지금까지는 미지수가 하나인 방정식을 풀었습니다. 이 강의에서는 미지수가 둘 이상이고 조건도 여러 개인 상황을 다룹니다. 조건 하나로는 값이 정해지지 않지만 조건 여럿을 동시에 걸면 정해지는 경우가 있고, 조건이 서로 어긋나 아무 값도 만족하지 못하는 경우도 있으며, 조건이 겹쳐 해가 무수히 많은 경우도 있습니다. 이 세 갈래를 구분하는 것이 이 강의의 핵심입니다.
이 세 갈래는 62강부터 시작하는 선형대수학의 출발점 그대로입니다. 거기서는 같은 이야기를 행렬의 계수와 행렬식으로 다시 하며, 미지수가 수백 개인 경우까지 한꺼번에 처리합니다. 지금은 미지수 두세 개짜리에서 그 구조를 눈으로 봐 둡니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
- 연립일차방정식을 대입법과 가감법으로 풀 수 있습니다.
- 해가 하나인지, 없는지, 무수히 많은지를 계수의 비로 판정할 수 있습니다.
- 두 방정식을 두 직선으로 보고 위치 관계로 해석할 수 있습니다.
- 일차와 이차가 섞인 연립방정식을 대입으로 풀 수 있습니다.
- 대칭성이 있는 연립방정식을 합과 곱으로 바꿔 풀 수 있습니다.
문제. 연립방정식 {2x+y=7x−y=2를 푸세요.
생각의 실마리. 미지수가 둘이라 식 하나로는 값이 정해지지 않습니다. 미지수를 하나 없애면 지금까지 풀던 일차방정식이 됩니다. 없애는 방법이 두 가지 있으니 둘 다 시도해 봅니다.
풀이. 첫째 방법은 한 미지수를 다른 것으로 표현해 갈아 끼우는 것입니다. 둘째 식에서 y=x−2이므로 첫째 식에 넣으면
2x+(x−2)=7 ⟹ 3x=9 ⟹ x=3
이고 y=3−2=1입니다.
둘째 방법은 두 식을 더하거나 빼서 한 미지수를 지우는 것입니다. 두 식을 그대로 더하면 y가 상쇄됩니다.
(2x+y)+(x−y)=7+2 ⟹ 3x=9 ⟹ x=3
같은 결과입니다. 두 식에 모두 넣어 검산하면 2×3+1=7과 3−1=2로 맞습니다.
이 문제에서 배우는 것: 대입법과 가감법.
여러 방정식을 동시에 만족하는 값을 찾는 문제를 연립방정식이라 하고, 그 값들의 짝을 해라고 합니다. 미지수를 하나씩 줄여 가는 것이 기본 전략이며 두 가지 방법이 있습니다.
- 대입법: 한 식을 y=( x에 대한 식 ) 꼴로 정리해 다른 식에 넣습니다. 한 미지수의 계수가 1이거나 −1일 때 편합니다.
- 가감법: 두 식에 적당한 수를 곱해 어느 한 미지수의 계수를 같게 맞춘 뒤 더하거나 뺍니다. 계수가 복잡할 때 편합니다.
연립방정식에서 허용되는 조작은 세 가지이며, 이 조작들은 해집합을 바꾸지 않습니다.
- 두 식의 자리를 바꿉니다.
- 한 식에 0이 아닌 수를 곱합니다.
- 한 식에 다른 식의 상수배를 더합니다.
세 번째 조작이 가감법의 근거입니다. 이 세 조작은 62강 이후 행렬의 행 연산으로 그대로 이어집니다.
바로 확인.
확인 1-1. (기초) {x+y=5x−y=1을 푸세요.
답. x=3, y=2
풀이. 두 식을 더하면 2x=6이므로 x=3이고, 첫 식에서 y=2입니다.
확인 1-2. (표준) {3x+2y=125x−2y=4를 푸세요.
답. x=2, y=3
풀이. y의 계수가 2와 −2로 이미 맞아 있으므로 더하면 8x=16이고 x=2입니다. 첫 식에 넣으면 6+2y=12이므로 y=3입니다.
확인 1-3. (표준) {4x+3y=103x+4y=11을 푸세요.
답. x=1, y=2
풀이. 두 식을 더하면 7x+7y=21이므로 x+y=3이고, 빼면 x−y=−1입니다. 이 둘을 다시 연립하면 x=1, y=2입니다. 대칭적인 계수에서는 합과 차를 만드는 것이 가장 짧습니다.
문제. 다음 세 연립방정식의 해를 각각 구하고 차이를 설명하세요.
(가) {x+y=32x+2y=6(나) {x+y=32x+2y=8(다) {x+y=3x−y=1
생각의 실마리. 각 연립에서 두 식의 계수를 비교해 봅니다. 한 식이 다른 식의 몇 배인지, 그리고 상수항도 같은 배수인지를 따로 확인합니다.
풀이. (가)에서 둘째 식은 첫째 식의 정확히 두 배입니다. 새로운 정보가 없으므로 조건은 사실상 x+y=3 하나이고, 이 식을 만족하는 (x,y)는 무수히 많습니다. x=t로 두면 y=3−t이며 t는 임의의 실수입니다.
(나)에서 좌변은 첫째 식의 두 배인데 우변은 6이 아니라 8입니다. 첫째 식이 참이면 좌변의 두 배는 반드시 6이어야 하므로 6=8이라는 거짓이 나옵니다. 따라서 해가 없습니다.
(다)에서는 둘째 식이 첫째 식의 배수가 아닙니다. 두 식을 더하면 2x=4이므로 x=2이고 y=1입니다. 해가 정확히 하나입니다.
이 문제에서 배우는 것: 해의 개수 판정과 직선 해석.
연립일차방정식 {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2에서 계수의 비를 비교하면 해의 개수를 판정할 수 있습니다.
| 계수 관계 |
해 |
두 직선의 관계 |
| a2a1=b2b1 |
하나 |
한 점에서 만납니다 |
| a2a1=b2b1=c2c1 |
없음 |
평행하며 겹치지 않습니다 |
| a2a1=b2b1=c2c1 |
무수히 많음 |
완전히 겹칩니다 |
비로 쓰면 분모가 0이 되는 경우를 따로 봐야 하므로, 곱으로 고쳐 쓰는 편이 안전합니다. 해가 하나일 조건은 a1b2−a2b1=0입니다. 이 값 a1b2−a2b1은 70강에서 배울 행렬식이며, 여기서는 "두 직선의 기울기가 다르다"는 조건을 곱셈만으로 쓴 것이라고 이해하면 됩니다.
기하학적으로 보면 일차방정식 하나는 좌표평면 위의 직선 하나이고, 연립방정식의 해는 두 직선의 교점입니다. 그래서 해가 하나면 한 점에서 만나는 것이고, 없으면 평행한 것이며, 무수히 많으면 같은 직선인 것입니다.
바로 확인.
확인 2-1. (기초) {x+2y=42x+4y=9의 해가 있는지 판단하세요.
답. 해가 없습니다.
풀이. 좌변의 계수비는 21=42로 같지만 상수항의 비는 94로 다릅니다. 두 직선이 평행하며 겹치지 않습니다.
확인 2-2. (표준) {kx+2y=43x+y=1이 해를 하나만 갖도록 k의 조건을 구하세요.
답. k=6
풀이. a1b2−a2b1=k×1−3×2=k−6입니다. 이 값이 0이 아니어야 하므로 k=6입니다.
확인 2-3. (표준) {2x+ky=64x+6y=k+9이 해를 무수히 많이 갖도록 k를 구하세요.
답. k=3
풀이. 좌변 계수비가 같으려면 42=6k이므로 k=3입니다. 상수항의 비도 같아야 하므로 k+96=21에서 k+9=12이고 역시 k=3입니다. 두 조건이 같은 값을 주므로 k=3일 때 두 식이 완전히 겹쳐 해가 무수히 많습니다.
문제. 연립방정식 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=5를 푸세요.
생각의 실마리. 미지수가 셋이면 식도 셋이 필요합니다. 미지수 하나를 지우면 미지수 둘짜리 연립으로 줄어들고, 그것은 이미 풀 줄 압니다. 어느 미지수를 먼저 지우면 계산이 짧을지 계수를 보고 고릅니다.
풀이. z의 계수가 1,1,−1로 다루기 쉬우므로 z부터 지웁니다.
첫째 식에서 둘째 식을 빼면 z가 상쇄되어 −x+2y=3입니다.
첫째 식과 셋째 식을 더하면 역시 z가 상쇄되어 2x+3y=11입니다.
이제 미지수 둘짜리 연립이 되었습니다. 앞 식에서 x=2y−3이므로 뒤 식에 넣으면
2(2y−3)+3y=11 ⟹ 7y−6=11 ⟹ y=717
입니다. 따라서 x=2y−3=734−721=713이고, 첫째 식에서 z=6−x−y=742−13−17=712입니다.
x=713,y=717,z=712
값이 분수라 산술 실수가 나기 쉬우므로 세 식에 모두 대입해 검산합니다. 첫째는 713+17+12=742=6입니다. 둘째는 726−17+12=721=3입니다. 셋째는 713+34−12=735=5입니다. 세 식이 모두 맞으므로 답이 확정됩니다.
이 문제에서 배우는 것: 소거의 순서와 검산.
미지수가 n개면 식이 n개 필요하고, 절차는 미지수를 하나씩 지워 크기를 줄이는 것입니다.
- 계수가 가장 다루기 쉬운 미지수를 고릅니다. 계수가 ±1이거나 두 식에서 부호만 다른 것이 좋습니다.
- 두 식씩 짝지어 그 미지수를 지우면 미지수가 하나 줄어든 연립이 남습니다.
- 미지수가 하나가 될 때까지 반복하고, 값을 구한 뒤 거꾸로 대입해 나머지를 채웁니다.
이 절차를 기계적으로 정리한 것이 71강의 가우스 소거법입니다. 그리고 미지수가 셋 이상이면 중간 계산이 길어져 산술 실수가 나기 쉬우므로, 구한 해를 처음 식 전부에 대입해 검산하는 일이 절차의 일부입니다. 한 식만 확인하면 그 식을 만드는 데 쓰지 않은 다른 식에서 난 실수를 놓치므로, 반드시 처음 주어진 식 전부에 넣어 봅니다. 검산은 시간이 남을 때 하는 것이 아니라 반드시 거치는 단계입니다.
바로 확인.
확인 3-1. (기초) ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+y=5y+z=7x+z=8을 푸세요.
답. x=3, y=2, z=5
풀이. 세 식을 모두 더하면 2(x+y+z)=20이므로 x+y+z=10입니다. 여기서 각 식을 빼면 z=5, x=3, y=2입니다. 세 식에 넣어 확인하면 3+2=5, 2+5=7, 3+5=8로 맞습니다.
확인 3-2. (표준) ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+y+z=6x−y+z=2x+y−z=0을 푸세요.
답. x=1, y=2, z=3
풀이. 첫째에서 둘째를 빼면 2y=4이므로 y=2입니다. 첫째에서 셋째를 빼면 2z=6이므로 z=3입니다. 첫째에 넣으면 x=6−2−3=1입니다. 세 식에 모두 넣어 확인합니다.
문제. 연립방정식 {x+y=5x2+y2=13을 푸세요.
생각의 실마리. 이차식끼리 가감법을 쓰면 오히려 복잡해집니다. 차수가 낮은 식에서 한 미지수를 표현해 높은 식에 넣는 편이 낫습니다. 또는 x2+y2을 합과 곱으로 바꾸는 2강의 대칭식 변형을 써도 됩니다.
풀이. 첫째 방법은 대입입니다. y=5−x를 둘째 식에 넣습니다.
x2+(5−x)2=13 ⟹ 2x2−10x+25=13 ⟹ x2−5x+6=0
인수분해하면 (x−2)(x−3)=0이므로 x=2 또는 x=3입니다. 각각 y=3과 y=2이므로 해는 (2,3)과 (3,2)입니다.
둘째 방법은 대칭식입니다. x2+y2=(x+y)2−2xy이므로 13=25−2xy이고 xy=6입니다. 합이 5이고 곱이 6인 두 수는 5강의 근과 계수의 관계로 t2−5t+6=0의 두 근이므로 2와 3입니다.
이 문제에서 배우는 것: 차수가 섞인 연립과 대칭성.
일차식과 이차식이 섞인 연립방정식은 일차식에서 한 미지수를 표현해 이차식에 대입하는 것이 표준 절차입니다. 대입 결과가 이차방정식이 되므로 5강의 도구로 풀 수 있고, 판별식으로 해의 개수도 미리 알 수 있습니다.
두 식이 x와 y를 바꿔도 변하지 않는 대칭식이면 더 짧은 길이 있습니다. s=x+y, p=xy로 두면 대칭식은 모두 s와 p로 표현되므로, s와 p를 먼저 구한 뒤 t2−st+p=0의 두 근으로 x와 y를 얻습니다. 이때 (x,y)와 (y,x)가 모두 해가 되는 것이 대칭성의 결과입니다.
자주 쓰는 변형은 다음과 같습니다.
x2+y2=s2−2p,x3+y3=s3−3ps,(x−y)2=s2−4p
마지막 식이 0 이상이어야 x,y가 실수이므로, s2≥4p가 실수해의 존재 조건입니다.
바로 확인.
확인 4-1. (기초) {y=x+1y=x2−1을 푸세요.
답. (2,3)과 (−1,0)
풀이. x+1=x2−1에서 x2−x−2=0이므로 (x−2)(x+1)=0입니다.
확인 4-2. (표준) {x+y=4xy=3을 푸세요.
답. (1,3)과 (3,1)
풀이. t2−4t+3=0의 두 근이 1과 3입니다.
확인 4-3. (표준) {x+y=2x2+y2=10을 푸세요.
답. (3,−1)과 (−1,3)
풀이. 10=4−2xy에서 xy=−3입니다. t2−2t−3=0의 두 근은 3과 −1입니다. 검산하면 합이 2이고 제곱합이 9+1=10으로 맞습니다.
문제. 연립방정식 {y=x2+2y=2x−1에 실수해가 있는지 판단하세요.
생각의 실마리. 대입해 이차방정식을 만든 뒤, 굳이 풀지 않고도 실근이 있는지 알 수 있습니다. 6강에서 만든 도구를 씁니다.
풀이. 대입하면 x2+2=2x−1이므로 x2−2x+3=0입니다. 판별식은
D=4−12=−8<0
이므로 실근이 없습니다. 따라서 이 연립방정식에는 실수해가 없습니다. 그래프로 보면 포물선 y=x2+2의 꼭짓점이 (0,2)이고 직선 y=2x−1은 이 포물선 아래로만 지나가므로 두 곡선이 만나지 않습니다.
이 문제에서 배우는 것: 해의 존재 판정.
연립방정식을 풀기 전에 해가 있는지 먼저 판정할 수 있으면 헛수고를 줄입니다. 판정 방법은 소거한 결과가 어떤 꼴인지에 따라 다릅니다.
| 소거 결과 |
판정 방법 |
| 일차방정식 ax=b |
문제 1의 세 갈래로 나눕니다 |
| 이차방정식 |
판별식 D의 부호를 봅니다 |
| 0=(0이 아닌 수) |
해가 없습니다 |
| 0=0 |
남은 식으로 해가 무수히 많습니다 |
여기서 한 가지 주의할 점이 있습니다. 연립방정식을 풀 때 양변에 미지수가 든 식을 곱하면 없던 해가 생길 수 있습니다. 예를 들어 x1=x−11의 양변에 x(x−1)을 곱하면 x−1=x가 되어 해가 없다는 올바른 결론이 나오지만, 다른 문제에서는 곱한 식이 0이 되는 값이 가짜 해로 딸려 나올 수 있습니다. 4강 심화 6에서 본 무연근과 같은 현상이므로, 구한 해를 반드시 원래 식에 대입해 확인합니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) {y=x2y=x−1에 실수해가 있는지 판단하세요.
답. 없습니다.
풀이. x2−x+1=0이고 D=1−4=−3<0입니다.
확인 5-2. (표준) {y=x2−2xy=k가 서로 다른 두 실수해를 갖도록 k의 범위를 구하세요.
답. k>−1
풀이. x2−2x−k=0에서 D=4+4k>0이므로 k>−1입니다.
| 상황 |
도구 |
요령 |
| 계수가 ±1인 미지수가 있음 |
대입법 |
그 미지수를 표현해 갈아 끼웁니다 |
| 계수가 복잡함 |
가감법 |
한 미지수의 계수를 맞춘 뒤 더하거나 뺍니다 |
| 계수가 대칭적임 |
합과 차 만들기 |
두 식을 더하고 빼면 훨씬 짧아집니다 |
| 해의 개수 판정 |
계수의 곱 비교 |
a1b2−a2b1=0이면 해가 하나입니다 |
| 미지수가 셋 이상 |
하나씩 소거 |
계수가 다루기 쉬운 것부터 지웁니다 |
| 일차와 이차가 섞임 |
대입 |
낮은 차수 식에서 표현해 높은 쪽에 넣습니다 |
| x,y를 바꿔도 같음 |
합과 곱 |
s=x+y, p=xy로 두고 t2−st+p=0을 풉니다 |
| 실수해 존재 여부 |
판별식 |
소거 결과가 이차식이면 D의 부호를 봅니다 |
핵심 습관은 이렇습니다. 소거할 미지수를 계수를 보고 고르고, 대칭이 보이면 합과 곱으로 갈아타고, 마지막에는 반드시 원래 식 전부에 대입해 검산합니다.
문제 6. (기초) {x+y=9x−y=3을 푸세요.
답. x=6, y=3
풀이. 더하면 2x=12이므로 x=6이고 y=3입니다.
문제 7. (기초) {2x+3y=13x−y=1을 푸세요.
답. x=516, y=511
풀이. 둘째에서 x=y+1이므로 첫째에 넣으면 2y+2+3y=13이고 5y=11입니다. 따라서 y=511이고 x=516입니다. 검산하면 532+533=13으로 맞습니다.
문제 8. (기초) {3x−y=56x−2y=7의 해가 있는지 판단하세요.
답. 없습니다.
풀이. 좌변은 두 배 관계인데 우변은 10이 아니라 7이므로 모순입니다. 두 직선이 평행합니다.
문제 9. (표준) {5x+2y=163x+4y=18을 푸세요.
답. x=2, y=3
풀이. 첫째 식에 2를 곱하면 10x+4y=32이고 둘째 식을 빼면 7x=14이므로 x=2입니다. 첫째 식에서 y=3입니다.
문제 10. (표준) {ax+y=32x+3y=5가 해를 하나만 갖도록 a의 조건을 구하세요.
답. a=32
풀이. a×3−2×1=3a−2=0이므로 a=32입니다.
문제 11. (표준) ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+y+z=9x−y+z=5x+y−z=1을 푸세요.
답. x=3, y=2, z=4
풀이. 첫째에서 둘째를 빼면 2y=4이므로 y=2이고, 첫째에서 셋째를 빼면 2z=8이므로 z=4입니다. 첫째에 넣으면 x=9−2−4=3입니다. 검산하면 둘째가 3−2+4=5이고 셋째가 3+2−4=1로 모두 맞습니다.
문제 12. (표준) {x+y=6xy=8을 푸세요.
답. (2,4)와 (4,2)
풀이. t2−6t+8=0이므로 (t−2)(t−4)=0입니다.
문제 13. (표준) {x−y=2x2+y2=10을 푸세요.
답. (3,1)과 (−1,−3)
풀이. y=x−2를 넣으면 x2+(x−2)2=10이므로 2x2−4x−6=0이고 x2−2x−3=0입니다. (x−3)(x+1)=0에서 x=3 또는 x=−1이고 각각 y=1과 y=−3입니다.
문제 14. (표준) {y=x2−4x+5y=x+1의 교점을 모두 구하세요.
답. (1,2)와 (4,5)
풀이. x2−4x+5=x+1에서 x2−5x+4=0이므로 (x−1)(x−4)=0입니다.
문제 15. (표준) {y=x2+ky=2x가 접하도록 k를 구하세요.
답. k=1
풀이. x2−2x+k=0에서 4D=1−k=0이므로 k=1입니다. 이때 접점은 x=1, y=2입니다.
문제 16. (심화) {x+y=5x3+y3=35를 푸세요.
답. (2,3)과 (3,2)
풀이. x3+y3=s3−3ps에서 35=125−15p이므로 15p=90이고 p=6입니다. 합이 5이고 곱이 6이므로 t2−5t+6=0의 두 근인 2와 3입니다.
문제 17. (심화) ⎩⎪⎨⎪⎧x1+y1=65xy=6을 푸세요.
답. (2,3)과 (3,2)
풀이. 첫 식의 좌변을 통분하면 xyx+y=65입니다. xy=6이므로 x+y=5입니다. 합이 5이고 곱이 6이므로 두 수는 2와 3입니다. 정의역 조건 x=0, y=0도 만족합니다.
문제 18. (심화) {x+y=kxy=k+3을 만족하는 실수 x,y가 존재하도록 k의 범위를 구하세요.
답. k≤−2 또는 k≥6
풀이. x,y는 t2−kt+(k+3)=0의 두 근이므로 실수이려면 판별식이 0 이상이어야 합니다. D=k2−4(k+3)=k2−4k−12≥0이고 (k−6)(k+2)≥0이므로 k≤−2 또는 k≥6입니다.
드릴에서는 소거해 값을 구했습니다. 이 절에서는 그 절차가 왜 해집합을 바꾸지 않는지, 해의 개수 판정식이 어디에서 나오는지를 확인합니다. 마지막 문항은 연립방정식에서 흔히 저지르는 잘못된 소거를 반례로 잡아냅니다.
심화 1. (조작의 정당성) 연립방정식에서 "한 식에 다른 식의 상수배를 더한다"는 조작이 해집합을 바꾸지 않음을 보이세요.
답. 원래 해가 새 연립도 만족하고, 그 조작을 되돌릴 수 있어 역도 성립하기 때문입니다.
풀이. 두 식을 E1=0, E2=0이라 하고 새 연립을 E1=0, E2+kE1=0이라 합니다. 원래 해는 E1과 E2를 모두 0으로 만들므로 E2+kE1도 0으로 만듭니다. 따라서 원래 해는 모두 새 연립의 해입니다. 반대로 새 연립의 해는 E1=0이고 E2+kE1=0이므로 E2=−kE1=0입니다. 따라서 새 연립의 해도 모두 원래 해입니다. 두 해집합이 서로를 포함하므로 같습니다.
남는 것. 조작의 정당성이 "되돌릴 수 있는가"에 달려 있다는 점이 중요합니다. 한 식에 0을 곱하는 조작은 되돌릴 수 없고 실제로 정보를 잃어 해가 늘어납니다. 그래서 허용 조작에 "0이 아닌 수를 곱한다"는 단서가 붙어 있습니다.
심화 2. (판정식 유도) 연립 {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2에서 a1b2−a2b1=0이면 해가 정확히 하나임을 보이고 그 해를 구하세요.
답. x=a1b2−a2b1c1b2−c2b1, y=a1b2−a2b1a1c2−a2c1입니다.
풀이. 첫째 식에 b2를 곱하고 둘째 식에 b1을 곱한 뒤 빼면 y가 지워집니다. (a1b2−a2b1)x=c1b2−c2b1입니다. 계수가 0이 아니므로 나눌 수 있고 x가 하나로 정해집니다. 같은 방식으로 첫째에 a2, 둘째에 a1을 곱해 빼면 (a1b2−a2b1)y=a1c2−a2c1이므로 y도 하나로 정해집니다.
남는 것. 분모에 공통으로 나오는 a1b2−a2b1이 70강에서 배울 행렬식이고, 이 풀이 자체가 크라메르 공식의 가장 작은 경우입니다. 분모가 0이면 나눌 수 없고, 그때가 바로 해가 없거나 무수히 많은 두 갈래로 나뉘는 지점입니다.
심화 3. (실수해 존재 조건) 합이 s이고 곱이 p인 두 실수가 존재할 조건을 구하고, 그 조건을 만족하지 않는 예를 드세요.
답. s2≥4p이며, s=2이고 p=5이면 조건이 깨집니다.
풀이. 두 수는 t2−st+p=0의 두 근이므로 실수이려면 판별식 s2−4p≥0이어야 합니다. s=2, p=5이면 4−20=−16<0이라 실수 두 개가 존재하지 않습니다. 실제로 x+y=2이고 xy=5이면 x2+y2=s2−2p=4−10=−6인데, 실수의 제곱의 합이 음수가 될 수 없으므로 모순입니다. 2강 심화 6에서 본 것과 같은 상황입니다.
남는 것. 대칭식으로 계산을 진행하면 조건이 실현 불가능해도 형식적으로는 값이 계속 나옵니다. 그래서 합과 곱으로 갈아탄 뒤에는 마지막에 s2≥4p를 확인해야 합니다. 이 조건은 산술평균과 기하평균의 관계와 같은 내용이며 8강에서 다시 다룹니다.
심화 4. (해가 무수히 많을 때의 표현) {x+2y=43x+6y=12의 해를 모두 나타내세요.
답. x=4−2t, y=t이며 t는 임의의 실수입니다.
풀이. 둘째 식은 첫째 식의 세 배이므로 새로운 정보가 없습니다. 조건은 x+2y=4 하나뿐이고, 이것은 좌표평면에서 직선 하나입니다. 직선 위의 점은 무수히 많으므로 해도 무수히 많습니다. 한 미지수를 자유롭게 두고 나머지를 그것으로 표현하면 전체를 빠짐없이 적을 수 있습니다. y=t로 두면 x=4−2t입니다.
남는 것. 해가 무수히 많을 때 "무수히 많다"고만 답하면 절반만 답한 것입니다. 어떤 모양으로 무수히 많은지, 즉 자유롭게 정할 수 있는 미지수가 몇 개인지를 밝혀야 합니다. 그 개수를 자유도라 하고, 74강에서 해공간의 차원으로 정식화합니다.
심화 5. (대칭성의 활용) ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+y+z=6xy+yz+zx=11xyz=6을 만족하는 세 수를 구하세요.
답. 1, 2, 3입니다.
풀이. 세 조건은 각각 세 수의 기본대칭식입니다. 세 수를 근으로 갖는 삼차방정식은 t3−(x+y+z)t2+(xy+yz+zx)t−xyz=0이므로 t3−6t2+11t−6=0입니다. 3강 문제 12에서 이 식을 (t−1)(t−2)(t−3)으로 인수분해했으므로 세 수는 1,2,3입니다.
남는 것. 미지수가 셋인 연립을 소거로 풀면 계산이 길지만, 대칭식임을 알아보면 삼차방정식 하나로 끝납니다. 근과 계수의 관계가 삼차 이상으로 확장된다는 사실이 열쇠이며, 이 확장을 비에트의 정리라고 합니다.
심화 6. (잘못된 소거) 연립방정식 {xy=6xz=6에서 두 식을 나누어 y=z라고 결론 내리는 것이 왜 위험한지 설명하세요.
답. x=0인 경우를 배제하지 못하기 때문이며, 실제로 이 연립에서는 x=0이 불가능하므로 결론 자체는 맞지만 논증이 불완전합니다.
풀이. 두 식을 나누려면 분모가 0이 아니어야 합니다. 즉 xz=0이라는 확인이 먼저입니다. 이 문제에서는 xy=6=0이므로 x=0이고 y=0이며, 마찬가지로 z=0이므로 나누는 조작이 정당합니다. 따라서 결론 y=z는 맞습니다. 그러나 조건이 조금만 달라 {xy=0xz=0이면 x=0일 때 y와 z가 무엇이든 성립하므로 y=z라고 말할 수 없습니다. 나누기 전에 0 여부를 확인하지 않으면 이런 경우를 통째로 놓칩니다.
남는 것. 미지수가 든 식으로 나누는 조작은 그 식이 0이 아님을 보인 뒤에만 허용됩니다. 1강 문제 5, 5강 문제 1에서 반복해 나온 규칙이 연립방정식에서도 그대로 적용됩니다. 나누고 싶어질 때마다 "이것이 0일 수 있는가"를 먼저 묻는 습관이 필요합니다.
연립방정식의 해는 np.linalg.solve로 확인합니다. 계수행렬과 상수벡터를 넘기면 됩니다.
import numpy as np
# 문제 9: 5x + 2y = 16, 3x + 4y = 18
A = np.array([[5.0, 2.0], [3.0, 4.0]])
b = np.array([16.0, 18.0])
print(np.linalg.solve(A, b)) # [2. 3.]
# 문제 11: 미지수 셋
A = np.array([[1.0, 1.0, 1.0], [1.0, -1.0, 1.0], [1.0, 1.0, -1.0]])
b = np.array([9.0, 5.0, 1.0])
print(np.linalg.solve(A, b)) # [3. 2. 4.]
# 문제 8: 해가 없는 경우는 계수행렬의 행렬식이 0 입니다
A = np.array([[3.0, -1.0], [6.0, -2.0]])
print(round(np.linalg.det(A), 10)) # 0.0
# 문제 13: x - y = 2, x^2 + y^2 = 10 의 해 확인
for x, y in [(3.0, 1.0), (-1.0, -3.0)]:
print(x - y, x**2 + y**2) # 2.0 10.0 이 두 번
세 번째 검산에서 행렬식이 0이라는 것은 해가 하나로 정해지지 않는다는 뜻입니다. 해가 없는지 무수히 많은지는 행렬식만으로 갈리지 않으므로 상수항까지 봐야 하며, 문제 8에서는 상수항이 어긋나 해가 없습니다.
- 대입법과 가감법 중 어느 쪽을 고를지 판단하는 기준을 말할 수 있는가?
- {x+3y=72x−y=0을 푸시오.
- 두 직선이 평행할 때 연립방정식의 해가 어떻게 되는지 말할 수 있는가?
- {2x+ky=34x+6y=1이 해를 하나만 가질 k의 조건을 구하시오.
- {x+y=7xy=12를 푸시오.
- 합이 s, 곱이 p인 두 실수가 존재할 조건은 무엇인가?
- {y=x2+1y=x에 실수해가 있는지 판단하시오.
- 미지수가 든 식으로 나누기 전에 반드시 확인할 것은 무엇인가?
정답.
- 계수가 ±1인 미지수가 있으면 대입법이 편하고, 계수가 복잡하면 가감법이 편합니다.
- 둘째에서 y=2x이므로 첫째에 넣으면 7x=7이고 x=1, y=2입니다.
- 두 직선이 겹치지 않고 평행하면 해가 없습니다.
- 2×6−4×k=12−4k=0이므로 k=3입니다.
- t2−7t+12=0의 두 근이 3과 4이므로 (3,4)와 (4,3)입니다.
- s2≥4p입니다.
- x2−x+1=0이고 D=−3<0이므로 실수해가 없습니다.
- 그 식이 0이 될 수 있는지를 확인하고, 0인 경우를 따로 다뤄야 합니다.
| 기호 |
읽는 법 |
뜻 |
| \begin{cases}\ \end |
연립 |
여러 식을 동시에 만족한다는 표시 |
| s=x+y |
합 |
대칭식에서 쓰는 기본대칭식 |
| p=xy |
곱 |
대칭식에서 쓰는 기본대칭식 |
| a_{1}b_{2}-a_{2}b_ |
판정식 |
0이 아니면 해가 하나이며 70강에서 행렬식이라 부릅니다 |
| 자유도 |
자유도 |
해가 무수히 많을 때 자유롭게 정할 수 있는 미지수의 개수 |