방정식은 "정확히 얼마인가"를 묻고 부등식은 "어느 쪽이 더 큰가"를 묻습니다. 뒤로 갈수록 정확한 값보다 부등식이 더 많이 쓰입니다. 오차가 허용 범위 안에 있는지(146강), 손실이 상한 아래에 있는지(429강), 확률이 얼마 이상인지(135강)를 묻는 질문이 모두 부등식이기 때문입니다. 값을 정확히 모르더라도 부등식이면 결론을 낼 수 있다는 것이 이 도구의 힘입니다.
이 강의에서는 부등식을 다루는 규칙을 세우고, 1강에서 거리로 읽었던 절댓값을 부등식과 함께 씁니다. 그리고 증명에 쓰이는 기본 부등식 두 개를 유도합니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
문제. 을 푸세요. 그리고 푸는 과정에서 부등호의 방향이 바뀌는 지점이 어디인지 밝히세요.
생각의 실마리. 방정식과 같은 방법으로 정리해 봅니다. 다만 마지막에 의 계수로 나눌 때 그 계수의 부호를 확인해야 합니다. 음수를 곱하면 대소가 어떻게 되는지 구체적인 수로 먼저 시험합니다.
풀이. 양변에서 을 빼면 입니다. 이제 양변을 로 나눕니다. 여기서 부등호가 뒤집힙니다.
부등호가 뒤집히는 이유를 수로 확인합니다. 은 참이지만 양변에 을 곱하면 와 이 되고 입니다. 수직선에서 음수를 곱하는 것은 원점을 기준으로 좌우를 뒤집는 것이므로 순서가 반대가 됩니다.
검산합니다. 은 해에 속하고 원식에 넣으면 로 참입니다. 은 해가 아니고 넣으면 이 거짓이므로 맞습니다.
이 문제에서 배우는 것: 부등식의 기본 성질.
실수 에 대해 다음이 성립합니다.
| 조작 | 결과 | 조건 |
|---|---|---|
| 양변에 같은 수를 더하거나 뺌 | 조건 없음 | |
| 양변에 양수를 곱하거나 나눔 | ||
| 양변에 음수를 곱하거나 나눔 | 부등호가 뒤집힙니다 | |
| 양변이 양수일 때 역수 | 0\dfrac{1} | 부등호가 뒤집힙니다 |
| 양변이 음이 아닐 때 제곱 | 0\le a | 양변이 음이 아니어야 합니다 |
부등호가 뒤집히는 자리는 음수를 곱하거나 나눌 때와 양수끼리 역수를 취할 때 두 곳입니다. 이 두 곳을 놓치는 것이 부등식에서 가장 흔한 실수입니다.
특히 세 번째 줄 때문에 미지수가 든 식으로는 함부로 나눌 수 없습니다. 그 식의 부호를 모르면 부등호를 어느 쪽으로 둬야 할지 정할 수 없기 때문입니다. 이 문제는 문제 3에서 정면으로 다룹니다.
바로 확인.
확인 1-1. (기초) 를 푸세요.
답.
풀이. 이고 양수 으로 나누므로 부등호가 그대로입니다.
확인 1-2. (기초) 을 푸세요.
답.
풀이. 이고 양변에 를 곱하면 부등호가 뒤집혀 입니다.
확인 1-3. (표준) 일 때 과 의 대소를 비교하세요.
답.
풀이. 양변에 음수 을 곱하면 로 뒤집히고, 양변에 을 더하는 것은 방향을 바꾸지 않습니다.
문제. 연립부등식 의 해를 구하세요.
생각의 실마리. 두 조건을 동시에 만족해야 합니다. 각각을 따로 풀어 수직선에 그려 보고 겹치는 부분을 찾습니다.
풀이. 첫째 부등식에서 이므로 입니다. 둘째 부등식에서 입니다. 두 조건을 동시에 만족하는 범위는 겹치는 부분이므로
이며 구간으로는 입니다. 왼쪽 끝은 등호가 없어 포함하지 않고 오른쪽 끝은 포함합니다.
이 문제에서 배우는 것: 연립부등식과 구간의 교집합.
여러 부등식을 동시에 만족하는 값을 찾는 문제를 연립부등식이라 합니다. 절차는 다음과 같습니다.
"동시에"는 교집합이고 "또는"은 합집합입니다. 문제에 어느 쪽인지 명시되지 않았다면 연립으로 묶인 것은 교집합입니다.
꼴로 이어 쓴 부등식은 와 를 동시에 요구하는 연립부등식입니다. 이때 세 변에 같은 조작을 한꺼번에 할 수 있지만, 음수를 곱하면 두 부등호가 모두 뒤집힌다는 점을 잊지 않아야 합니다.
바로 확인.
확인 2-1. (기초) 의 해를 구간으로 쓰세요.
답.
풀이. 두 조건이 겹치는 범위입니다.
확인 2-2. (표준) 을 푸세요.
답.
풀이. 세 변에서 을 빼면 이고 양수 로 나누면 입니다.
확인 2-3. (표준) 의 해를 구하세요.
답. 해가 없습니다.
풀이. 첫째에서 이고 둘째에서 입니다. 두 구간이 겹치지 않으므로 동시에 만족하는 값이 없습니다.
문제. 부등식 을 푸세요.
생각의 실마리. 양변에 를 곱하고 싶어집니다. 그런데 의 부호를 모르면 부등호를 어느 쪽으로 둘지 정할 수 없습니다. 곱하지 않고 푸는 방법을 생각합니다. 분수가 양수가 되는 조건이 무엇인지 부호로 따져 봅니다.
풀이. 분수가 양수라는 것은 분자와 분모의 부호가 같다는 뜻입니다.
둘 다 양수이면 이고 이므로 입니다.
둘 다 음수이면 이고 이므로 입니다.
따라서 해는 또는 이며 구간으로는 입니다.
같은 답을 더 빨리 얻는 방법이 있습니다. 분수의 부호는 분자와 분모의 곱의 부호와 같으므로
이고 3강에서 익힌 곱의 부호로 읽으면 또는 입니다. 다만 분모가 이 되는 는 원래 식의 정의역 밖이므로, 등호가 붙은 문제에서는 반드시 제외해야 합니다.
이 문제에서 배우는 것: 분수부등식의 표준 절차.
분모에 미지수가 있는 부등식은 다음 절차로 풉니다.
3번이 성립하는 이유는 이고 이므로 부호가 와 같기 때문입니다. 이 변형 덕분에 부호를 모르는 식으로 나누는 위험을 피할 수 있습니다.
바로 확인.
확인 3-1. (기초) 의 해를 구하세요.
답.
풀이. 분자가 양수이므로 분모도 양수여야 합니다.
확인 3-2. (표준) 의 해를 구하세요.
답.
풀이. 이므로 인데, 분모가 이 되는 는 제외해야 하므로 입니다. 등호가 있을 때 분모 조건을 확인하지 않으면 정의되지 않는 점을 답에 넣게 됩니다.
확인 3-3. (표준) 의 해를 구하세요.
답. 또는
풀이. 이항하면 이고 통분하면 입니다. 곱으로 바꾸면 , 즉 이므로 또는 입니다. 양변에 를 곱해 라고만 답하면 가 음수인 경우를 통째로 놓칩니다.
문제. 부등식 의 해를 구하세요.
생각의 실마리. 1강에서 절댓값을 거리로 읽었습니다. 이 식은 두 점에서의 거리 합이므로, 1강 심화 5에서 등식으로 풀었던 문제의 부등식 판입니다. 거리 합이 어느 구간에서 어떻게 변하는지 먼저 정리합니다.
풀이. 이 식은 점 에서 점 까지의 거리와 점 까지의 거리의 합입니다. 두 점 사이 거리는 입니다.
가 두 점 사이()에 있으면 합은 항상 이고, 이는 이하이므로 전부 해입니다.
가 오른쪽 바깥에 있으면 한 걸음 나갈 때마다 합이 씩 늘어납니다. 까지 허용되므로 오른쪽으로 까지 갈 수 있고 입니다.
왼쪽도 마찬가지로 입니다.
따라서 해는 입니다. 검산으로 에서 이고 에서 로 경계가 맞습니다. 에서는 이라 해가 아닙니다.
이 문제에서 배우는 것: 절댓값 부등식의 세 가지 길.
절댓값이 든 부등식을 푸는 방법은 세 가지이고, 상황에 따라 고릅니다.
첫째, 거리로 읽기. 절댓값이 하나이거나 거리 합의 구조가 보이면 가장 빠릅니다.
둘째, 구간을 나누어 절댓값 벗기기. 절댓값이 여럿이면 각각이 부호를 바꾸는 지점으로 수직선을 나눕니다. 이 문제에서는 와 이 경계이므로 , , 의 세 구간에서 각각 절댓값을 벗겨 풉니다. 그리고 각 구간에서 얻은 해를 그 구간과 겹쳐야 합니다. 구간을 벗어난 값은 그 구간의 계산으로 얻었더라도 해가 아니기 때문입니다.
셋째, 제곱하기. 양변이 모두 음이 아닐 때만 쓸 수 있습니다. 이므로 절댓값이 양쪽에 하나씩 있을 때 편합니다.
바로 확인.
확인 4-1. (기초) 을 푸세요.
답.
풀이. 에서 거리가 미만이므로 입니다.
확인 4-2. (표준) 를 푸세요.
답. 또는
풀이. 에서 이고 에서 입니다.
확인 4-3. (표준) 를 푸세요.
답.
풀이. 양변이 음이 아니므로 제곱합니다. 에서 이므로 입니다. 거리로 읽으면 점 가 에 더 가깝다는 뜻이고, 두 점의 중점 의 오른쪽이 답입니다.
문제. 일 때 의 최솟값을 구하세요.
생각의 실마리. 가 작으면 둘째 항이 커지고 가 크면 첫째 항이 커집니다. 어딘가 균형점이 있을 것 같습니다. 두 항의 곱이 와 무관하게 일정하다는 점에 주목합니다. 그리고 어떤 값이 항상 이상인지를 이용해 부등식을 만들어 봅니다.
풀이. 두 양수 에 대해 입니다. 전개하면 이므로
이고 등호는 , 즉 일 때 성립합니다.
, 로 두면 곱이 로 일정합니다.
등호는 일 때, 즉 이고 이므로 일 때입니다. 따라서 최솟값은 이며 에서 얻습니다. 검산으로 에서 이고 에서 , 에서 로 모두 보다 큽니다.
이 문제에서 배우는 것: 산술평균과 기하평균의 관계.
양수 에 대해 다음이 성립합니다.
왼쪽을 산술평균, 오른쪽을 기하평균이라 하고 이 관계를 줄여서 산술기하평균 부등식이라 부릅니다. 쓰는 방법은 두 가지입니다.
쓸 때 반드시 확인할 것이 두 가지 있습니다. 첫째, 두 수가 모두 양수여야 합니다. 음수가 섞이면 성립하지 않습니다. 둘째, 등호가 실제로 성립하는 값이 정의역 안에 있어야 합니다. 등호 조건을 만족하는 값이 범위 밖이면 그 값은 최솟값이 아니며, 이때는 다른 방법을 써야 합니다.
7강 심화 3에서 본 가 바로 이 부등식의 다른 표현입니다. 합이 이고 곱이 인 두 실수가 존재할 조건이 곧 산술평균이 기하평균 이상이라는 조건입니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) 일 때 의 최솟값을 구하세요.
답.
풀이. 곱이 로 일정하므로 최솟값은 이고 에서 얻습니다.
확인 5-2. (표준) , 이고 일 때 의 최댓값을 구하세요.
답.
풀이. 이고 등호는 일 때입니다.
확인 5-3. (표준) 일 때 의 최솟값을 구하세요.
답.
풀이. 곱이 일정해지도록 식을 고칩니다. 입니다. 이므로 이고 앞 두 항의 곱이 로 일정하므로 합은 이상입니다. 따라서 전체는 이상이고, 등호는 , 즉 일 때입니다. 이 값은 을 만족하므로 최솟값이 실제로 입니다.
| 상황 | 도구 | 요령 |
|---|---|---|
| 일차부등식 | 이항과 나누기 | 음수로 나누면 부등호를 뒤집습니다 |
| 조건이 여러 개 | 구간의 교집합 | 수직선에 겹쳐 그리고 공통 부분을 찾습니다 |
| 꼴 | 세 변 동시 조작 | 음수를 곱하면 두 부등호가 모두 뒤집힙니다 |
| 이차부등식 | 인수분해와 그래프 | 6강의 판별식과 볼록 방향을 함께 봅니다 |
| 분모에 미지수 | 곱의 부등식으로 | 이며 분모의 을 제외합니다 |
| 절댓값 하나 | 거리로 읽기 | |
| 절댓값 둘 이상 | 구간 나누기 | 각 구간의 해를 그 구간과 겹칩니다 |
| 양변에 절댓값 | 제곱하기 | 양변이 음이 아닐 때만 허용됩니다 |
| 곱이 일정한 두 양수의 합 | 산술기하평균 | 합은 이상이며 등호는 두 수가 같을 때입니다 |
| 부등식 증명 | 차의 부호 | 좌변에서 우변을 빼고 제곱꼴로 만듭니다 |
핵심 습관은 이렇습니다. 나누기 전에 부호를 묻고, 절댓값을 보면 먼저 거리로 읽고, 산술기하평균을 쓸 때는 양수 조건과 등호 성립 여부를 함께 확인합니다.
문제 6. (기초) 을 푸세요.
답.
풀이. 이고 양수 로 나누므로 방향이 그대로입니다.
문제 7. (기초) 를 푸세요.
답.
풀이. 음수 로 나누므로 부등호가 뒤집힙니다.
문제 8. (기초) 의 해를 구간으로 쓰세요.
답.
풀이. 두 조건이 겹치는 범위입니다.
문제 9. (표준) 을 푸세요.
답.
풀이. 세 변에 을 더하면 이고 으로 나누면 입니다.
문제 10. (표준) 의 해를 구간으로 쓰세요.
답.
풀이. 이고 아래로 볼록하므로 두 근 사이입니다.
문제 11. (표준) 의 해를 구하세요.
답. 또는
풀이. 이므로 또는 인데, 분모가 이 되는 을 제외하면 또는 입니다.
문제 12. (표준) 을 푸세요.
답.
풀이. 에서 이므로 입니다.
문제 13. (표준) 를 푸세요.
답.
풀이. 이면 오른쪽이 음수이고 왼쪽은 이상이므로 항상 참입니다. 이면 양변이 음이 아니므로 제곱해 , 즉 이고 에서 입니다. 과 겹치면 입니다. 두 경우를 합치면 입니다.
문제 14. (표준) 일 때 의 최솟값을 구하세요.
답.
풀이. 두 항의 곱이 로 일정하므로 합은 이상입니다. 등호는 일 때, 즉 일 때이며 이 값은 을 만족합니다.
문제 15. (표준) 모든 실수 에 대해 이 성립하도록 의 범위를 구하세요.
답.
풀이. 최고차 계수가 양수이므로 이면 됩니다.
문제 16. (심화) 의 해를 구하세요.
답. 또는
풀이. 두 점 와 까지의 거리 합이며 두 점 사이 거리는 입니다. 사이에서는 합이 항상 이라 조건을 만족하지 못합니다. 바깥에서는 한 걸음마다 씩 늘어나고 만큼 더 필요하므로 양 끝에서 씩 벗어나야 합니다. 오른쪽은 이고 왼쪽은 입니다.
문제 17. (심화) , 일 때 임을 보이세요.
답. 각 괄호에 산술기하평균을 적용해 곱하면 됩니다.
풀이. 이고 입니다. 두 부등식의 양변이 모두 양수이므로 곱해도 방향이 유지되어 입니다. 등호는 두 부등식 모두에서 일 때 성립합니다. 전개해서 확인해도 됩니다. 좌변은 이고 이므로 전체가 이상입니다.
문제 18. (심화) 인 실수 에 대해 의 최댓값을 구하세요.
답.
풀이. 입니다. 한편 에서 이므로 이고 입니다. 등호는 일 때이며 과 합치면 입니다. 이때 로 맞습니다.
드릴에서는 부등식을 풀어 범위를 구했습니다. 이 절에서는 부등식을 증명하는 표준 절차를 익히고, 산술기하평균이 어디까지 확장되는지 확인합니다. 마지막 문항은 부등식에서 가장 자주 나오는 잘못된 조작을 반례로 잡아냅니다.
심화 1. (차의 부호) 모든 실수 에 대해 임을 보이고, 등호 조건을 구하세요. 이어서 를 보이세요.
답. 차가 제곱꼴이므로 성립하며 등호는 , 그리고 세 문자에서는 일 때입니다.
풀이. 좌변에서 우변을 빼면 입니다. 실수의 제곱은 음이 아니므로 부등식이 성립하고, 등호는 , 즉 일 때입니다. 세 문자에서는 차를 두 배 해서 다루면 편합니다. 입니다. 따라서 원래 부등식이 성립하고, 등호는 세 제곱이 모두 일 때, 즉 일 때입니다.
남는 것. 부등식 증명의 표준 절차는 "좌변에서 우변을 빼고 그 차를 제곱들의 합으로 만드는 것"입니다. 제곱꼴로 정리되면 증명이 끝나고 등호 조건도 함께 나옵니다. 이 수법은 110강에서 이차형식이 항상 양수인지 판정할 때 그대로 확장됩니다.
심화 2. (산술기하평균 유도와 확장) 에서 를 유도하고, 이 부등식이 세 수로 확장될 때의 형태를 쓰세요.
답. 에서 나오며, 세 수에서는 입니다.
풀이. 이므로 와 가 실수이고 입니다. 전개하면 이므로 이고 양변을 로 나누면 원하는 부등식입니다. 등호는 , 즉 일 때입니다. 세 양수로 넓히면 산술평균이 세 수의 평균이고 기하평균이 세제곱근이 되어 이며 등호는 일 때입니다. 일반적으로 개의 양수에서도 같은 형태가 성립합니다.
남는 것. 두 수의 경우는 제곱 하나로 끝나지만 세 수 이상은 같은 방식으로 곧장 나오지 않습니다. 그래도 결론의 모양은 그대로이고, 등호가 모든 수가 같을 때만 성립한다는 점도 같습니다. 이 부등식은 147강의 몬테카를로 오차 분석과 429강의 자원 배분에서 최적점을 잡을 때 쓰입니다.
심화 3. (등호 조건의 함정) 일 때 의 최솟값을 구하세요.
답. 이며 에서 얻습니다.
풀이. 산술기하평균을 그대로 쓰면 이고 등호는 일 때입니다. 그런데 은 주어진 범위 밖이므로 는 이 범위에서 실제로 도달할 수 없는 값이며 최솟값이 아닙니다. 범위 안에서 이 함수가 어떻게 변하는지 봐야 합니다. 인 두 값에서 차를 계산하면 입니다. 이므로 둘째 괄호가 양수이고 전체가 양수입니다. 즉 이 함수는 에서 증가하므로 왼쪽 끝 에서 최소이고 그 값은 입니다.
남는 것. 산술기하평균은 하한을 주지만 그 하한이 항상 최솟값인 것은 아닙니다. 등호를 만드는 값이 정의역 안에 있는지 반드시 확인해야 하며, 밖에 있으면 다른 방법으로 다시 구해야 합니다. 이 확인을 빠뜨리는 것이 이 부등식을 쓸 때 가장 흔한 잘못입니다.
심화 4. (구간 나누기의 근거) 을 구간을 나누는 방법으로 풀고, 각 구간에서 얻은 해를 그 구간과 겹쳐야 하는 이유를 설명하세요.
답. 해는 이며, 각 구간의 계산은 그 구간 안에서만 유효하기 때문입니다.
풀이. 절댓값이 부호를 바꾸는 지점은 과 이므로 세 구간으로 나눕니다. 에서는 두 절댓값이 모두 음수를 뒤집으므로 이고 에서 입니다. 이 구간과 겹치면 입니다. 에서는 이므로 이 구간 전체가 해입니다. 에서는 이고 에서 이므로 겹치면 입니다. 세 결과를 합치면 입니다. 각 구간의 계산은 그 구간에서 절댓값을 어떻게 벗겼는지에 의존합니다. 예를 들어 첫 구간의 계산은 을 전제로 절댓값을 벗긴 것이므로, 거기서 나온 중 인 부분은 전제를 어겨 무효입니다.
남는 것. 구간을 나누는 방법은 절댓값이 몇 개든 통하는 일반적인 방법이지만, 각 구간의 결과를 그 구간과 겹치는 단계를 빠뜨리면 없는 해가 들어옵니다. 거리로 읽는 방법이 통할 때는 그쪽이 훨씬 짧으므로 먼저 시도하고, 구조가 보이지 않을 때 구간 나누기로 갑니다.
심화 5. (부등식으로 값 가두기) 이고 일 때 와 가 가질 수 있는 값의 범위를 각각 구하세요.
답. 이고 입니다.
풀이. 뺄셈은 부호를 뒤집어 더하는 것이므로 의 범위를 먼저 구합니다. 에 을 곱하면 부등호가 뒤집혀 입니다. 이제 두 범위를 더하면 이므로 입니다. 곱은 부호가 섞여 있어 더 조심해야 합니다. 양 끝값의 조합 네 가지를 모두 계산하면 , , , 입니다. 가 양수 범위에 있으므로 곱은 에 대해 단조롭게 변하고, 최솟값과 최댓값은 이 네 값 중에 있습니다. 따라서 입니다.
남는 것. 덧셈과 뺄셈은 양 끝을 그대로 더하면 되지만, 곱셈은 부호가 섞이면 양 끝의 조합을 모두 확인해야 합니다. 이렇게 값을 모르는 채로 범위만 좁혀 가는 계산을 구간 연산이라 하며, 수치해석에서 오차의 상한을 추적할 때 쓰는 방식과 같습니다.
심화 6. (잘못된 조작 잡기) 다음 풀이의 잘못을 찾아 바로잡으세요. "부등식 의 양변에 를 곱하면 이므로 이다."
답. 의 부호를 확인하지 않은 것이 잘못이며, 올바른 해는 또는 입니다.
풀이. 양변에 를 곱할 때 이면 부등호가 그대로이지만 이면 뒤집힙니다. 부호를 모르는 채로 곱했으므로 인 경우가 통째로 빠졌습니다. 실제로 을 원식에 넣으면 로 참인데, 잘못된 답 은 이 값을 포함하지 않습니다. 문제 3의 절차로 다시 풉니다. 이항하면 이고 통분하면 입니다. 곱으로 바꾸면 , 즉 이므로 또는 입니다.
남는 것. 부등식에서 미지수가 든 식을 곱하거나 나누는 조작은 그 식의 부호를 확정한 뒤에만 허용됩니다. 확정할 수 없으면 곱하지 말고 한쪽으로 몰아 분수의 부호를 따지는 쪽으로 갑니다. 5강 문제 1, 7강 심화 6에서 반복된 규칙이 부등식에서는 해를 잃는 형태로 나타납니다.
부등식의 해는 촘촘한 격자에서 조건을 만족하는 점의 양 끝을 보면 확인할 수 있습니다. 경계값 자체는 손계산으로만 정확히 나옵니다.
import numpy as np
# 문제 12: |3x-2| < 7 의 해가 -5/3 < x < 3 인지 확인
x = np.linspace(-4, 4, 8001) # 눈금 간격 0.001
ok = np.abs(3*x - 2) < 7
print(round(x[ok].min(), 3), round(x[ok].max(), 3)) # -1.666 2.999
# 문제 16: |x-2| + |x+1| >= 5 의 해가 x<=-2 또는 x>=3 인지 확인
x = np.linspace(-6, 6, 12001)
ok = np.abs(x - 2) + np.abs(x + 1) >= 5
print(round(x[ok & (x < 0)].max(), 3), round(x[ok & (x > 0)].min(), 3)) # -2.0 3.0
# 문제 14: 4x + 1/x 의 최솟값이 4 이고 x=1/2 에서 나오는지 확인
x = np.linspace(0.01, 3, 30000)
v = 4*x + 1/x
print(round(v.min(), 6), round(x[v.argmin()], 4)) # 4.0 0.5
# 심화 6: 1/x < 2 에서 음수 해가 실제로 존재하는지 확인
print(1 / -1.0 < 2) # True
첫 검산의 왼쪽 경계가 으로 찍히는 것은 이 격자 위에 정확히 놓이지 않기 때문입니다. 마지막 출력이 True라는 것은 심화 6의 잘못된 답이 실제 해를 빠뜨렸다는 증거입니다.
정답.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 작거나 같다, 크거나 같다 | 등호를 포함하는 부등호 | |
| 이어 쓴 부등식 | 와 를 동시에 요구합니다 | |
| 합집합 | 두 구간을 모두 모은 것이며 "또는"에 해당합니다 | |
| 교집합 | 두 구간이 겹치는 부분이며 "동시에"에 해당합니다 | |
| \dfrac{a+b} | 산술평균 | 두 수를 더해 반으로 나눈 값 |
| \sqrt | 기하평균 | 두 양수의 곱의 제곱근 |