01단원에서 식을 다루는 손을 만들었습니다. 이제 그 식에 등호를 붙여 "이 등식을 참으로 만드는 값은 무엇인가"를 묻습니다. 이것이 방정식입니다. 3강에서 인수분해된 식의 값이 0이 되는 조건을 이미 다뤘으므로, 방정식 풀이의 절반은 이미 손에 있습니다. 이 강의에서는 나머지 절반, 즉 인수분해가 되지 않을 때 어떻게 하는지를 만듭니다.
방정식을 푸는 일은 뒤에서 계속 돌아옵니다. 최적화에서 미분을 0으로 놓고 푸는 것(107강), 고유값을 특성방정식의 근으로 구하는 것(78강), 최대가능도추정에서 도함수를 0으로 놓는 것(149강)이 모두 방정식 풀이입니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
확인 1-2. (표준) (k−2)x=k2−4의 해를 k에 따라 나누어 답하세요. 답.k=2이면 x=k+2이고, k=2이면 모든 실수가 해입니다. 풀이. 오른쪽을 인수분해하면 (k−2)(k+2)입니다. k=2이면 양변을 k−2로 나누어 x=k+2입니다. k=2이면 양변이 모두 0이 되어 0=0이므로 모든 실수가 해입니다. 이 경우 해가 없는 상황은 생기지 않습니다.
확인 1-3. (표준) x−12=x+23를 푸세요. 답.x=7 풀이. 양변에 (x−1)(x+2)를 곱하면 2(x+2)=3(x−1)이므로 2x+4=3x−3이고 x=7입니다. 곱한 식이 0이 되는 x=1과 x=−2는 원래 방정식의 정의역 밖이므로 답에서 제외해야 하는데, 구한 해가 둘 다 아니므로 그대로 답입니다.
생각의 실마리. 좌변을 곱의 꼴로 바꿀 수 있다면 어떤 일이 벌어지는지 생각합니다. 1강 확인 5-2에서 곱이 0이 되는 조건을 이미 다뤘습니다.
풀이. 3강의 방법으로 곱이 6이고 합이 −5인 두 수 −2와 −3을 찾아 인수분해합니다.
x2−5x+6=(x−2)(x−3)=0
두 수의 곱이 0이면 적어도 하나가 0이므로 x−2=0 또는 x−3=0입니다. 따라서 x=2 또는 x=3입니다. 각각 원식에 넣으면 4−10+6=0과 9−15+6=0으로 맞습니다.
이 문제에서 배우는 것: 인수분해로 방정식 풀기.
방정식을 푸는 표준 전략은 다음과 같습니다.
모든 항을 한쪽으로 옮겨 (식)=0 꼴로 만듭니다.
좌변을 인수분해합니다.
각 인수를 0으로 놓아 얻은 값들이 해입니다.
2번이 되는 한 이 전략은 차수에 상관없이 통합니다. 삼차식이면 3강의 인수정리로 인수를 하나 찾아 차수를 낮춥니다.
여기서 반드시 지켜야 할 것이 하나 있습니다. 1단계에서 반드시 한쪽을 0으로 만들어야 합니다. (x−2)(x−3)=2 같은 꼴에서는 "x−2=2 또는 x−3=2"라고 쓸 수 없습니다. 곱이 0일 때만 인수가 0이라는 결론이 나오기 때문입니다. 두 수의 곱이 2가 되는 방법은 무수히 많습니다.
바로 확인.
확인 2-1. (기초) x2−9=0을 푸세요. 답.x=3 또는 x=−3 풀이.(x+3)(x−3)=0이므로 각 인수를 0으로 놓습니다.
확인 2-2. (표준) 2x2+5x−3=0을 푸세요. 답.x=21 또는 x=−3 풀이. 교차곱으로 (2x−1)(x+3)=0입니다. 2x−1=0에서 x=21이고 x+3=0에서 x=−3입니다.
확인 2-3. (표준) (x−1)(x−4)=4를 푸세요. 답.x=0 또는 x=5 풀이. 그대로 인수를 4로 놓으면 안 됩니다. 전개해 정리하면 x2−5x+4=4이므로 x2−5x=0이고 x(x−5)=0입니다. 따라서 x=0 또는 x=5입니다.
문제 10. (표준) 3x2−5x+1=0의 두 근의 합과 곱을 구하세요. 답. 합은 35이고 곱은 31입니다. 풀이.−ab=35이고 ac=31입니다.
문제 11. (표준) x2−4x+2=0의 두 근을 α,β라 할 때 α2+β2을 구하세요. 답.12 풀이. 합이 4, 곱이 2이므로 (α+β)2−2αβ=16−4=12입니다.
문제 12. (표준) x2−2x−1=0의 두 근을 α,β라 할 때 (α−β)2을 구하세요. 답.8 풀이.(α+β)2−4αβ=4−4×(−1)=8입니다. 근호 안의 값 b2−4ac=4+4=8과 같다는 점을 눈여겨봅니다.
문제 13. (표준) 두 근이 2와 −5인 이차방정식을 최고차 계수가 1이 되도록 세우세요. 답.x2+3x−10=0 풀이. 합이 −3이고 곱이 −10이므로 x2−(−3)x+(−10)=0입니다.
문제 14. (표준) x−21+x+21=1을 푸세요. 답.x=1±5 풀이. 양변에 (x−2)(x+2)를 곱하면 (x+2)+(x−2)=x2−4이므로 2x=x2−4이고 x2−2x−4=0입니다. 근의 공식으로 x=1±5이며, 두 값 모두 ±2가 아니므로 정의역 안에 있습니다.
문제 15. (표준) x4−3x2−4=0의 실근을 모두 구하세요. 답.x=±2 풀이.t=x2으로 두면 (t−4)(t+1)=0입니다. t≥0이므로 t=4만 살아남아 x=±2입니다.
문제 16. (심화) x2+x21=7일 때 x+x1의 값을 모두 구하세요. 답.3 또는 −3 풀이.t=x+x1로 두면 t2=x2+2+x21=9이므로 t=±3입니다. 실수 x에서는 ∣t∣≥2여야 하는데 두 값 모두 조건을 만족하므로 둘 다 답입니다.
문제 17. (심화) 이차방정식 x2−(k+1)x+k=0이 중근을 갖도록 k를 정하세요. 답.k=1 풀이. 좌변은 (x−1)(x−k)로 인수분해되므로 두 근이 1과 k입니다. 중근이 되려면 두 근이 같아야 하므로 k=1입니다. 근호 안의 값으로 확인하면 (k+1)2−4k=(k−1)2이고 이것이 0이 되는 값도 k=1입니다.
문제 18. (심화) x+7=x+1을 푸세요. 답.x=2 풀이. 양변을 제곱하면 x+7=x2+2x+1이므로 x2+x−6=0이고 (x+3)(x−2)=0에서 x=−3 또는 x=2입니다. 왼쪽이 근호이므로 오른쪽 x+1도 0 이상이어야 하며 x=−3은 이를 어깁니다. 실제로 대입하면 왼쪽은 4=2이고 오른쪽은 −2라 다릅니다. x=2는 9=3=2+1로 맞습니다.
드릴에서는 공식을 골라 근을 구했습니다. 이 절에서는 그 공식이 어디에서 나오는지를 유도하고, 계수와 근 사이의 관계를 일반화합니다. 마지막 문항은 "이차방정식에는 근이 두 개"라는 익숙한 문장이 어떤 조건에서만 참인지를 따집니다.
심화 1. (공식 유도) 근의 공식 x=2a−b±b2−4ac를 완전제곱으로 유도하고, 유도 과정에서 a=0이 어디에 쓰였는지 밝히세요. 답. 양변을 a로 나누는 첫 단계와 2ab를 만드는 단계에서 쓰였습니다. 풀이.ax2+bx+c=0의 양변을 a로 나누면 x2+abx+ac=0입니다. 이 나눗셈이 a=0을 요구합니다. 상수항을 옮기고 일차항 계수의 절반 2ab를 제곱해 양변에 더하면 (x+2ab)2=4a2b2−4ac입니다. 오른쪽이 0 이상일 때 제곱근을 씌우면 x+2ab=±2∣a∣b2−4ac이고, ±가 양쪽 부호를 모두 포함하므로 분모의 절댓값을 2a로 바꿔 써도 같은 두 값을 줍니다. 정리하면 근의 공식입니다. 남는 것.a=0이면 이 식은 이차방정식이 아니라 일차방정식이고, 문제 1의 세 갈래로 갈립니다. 공식을 쓰기 전에 최고차 계수가 0이 아닌지 확인하는 습관이 필요합니다.
심화 2. (관계 유도) 근과 계수의 관계 α+β=−ab, αβ=ac를 두 가지 방법으로 유도하세요. 답. 인수분해된 꼴을 전개해 계수를 비교하거나, 근의 공식을 직접 더하고 곱하면 됩니다. 풀이. 첫째 방법입니다. 두 근이 α,β이므로 ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)입니다. 오른쪽을 전개하면 ax2−a(α+β)x+aαβ이므로 계수를 비교해 −a(α+β)=b와 aαβ=c를 얻습니다. 둘째 방법입니다. 근의 공식에서 두 근은 2a−b+D와 2a−b−D입니다. 여기서 D=b2−4ac입니다. 더하면 근호가 상쇄되어 2a−2b=−ab이고, 곱하면 합차공식으로 4a2b2−D=4a24ac=ac입니다. 남는 것. 두 유도가 같은 결과를 주는 것은 우연이 아닙니다. 첫째는 계수비교, 둘째는 직접 계산이며 이 둘은 다항식이 근으로 완전히 결정된다는 같은 사실의 두 표현입니다. 셋째 방법으로 근호 안이 음수여도 복소수 범위에서 그대로 성립하며, 이는 30강에서 확인합니다.
심화 3. (근의 차) 두 근의 차 ∣α−β∣를 계수로 나타내고, 그 값이 근호 안의 값과 어떤 관계인지 설명하세요. 답.∣α−β∣=∣a∣b2−4ac입니다. 풀이.(α−β)2=(α+β)2−4αβ=a2b2−a4c=a2b2−4ac입니다. 양변에 제곱근을 씌우면 왼쪽은 절댓값이 되어 ∣α−β∣=∣a∣b2−4ac입니다. 근호 안의 값이 클수록 두 근이 멀고, 0이면 두 근이 겹치며, 음수이면 실근이 없어 이 거리 자체가 정의되지 않습니다. 남는 것. 문제 12에서 (α−β)2이 근호 안의 값과 같게 나온 것은 그 문제의 최고차 계수가 1이었기 때문입니다. 일반적으로는 a2으로 나눈 값입니다. 근호 안의 값이 두 근의 벌어진 정도를 재고 있다는 해석은 6강에서 그래프로 다시 확인합니다.
심화 4. (유리근 판정) 정수 계수 이차방정식 ax2+bx+c=0의 두 근이 모두 유리수가 되는 조건을 근호 안의 값으로 말하세요. 답.b2−4ac가 완전제곱수일 때이며 그때만 그렇습니다. 풀이. 근은 2a−b±b2−4ac이고 a,b가 정수이므로 근이 유리수인 것과 b2−4ac가 유리수인 것이 같은 말입니다. b2−4ac는 정수이므로, 그 제곱근이 유리수이면 3강 심화 2의 논증에 의해 정수여야 합니다. 즉 b2−4ac가 어떤 정수의 제곱이어야 합니다. 반대로 완전제곱수이면 근호가 정수가 되어 근이 유리수입니다. 남는 것. 이 판정은 인수분해 가능 여부와 같은 이야기입니다. 정수 계수 이차식이 유리수 범위에서 인수분해되는 것과 근호 안의 값이 완전제곱수인 것이 같은 조건이기 때문입니다. 교차곱을 한참 시도하기 전에 이 값을 먼저 계산하면 헛수고를 줄입니다.
심화 5. (조건에서 방정식 세우기) x2−3x+1=0의 두 근을 α,β라 할 때, α2과 β2을 근으로 갖는 최고차 계수 1인 이차방정식을 구하세요. 답.x2−7x+1=0 풀이. 원래 방정식에서 α+β=3이고 αβ=1입니다. 새 방정식의 두 근의 합은 α2+β2=(α+β)2−2αβ=9−2=7이고, 곱은 α2β2=(αβ)2=1입니다. 따라서 x2−7x+1=0입니다. 남는 것. 근을 실제로 구하지 않고도 새 방정식을 세울 수 있습니다. 원래 근이 23±5라는 무리수임을 생각하면, 대칭식으로 돌아가는 이 경로가 훨씬 짧습니다. 이 기법은 78강에서 행렬의 고유값을 다룰 때 같은 방식으로 쓰입니다.
심화 6. (문장의 조건 따지기) "이차방정식은 언제나 근이 두 개다"라는 문장이 참이 되려면 어떤 단서가 필요한지 설명하세요. 답. 복소수 범위에서 중근을 두 개로 세면 참이고, 실수 범위에서 서로 다른 근만 세면 거짓입니다. 풀이.x2−6x+9=0은 (x−3)2=0이므로 서로 다른 근이 x=3 하나뿐입니다. x2+1=0은 실수 범위에서 근이 하나도 없습니다. 따라서 실수 범위에서 서로 다른 근을 세면 근의 개수는 0개, 1개, 2개 모두 가능합니다. 반면 복소수 범위로 넓히고 중근을 겹친 횟수만큼 세면 언제나 정확히 두 개입니다. 앞의 두 예에서 각각 3이 두 번, 그리고 i와 −i가 근입니다. 남는 것. 수학에서 개수를 세는 문장은 어느 수 범위인지와 중복을 어떻게 세는지를 밝혀야 참과 거짓이 정해집니다. 이 두 단서를 붙이면 "n차방정식은 복소수 범위에서 중복도를 세어 근이 정확히 n개"라는 일반 문장이 되며, 이것을 대수학의 기본정리라고 합니다. 30강에서 다시 다룹니다.