어 보면 로 맞습니다.
문제 13. (표준) 의 정수부분과 소수부분을 각각 구하세요.
답. 정수부분 , 소수부분
풀이. 이므로 입니다. 정수부분은 이고, 소수부분은 원래 수에서 정수부분을 뺀 입니다.
문제 14. (표준) 의 최솟값을 구하세요.
답.
풀이. 이 식은 점 에서 점 까지의 거리와 점 까지의 거리를 더한 것입니다. 가 두 점 사이에 있으면 합은 항상 두 점 사이 거리인 이고, 바깥에 있으면 그보다 커집니다. 최솟값은 이며 에서 얻습니다.
문제 15. (심화) 의 해를 구하세요.
답.
풀이. 양변이 모두 음이 아니므로 제곱해도 대소가 바뀌지 않습니다. 에서 이고 정리하면 입니다. 좌변을 인수분해하면 이므로 두 근 사이가 해입니다. 따라서 입니다.
문제 16. (심화) 유리수 와 무리수 의 곱 가 유리수가 될 수 있는지 판단하세요.
답. 일 때만 가능하며 그 값은 입니다.
풀이. 이면 으로 유리수입니다. 인 경우 가 유리수라고 가정하면 가 되어 유리수끼리의 나눗셈이므로 가 유리수가 됩니다. 이것은 가정에 어긋나므로 는 무리수입니다.
문제 17. (심화) 과 의 대소를 비교하세요.
답.
풀이. 둘 다 양수이므로 제곱해 비교합니다. 앞의 제곱은 이고 뒤의 제곱은 입니다. 이므로 이고 앞의 제곱이 보다 작습니다. 실제로 이므로 앞의 제곱은 약 입니다.
드릴에서는 규칙을 골라 값을 구했습니다. 이 절에서는 그 규칙들이 어디에서 나오는지를 직접 유도합니다. 순환소수가 왜 반드시 분수가 되는지, 무리수 증명이 어느 지점에서 성립하고 어느 지점에서 막히는지, 삼각부등식이 왜 참인지를 확인합니다. 마지막 문항은 성급한 일반화를 반례로 깨뜨립니다.
심화 1. (일반 유도) 순환마디의 길이가 인 순환소수는 반드시 유리수임을 보이세요.
답. 가 정수가 되므로 는 정수의 비로 쓰입니다.
풀이. 소수점 아래 어느 자리부터 길이 의 마디가 반복되는 수를 라고 합니다. 반복이 시작되는 자리까지 소수점을 옮기기 위해 을 곱해 로 두면, 는 소수점 바로 아래부터 마디가 반복되는 수가 됩니다. 여기에 를 곱하면 마디 하나만큼 자리가 밀려 소수 부분이 와 완전히 같아지므로 는 소수 부분이 사라진 정수 이 됩니다. 따라서 이고 이므로 는 정수의 비, 즉 유리수입니다.
남는 것. 확인 1-2에서 로 나눈 것과 문제 7에서 로 나눈 것이 우연이 아니라 이라는 같은 구조였음을 알게 됩니다. 마디가 세 자리면 분모에 가 나옵니다.
심화 2. (증명의 경계) 이 무리수임을 보이고, 같은 논증을 에 적용하면 어디에서 막히는지 설명하세요.
답. 은 무리수이고, 에서는 소인수 개수의 홀짝이 갈리지 않아 모순이 생기지 않습니다.
풀이. 로 가정하면 입니다. 양변에 든 소인수 의 개수를 세면 왼쪽은 제곱이라 짝수이고 오른쪽은 짝수에 을 더한 홀수이므로 모순입니다. 같은 방식을 에 쓰면 인데, 오른쪽의 은 소인수 를 두 개 얹으므로 양변 모두 짝수 개가 되어 홀짝이 갈리지 않습니다. 실제로 는 유리수이므로 모순이 생기지 않는 것이 맞습니다.
남는 것. 이 논증이 통하는 조건은 근호 안의 수가 제곱수가 아니라는 것입니다. 증명을 외울 때는 결론만이 아니라 어느 조건이 쓰였는지를 함께 기억해야 잘못된 곳에 갖다 쓰지 않습니다.
심화 3. (부등식 유도) 삼각부등식 를 증명하고, 여기에서 역삼각부등식 를 끌어내세요.
답. 제곱해서 비교하면 삼각부등식이 나오고, 삼각부등식을 두 번 적용하면 역삼각부등식이 나옵니다.
풀이. 양변이 모두 음이 아니므로 제곱해 비교합니다. 오른쪽의 제곱에서 왼쪽의 제곱을 빼면 입니다. 어떤 실수든 그 값은 자기 절댓값보다 클 수 없으므로 이고, 따라서 이 차는 이상입니다. 그러므로 삼각부등식이 성립합니다. 이제 로 쪼개어 삼각부등식을 쓰면 이므로 입니다. 와 의 역할을 바꾸면 입니다. 두 부등식은 어떤 값과 그 값의 부호를 바꾼 것이 모두 이하라는 뜻이므로 절댓값을 씌워 가 됩니다.
남는 것. 역삼각부등식은 "두 수의 크기 차이는 두 수의 거리보다 클 수 없다"는 뜻입니다. 뒤에서 수렴을 다룰 때 오차를 아래에서 눌러 주는 도구로 쓰입니다.
심화 4. (조밀성) 서로 다른 두 실수 사이에 유리수가 반드시 존재함을 설명하세요.
답. 분모를 충분히 크게 잡으면 눈금 간격이 보다 작아져 눈금 하나가 반드시 사이에 들어옵니다.
풀이. 이므로 가 되도록 자연수 을 크게 잡을 수 있습니다. 이제 수직선을 간격의 눈금 으로 촘촘히 덮습니다. 눈금 간격이 구간의 길이보다 짧으므로 구간 를 눈금 없이 건너뛸 수 없고, 이 를 넘는 첫 눈금을 고르면 그 눈금은 보다 크면서 보다 작거나 같아 를 넘지 않습니다. 이 눈금이 두 수 사이의 유리수입니다.
남는 것. 무리수 사이에도 유리수가 있고 유리수 사이에도 무리수가 있습니다. 이 성질 때문에 "아주 가까운 두 실수" 같은 표현이 성립하지 않으며, 근사와 오차를 다룰 때 항상 허용 오차를 숫자로 정해야 합니다.
심화 5. (거리로 읽기) 의 해를 수직선 위 거리로 해석해 구하세요.
답. 또는
풀이. 이 식은 점 에서 점 까지의 거리와 점 까지의 거리를 더한 값이 라는 뜻입니다. 두 점 사이의 거리는 이므로, 가 두 점 사이에 있으면 합은 항상 이어서 가 될 수 없습니다. 따라서 는 바깥에 있고, 바깥에서는 한 걸음 나갈 때마다 합이 씩 늘어납니다. 만큼 더 필요하므로 양 끝에서 만큼씩 벗어난 자리입니다. 오른쪽은 이고 왼쪽은 입니다. 검산하면 에서 이고 에서 로 맞습니다.
남는 것. 절댓값의 합은 구간 안에서 상수이고 바깥에서 기울기가 인 꺾인 그래프입니다. 부호를 나누어 세 경우를 계산하지 않아도, 그림으로 읽으면 답이 바로 보입니다.
심화 6. (성급한 일반화 깨기) "무리수끼리 더하면 항상 무리수이고, 무리수끼리 곱하면 항상 무리수이다"라는 주장을 판단하세요.
답. 둘 다 거짓이며 각각 반례가 있습니다.
풀이. 덧셈의 반례는 와 입니다. 둘 다 무리수이지만 합은 으로 유리수입니다. 곱셈의 반례는 와 입니다. 곱은 로 유리수입니다. 조금 덜 뻔한 반례로 와 의 곱은 입니다. 반면 확인 2-2에서 본 것처럼 유리수와 무리수의 합은 언제나 무리수이므로, 어떤 조합이 닫혀 있고 어떤 조합이 닫혀 있지 않은지를 구분해야 합니다.
남는 것. 유리수는 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있지만 무리수는 닫혀 있지 않습니다. "항상"이라는 말이 붙은 주장을 만나면 참임을 증명하거나 반례 하나를 찾는 두 갈래 중 하나로 결론을 내야 합니다. 반례를 찾는 훈련은 24강에서 본격적으로 합니다.
손으로 푼 결과를 numpy로 다시 계산해 같은 값이 나오는지 확인합니다. 이 트랙에서는 numpy만 씁니다.
import numpy as np
# 문제 7: 0.454545... = 5/11
print(5 / 11) # 0.45454545454545453
# 문제 15: |2x+1| <= |x-3| 의 해가 -4 <= x <= 2/3 인지 확인
x = np.linspace(-6, 3, 901) # 눈금 간격 0.01
ok = np.abs(2 * x + 1) <= np.abs(x - 3)
print(x[ok].min(), round(x[ok].max(), 2)) # -4.0 0.66
# 심화 5: |x-1| + |x+2| = 5 의 해가 -3 과 2 인지 확인
x = np.linspace(-6, 6, 1201)
f = np.abs(x - 1) + np.abs(x + 2)
print(x[np.isclose(f, 5)]) # [-3. 2.]
문제 15의 상한이 이 아니라 으로 찍히는 것은 눈금 간격을 로 잡았기 때문입니다. 격자로 확인하는 검산은 해의 경계를 정확한 값이 아니라 격자 위의 가장 가까운 점으로 알려 준다는 점을 기억합니다. 정확한 경계는 손으로 푼 에서만 나옵니다.
정답.
첫 강의이므로 뒤에서 계속 쓸 기호를 여기서 확정합니다. 새 기호는 처음 나오는 강의에서 다시 정의하며, 이 표는 전 과정 공통 약속만 담습니다.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| \mathbb | 자연수 집합 | 이며 은 넣지 않습니다 |
| \mathbb | 정수 집합 | 음의 정수, , 자연수를 모두 모은 것입니다 |
| \mathbb | 유리수 집합 | 두 정수의 비로 쓸 수 있는 수입니다 |
| \mathbb | 실수 집합 | 수직선을 빈틈없이 채우는 수입니다 |
| 는 의 원소 | 가 집합 에 들어 있습니다 | |
| 는 의 부분집합 | 의 모든 원소가 에도 들어 있습니다 | |
| 의 절댓값 | 원점에서 까지의 거리입니다 | |
| 열린구간 | 양 끝을 포함하지 않는 구간입니다 | |
| 닫힌구간 | 양 끝을 포함하는 구간입니다 | |
| 무한대 | 수가 아니라 끝없이 커지는 방향 표시입니다 | |
| 근사적으로 같다 | 반올림한 값이라는 뜻입니다 | |
| 필요충분조건 | 두 조건이 서로 같은 말입니다. 엄밀한 정의는 21강에서 합니다 | |
| 함의 | 왼쪽이 참이면 오른쪽도 참입니다. 엄밀한 정의는 21강에서 합니다 |
표기 약속은 다음과 같습니다. 변수와 상수는 이탤릭으로 쓰고 집합 이름은 굵은 대문자로 씁니다. 곱셈 기호는 문자끼리 붙을 때 생략하며, 숫자끼리 곱할 때만 를 씁니다. 나눗셈은 되도록 분수 꼴로 씁니다. 소수는 반올림한 값을 쓸 때 로 표시하고 자릿수를 밝힙니다.