2강에서는 괄호를 펼쳐 하나의 식으로 만들었습니다. 이 강의에서는 반대 방향으로 갑니다. 펼쳐진 식을 다시 곱의 꼴로 묶는 일을 인수분해라고 합니다. 방향만 바뀐 것 같지만 난이도는 크게 다릅니다. 전개는 정해진 절차를 따르면 반드시 끝나지만, 인수분해는 어떤 묶음이 숨어 있는지 찾아내야 하기 때문입니다.
인수분해가 중요한 이유는 곱이 0이 되는 조건이 단순하기 때문입니다. 1강의 확인 5-2에서 ab=0이면 a=0 또는 b=0임을 보였습니다. 그래서 식을 곱으로 바꿔 놓으면 방정식이 여러 개의 쉬운 방정식으로 쪼개집니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
두 묶음에서 같은 괄호 (x+1)이 나왔기 때문에 그것을 다시 공통인수로 묶을 수 있었습니다.
이 문제에서 배우는 것: 묶어서 짝짓기와 치환.
항이 네 개 이상이고 공식이 바로 보이지 않으면 둘씩 묶어 짝짓기를 시도합니다. 묶은 뒤 같은 괄호가 나오면 그 괄호를 공통인수로 빼냅니다. 항의 순서를 바꿔 묶어야 보이는 경우도 있으므로 한 배열에서 실패했다고 포기하지 않습니다.
또 하나의 도구는 치환입니다. 반복되는 덩어리를 한 문자로 놓으면 익숙한 꼴로 바뀝니다. 예를 들어 x4−5x2+4에서 t=x2으로 두면 t2−5t+4=(t−1)(t−4)이고, 되돌리면 (x2−1)(x2−4)=(x+1)(x−1)(x+2)(x−2)입니다. 치환한 뒤에는 반드시 원래 문자로 되돌리고, 되돌린 뒤에 더 쪼갤 수 있는지 다시 확인합니다.
인수분해는 "더 이상 쪼갤 수 없을 때까지" 하는 것이 원칙입니다. 다만 어느 수 범위에서 쪼개는지에 따라 끝나는 지점이 다릅니다. x2−2는 유리수 범위에서는 더 쪼갤 수 없지만 실수 범위에서는 (x+2)(x−2)입니다. 특별한 말이 없으면 유리수 계수 범위에서 끝냅니다.
바로 확인.
확인 4-1. (기초) ab+a+b+1을 인수분해하세요. 답.(a+1)(b+1) 풀이.a(b+1)+(b+1)=(a+1)(b+1)입니다.
확인 4-2. (표준) x4−13x2+36을 인수분해하세요. 답.(x+2)(x−2)(x+3)(x−3) 풀이.t=x2으로 두면 t2−13t+36=(t−4)(t−9)입니다. 되돌리면 (x2−4)(x2−9)이고 각각 합차공식으로 더 쪼갭니다.
확인 4-3. (표준) x2−y2+2y−1을 인수분해하세요. 답.(x+y−1)(x−y+1) 풀이. 뒤 세 항을 묶으면 −(y2−2y+1)=−(y−1)2입니다. 전체가 x2−(y−1)2이 되어 합차공식으로 (x+(y−1))(x−(y−1))입니다.
생각의 실마리. 좌변을 곱의 꼴로 바꾸면 "두 수의 곱이 양수"라는 조건이 됩니다. 곱이 양수가 되는 부호 조합이 무엇인지 따져 봅니다.
풀이.x2−x−6=(x−3)(x+2)입니다. 두 인수의 곱이 양수가 되려면 둘 다 양수이거나 둘 다 음수여야 합니다.
둘 다 양수이면 x>3이고 x>−2이므로 x>3입니다.
둘 다 음수이면 x<3이고 x<−2이므로 x<−2입니다.
따라서 해는 x<−2 또는 x>3이며 구간으로는 (−∞,−2)∪(3,∞)입니다.
이 문제에서 배우는 것: 곱의 부호로 읽기.
인수분해의 값어치는 곱의 성질에 있습니다.
곱이 0이면 인수 중 적어도 하나가 0입니다. 그래서 (x−3)(x+2)=0의 해는 x=3 또는 x=−2입니다.
곱의 부호는 각 인수의 부호를 곱한 것입니다. 그래서 각 인수가 부호를 바꾸는 지점을 수직선에 찍고 구간별로 부호를 세면 부등식의 해가 나옵니다.
이차식 (x−α)(x−β)에서 α<β일 때 규칙은 다음과 같습니다.
(x−α)(x−β)>0⟺x<α또는x>β,(x−α)(x−β)<0⟺α<x<β
부등호가 바깥이면 해도 바깥이고 부등호가 안쪽이면 해도 안쪽이라고 외우기 쉬운데, 이것은 최고차 계수가 양수일 때만 맞습니다. 최고차 계수가 음수이면 양변에 −1을 곱해 부등호를 뒤집은 뒤 적용합니다. 이 내용은 8강에서 다시 정리하고, 6강에서는 그래프로 같은 결론을 확인합니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) x2−5x+4=0의 해를 구하세요. 답.x=1 또는 x=4 풀이.(x−1)(x−4)=0이므로 각 인수를 0으로 만드는 값입니다.
확인 5-2. (표준) x2+2x−8≤0의 해를 구간으로 쓰세요. 답.[−4,2] 풀이.(x+4)(x−2)≤0이고 최고차 계수가 양수이므로 두 근 사이가 해입니다. 등호가 있으므로 양 끝을 포함합니다.
확인 5-3. (표준) x3−x>0의 해를 구하세요. 답.−1<x<0 또는 x>1 풀이.x(x+1)(x−1)>0입니다. 부호가 바뀌는 지점은 −1,0,1입니다. x>1에서 세 인수가 모두 양수이므로 곱이 양수이고, 왼쪽으로 한 구간씩 넘을 때마다 부호가 한 번씩 바뀝니다. 따라서 (0,1)에서 음수, (−1,0)에서 양수, (−∞,−1)에서 음수입니다.
문제 13. (표준) 2x2+5xy+3y2을 인수분해하세요. 답.(2x+3y)(x+y) 풀이.y를 상수처럼 보고 교차곱을 씁니다. 2×y+3y×1=5y로 맞습니다.
문제 14. (표준) x2−y2−x−y를 인수분해하세요. 답.(x+y)(x−y−1) 풀이. 앞 두 항은 (x+y)(x−y)이고 뒤 두 항은 −(x+y)입니다. 공통인수 (x+y)를 묶으면 (x+y)(x−y−1)입니다.
문제 15. (표준) 부등식 x2−4x+3<0의 해를 구간으로 쓰세요. 답.(1,3) 풀이.(x−1)(x−3)<0이고 최고차 계수가 양수이므로 두 근 사이입니다.
문제 16. (심화) x4+4를 실수 계수 범위에서 인수분해하세요. 답.(x2+2x+2)(x2−2x+2) 풀이. 완전제곱을 만들 수 있도록 항을 더하고 뺍니다. x4+4=x4+4x2+4−4x2=(x2+2)2−(2x)2이고 합차공식으로 (x2+2+2x)(x2+2−2x)입니다. 두 이차식은 각각 판별식이 4−8=−4<0이라 실수 범위에서 더 쪼개지지 않습니다.
문제 17. (심화) a3+b3+c3−3abc를 인수분해하세요. 답.(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) 풀이.a에 대한 다항식으로 보고 a=−(b+c)를 넣으면 −(b+c)3+b3+c3+3bc(b+c)입니다. 전개하면 −(b3+3b2c+3bc2+c3)+b3+c3+3b2c+3bc2=0이므로 a+b+c가 인수입니다. 나누어 정리하면 위 결과가 나옵니다.
문제 18. (심화) x6−1을 끝까지 인수분해하세요. 답.(x−1)(x+1)(x2+x+1)(x2−x+1) 풀이.(x3)2−1=(x3−1)(x3+1)로 먼저 쪼개고, 각각에 세제곱 공식을 씁니다. x3−1=(x−1)(x2+x+1)이고 x3+1=(x+1)(x2−x+1)입니다. 두 이차식은 판별식이 각각 1−4=−3<0이라 더 쪼개지지 않습니다. (x2−1)(x4+x2+1)로 먼저 쪼개도 같은 결과에 도달합니다.
드릴에서는 인수를 찾아 쪼갰습니다. 이 절에서는 왜 그 방법이 통하는지, 그리고 언제 통하지 않는지를 확인합니다. 인수정리가 후보를 좁혀 주는 근거를 따지고, 인수분해가 유일한지를 묻고, 마지막에는 "인수분해가 되지 않으면 쪼갤 수 없다"는 흔한 오해를 깨뜨립니다.
심화 1. (후보의 근거) 정수 계수 다항식 P(x)=cnxn+⋯+c0이 x−a를 인수로 갖고 a가 정수일 때, a가 반드시 c0의 약수임을 보이세요. 답.P(a)=0을 정리하면 c0이 a의 배수가 되기 때문입니다. 풀이.P(a)=0이므로 cnan+cn−1an−1+⋯+c1a+c0=0입니다. 상수항만 남기고 옮기면 c0=−a(cnan−1+⋯+c1)입니다. 괄호 안은 정수이므로 c0은 a의 배수이고, 따라서 a는 c0의 약수입니다. 남는 것. 문제 3에서 상수항 6의 약수만 시험한 것은 요행이 아니라 이 정리 덕분입니다. 유리수 근까지 넓히면 분모가 최고차 계수 cn의 약수여야 한다는 조건이 같은 방식으로 나오며, 이것을 유리근 정리라고 합니다.
심화 2. (유일성) x2−4를 (x+2)(x−2)가 아닌 다른 방식으로도 인수분해할 수 있는지 판단하세요. 답. 상수배를 빼면 본질적으로 한 가지뿐입니다. 풀이.x2−4=(2x+2)(2x−4)처럼 상수를 인수 사이에서 옮기는 것은 언제든 가능하므로, 이런 차이는 서로 다른 인수분해로 보지 않습니다. 그 차이를 제외하면 인수분해는 유일합니다. 만약 x2−4=(x−p)(x−q)로 쓸 수 있다면 x=p에서 좌변이 0이어야 하므로 p2=4이고 p는 2 또는 −2입니다. q도 마찬가지이며 곱이 −4가 되려면 부호가 달라야 하므로 순서를 빼면 조합이 하나뿐입니다. 남는 것. 다항식의 인수분해는 정수의 소인수분해와 같은 구조를 가집니다. 더 쪼갤 수 없는 다항식을 기약다항식이라 하고, 정수의 소수에 해당합니다. 이 유일성 덕분에 "정답이 여러 개일까" 걱정하지 않고 인수분해를 진행할 수 있습니다.
심화 3. (완전제곱 만들기) 임의의 이차식 ax2+bx+c를 a(x+2ab)2+(c−4ab2) 꼴로 고칠 수 있음을 보이세요. 답. 최고차 계수를 묶어낸 뒤 일차항 계수의 절반을 제곱해 더하고 빼면 됩니다. 풀이.a=0이므로 ax2+bx+c=a(x2+abx)+c입니다. 괄호 안을 완전제곱으로 만들려면 일차항 계수 ab의 절반인 2ab를 제곱해 더해야 하므로, 그 값을 더하고 동시에 빼서 균형을 맞춥니다. x2+abx+4a2b2−4a2b2=(x+2ab)2−4a2b2입니다. 앞의 a를 다시 분배하면 a(x+2ab)2−4ab2+c가 되어 주어진 꼴이 됩니다. 남는 것. 이 조작을 완전제곱식으로 고치기라고 하며, 5강의 근의 공식과 6강의 꼭짓점 좌표가 모두 여기에서 나옵니다. 인수분해가 안 되는 이차식도 이 꼴로는 언제나 고칠 수 있다는 점이 중요합니다.
심화 4. (묶는 순서) x2+xy−2y2+2x+7y−3을 인수분해하세요. 답.(x+2y−1)(x−y+3) 풀이.x에 대한 이차식으로 정리하면 x2+(y+2)x−(2y2−7y+3)입니다. 상수 자리의 이차식을 먼저 쪼개면 2y2−7y+3=(2y−1)(y−3)이므로 상수 자리는 −(2y−1)(y−3)입니다. 이제 두 일차식 (x+A)(x+B)에서 AB=−(2y−1)(y−3)이고 A+B=y+2를 찾습니다. A=2y−1, B=−(y−3)=−y+3으로 두면 합이 2y−1−y+3=y+2로 맞습니다. 따라서 (x+2y−1)(x−y+3)입니다. 남는 것. 문자가 둘 이상이면 한 문자에 대한 다항식으로 보고 차수를 낮은 쪽부터 정리합니다. 여기서는 y가 이차, x가 이차인데 x로 정리하는 편이 상수 자리를 쪼개기 쉬웠습니다. 어느 문자로 정리할지 고르는 것이 실제 요령입니다.
심화 5. (범위에 따른 끝) x4+x2+1을 인수분해하세요. 답.(x2+x+1)(x2−x+1) 풀이.t=x2으로 치환하면 t2+t+1인데 이것은 유리수 범위에서 쪼개지지 않습니다. 그래서 치환이 아니라 완전제곱을 만드는 방향으로 갑니다. x4+2x2+1−x2=(x2+1)2−x2이므로 합차공식으로 (x2+1+x)(x2+1−x)입니다. 두 이차식은 판별식이 각각 −3이라 실수 범위에서 더 쪼개지지 않습니다. 남는 것. 치환이 막혔다고 인수분해가 불가능한 것은 아닙니다. 항을 더하고 빼서 제곱의 차를 만드는 수법은 문제 16과 같으며, 사차식을 다룰 때 가장 자주 쓰는 우회로입니다.
심화 6. (오해 깨기) "인수분해되지 않는 이차식은 근이 없다"는 주장을 판단하세요. 답. 거짓입니다. 유리수 범위에서 인수분해되지 않아도 실근을 가질 수 있습니다. 풀이.x2−2는 유리수 계수로는 쪼개지지 않습니다. 그러나 근은 x=±2로 실수 범위에 두 개 있습니다. 실수 범위에서는 (x+2)(x−2)로 쪼개집니다. 반대로 x2+1은 실수 범위에서도 쪼개지지 않고 실근도 없습니다. 즉 "쪼개진다"와 "근이 있다"는 어느 수 범위에서 말하는지를 밝혀야 의미가 정해집니다. 남는 것. 인수분해의 가능 여부는 계수를 어느 범위에서 허용하는지에 달려 있습니다. 유리수, 실수, 복소수로 범위를 넓힐 때마다 쪼갤 수 있는 식이 늘어나며, 복소수까지 가면 모든 다항식이 일차식의 곱이 됩니다. 그 사실은 30강에서 다룹니다. 근의 존재 여부를 인수분해 대신 판별식으로 판정하는 방법은 6강에서 배웁니다.