1강에서 수를, 2강과 3강에서 다항식을 다루었습니다. 이 강의에서는 다항식을 분모에 놓거나 근호 안에 넣습니다. 그러면 지금까지 없던 문제가 하나 생깁니다. 분모가 0 0
이 확인 습관은 뒤에서 계속 쓰입니다. 함수의 정의역(9강), 극한에서 분모가 0 0
유리식의 정의역을 구하고, 약분할 때 잃어버리는 값을 짚어낼 수 있습니다.
유리식을 통분해 더하고 빼며, 번분수를 정리할 수 있습니다.
부분분수로 분해해 합을 간단히 만들 수 있습니다.
무리식의 정의역을 구하고 분모나 분자를 유리화할 수 있습니다.
근호가 든 식에서 절댓값이 필요한 자리를 구분할 수 있습니다.
문제. x 2 − 1 x − 1 x − 1 x 2 − 1
생각의 실마리. 분자를 인수분해하면 분모와 같은 것이 보입니다. 그런데 약분하기 전에 한 가지를 확인해야 합니다. 약분하려는 그 인수가 0 0
풀이. 분자를 3강의 합차공식으로 쪼개면 x 2 − 1 = ( x + 1 ) ( x − 1 ) x 2 − 1 = ( x + 1 ) ( x − 1 )
x 2 − 1 x − 1 = ( x + 1 ) ( x − 1 ) x − 1 = x + 1 ( x ≠ 1 ) x − 1 x 2 − 1 = x − 1 ( x + 1 ) ( x − 1 ) = x + 1 ( x = 1 )
두 식은 x ≠ 1 x = 1 x = 1 x = 1 x = 1 x = 1 0 0 x + 1 x + 1 x = 1 x = 1 2 2
이 문제에서 배우는 것: 유리식과 정의역. P ( x ) Q ( x ) Q ( x ) P ( x ) 유리식 이라 합니다. 분모가 0 0 Q ( x ) ≠ 0 Q ( x ) = 0 x x 정의역 이라고 합니다.
약분은 분모와 분자에 공통으로 든 인수를 없애는 조작인데, 없애는 순간 그 인수가 0 0
( x + 1 ) ( x − 1 ) x − 1 = x + 1 에서 단서 x ≠ 1 을 빠뜨리지 않습니다. x − 1 ( x + 1 ) ( x − 1 ) = x + 1 에서 단서 x = 1 을 빠뜨리지 않습니다 .
바로 확인.
확인 1-1. (기초) 1 x − 3 x − 3 1 답. x ≠ 3 x = 3 풀이. 분모 x − 3 x − 3 0 0 x = 3 x = 3
확인 1-2. (표준) x 2 − 4 x 2 − 5 x + 6 x 2 − 5 x + 6 x 2 − 4 답. x + 2 x − 3 x − 3 x + 2 x ≠ 2 x = 2 x ≠ 3 x = 3 풀이. 분자는 ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) x − 2 x − 2 x + 2 x − 3 x − 3 x + 2 x = 2 x = 2
확인 1-3. (표준) x 2 + x x x x 2 + x x + 1 x + 1 답. x = 0 x = 0 x + 1 x + 1 1 1 풀이. 약분한 인수 x x 0 0
문제. 1 x − 1 + 2 x + 2 x − 1 1 + x + 2 2
생각의 실마리. 분모가 다르면 그대로 더할 수 없습니다. 수의 분수와 똑같이 분모를 맞춰야 합니다. 두 분모의 공통 배수 중 가장 간단한 것이 무엇인지 봅니다.
풀이. 두 분모 x − 1 x − 1 x + 2 x + 2 ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 1 ) ( x + 2 )
1 x − 1 + 2 x + 2 = x + 2 ( x − 1 ) ( x + 2 ) + 2 ( x − 1 ) ( x − 1 ) ( x + 2 ) = x + 2 + 2 x − 2 ( x − 1 ) ( x + 2 ) = 3 x ( x − 1 ) ( x + 2 ) x − 1 1 + x + 2 2 = ( x − 1 ) ( x + 2 ) x + 2 + ( x − 1 ) ( x + 2 ) 2 ( x − 1 ) = ( x − 1 ) ( x + 2 ) x + 2 + 2 x − 2 = ( x − 1 ) ( x + 2 ) 3 x
정의역은 x ≠ 1 x = 1 x ≠ − 2 x = − 2 x = 2 x = 2 1 + 2 4 = 1.5 1 + 4 2 = 1 . 5 6 1 × 4 = 1.5 1 × 4 6 = 1 . 5
이 문제에서 배우는 것: 통분과 사칙연산.
A B ± C D = A D ± B C B D , A B × C D = A C B D , A B ÷ C D = A B × D C B A ± D C = B D A D ± B C , B A × D C = B D A C , B A ÷ D C = B A × C D
다만 분모를 곱해서 통분하면 식이 필요 이상으로 커집니다. 두 분모를 각각 인수분해한 뒤 최소공배수 를 잡으면 계산이 훨씬 짧아집니다. 예를 들어 분모가 x 2 − 1 x 2 − 1 x 2 + 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 ( x − 1 )
분수 안에 분수가 들어 있는 번분수 는 분모와 분자에 공통분모를 한꺼번에 곱해 정리합니다.
1 + 1 x 1 − 1 x = ( 1 + 1 x ) × x ( 1 − 1 x ) × x = x + 1 x − 1 ( x ≠ 0 , x ≠ 1 ) 1 − x 1 1 + x 1 = ( 1 − x 1 ) × x ( 1 + x 1 ) × x = x − 1 x + 1 ( x = 0 , x = 1 )
나눗셈에서는 조건이 하나 더 붙습니다. C D D C D ≠ 0 D = 0 C ≠ 0 C = 0
바로 확인.
확인 2-1. (기초) 1 x + 1 x + 1 x 1 + x + 1 1 답. 2 x + 1 x ( x + 1 ) x ( x + 1 ) 2 x + 1 풀이. 통분하면 ( x + 1 ) + x x ( x + 1 ) x ( x + 1 ) ( x + 1 ) + x x ≠ 0 x = 0 x ≠ − 1 x = − 1
확인 2-2. (표준) x x 2 − 1 − 1 x + 1 x 2 − 1 x − x + 1 1 답. 1 x 2 − 1 x 2 − 1 1 풀이. 분모를 인수분해하면 ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) x − ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) = 1 x 2 − 1 ( x + 1 ) ( x − 1 ) x − ( x − 1 ) = x 2 − 1 1
확인 2-3. (표준) x 2 − 4 x + 3 ÷ x − 2 x 2 − 9 x + 3 x 2 − 4 ÷ x 2 − 9 x − 2 답. ( x + 2 ) ( x − 3 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) 풀이. 뒤 식을 뒤집어 곱하면 ( x + 2 ) ( x − 2 ) x + 3 × ( x + 3 ) ( x − 3 ) x − 2 x + 3 ( x + 2 ) ( x − 2 ) × x − 2 ( x + 3 ) ( x − 3 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) x ≠ − 3 x = − 3 x ≠ 3 x = 3 x ≠ 2 x = 2
문제. 1 1 × 2 + 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + ⋯ + 1 9 × 10 1 × 2 1 + 2 × 3 1 + 3 × 4 1 + ⋯ + 9 × 1 0 1
생각의 실마리. 열 개 가까운 분수를 통분해 더하면 계산이 커집니다. 각 항 1 k ( k + 1 ) k ( k + 1 ) 1
풀이. 1 k − 1 k + 1 = ( k + 1 ) − k k ( k + 1 ) = 1 k ( k + 1 ) k 1 − k + 1 1 = k ( k + 1 ) ( k + 1 ) − k = k ( k + 1 ) 1
( 1 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ + ( 1 9 − 1 10 ) ( 1 1 − 2 1 ) + ( 2 1 − 3 1 ) + ⋯ + ( 9 1 − 1 0 1 )
가운데 항들이 인접한 괄호끼리 부호가 반대라 차례로 상쇄되고 처음과 끝만 남습니다.
1 − 1 10 = 9 10 1 − 1 0 1 = 1 0 9
이 문제에서 배우는 것: 부분분수 분해. 부분분수 분해 라고 합니다. 가장 자주 쓰는 꼴은 다음과 같습니다.
1 A B = 1 B − A ( 1 A − 1 B ) ( A ≠ B ) A B 1 = B − A 1 ( A 1 − B 1 ) ( A = B )
A = k A = k B = k + 1 B = k + 1 B − A = 1 B − A = 1 1 k − 1 k + 1 k 1 − k + 1 1 A = k A = k B = k + 2 B = k + 2 1 2 2 1
일반적인 분해는 계수를 미지수로 두고 2강의 계수비교로 정합니다. 예를 들어 3 x + 1 ( x − 1 ) ( x + 2 ) = A x − 1 + B x + 2 ( x − 1 ) ( x + 2 ) 3 x + 1 = x − 1 A + x + 2 B ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 1 ) ( x + 2 ) 3 x + 1 = A ( x + 2 ) + B ( x − 1 ) 3 x + 1 = A ( x + 2 ) + B ( x − 1 ) x = 1 x = 1 4 = 3 A 4 = 3 A A = 4 3 A = 3 4 x = − 2 x = − 2 − 5 = − 3 B − 5 = − 3 B B = 5 3 B = 3 5
이렇게 쪼갠 뒤 더하면 가운데가 상쇄되는 현상을 망원합 이라고 합니다. 18강의 수열 합, 33강 이후의 급수, 그리고 적분에서 유리함수를 다룰 때 같은 기법을 씁니다.
바로 확인.
확인 3-1. (기초) 1 k ( k + 1 ) k ( k + 1 ) 1 답. 1 k − 1 k + 1 k 1 − k + 1 1 풀이. 오른쪽을 통분하면 분자가 1 1
확인 3-2. (표준) 1 1 × 3 + 1 3 × 5 + 1 5 × 7 1 × 3 1 + 3 × 5 1 + 5 × 7 1 답. 3 7 7 3 풀이. 1 ( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 ) = 1 2 ( 1 2 k − 1 − 1 2 k + 1 ) ( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 ) 1 = 2 1 ( 2 k − 1 1 − 2 k + 1 1 ) 1 2 ( 1 − 1 7 ) = 1 2 × 6 7 = 3 7 2 1 ( 1 − 7 1 ) = 2 1 × 7 6 = 7 3
확인 3-3. (표준) 5 ( x − 1 ) ( x + 4 ) ( x − 1 ) ( x + 4 ) 5 답. 1 x − 1 − 1 x + 4 x − 1 1 − x + 4 1 풀이. 공식에서 B − A = ( x + 4 ) − ( x − 1 ) = 5 B − A = ( x + 4 ) − ( x − 1 ) = 5 5 ( x − 1 ) ( x + 4 ) = 5 5 ( 1 x − 1 − 1 x + 4 ) ( x − 1 ) ( x + 4 ) 5 = 5 5 ( x − 1 1 − x + 4 1 )
문제. x − 2 + 5 − x x − 2 + 5 − x x x
생각의 실마리. 근호 하나마다 조건이 하나씩 생깁니다. 두 조건을 동시에 만족해야 하므로 각각을 구한 뒤 겹치는 구간을 찾습니다.
풀이. 첫 근호에서 x − 2 ≥ 0 x − 2 ≥ 0 x ≥ 2 x ≥ 2 5 − x ≥ 0 5 − x ≥ 0 x ≤ 5 x ≤ 5
2 ≤ x ≤ 5 2 ≤ x ≤ 5
이며 구간으로는 [ 2 , 5 ] [ 2 , 5 ]
이 문제에서 배우는 것: 무리식의 정의역. 무리식 이라 합니다. 실수 범위에서는 음수의 제곱근이 없으므로 짝수 제곱근 안은 반드시 0 0
무리식의 정의역을 구할 때 확인할 것은 두 가지입니다.
짝수 제곱근 안의 식이 0 0
그 무리식이 분모에 있다면 0 0
두 번째 조건이 붙으면 등호가 빠집니다. 예를 들어 1 x − 2 x − 2 1 x ≥ 2 x ≥ 2 x > 2 x > 2
또 하나 주의할 것이 있습니다. 1강 문제 12에서 본 것처럼 a 2 = ∣ a ∣ a 2 = ∣ a ∣
a b = a b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 ) , a b = a b ( a ≥ 0 , b > 0 ) a b = a b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 ) , b a = b a ( a ≥ 0 , b > 0 )
이 두 규칙에도 조건이 붙어 있습니다. 조건을 무시하면 − 1 − 1 = 1 = 1 − 1 − 1 = 1 = 1
바로 확인.
확인 4-1. (기초) 3 − x 3 − x 답. x ≤ 3 x ≤ 3 풀이. 3 − x ≥ 0 3 − x ≥ 0 x ≤ 3 x ≤ 3
확인 4-2. (표준) 1 x + 1 x + 1 1 답. x > − 1 x > − 1 풀이. 근호 안이 0 0 0 0 x + 1 > 0 x + 1 > 0
확인 4-3. (표준) x < 0 x < 0 x 2 + ∣ x ∣ x 2 + ∣ x ∣ x x 답. − 2 x − 2 x 풀이. x 2 = ∣ x ∣ x 2 = ∣ x ∣ x < 0 x < 0 ∣ x ∣ = − x ∣ x ∣ = − x − 2 x − 2 x
문제. x + 3 − 3 x x x + 3 − 3 x x 0 0
생각의 실마리. x x 0 0 0 0
풀이. 분자의 켤레 x + 3 + 3 x + 3 + 3
x + 3 − 3 x = ( x + 3 − 3 ) ( x + 3 + 3 ) x ( x + 3 + 3 ) = ( x + 3 ) − 3 x ( x + 3 + 3 ) = x x ( x + 3 + 3 ) x x + 3 − 3 = x ( x + 3 + 3 ) ( x + 3 − 3 ) ( x + 3 + 3 ) = x ( x + 3 + 3 ) ( x + 3 ) − 3 = x ( x + 3 + 3 ) x
x ≠ 0 x = 0
1 x + 3 + 3 x + 3 + 3 1
입니다. 이제 x x 0 0 0 0 1 2 3 2 3 1
이 문제에서 배우는 것: 분자의 유리화. 약분할 수 있는 인수를 드러내는 것 입니다. 분자와 분모가 동시에 0 0
쓰는 항등식은 1강과 같습니다.
( A − B ) ( A + B ) = A − B ( A − B ) ( A + B ) = A − B
세제곱근이면 a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) ( A 3 − B 3 ) ( 3 A − 3 B ) ( A 2 3 + A B 3 + B 2 3 ) ( 3 A 2 + 3 A B + 3 B 2 )
이 조작은 33강에서 극한을 계산할 때 표준 기법이 됩니다. 여기서는 "분모와 분자가 함께 0 0
바로 확인.
확인 5-1. (기초) 2 5 + 3 5 + 3 2 답. 5 − 3 5 − 3 풀이. 켤레를 곱하면 분모가 5 − 3 = 2 5 − 3 = 2 2 ( 5 − 3 ) 2 2 2 ( 5 − 3 )
확인 5-2. (표준) x − 2 x − 4 x − 4 x − 2 답. 1 x + 2 x + 2 1 풀이. 분모를 x − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) x − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) x ≥ 0 x ≥ 0 x ≠ 4 x = 4
상황
도구
요령
유리식이 나옴
정의역 확인
분모를 인수분해해 0 0
약분
단서 붙이기
없앤 인수가 0 0
분모가 다른 덧셈
최소공배수로 통분
분모를 곱하지 말고 인수분해 후 최소공배수를 잡습니다
분수 안의 분수
번분수 정리
위아래에 공통분모를 한꺼번에 곱합니다
분모가 인수의 곱
부분분수
1 A B = 1 B − A ( 1 A − 1 B ) A B 1 = B − A 1 ( A 1 − B 1 )
연속된 항의 합
망원합
쪼갠 뒤 가운데가 상쇄되는지 확인합니다
짝수 제곱근
정의역 확인
근호 안 ≥ 0 ≥ 0 > 0 > 0
근호를 벗길 때
절댓값
a 2 = ∣ a ∣ a 2 = ∣ a ∣
분모와 분자가 함께 0 0
켤레 곱하기
공통인수를 드러내 약분합니다
핵심 습관은 이렇습니다. 유리식이나 무리식을 만나면 계산에 들어가기 전에 정의역을 먼저 적고, 약분한 뒤에는 사라진 값을 되짚습니다.
문제 6. (기초) 2 x 2 − 4 x 2 − 4 2 답. x ≠ 2 x = 2 x ≠ − 2 x = − 2 풀이. 분모 ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) 0 0
문제 7. (기초) x 2 − 9 x + 3 x + 3 x 2 − 9 답. x − 3 x − 3 x ≠ − 3 x = − 3 풀이. 분자를 ( x + 3 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( x − 3 ) x = − 3 x = − 3
문제 8. (기초) 2 x − 6 2 x − 6 답. x ≥ 3 x ≥ 3 풀이. 2 x − 6 ≥ 0 2 x − 6 ≥ 0 x ≥ 3 x ≥ 3
문제 9. (표준) 3 x − 2 − 2 x − 3 x − 2 3 − x − 3 2 답. x − 5 ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) x − 5 풀이. 통분하면 분자가 3 ( x − 3 ) − 2 ( x − 2 ) = 3 x − 9 − 2 x + 4 = x − 5 3 ( x − 3 ) − 2 ( x − 2 ) = 3 x − 9 − 2 x + 4 = x − 5
문제 10. (표준) 1 1 + 1 x 1 + x 1 1 답. x x + 1 x + 1 x 풀이. 위아래에 x x x x + 1 x + 1 x x ≠ 0 x = 0 x ≠ − 1 x = − 1
문제 11. (표준) 1 1 × 2 + 1 2 × 3 + ⋯ + 1 19 × 20 1 × 2 1 + 2 × 3 1 + ⋯ + 1 9 × 2 0 1 답. 19 20 2 0 1 9 풀이. 각 항을 1 k − 1 k + 1 k 1 − k + 1 1 1 − 1 20 1 − 2 0 1
문제 12. (표준) 7 ( x + 1 ) ( x + 8 ) ( x + 1 ) ( x + 8 ) 7 답. 1 x + 1 − 1 x + 8 x + 1 1 − x + 8 1 풀이. 두 분모의 차가 7 7 7 7 = 1 7 7 = 1
문제 13. (표준) x + 4 + 1 6 − x x + 4 + 6 − x 1 답. − 4 ≤ x < 6 − 4 ≤ x < 6 풀이. 앞에서 x + 4 ≥ 0 x + 4 ≥ 0 x ≥ − 4 x ≥ − 4 6 − x > 0 6 − x > 0 x < 6 x < 6
문제 14. (표준) x + 1 − 1 x x x + 1 − 1 답. 1 x + 1 + 1 x + 1 + 1 1 풀이. 분자에 켤레 x + 1 + 1 x + 1 + 1 ( x + 1 ) − 1 = x ( x + 1 ) − 1 = x x x x ≥ − 1 x ≥ − 1 x ≠ 0 x = 0
문제 15. (표준) − 2 ≤ x ≤ 3 − 2 ≤ x ≤ 3 ( x − 3 ) 2 + ( x + 2 ) 2 ( x − 3 ) 2 + ( x + 2 ) 2 답. 5 5 풀이. 각각 ∣ x − 3 ∣ ∣ x − 3 ∣ ∣ x + 2 ∣ ∣ x + 2 ∣ x − 3 ≤ 0 x − 3 ≤ 0 3 − x 3 − x x + 2 ≥ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 x + 2 3 − x + x + 2 = 5 3 − x + x + 2 = 5
문제 16. (심화) 1 x + 1 y = 1 3 x 1 + y 1 = 3 1 x = 6 x = 6 y y 답. y = 6 y = 6 풀이. 1 y = 1 3 − 1 6 = 2 − 1 6 = 1 6 y 1 = 3 1 − 6 1 = 6 2 − 1 = 6 1 y = 6 y = 6
문제 17. (심화) 2 x + 7 ( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x + 3 ) 2 x + 7 답. 5 / 2 x + 1 − 1 / 2 x + 3 x + 1 5 / 2 − x + 3 1 / 2 풀이. A x + 1 + B x + 3 x + 1 A + x + 3 B ( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x + 3 ) 2 x + 7 = A ( x + 3 ) + B ( x + 1 ) 2 x + 7 = A ( x + 3 ) + B ( x + 1 ) x = − 1 x = − 1 5 = 2 A 5 = 2 A A = 5 2 A = 2 5 x = − 3 x = − 3 1 = − 2 B 1 = − 2 B B = − 1 2 B = − 2 1
문제 18. (심화) x 2 − 4 x + 4 + x 2 + 6 x + 9 x 2 − 4 x + 4 + x 2 + 6 x + 9 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ x ≤ 2 답. 5 5 풀이. 근호 안을 완전제곱으로 고치면 ( x − 2 ) 2 + ( x + 3 ) 2 = ∣ x − 2 ∣ + ∣ x + 3 ∣ ( x − 2 ) 2 + ( x + 3 ) 2 = ∣ x − 2 ∣ + ∣ x + 3 ∣ x − 2 ≤ 0 x − 2 ≤ 0 x + 3 > 0 x + 3 > 0 ( 2 − x ) + ( x + 3 ) = 5 ( 2 − x ) + ( x + 3 ) = 5
드릴에서는 정의역을 적고 식을 정리했습니다. 이 절에서는 그 조작들이 언제 등식을 보존하고 언제 깨뜨리는지를 확인합니다. 부분분수 분해가 항상 가능한지, 근호 규칙의 조건을 어기면 무엇이 무너지는지를 따집니다. 마지막 문항은 무리방정식에서 반드시 생기는 함정을 다룹니다.
심화 1. (분해의 근거) 서로 다른 a , b a , b 1 ( x − a ) ( x − b ) ( x − a ) ( x − b ) 1 A x − a + B x − b x − a A + x − b B A , B A , B 답. A = 1 a − b A = a − b 1 B = 1 b − a B = b − a 1 a ≠ b a = b 풀이. 양변에 ( x − a ) ( x − b ) ( x − a ) ( x − b ) 1 = A ( x − b ) + B ( x − a ) 1 = A ( x − b ) + B ( x − a ) x = a x = a 1 = A ( a − b ) 1 = A ( a − b ) x = b x = b 1 = B ( b − a ) 1 = B ( b − a ) A = 1 a − b A = a − b 1 B = 1 b − a = − A B = b − a 1 = − A a ≠ b a = b 0 0 남는 것. B = − A B = − A 1 a − b ( 1 x − a − 1 x − b ) a − b 1 ( x − a 1 − x − b 1 ) a = b a = b 0 0 A x − a + B ( x − a ) 2 x − a A + ( x − a ) 2 B
심화 2. (조건을 어기면) a b = a b a b = a b a < 0 a < 0 b < 0 b < 0 답. a = b = − 1 a = b = − 1 − 1 − 1 1 1 풀이. 실수 범위에서는 − 1 − 1 − 1 = i − 1 = i i × i = − 1 i × i = − 1 ( − 1 ) ( − 1 ) = 1 = 1 ( − 1 ) ( − 1 ) = 1 = 1 a ≥ 0 a ≥ 0 b ≥ 0 b ≥ 0 남는 것. 공식의 조건은 대개 그 공식이 깨지는 반례가 실재하기 때문에 붙어 있습니다. 조건을 함께 외우지 않으면 조건을 벗어난 자리에서 틀린 계산을 자신 있게 하게 됩니다.
심화 3. (절댓값이 남는 자리) 모든 실수 x x x 2 − 2 x + 1 x 2 − 2 x + 1 답. x 2 − 2 x + 1 = ∣ x − 1 ∣ x 2 − 2 x + 1 = ∣ x − 1 ∣ x ≥ 1 x ≥ 1 x − 1 x − 1 풀이. 근호 안은 ( x − 1 ) 2 ( x − 1 ) 2 ∣ x − 1 ∣ ∣ x − 1 ∣ x ≥ 1 x ≥ 1 x − 1 ≥ 0 x − 1 ≥ 0 x − 1 x − 1 x < 1 x < 1 x − 1 < 0 x − 1 < 0 1 − x 1 − x x = 1 x = 1 남는 것. 근호를 벗기는 일은 부호 판정 문제입니다. 문자의 범위가 주어지지 않았다면 절댓값을 붙인 채로 두는 것이 정확한 답입니다. 문제 15와 문제 18처럼 범위가 주어졌을 때만 벗길 수 있습니다.
심화 4. (망원합 일반화) ∑ ∑ 1 1 × 3 + 1 3 × 5 + ⋯ + 1 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) 1 × 3 1 + 3 × 5 1 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) 1 n n 답. n 2 n + 1 2 n + 1 n 풀이. 각 항을 1 2 ( 1 2 k − 1 − 1 2 k + 1 ) 2 1 ( 2 k − 1 1 − 2 k + 1 1 ) 1 2 ( 1 − 1 2 n + 1 ) 2 1 ( 1 − 2 n + 1 1 ) 2 n 2 n + 1 2 n + 1 2 n n 2 n + 1 2 n + 1 n n = 3 n = 3 3 7 7 3 남는 것. 망원합의 결과는 항상 "첫 조각에서 마지막 조각을 뺀 것"입니다. 항의 개수가 몇 개든 남는 것은 양 끝뿐이므로, 쪼갠 뒤 어느 조각이 살아남는지만 확인하면 됩니다. 18강에서 이 계산을 ∑ ∑
심화 5. (정의역이 답을 바꾼다) x 2 − x − 6 x − 3 x − 3 x 2 − x − 6 x + 2 x + 2 답. 두 그래프는 x = 3 x = 3 ( 3 , 5 ) ( 3 , 5 ) 풀이. 분자를 쪼개면 ( x − 3 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) ( x + 2 ) x + 2 x + 2 x ≠ 3 x = 3 x = 3 x = 3 0 0 y = x + 2 y = x + 2 ( 3 , 5 ) ( 3 , 5 ) 남는 것. 약분으로 사라지는 점을 제거가능 불연속점이라고 하며, 그 자리에서 함수는 값이 없지만 주변 값은 얌전히 한 점에 모입니다. 이 구조가 33강 극한의 출발점이 됩니다.
심화 6. (무연근 잡기) 방정식 x + 2 = x x + 2 = x 답. x = 2 x = 2 풀이. 양변을 제곱하면 x + 2 = x 2 x + 2 = x 2 x 2 − x − 2 = 0 x 2 − x − 2 = 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) = 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) = 0 x = 2 x = 2 x = − 1 x = − 1 0 0 x x 0 0 x = − 1 x = − 1 1 = 1 1 = 1 − 1 − 1 x = 2 x = 2 4 = 2 4 = 2 2 2 남는 것. 제곱하는 조작은 등식을 보존하지만 되돌릴 때는 보존하지 않습니다. A = B A = B A 2 = B 2 A 2 = B 2 A 2 = B 2 A 2 = B 2 A = B A = B A = − B A = − B
정의역과 항등식이 맞는지 값을 넣어 확인합니다. 분모가 0 0
import numpy as np
# 문제 9: 3/(x-2) - 2/(x-3) = (x-5)/((x-2)(x-3))
x = np.array([0.0, 1.0, 4.0, 5.0, 10.0]) # 2와 3은 피합니다
left = 3 / (x - 2) - 2 / (x - 3)
right = (x - 5) / ((x - 2) * (x - 3))
print(np.allclose(left, right)) # True
# 문제 11: 망원합이 19/20 인지 확인
k = np.arange(1, 20)
print(round(np.sum(1 / (k * (k + 1))), 10), 19 / 20) # 0.95 0.95
# 문제 18: 0 <= x <= 2 에서 값이 항상 5 인지 확인
x = np.linspace(0, 2, 201)
v = np.sqrt(x**2 - 4*x + 4) + np.sqrt(x**2 + 6*x + 9)
print(round(v.min(), 10), round(v.max(), 10)) # 5.0 5.0
# 심화 6: 무연근 확인
for c in (2.0, -1.0):
print(c, np.sqrt(c + 2), c) # x=-1 에서 좌우가 다릅니다
마지막 출력에서 x = − 1 x = − 1 1 1 − 1 − 1
유리식의 정의역을 구하는 절차를 말할 수 있는가?
x 2 − 16 x − 4 x − 4 x 2 − 1 6 1 x + 1 + 1 x − 1 x + 1 1 + x − 1 1 부분분수 공식 1 A B A B 1
1 2 × 4 + 1 4 × 6 + 1 6 × 8 2 × 4 1 + 4 × 6 1 + 6 × 8 1 5 − 2 x 5 − 2 x a 2 a 2 a a 무리방정식을 제곱해서 푼 뒤 반드시 해야 할 일은 무엇인가?
정답.
분모를 인수분해해 0 0
x + 4 x + 4 x ≠ 4 x = 4 통분하면 2 x ( x + 1 ) ( x − 1 ) = 2 x x 2 − 1 ( x + 1 ) ( x − 1 ) 2 x = x 2 − 1 2 x
1 A B = 1 B − A ( 1 A − 1 B ) A B 1 = B − A 1 ( A 1 − B 1 ) 각 항이 1 2 ( 1 2 k − 1 2 k + 2 ) 2 1 ( 2 k 1 − 2 k + 2 1 ) 1 2 ( 1 2 − 1 8 ) = 1 2 × 3 8 = 3 16 2 1 ( 2 1 − 8 1 ) = 2 1 × 8 3 = 1 6 3
5 − 2 x ≥ 0 5 − 2 x ≥ 0 x ≤ 5 2 x ≤ 2 5 절댓값을 붙여 a 2 = ∣ a ∣ a 2 = ∣ a ∣
구한 해를 원래 식에 대입해 무연근인지 검산합니다.
기호
읽는 법
뜻
\dfrac{P(x)}
유리식
두 다항식의 비이며 Q ( x ) ≠ 0 Q ( x ) = 0
정의역
정의역
그 식이 값을 갖는 x x
\sqrt
루트 A A
A A A ≥ 0 A ≥ 0
\sqrt[3]
세제곱근 A A
홀수 제곱근이므로 A A
켤레
켤레
A + B A + B
무연근
무연근
제곱 등의 조작으로 새로 생긴 가짜 해