이 문제집은 02단원 네 강의(일차방정식과 이차방정식, 이차함수와 판별식, 연립방정식, 부등식과 절댓값)의 종합 훈련용입니다. 본문 예제보다 한 단계 어렵게 구성했으며, 각 문제는 세 줄(문제, 답, 풀이)로 되어 있습니다. 풀이는 중간 계산식을 모두 드러내고 결과는 검산까지 포함합니다.
풀 때는 답을 가리고 먼저 스스로 세운 뒤 풀이와 대조하기를 권합니다. 난이도는 기초, 표준, 심화로 표시했습니다. 나누기가 나오면 나누는 식이 0인지, 부등식이면 그 식의 부호가 무엇인지를 먼저 확인하는 습관을 들입니다.
문제 2. (표준) (k−3)x=k2−9의 해를 k에 따라 나누어 답하세요. 답.k=3이면 x=k+3이고, k=3이면 모든 실수가 해입니다. 풀이. 오른쪽은 (k−3)(k+3)입니다. k=3이면 양변을 k−3으로 나누어 x=k+3입니다. k=3이면 양변이 모두 0이라 0=0이 되어 모든 실수가 해입니다.
문제 3. (표준) 3x2−7x+2=0을 푸세요. 답.x=2 또는 x=31 풀이. 교차곱으로 (3x−1)(x−2)=0입니다. 검산하면 3×4−14+2=0이고 31−37+2=0입니다.
문제 12. (기초) y=x2−12x+40의 꼭짓점을 구하세요. 답.(6,4) 풀이.(x−6)2−36+40=(x−6)2+4입니다.
문제 13. (기초) y=−3x2+12x−7의 최댓값을 구하세요. 답.5 풀이.−3(x2−4x)−7=−3(x−2)2+12−7=−3(x−2)2+5입니다.
문제 14. (표준) x2+kx+9=0이 중근을 갖도록 k를 모두 구하세요. 답.k=±6 풀이.D=k2−36=0이므로 k=±6입니다. 각각 (x±3)2=0이 됩니다.
문제 15. (표준) 2≤x≤5에서 y=x2−6x+11의 최댓값과 최솟값을 구하세요. 답. 최댓값은 6이고 최솟값은 2입니다. 풀이. 표준형은 (x−3)2+2이고 축 x=3이 구간 안에 있으므로 최솟값은 2입니다. 양 끝은 f(2)=3과 f(5)=6이므로 최댓값은 6입니다.
문제 16. (표준) 직선 y=4x+k가 포물선 y=x2+2x+7에 접하도록 k를 구하세요. 답.k=6 풀이.x2+2x+7=4x+k에서 x2−2x+(7−k)=0이고 4D=1−(7−k)=k−6=0이므로 k=6입니다.
문제 17. (표준) 모든 실수 x에 대해 3x2−6x+k>0이 성립하도록 k의 범위를 구하세요. 답.k>3 풀이. 최고차 계수가 양수이므로 4D=9−3k<0이면 됩니다. 따라서 k>3입니다.
문제 18. (심화) y=x2−2kx+k+6의 그래프가 x축과 만나지 않도록 k의 범위를 구하세요. 답.−2<k<3 풀이.4D=k2−(k+6)=k2−k−6<0이고 (k−3)(k+2)<0이므로 −2<k<3입니다.
문제 19. (심화) y=x2−4x+k의 그래프가 x축과 두 점에서 만나고 두 교점의 x좌표가 모두 1보다 크도록 k의 범위를 구하세요. 답.3<k<4 풀이. 세 조건이 필요합니다. 서로 다른 두 실근이므로 4D=4−k>0에서 k<4입니다. 축이 1보다 오른쪽이어야 하므로 x=2>1로 항상 성립합니다. 아래로 볼록하므로 f(1)=1−4+k=k−3>0에서 k>3입니다. 종합하면 3<k<4입니다.
문제 20. (심화) 포물선 y=x2−3x 위의 점과 직선 y=x−5 사이의 최단거리를 주는 곡선 위의 점을 구하세요. 답.(2,−2) 풀이. 직선과 기울기가 같은 접선이 닿는 점에서 가장 가깝습니다. y=x+k가 접하려면 x2−3x=x+k에서 x2−4x−k=0이고 4D=4+k=0이므로 k=−4입니다. 이때 x2−4x+4=0에서 x=2이고 y=4−6=−2입니다.
문제 21. (심화) 이차함수 f(x)=ax2+bx+c가 f(0)=3, f(1)=2, f(2)=5를 만족할 때 a,b,c를 구하세요. 답.a=2, b=−3, c=3 풀이.f(0)=c=3입니다. f(1)=a+b+3=2이므로 a+b=−1입니다. f(2)=4a+2b+3=5이므로 4a+2b=2이고 2a+b=1입니다. 두 식을 빼면 a=2이고 b=−3입니다. 검산하면 f(1)=2−3+3=2이고 f(2)=8−6+3=5로 맞습니다.
문제 22. (기초) {x+2y=83x−2y=4를 푸세요. 답.x=3, y=25 풀이. 두 식을 더하면 4x=12이므로 x=3입니다. 첫 식에서 2y=5이므로 y=25입니다.
문제 23. (표준) {4x+5y=236x−3y=3을 푸세요. 답.x=2, y=3 풀이. 둘째 식을 3으로 나누면 2x−y=1이므로 y=2x−1입니다. 첫 식에 넣으면 4x+5(2x−1)=14x−5=23이고 14x=28이므로 x=2이며 y=3입니다. 두 식에 넣어 검산하면 8+15=23이고 12−9=3으로 맞습니다.
문제 24. (표준) {2x+3y=64x+ky=9가 해를 갖지 않도록 k를 구하세요. 답.k=6 풀이. 좌변의 계수비가 같아야 하므로 42=k3에서 k=6입니다. 이때 상수항의 비는 96=32으로 21과 다르므로 두 직선이 평행하며 겹치지 않아 해가 없습니다.
문제 25. (표준) ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+y+z=122x−y+z=7x+2y−3z=−4을 푸세요. 답.x=3, y=4, z=5 풀이. 첫째에서 둘째를 빼면 z가 상쇄되어 −x+2y=5입니다. 첫째에 3을 곱한 3x+3y+3z=36과 셋째를 더하면 역시 z가 상쇄되어 4x+5y=32입니다. 앞 식에서 x=2y−5이므로 넣으면 4(2y−5)+5y=13y−20=32이고 13y=52이므로 y=4입니다. 따라서 x=3이고 첫째 식에서 z=12−3−4=5입니다. 세 식에 모두 대입하면 12, 6−4+5=7, 3+8−15=−4로 맞습니다.
문제 26. (표준) {x+y=7xy=10을 푸세요. 답.(2,5)와 (5,2) 풀이.t2−7t+10=0이므로 (t−2)(t−5)=0입니다.
문제 27. (표준) {x−y=3x2+y2=29을 푸세요. 답.(5,2)와 (−2,−5) 풀이.y=x−3을 넣으면 x2+(x−3)2=29이고 2x2−6x−20=0이므로 x2−3x−10=0입니다. (x−5)(x+2)=0에서 x=5 또는 x=−2이고 각각 y=2와 y=−5입니다.
문제 28. (심화) {x+y=6x3+y3=72를 푸세요. 답.(2,4)와 (4,2) 풀이.x3+y3=s3−3ps에서 72=216−18p이므로 18p=144이고 p=8입니다. t2−6t+8=0의 두 근은 2와 4입니다.
문제 29. (심화) ⎩⎪⎨⎪⎧x1+y1=127xy=12를 푸세요. 답.(3,4)와 (4,3) 풀이. 첫 식을 통분하면 xyx+y=127이고 xy=12이므로 x+y=7입니다. t2−7t+12=0의 두 근은 3과 4이며 둘 다 0이 아니므로 정의역 조건도 만족합니다.
문제 30. (심화) {x+y=kxy=2k를 만족하는 실수 x,y가 존재하도록 k의 범위를 구하세요. 답.k≤0 또는 k≥8 풀이.x,y는 t2−kt+2k=0의 두 근이므로 D=k2−8k≥0이어야 합니다. k(k−8)≥0이므로 k≤0 또는 k≥8입니다.
문제 31. (심화) ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+y+z=6xy+yz+zx=11xyz=6을 만족하는 세 수를 구하세요. 답.1, 2, 3입니다. 풀이. 세 조건이 기본대칭식이므로 세 수는 t3−6t2+11t−6=0의 세 근입니다. t=1에서 값이 0이므로 인수분해하면 (t−1)(t−2)(t−3)=0입니다.
문제 36. (표준) ∣4x+3∣≤9를 푸세요. 답.−3≤x≤23 풀이.−9≤4x+3≤9에서 −12≤4x≤6이므로 −3≤x≤23입니다.
문제 37. (표준) ∣x−3∣>∣x+5∣를 푸세요. 답.x<−1 풀이. 양변이 음이 아니므로 제곱합니다. x2−6x+9>x2+10x+25에서 −16x>16이므로 x<−1입니다. 거리로 읽으면 점 x가 −5에 더 가깝다는 뜻이고 두 점의 중점 −1의 왼쪽입니다.
문제 38. (표준) x>0일 때 9x+x4의 최솟값을 구하세요. 답.12 풀이. 두 항의 곱이 36으로 일정하므로 합은 236=12 이상입니다. 등호는 9x=x4일 때, 즉 x=32일 때이며 이 값은 x>0을 만족합니다.
문제 39. (표준) {x2−x−6<02x+1>3의 해를 구하세요. 답.1<x<3 풀이. 첫째는 (x−3)(x+2)<0이므로 −2<x<3입니다. 둘째는 x>1입니다. 겹치면 1<x<3입니다.
문제 40. (심화) ∣x−1∣+∣x−5∣≤8의 해를 구하세요. 답.−1≤x≤7 풀이. 두 점 1과 5까지의 거리 합이며 두 점 사이 거리는 4입니다. 사이에서는 합이 항상 4로 조건을 만족합니다. 바깥에서는 한 걸음마다 2씩 늘어나고 8−4=4까지 허용되므로 양 끝에서 2씩 벗어날 수 있습니다. 오른쪽은 x≤5+2=7이고 왼쪽은 x≥1−2=−1입니다.
문제 41. (심화) a>0, b>0이고 a+2b=8일 때 ab의 최댓값을 구하세요. 답.8 풀이. 산술기하평균을 a와 2b에 적용하면 2a+2b≥2ab이므로 4≥2ab이고 16≥2ab에서 ab≤8입니다. 등호는 a=2b일 때이며 조건과 합치면 a=4, b=2입니다. 이때 ab=8로 맞습니다.
문제 42. (심화) 모든 실수 x에 대해 x2+4x+5≥kx가 성립하도록 k의 범위를 구하세요. 답.4−25≤k≤4+25 풀이. 이항하면 x2+(4−k)x+5≥0입니다. 최고차 계수가 양수이므로 D=(4−k)2−20≤0이면 모든 x에서 성립합니다. (k−4)2≤20이므로 ∣k−4∣≤25이고 4−25≤k≤4+25입니다.
문제 43. (심화) x3≤1의 해를 구하세요. 답.x<0 또는 x≥3 풀이. 양변에 x를 곱하면 안 됩니다. 이항하면 x3−1≤0이고 통분하면 x3−x≤0입니다. 곱으로 바꾸면 (3−x)x≤0, 즉 x(x−3)≥0이므로 x≤0 또는 x≥3인데, 분모가 0인 x=0을 제외해 x<0 또는 x≥3입니다. x=−1을 원식에 넣으면 −3≤1로 참이므로 음수 구간이 실제로 해에 들어갑니다.
문제 44. (심화) x≥4일 때 x+x4의 최솟값을 구하세요. 답.5이며 x=4에서 얻습니다. 풀이. 산술기하평균을 그대로 쓰면 하한이 4이고 등호는 x=2일 때인데, 이 값은 x≥4 밖이므로 최솟값이 아닙니다. 범위 안에서의 변화를 봅니다. x1>x2≥4에서 차는 (x1−x2)(1−x1x24)이고 x1x2≥16>4이므로 양수입니다. 즉 이 범위에서 증가하므로 왼쪽 끝 x=4에서 최소이고 값은 4+1=5입니다.