5강에서 이차방정식을 풀었습니다. 그때 근호 안의 값 b2−4ac가 실근의 개수를 정한다는 것을 보았지만, 왜 그 값 하나가 개수를 결정하는지는 계산으로만 확인했습니다. 이 강의에서는 같은 이차식을 방정식이 아니라 함수로 보고 그래프를 그립니다. 그러면 근의 개수가 "곡선이 x축을 몇 번 만나는가"라는 눈에 보이는 질문으로 바뀝니다.
이차함수는 뒤에서 가장 자주 돌아오는 모양입니다. 손실함수를 이차식으로 근사해 최솟값을 찾는 일(107강), 분산이 이차식이라 최소가 되는 지점을 구하는 일(133강), 이차형식의 부호로 극값을 판정하는 일(110강)이 모두 이 강의의 확장입니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
문제. 부등식 x2−2x−3<0의 해를 그래프로 설명하며 구하세요. 이어서 x2−2x+3<0과 x2−2x+1≤0의 해도 구하세요.
생각의 실마리.y=x2−2x−3의 그래프를 그리면 부등식은 "곡선이 x축 아래에 있는 x의 범위"를 묻는 것이 됩니다. 3강 문제 5에서 곱의 부호로 푼 것과 같은 답이 나오는지 확인합니다.
풀이. 첫째 부등식입니다. x2−2x−3=(x−3)(x+1)이므로 그래프는 x=−1과 x=3에서 x축을 지나고 아래로 볼록합니다. 두 교점 사이에서만 곡선이 x축 아래에 있으므로 해는 −1<x<3입니다.
둘째 부등식입니다. y=x2−2x+3=(x−1)2+2이므로 꼭짓점 높이가 2이고 아래로 볼록합니다. 그래프 전체가 x축 위에 있어 y<0이 되는 x가 하나도 없습니다. 따라서 해가 없습니다.
셋째 부등식입니다. y=x2−2x+1=(x−1)2이므로 x=1에서 x축에 닿고 나머지에서는 위에 있습니다. y≤0이 되는 곳은 닿는 점 하나뿐이므로 해는 x=1입니다.
이 문제에서 배우는 것: 판별식으로 부등식 읽기. a>0인 이차부등식의 해는 판별식과 부등호의 방향으로 정리됩니다. D>0이고 두 근이 α<β일 때는 다음과 같습니다.
ax2+bx+c>0⟺x<α또는x>β,ax2+bx+c<0⟺α<x<β
D=0이면 중근 α 하나에서만 값이 0이므로 >0의 해는 x=α인 모든 실수이고 <0의 해는 없으며 ≤0의 해는 x=α 하나입니다. D<0이면 그래프가 x축 위에 통째로 있으므로 >0의 해는 모든 실수이고 <0의 해는 없습니다.
a<0이면 양변에 −1을 곱해 부등호를 뒤집은 뒤 위 규칙을 적용합니다. 여기서 자주 나오는 응용이 하나 있습니다. "모든 실수 x에 대해 ax2+bx+c>0"이라는 조건은 a>0이고 D<0과 같은 말입니다. 이 조건은 8강의 부등식 증명과 110강의 이차형식 판정에서 다시 쓰입니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) x2−16>0의 해를 구하세요. 답.x<−4 또는 x>4 풀이.(x+4)(x−4)>0이고 아래로 볼록하므로 두 근의 바깥입니다.
확인 5-2. (표준) −x2+4x−3≥0의 해를 구하세요. 답.1≤x≤3 풀이. 양변에 −1을 곱하면 x2−4x+3≤0이고 (x−1)(x−3)≤0이므로 두 근 사이입니다.
확인 5-3. (표준) 모든 실수 x에 대해 x2+kx+4>0이 성립하도록 k의 범위를 구하세요. 답.−4<k<4 풀이. 최고차 계수가 1>0이므로 D<0이면 됩니다. k2−16<0에서 −4<k<4입니다.
문제 6. (기초) y=x2−8x+10의 꼭짓점을 구하세요. 답.(4,−6) 풀이.(x−4)2−16+10=(x−4)2−6입니다.
문제 7. (기초) y=−x2+6x−4의 최댓값을 구하세요. 답.5 풀이.−(x−3)2+9−4=−(x−3)2+5입니다.
문제 8. (기초) x2−4x+7=0의 실근의 개수를 구하세요. 답. 없습니다. 풀이.D=16−28=−12<0입니다.
문제 9. (표준) y=x2+2kx+k+2의 그래프가 x축에 접하도록 k를 모두 구하세요. 답.k=2 또는 k=−1 풀이.b=2k가 짝수이므로 4D=k2−(k+2)=0입니다. k2−k−2=(k−2)(k+1)=0이므로 k=2 또는 k=−1입니다.
문제 10. (표준) 0≤x≤3에서 y=x2−2x+2의 최댓값과 최솟값을 구하세요. 답. 최댓값은 5이고 최솟값은 1입니다. 풀이. 표준형은 (x−1)2+1이고 축 x=1이 구간 안에 있으므로 최솟값은 1입니다. 양 끝은 f(0)=2와 f(3)=5이므로 최댓값은 5입니다.
문제 11. (표준) −2≤x≤0에서 y=x2+4x+1의 최댓값을 구하세요. 답.1 풀이. 표준형은 (x+2)2−3이고 축은 x=−2로 구간의 왼쪽 끝입니다. 축에서 가장 먼 x=0에서 최댓값 1을 가집니다.
문제 12. (표준) 직선 y=2x+k가 포물선 y=x2−2x+5에 접하도록 k를 구하세요. 답.k=1 풀이.x2−2x+5=2x+k에서 x2−4x+(5−k)=0입니다. 4D=4−(5−k)=k−1=0이므로 k=1입니다.
문제 13. (표준) 2x2−5x−3≤0의 해를 구간으로 쓰세요. 답.[−21,3] 풀이.(2x+1)(x−3)≤0이고 아래로 볼록하므로 두 근 사이입니다.
문제 14. (표준) 모든 실수 x에 대해 2x2+4x+k>0이 성립하도록 k의 범위를 구하세요. 답.k>2 풀이. 최고차 계수가 양수이므로 4D=4−2k<0이면 됩니다. 따라서 k>2입니다.
문제 15. (표준) y=x2−6x+k의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점의 x좌표가 모두 양수이도록 k의 범위를 구하세요. 답.0<k<9 풀이. 서로 다른 두 실근이므로 D=36−4k>0에서 k<9입니다. 두 근이 모두 양수이려면 합과 곱이 모두 양수여야 합니다. 합은 6>0으로 항상 성립하고 곱은 k>0입니다. 따라서 0<k<9입니다.
문제 16. (심화) 포물선 y=x2 위의 점과 직선 y=x−2 사이의 최단거리를 주는 점을 구하세요. 답.(21,41) 풀이. 직선과 기울기가 같은 접선이 닿는 점에서 거리가 가장 가깝습니다. y=x+k가 y=x2에 접하는 조건은 x2−x−k=0에서 D=1+4k=0, 즉 k=−41입니다. 이때 x2−x+41=0에서 x=21이고 y=41입니다.
문제 17. (심화) 이차함수 f(x)=x2+ax+b가 f(1)=0이고 최솟값이 −4일 때 a와 b를 구하세요. 답.a=2, b=−3 또는 a=−6, b=5 풀이. 최솟값이 −4이므로 −4D=−4에서 D=a2−4b=16입니다. 또 f(1)=1+a+b=0이므로 b=−1−a입니다. 대입하면 a2−4(−1−a)=a2+4a+4=16이므로 (a+2)2=16이고 a+2=±4입니다. a=2이면 b=−3이고 D=4+12=16으로 맞으며, a=−6이면 b=5이고 D=36−20=16으로 맞습니다.
문제 18. (심화) 모든 실수 x에 대해 x2+2x+3≥kx가 성립하도록 k의 범위를 구하세요. 답.2−23≤k≤2+23 풀이. 이항하면 x2+(2−k)x+3≥0입니다. 최고차 계수가 양수이므로 D≤0이면 모든 x에서 성립합니다. D=(2−k)2−12≤0에서 (k−2)2≤12이므로 ∣k−2∣≤23이고 2−23≤k≤2+23입니다. 등호를 허용한 것은 원래 부등식에도 등호가 있기 때문입니다.
드릴에서는 판별식으로 개수를 판정하고 표준형으로 최댓값을 구했습니다. 이 절에서는 그 도구들이 왜 옳은지를 유도합니다. 꼭짓점 공식을 일반형에서 끌어내고, 판별식과 교점 개수가 같은 말인 이유를 그래프 없이 논증합니다. 마지막 문항은 판별식을 잘못 읽는 흔한 방식을 반례로 바로잡습니다.
심화 1. (꼭짓점 공식 유도) 일반형 y=ax2+bx+c에서 꼭짓점이 (−2ab,−4aD)임을 유도하세요. 여기서 D=b2−4ac입니다. 답. 완전제곱으로 고치면 곧바로 나옵니다. 풀이.a를 묶어 y=a(x2+abx)+c로 씁니다. 괄호 안에서 일차항 계수의 절반 2ab를 제곱한 값을 더하고 빼면 y=a(x+2ab)2−4ab2+c입니다. 상수 부분을 통분하면 4a−b2+4ac=−4ab2−4ac=−4aD입니다. 표준형 a(x−p)2+q와 비교하면 p=−2ab이고 q=−4aD입니다. 남는 것. 꼭짓점의 높이가 −4aD라는 사실이 판별식과 그래프를 잇는 다리입니다. a>0일 때 D>0이면 q<0이라 꼭짓점이 x축 아래로 내려가고, 그래서 두 점에서 만납니다. 판별식은 근의 공식에서 우연히 나온 덩어리가 아니라 꼭짓점의 높이를 재는 양입니다.
심화 2. (동치 증명) a>0일 때 "ax2+bx+c=0이 서로 다른 두 실근을 갖는다"와 "D>0"이 같은 말임을 그래프를 쓰지 않고 보이세요. 답. 표준형에서 제곱근을 씌울 수 있는 조건이 D≥0이고, 두 값이 갈라지는 조건이 D>0입니다. 풀이. 표준형으로 a(x+2ab)2=4aD이므로 (x+2ab)2=4a2D입니다. 왼쪽은 실수의 제곱이라 항상 0 이상이고 오른쪽의 분모 4a2은 양수이므로, 실수 해가 있으려면 D≥0이어야 합니다. D>0이면 오른쪽이 양수라 제곱근이 서로 다른 두 값 ±2∣a∣D을 주므로 근이 두 개입니다. D=0이면 오른쪽이 0이라 x+2ab=0 하나뿐이므로 근이 하나입니다. D<0이면 음이 아닌 값이 음수와 같아야 하므로 실수 해가 없습니다. 남는 것. 이 논증은 그래프를 그리지 않고 오직 "실수의 제곱은 음수가 아니다"라는 성질만 씁니다. 그래프는 이해를 돕는 그림이지 증명의 근거가 아니라는 점을 확인해 둡니다. 증명의 문법은 23강에서 정리합니다.
심화 3. (근의 위치) x2+bx+c=0의 두 근이 모두 1보다 크도록 하는 조건을 b와 c로 나타내세요. 답.D=b2−4c≥0이고 축이 −2b>1이며 f(1)=1+b+c>0입니다. 풀이. 세 조건이 모두 필요합니다. 첫째, 실근이 있어야 하므로 D≥0입니다. 둘째, 두 근의 평균인 축이 1보다 오른쪽에 있어야 하므로 −2b>1입니다. 셋째, 아래로 볼록한 그래프에서 두 근이 모두 1의 오른쪽에 있으려면 x=1에서의 함숫값이 양수여야 하므로 f(1)>0입니다. 셋 중 하나라도 빠지면 반례가 생깁니다. 예를 들어 축 조건 없이 D≥0과 f(1)>0만 두면 두 근이 모두 1보다 작은 경우가 걸러지지 않습니다. 남는 것. 판별식은 근의 개수만 정하고 위치는 정하지 않습니다. 근의 위치를 통제하려면 판별식, 축의 위치, 경계점에서의 함숫값이라는 세 가지를 함께 봐야 합니다. 이 세 조건 묶음은 근이 특정 구간 안에 있는지 판정할 때 그대로 재사용됩니다.
심화 4. (접선의 뜻) 직선 y=mx+n이 포물선 y=ax2+bx+c에 접할 때, 접점의 x좌표를 m,a,b로 나타내세요. 답. 접점의 x좌표는 2am−b입니다. 풀이. 연립하면 ax2+(b−m)x+(c−n)=0입니다. 접한다는 것은 이 방정식이 중근을 갖는다는 뜻이고, 중근일 때 그 근은 축의 위치와 같으므로 x=−2ab−m=2am−b입니다. 남는 것. 접점의 x좌표가 직선의 기울기 m으로 정해진다는 사실은 미분의 예고편입니다. 실제로 y=ax2+bx+c의 도함수는 2ax+b이고 이것을 m과 같다고 놓으면 같은 x가 나옵니다. 34강에서 이 관계가 일반화됩니다.
심화 5. (계수에서 그래프 읽기) 이차함수 y=ax2+bx+c의 그래프가 아래로 볼록하고, 축이 y축 왼쪽에 있으며, y절편이 음수일 때 a,b,c의 부호를 정하세요. 답.a>0, b>0, c<0입니다. 풀이. 아래로 볼록하므로 a>0입니다. 축이 x=−2ab이고 이 값이 음수여야 하는데 a>0이므로 b>0입니다. y절편은 x=0을 넣은 값인 c이므로 c<0입니다. 확인하면 D=b2−4ac에서 −4ac>0이므로 D>0이고, 그래프가 x축과 두 점에서 만납니다. 두 근의 곱이 ac<0이므로 두 근의 부호가 서로 다릅니다. 남는 것. 그림 하나에서 계수 세 개의 부호를 모두 읽어 내는 훈련입니다. 반대로 계수만 보고 그래프의 개형을 그릴 수도 있어야 합니다. 이 왕복이 되면 이차식이 나오는 상황에서 계산 전에 답의 대략적인 모습을 예측할 수 있습니다.
심화 6. (오해 깨기) "판별식이 음수이면 그래프가 x축 아래에 있다"는 주장을 판단하세요. 답. 거짓입니다. a의 부호에 따라 위쪽일 수도 있고 아래쪽일 수도 있습니다. 풀이.D<0이 말해 주는 것은 그래프가 x축을 만나지 않는다는 것뿐입니다. 어느 쪽에 있는지는 볼록한 방향, 즉 a의 부호가 정합니다. y=x2+1은 D=−4<0이고 그래프 전체가 x축 위에 있습니다. 반면 y=−x2−1은 D=−4<0이지만 그래프 전체가 x축 아래에 있습니다. 두 예의 판별식이 같은데 결론이 반대이므로, 판별식만으로는 위아래를 말할 수 없습니다. 남는 것. "모든 x에서 양수"라는 조건이 D<0 하나가 아니라 a>0과 D<0의 두 조건인 이유가 여기에 있습니다. 확인 5-3과 문제 14에서 최고차 계수의 부호를 먼저 확인한 것도 같은 이유입니다. 조건을 하나 빠뜨리면 부호가 반대인 반례에 그대로 걸립니다.
꼭짓점과 판별식, 구간 최댓값을 numpy로 확인합니다. 격자를 촘촘히 잡아 손계산과 대조합니다.
import numpy as np
# 문제 6: y = x^2 - 8x + 10 의 꼭짓점이 (4, -6) 인지 확인
a, b, c = 1, -8, 10
p = -b / (2 * a)
print(p, a * p**2 + b * p + c) # 4.0 -6.0
# 문제 9: 접하는 k 가 2 와 -1 인지 확인 (D/4 = k^2 - k - 2 = 0)
print(np.sort(np.roots([1, -1, -2]))) # [-1. 2.]
# 문제 10: 0 <= x <= 3 에서 최소 1, 최대 5 인지 확인
x = np.linspace(0, 3, 3001)
y = x**2 - 2*x + 2
print(round(y.min(), 10), round(y.max(), 10)) # 1.0 5.0
# 심화 6: D 가 같아도 위아래가 반대인 두 함수
x = np.linspace(-3, 3, 601)
print((x**2 + 1 > 0).all(), (-x**2 - 1 < 0).all()) # True True
마지막 출력이 둘 다 True라는 것은 판별식이 같은 −4인데도 한쪽은 항상 양수이고 다른 쪽은 항상 음수라는 뜻입니다. 심화 6에서 손으로 판단한 반례가 그대로 확인됩니다.