1강에서 수 하나를 다루는 법을 세웠습니다. 이제 문자를 섞어 식으로 넘어갑니다. 다항식은 뒤에 나올 거의 모든 대상의 가장 단순한 원형입니다. 미분과 적분도 다항식에서 먼저 계산하고, 행렬의 고유값도 다항식의 근으로 구하며, 함수를 근사할 때도 다항식으로 바꿉니다. 그래서 다항식을 자유롭게 더하고 곱하고 나누는 일은 뒤의 모든 계산에서 손이 멈추지 않게 하는 바탕이 됩니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
- 다항식의 차수와 계수를 정확히 읽고, 내림차순으로 정리할 수 있습니다.
- 곱셈공식을 유도해서 쓰고, 필요할 때 거꾸로 되돌릴 수 있습니다.
- 다항식의 나눗셈을 수행하고 몫과 나머지를 구할 수 있습니다.
- 조립제법으로 일차식 나눗셈을 빠르게 처리할 수 있습니다.
- 항등식과 방정식을 구분하고, 계수를 비교해 미지의 계수를 정할 수 있습니다.
문제. (x+2)(x+3)을 전개하고, 상수항 6과 일차항 계수 5가 각각 어디에서 왔는지 설명하세요.
생각의 실마리. 분배법칙을 두 번 쓰면 네 개의 곱이 생깁니다. 네 곱이 각각 어느 항에서 어느 항을 골라 곱한 것인지 표로 정리해 봅니다.
풀이. 분배법칙으로 앞 괄호의 각 항을 뒤 괄호 전체에 곱합니다.
(x+2)(x+3)=x(x+3)+2(x+3)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6
네 개의 곱을 표로 보면 어디에서 왔는지가 분명해집니다.
| 고른 항 |
x |
3 |
| x |
x^ |
3x |
| 2 |
2x |
6 |
상수항 6은 양쪽에서 상수를 고른 유일한 경우인 2×3입니다. 일차항은 한쪽에서 x를, 다른 쪽에서 상수를 고르는 두 가지 경우가 있어 3x+2x=5x가 됩니다. 이차항은 양쪽에서 x를 고른 한 가지뿐입니다.
이 문제에서 배우는 것: 다항식과 전개.
문자 x에 대해 anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 꼴로 쓸 수 있는 식을 다항식이라고 하고, an=0일 때 n을 차수, ak를 xk의 계수, a0을 상수항이라고 합니다. 차수가 높은 항부터 쓰는 것을 내림차순 정리라고 하며, 특별한 이유가 없으면 항상 내림차순으로 씁니다.
두 다항식을 곱할 때 결과의 각 항은 "양쪽에서 항을 하나씩 골라 곱한 것을 모두 더한 것"입니다. 그래서 곱의 차수는 두 다항식 차수의 합이고, 최고차항의 계수는 두 최고차항 계수의 곱입니다. 이 "골라서 곱하고 더한다"는 구조는 19강의 순열과 조합, 20강의 이항정리에서 다시 등장합니다.
바로 확인.
확인 1-1. (기초) (2x−1)(x+4)를 전개하세요.
답. 2x2+7x−4
풀이. 2x⋅x=2x2, 2x⋅4=8x, −1⋅x=−x, −1⋅4=−4입니다. 일차항은 8x−x=7x입니다.
확인 1-2. (표준) (x3+2x−1)(x2−3)의 최고차항과 상수항만 구하세요.
답. 최고차항은 x5이고 상수항은 3입니다.
풀이. 최고차항은 양쪽 최고차항의 곱인 x3⋅x2=x5입니다. 상수항은 양쪽 상수항의 곱인 (−1)×(−3)=3입니다. 전개를 전부 하지 않아도 이 두 항은 바로 알 수 있습니다.
문제. 103×97을 세로셈 없이 계산하세요.
생각의 실마리. 두 수가 100을 가운데 두고 같은 거리만큼 떨어져 있습니다. 100+3과 100−3으로 보면 어떤 꼴이 되는지 살펴봅니다.
풀이. 103=100+3, 97=100−3이므로
103×97=(100+3)(100−3)=1002−32=10000−9=9991
입니다. 전개해 보면 가운데 항 300x와 −300x가 상쇄되어 사라지기 때문에 두 제곱의 차만 남습니다.
이 문제에서 배우는 것: 곱셈공식.
자주 쓰는 전개 결과에 이름을 붙여 두면 매번 분배법칙을 쓰지 않아도 됩니다. 아래 공식은 모두 분배법칙으로 직접 유도할 수 있으며, 외우기보다 한 번씩 손으로 펼쳐 보는 편이 오래 남습니다.
(a+b)2=a2+2ab+b2,(a−b)2=a2−2ab+b2
(a+b)(a−b)=a2−b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3,(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
(a+b)2에서 가운데 계수가 2인 이유는 ab를 만드는 방법이 "앞에서 a, 뒤에서 b"와 "앞에서 b, 뒤에서 a"의 두 가지이기 때문입니다. (a+b)3의 계수 1,3,3,1도 같은 방식으로 세어 나옵니다. 이 셈을 일반화한 것이 20강의 이항정리입니다.
바로 확인.
확인 2-1. (기초) 982을 곱셈공식으로 계산하세요.
답. 9604
풀이. (100−2)2=10000−400+4=9604입니다.
확인 2-2. (표준) x+x1=3일 때 x2+x21의 값을 구하세요.
답. 7
풀이. 양변을 제곱하면 x2+2+x21=9입니다. 가운데 항이 2⋅x⋅x1=2로 딱 떨어지므로 x2+x21=7입니다.
확인 2-3. (표준) a+b=5, ab=6일 때 a3+b3의 값을 구하세요.
답. 35
풀이. a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)=125−3×6×5=125−90=35입니다.
문제. x3−4x+1을 x−2로 나눈 몫과 나머지를 구하세요.
생각의 실마리. 수의 나눗셈과 절차가 같습니다. 가장 높은 차수의 항끼리 맞춰 몫을 하나 세우고, 곱해서 빼고, 다시 내려 오는 일을 반복합니다. 언제 멈추는지가 중요합니다.
풀이. 빠진 차수가 있으면 계수 0을 채워 x3+0⋅x2−4x+1로 씁니다.
x3÷x=x2이므로 몫의 첫 항은 x2입니다. x2(x−2)=x3−2x2을 빼면 2x2−4x+1이 남습니다.
2x2÷x=2x이므로 다음 항은 2x입니다. 2x(x−2)=2x2−4x를 빼면 1이 남습니다.
남은 1은 나누는 식 x−2보다 차수가 낮으므로 여기서 멈춥니다.
x3−4x+1=(x−2)(x2+2x)+1
몫은 x2+2x이고 나머지는 1입니다. 검산으로 x=2를 원래 식에 넣으면 8−8+1=1로 나머지와 같습니다.
이 문제에서 배우는 것: 나눗셈 정리와 나머지정리.
다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누면, 다음을 만족하는 몫 Q와 나머지 R이 유일하게 존재합니다.
A=BQ+R,(R=0 또는 degR<degB)
나머지의 차수가 나누는 식보다 반드시 낮다는 조건이 절차가 끝나는 지점을 정합니다. 특히 B=x−a인 일차식으로 나누면 나머지는 상수이고, 위 식에 x=a를 넣으면 A(a)=0⋅Q(a)+R이므로
R=A(a)
입니다. 이것을 나머지정리라고 합니다. 나눗셈을 전부 하지 않아도 값 하나만 대입하면 나머지를 알 수 있습니다. 나머지가 0이면 A가 x−a로 나누어떨어진다는 뜻이며, 이것이 3강 인수분해에서 쓸 인수정리입니다.
바로 확인.
확인 3-1. (기초) x2+3x−5를 x−1로 나눈 나머지를 구하세요.
답. −1
풀이. 나머지정리로 x=1을 대입하면 1+3−5=−1입니다.
확인 3-2. (표준) 2x3−x+k가 x+1로 나누어떨어지도록 k를 정하세요.
답. k=1
풀이. x+1=x−(−1)이므로 x=−1을 넣습니다. 2(−1)3−(−1)+k=−2+1+k=k−1이고 이것이 0이어야 하므로 k=1입니다. 나머지정리를 쓸 때는 x+1을 x−(−1)로 고쳐 읽어 부호를 놓치지 않도록 합니다.
문제. 2x3−3x2+4를 x−1로 나눈 몫과 나머지를 문자를 쓰지 않고 계수만으로 구하세요.
생각의 실마리. 문제 3의 세로셈에서 실제로 바뀐 것은 계수뿐이고 x는 자리 표시 역할만 했습니다. 계수를 한 줄로 늘어놓고, 뺄셈 대신 덧셈이 되도록 부호를 미리 바꿔 두면 어떤 절차가 되는지 봅니다.
풀이. 계수를 내림차순으로 쓰되 빠진 차수는 0으로 채웁니다. 2, −3, 0, 4입니다. 나누는 식이 x−1이므로 a=1을 왼쪽에 둡니다.
첫 계수 2를 그대로 내립니다.
2×1=2를 다음 계수 −3에 더하면 −1입니다.
−1×1=−1을 다음 계수 0에 더하면 −1입니다.
−1×1=−1을 마지막 계수 4에 더하면 3입니다.
|
2 |
−3 |
0 |
4 |
| a=1 |
|
2 |
−1 |
−1 |
| 결과 |
2 |
−1 |
−1 |
3 |
마지막 수 3이 나머지이고, 앞의 세 수가 몫의 계수입니다. 몫은 2x2−x−1이고 나머지는 3입니다. 검산으로 x=1을 원식에 넣으면 2−3+4=3으로 나머지와 맞습니다.
이 문제에서 배우는 것: 조립제법.
일차식 x−a로 나눌 때만 쓸 수 있는 계산 절차를 조립제법이라고 합니다. 절차는 다음과 같습니다.
- 피제식의 계수를 내림차순으로 쓰고 빠진 차수는 0으로 채웁니다.
- 첫 계수를 그대로 내립니다.
- 내린 수에 a를 곱해 다음 계수에 더합니다.
- 마지막까지 3을 반복하면, 마지막 수가 나머지이고 나머지 수들이 몫의 계수입니다.
몫의 차수는 원래 식보다 하나 낮습니다. x−a가 아니라 2x−1처럼 최고차 계수가 1이 아닌 일차식으로 나눌 때는 2(x−21)로 보고 a=21로 조립제법을 한 뒤, 몫을 2로 나누고 나머지는 그대로 둡니다.
바로 확인.
확인 4-1. (기초) x3−2x2+x−5를 x−2로 나눈 몫과 나머지를 조립제법으로 구하세요.
답. 몫은 x2+1이고 나머지는 −3입니다.
풀이. 계수는 1,−2,1,−5이고 a=2입니다. 1을 내리고, 1×2=2를 −2에 더해 0, 0×2=0을 1에 더해 1, 1×2=2를 −5에 더해 −3입니다. 몫의 계수는 1,0,1입니다.
확인 4-2. (표준) 조립제법으로 x4−1을 x−1로 나누세요.
답. 몫은 x3+x2+x+1이고 나머지는 0입니다.
풀이. 계수는 1,0,0,0,−1이고 a=1입니다. 차례로 1,1,1,1,0이 나옵니다. 나머지가 0이므로 x4−1=(x−1)(x3+x2+x+1)입니다.
문제. 모든 실수 x에 대해 x2+ax+b=(x+1)(x+3)이 성립하도록 a와 b를 정하세요.
생각의 실마리. 이 등식은 특정한 x에서만 성립하는 방정식이 아니라 모든 x에서 성립해야 합니다. 그러면 편한 x를 골라 넣어도 되고, 양변을 정리해 계수를 맞춰도 됩니다. 두 방법을 다 써 보고 결과가 같은지 확인합니다.
풀이. 첫째 방법은 계수를 비교하는 것입니다. 오른쪽을 전개하면 x2+4x+3이므로, 왼쪽과 항끼리 맞추면 a=4이고 b=3입니다.
둘째 방법은 값을 대입하는 것입니다. x=0을 넣으면 b=1×3=3입니다. x=1을 넣으면 1+a+b=2×4=8이므로 a=8−1−3=4입니다. 두 방법의 결과가 같습니다.
이 문제에서 배우는 것: 항등식과 계수비교.
어떤 값을 넣어도 성립하는 등식을 항등식이라 하고, 특정한 값에서만 성립하는 등식을 방정식이라고 합니다. 같은 등호를 쓰지만 성격이 다르므로 문제에서 "모든 x에 대해"라는 말이 있는지 반드시 확인합니다.
항등식에서는 두 가지 도구를 쓸 수 있습니다.
- 계수비교법: 양변을 내림차순으로 정리한 뒤 같은 차수의 계수끼리 같다고 놓습니다. 다항식이 항등적으로 같으려면 모든 계수가 같아야 하기 때문입니다.
- 수치대입법: 계산이 간단해지는 x를 골라 대입해 식을 얻습니다. 미지수가 k개면 서로 다른 값을 k개 넣어 연립합니다.
계수비교법은 확실하지만 전개가 번거롭고, 수치대입법은 빠르지만 미지수 개수만큼 식을 얻어야 합니다. 인수가 눈에 보이면 그 인수를 0으로 만드는 값을 넣는 것이 가장 빠릅니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) 모든 x에 대해 2x2+cx−6=2(x−1)(x+3)일 때 c를 구하세요.
답. c=4
풀이. 오른쪽을 전개하면 2(x2+2x−3)=2x2+4x−6이므로 일차항 계수를 비교해 c=4입니다.
확인 5-2. (표준) 모든 x에 대해 x3−1=(x−1)(x2+px+q)일 때 p와 q를 구하세요.
답. p=1, q=1
풀이. 오른쪽을 전개하면 x3+px2+qx−x2−px−q=x3+(p−1)x2+(q−p)x−q입니다. 계수를 비교하면 p−1=0, q−p=0, −q=−1이므로 p=q=1입니다.
| 상황 |
도구 |
식 또는 요령 |
| 곱을 펼쳐야 할 때 |
분배법칙 |
양쪽에서 항을 하나씩 골라 곱한 뒤 모두 더합니다 |
| 최고차항이나 상수항만 필요할 때 |
부분 전개 |
최고차끼리, 상수끼리만 곱합니다 |
| (100±k) 꼴 수의 곱 |
합차공식 |
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^ |
| 대칭식의 값 |
기본대칭식으로 변형 |
a2+b2=(a+b)2−2ab, a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b) |
| 나머지만 필요할 때 |
나머지정리 |
x−a로 나눈 나머지는 A(a)입니다 |
| 몫까지 필요할 때 (일차식) |
조립제법 |
계수만 내려 쓰고 곱해서 더합니다 |
| 몫까지 필요할 때 (이차 이상) |
세로셈 |
나머지 차수가 나누는 식보다 낮아질 때 멈춥니다 |
| 모든 x에서 성립 |
계수비교 또는 수치대입 |
인수를 0으로 만드는 값을 넣으면 가장 빠릅니다 |
핵심 습관은 이렇습니다. 전개하기 전에 필요한 항이 전부인지 일부인지 먼저 묻고, 나눗셈을 만나면 몫이 필요한지 나머지만 필요한지부터 정합니다.
문제 6. (기초) (3x−2)(2x+5)를 전개하세요.
답. 6x2+11x−10
풀이. 6x2+15x−4x−10이고 일차항은 15x−4x=11x입니다.
문제 7. (기초) (2a−3b)2을 전개하세요.
답. 4a2−12ab+9b2
풀이. (a−b)2 공식에 a→2a, b→3b를 넣으면 4a2−2⋅2a⋅3b+9b2입니다.
문제 8. (기초) 203×197을 곱셈공식으로 계산하세요.
답. 39991
풀이. (200+3)(200−3)=40000−9=39991입니다.
문제 9. (표준) (x+1)(x−2)(x+3)의 x2 계수를 구하세요.
답. 2
풀이. x2 항은 세 괄호 중 두 곳에서 x를, 한 곳에서 상수를 고를 때 나옵니다. 고른 상수가 1, −2, 3인 세 경우의 합이므로 1+(−2)+3=2입니다. 전개하지 않고 세는 편이 빠릅니다.
문제 10. (표준) x−x1=4일 때 x2+x21의 값을 구하세요.
답. 18
풀이. 제곱하면 x2−2+x21=16이므로 x2+x21=18입니다. 부호가 바뀌면 가운데 항이 −2가 된다는 점만 다릅니다.
문제 11. (표준) a+b+c=6, ab+bc+ca=11일 때 a2+b2+c2의 값을 구하세요.
답. 14
풀이. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)이므로 36=a2+b2+c2+22이고 값은 14입니다.
문제 12. (표준) x3+2x2−5x+1을 x+3으로 나눈 나머지를 구하세요.
답. 7
풀이. 나머지정리로 x=−3을 대입하면 −27+18+15+1=7입니다.
문제 13. (표준) 2x3+x2−8x+5를 x−1로 나눈 몫과 나머지를 조립제법으로 구하세요.
답. 몫은 2x2+3x−5이고 나머지는 0입니다.
풀이. 계수 2,1,−8,5에 a=1을 적용합니다. 2를 내리고, 2를 더해 3, 3을 더해 −5, −5를 더해 0입니다.
문제 14. (표준) x4+ax2+b가 x2−x−2로 나누어떨어질 때 a와 b를 구하세요.
답. a=−5, b=4
풀이. x2−x−2=(x−2)(x+1)이므로 x=2와 x=−1에서 값이 0입니다. x=2에서 16+4a+b=0이고 x=−1에서 1+a+b=0입니다. 두 식을 빼면 15+3a=0이므로 a=−5이고, b=−1−a=4입니다.
문제 15. (표준) 모든 x에 대해 x3+2x2−x+3=(x−1)Q(x)+R일 때 R을 구하세요.
답. R=5
풀이. 나머지정리로 x=1을 대입하면 1+2−1+3=5입니다.
문제 16. (심화) x2−3x+1=0일 때 x3+x31의 값을 구하세요.
답. 18
풀이. x=0이므로 양변을 x로 나누면 x−3+x1=0, 즉 x+x1=3입니다. 세제곱 공식에서 x3+x31=(x+x1)3−3(x+x1)=27−9=18입니다.
문제 17. (심화) x100을 x2−1로 나눈 나머지를 구하세요.
답. 1
풀이. 나머지는 일차 이하이므로 ax+b로 둡니다. x100=(x2−1)Q(x)+ax+b에서 x=1을 넣으면 1=a+b이고 x=−1을 넣으면 1=−a+b입니다. 두 식을 더하면 b=1이고 빼면 a=0이므로 나머지는 1입니다.
문제 18. (심화) (x+1)10의 전개에서 x2의 계수를 구하세요.
답. 45
풀이. x2 항은 열 개의 괄호 중 두 곳에서 x를, 나머지 여덟 곳에서 1을 고를 때 나옵니다. 열 곳에서 두 곳을 고르는 방법의 수가 계수이므로 210×9=45입니다. 이 셈의 일반형은 20강 이항정리에서 정리합니다.
드릴에서는 공식을 골라 값을 구했습니다. 이 절에서는 그 공식들이 어디에서 나오는지, 그리고 나눗셈 정리가 무엇을 보장하는지를 확인합니다. 마지막 문항은 대칭식의 값을 구할 때 흔히 빠지는 함정을 다룹니다.
심화 1. (공식 유도) (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3을 전개로 유도하고, 계수 1,3,3,1이 무엇을 세고 있는지 설명하세요.
답. 세 괄호에서 b를 몇 개 고르는지를 세고 있습니다.
풀이. (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)이므로, 전개하면 세 괄호에서 각각 a 또는 b를 하나씩 골라 곱한 항을 모두 더한 것입니다. 고르는 방법은 23=8가지이고 각 항의 꼴은 b를 몇 개 골랐는지로 정해집니다. b를 하나도 안 고르면 a3이 나오고 그 방법은 한 가지입니다. b를 정확히 하나 고르면 a2b가 나오고 어느 괄호에서 고를지 세 가지입니다. b를 둘 고르면 ab2이 나오고 역시 세 가지이며, 셋 다 고르면 b3으로 한 가지입니다. 그래서 계수가 1,3,3,1입니다.
남는 것. 곱셈공식의 계수는 외우는 숫자가 아니라 경우의 수입니다. 이 관점을 갖고 있으면 (a+b)10의 특정 계수도 전개 없이 셀 수 있습니다. 문제 18이 바로 그 예입니다.
심화 2. (인수의 구조) a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)을 확인하고, 같은 방식으로 an−bn이 항상 a−b로 나누어떨어짐을 설명하세요.
답. an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+⋯+bn−1)이므로 언제나 나누어떨어집니다.
풀이. 오른쪽을 전개하면 a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3이고 가운데 항이 모두 상쇄되어 a3−b3이 남습니다. 일반형에서도 같은 상쇄가 일어납니다. (a−b)∑k=0n−1an−1−kbk를 전개하면 a를 곱한 항들은 an,an−1b,…,abn−1이고 −b를 곱한 항들은 −an−1b,…,−bn입니다. 가운데 항들이 하나씩 짝을 이뤄 사라지고 처음 an과 마지막 −bn만 남습니다.
남는 것. b=1로 두면 an−1이 항상 a−1로 나누어떨어진다는 사실이 됩니다. 문제 14의 확인 4-2가 이 특수한 경우입니다. 이 항등식은 18강의 등비수열 합 공식과 같은 식입니다.
심화 3. (나눗셈 정리의 유일성) 다항식 A를 B로 나눈 몫과 나머지가 유일함을 보이세요.
답. 두 표현이 있다고 가정하면 차수 조건 때문에 둘이 같아집니다.
풀이. A=BQ1+R1=BQ2+R2이고 R1,R2의 차수가 모두 B보다 낮다고 가정합니다. 두 식을 빼면 B(Q1−Q2)=R2−R1입니다. 만약 Q1=Q2이면 왼쪽의 차수는 B의 차수 이상입니다. 그런데 오른쪽은 B보다 차수가 낮은 두 다항식의 차이므로 B보다 차수가 낮습니다. 이것은 모순이므로 Q1=Q2이고, 그러면 오른쪽도 0이 되어 R1=R2입니다.
남는 것. "나머지의 차수가 더 낮다"는 조건을 빼면 표현이 무수히 많아집니다. 정리에 붙은 조건은 장식이 아니라 유일성을 만드는 장치입니다.
심화 4. (나머지 결정) P(x)를 x−1로 나눈 나머지가 3이고 x−2로 나눈 나머지가5일 때, P(x)를 (x−1)(x−2)로 나눈 나머지를 구하세요.
답. 2x+1
풀이. 나누는 식이 이차이므로 나머지는 일차 이하인 ax+b입니다. P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b로 두고 x=1을 넣으면 앞 항이 사라져 a+b=3입니다. x=2를 넣으면 2a+b=5입니다. 두 식을 빼면 a=2이고 b=1이므로 나머지는 2x+1입니다.
남는 것. 나머지의 차수를 먼저 정하고 미지수를 세운 다음, 인수를 0으로 만드는 값을 넣어 연립하는 것이 표준 절차입니다. 문제 17도 같은 절차로 풀었습니다.
심화 5. (조립제법의 근거) 조립제법에서 "곱해서 더한다"는 절차가 왜 옳은지 설명하세요.
답. 몫의 계수를 앞에서부터 차례로 확정해 가는 세로셈을 계수만 남겨 적은 것이기 때문입니다.
풀이. A(x)=(x−a)Q(x)+R에서 Q(x)=qn−1xn−1+⋯+q0으로 두고 오른쪽을 전개해 계수를 비교합니다. A의 계수를 cn,…,c0이라 하면 최고차에서 qn−1=cn이고, 그다음 차수에서는 qn−2−aqn−1=cn−1이므로 qn−2=cn−1+aqn−1입니다. 일반적으로 qk−1=ck+aqk이고 마지막에 R=c0+aq0입니다. 이 점화식이 바로 "직전 결과에 a를 곱해 다음 계수에 더한다"는 조립제법의 절차입니다.
남는 것. 조립제법은 요령이 아니라 계수비교의 결과입니다. 그래서 나누는 식이 일차일 때만 성립하며, 이차 이상에서는 같은 방식으로 줄여 쓸 수 없습니다.
심화 6. (대칭식의 함정) a+b=2, ab=5일 때 a2+b2을 구하고, 이때 a와 b가 실수인지 판단하세요.
답. a2+b2=−6이며 a와 b는 실수가 아닙니다.
풀이. a2+b2=(a+b)2−2ab=4−10=−6입니다. 실수의 제곱은 음이 아니므로 두 실수의 제곱의 합이 음수가 될 수 없습니다. 따라서 조건을 만족하는 실수 a,b는 존재하지 않습니다. 실제로 a와 b는 t2−2t+5=0의 두 근인데 판별식이 4−20=−16<0이라 실근이 없습니다.
남는 것. 대칭식 계산은 조건이 실수 범위에서 실현 가능한지와 무관하게 형식적으로 진행됩니다. 값이 나왔다고 해서 그런 수가 존재한다는 뜻은 아니므로, 답이 상식에 어긋나면 조건 자체의 성립 여부를 되짚어야 합니다. 판별식으로 존재 여부를 가리는 방법은 6강에서 다룹니다.
전개와 나눗셈 결과를 numpy의 다항식 도구로 다시 계산합니다. 계수는 내림차순으로 넘깁니다.
import numpy as np
# 문제 6: (3x-2)(2x+5) = 6x^2 + 11x - 10
print(np.polymul([3, -2], [2, 5])) # [ 6 11 -10]
# 문제 13: (2x^3 + x^2 - 8x + 5) / (x - 1)
q, r = np.polydiv([2, 1, -8, 5], [1, -1])
print(q, r) # [ 2. 3. -5.] [0.]
# 문제 17: x^100 을 x^2 - 1 로 나눈 나머지
a = np.zeros(101); a[0] = 1 # x^100
q, r = np.polydiv(a, [1, 0, -1])
print(np.round(r, 10)) # [1.]
# 심화 6: a+b=2, ab=5 를 만족하는 실근이 없음을 확인
print(np.roots([1, -2, 5])) # [1.+2.j 1.-2.j]
마지막 출력이 켤레복소수 쌍으로 나오는 것이 심화 6에서 손으로 판단한 "실수가 아니다"와 같은 결론입니다. 복소수는 30강에서 정식으로 다룹니다.
- 다항식의 차수와 계수를 정확히 말할 수 있는가?
- 두 다항식을 곱했을 때 결과의 차수가 어떻게 정해지는지 설명할 수 있는가?
- (x−3)(x+5)를 전개하시오.
- a+b=7, ab=10일 때 a2+b2을 구하시오.
- x3+x−2를 x−1로 나눈 나머지를 구하시오.
- 조립제법을 쓸 수 있는 조건은 무엇인가?
- 항등식과 방정식의 차이를 한 문장으로 말할 수 있는가?
- 나눗셈 정리에서 나머지의 차수 조건이 왜 필요한지 설명할 수 있는가?
정답.
- 최고차항의 지수가 차수이고, 각 항에서 문자 앞에 붙은 수가 그 항의 계수입니다.
- 곱의 차수는 두 다항식 차수의 합이고, 최고차항 계수는 두 최고차항 계수의 곱입니다.
- x2+2x−15입니다.
- (a+b)2−2ab=49−20=29입니다.
- x=1을 대입해 1+1−2=0이므로 나머지는 0입니다.
- 나누는 식이 일차식일 때만 쓸 수 있습니다.
- 항등식은 모든 값에서 성립하고 방정식은 특정한 값에서만 성립합니다.
- 그 조건이 없으면 몫과 나머지를 여러 가지로 쓸 수 있어 유일성이 깨집니다.
| 기호 |
읽는 법 |
뜻 |
| degP |
P의 차수 |
다항식 P의 최고차항 지수 |
| P(x) |
P 오브 x |
x에 대한 다항식 또는 그 값 |
| P(a) |
P 오브 a |
다항식에 x=a를 대입한 값 |
| A=BQ+R |
나눗셈 정리 |
피제식은 제식 곱하기 몫 더하기 나머지 |
| \sum_{k=0}^ |
시그마 |
첨자를 0부터 n까지 바꿔 더합니다. 정식 정의는 18강에서 합니다 |