이 문제집은 03단원 네 강의(함수의 개념과 그래프, 다항함수와 유리함수, 합성함수와 역함수, 그래프의 평행이동과 대칭)의 종합 훈련용입니다. 본문 예제보다 한 단계 어렵게 구성했으며, 각 문제는 세 줄(문제, 답, 풀이)로 되어 있습니다. 풀이는 중간 계산식을 모두 드러내고 결과는 검산까지 포함합니다.
풀 때는 답을 가리고 먼저 스스로 세운 뒤 풀이와 대조하기를 권합니다. 난이도는 기초, 표준, 심화로 표시했습니다. 함수가 나오면 식과 정의역을 한 쌍으로 적는 습관을 들입니다.
문제 1. (기초) f(x)=2x2−x일 때 f(0), f(2), f(−1)을 구하세요. 답.0, 6, 3 풀이. 차례로 0−0=0, 8−2=6, 2+1=3입니다.
문제 2. (기초) f(x)=x2−4x+3x+1의 정의역을 구하세요. 답.x=1이고 x=3인 실수입니다. 풀이. 분모는 (x−1)(x−3)이므로 두 값을 뺍니다.
문제 3. (표준) f(x)=6−2x의 정의역과 치역을 구하세요. 답. 정의역은 x≤3이고 치역은 y≥0입니다. 풀이.6−2x≥0에서 x≤3입니다. 근호 안이 0부터 끝없이 커질 수 있으므로 값은 0 이상 전부입니다.
문제 4. (표준) f(x)=−x2+4x+1의 정의역이 모든 실수일 때 치역을 구하세요. 답.y≤5 풀이. 표준형은 −(x−2)2+5이고 위로 볼록하므로 최댓값이 5입니다.
문제 5. (표준) f(x)=x2−4x의 정의역이 [1,5]일 때 치역을 구하세요. 답.[−4,5] 풀이. 표준형은 (x−2)2−4이고 축 x=2가 구간 안이므로 최솟값은 −4입니다. 양 끝은 f(1)=−3과 f(5)=5이므로 최댓값은 5입니다.
문제 6. (표준) f(x)=x+34x−1의 치역을 구하세요. 답.y=4인 실수입니다. 풀이.y(x+3)=4x−1에서 (y−4)x=−1−3y입니다. y=4이면 x가 정해지고 y=4이면 0⋅x=−13이라 그런 x가 없습니다.
문제 7. (표준) f(x)=x3+2x가 일대일임을 보이세요. 답.f(a)=f(b)에서 a=b가 나옵니다. 풀이.a3+2a=b3+2b이면 a3−b3+2(a−b)=0이고 (a−b)(a2+ab+b2+2)=0입니다. 둘째 인수는 (a+2b)2+43b2+2이므로 언제나 2 이상이라 0이 될 수 없습니다. 따라서 a=b입니다.
문제 8. (심화) f(2x+3)=6x−1일 때 f(x)를 구하세요. 답.f(x)=3x−10 풀이.t=2x+3으로 두면 x=2t−3이고 오른쪽은 6×2t−3−1=3t−9−1=3t−10입니다. 검산하면 f(2x+3)=3(2x+3)−10=6x−1로 맞습니다.
문제 9. (심화) 모든 실수 x에 대해 2f(x)+f(−x)=6x+9일 때 f(x)를 구하세요. 답.f(x)=6x+3 풀이.x 자리에 −x를 넣으면 2f(−x)+f(x)=−6x+9입니다. 첫 식에 2를 곱한 4f(x)+2f(−x)=12x+18에서 둘째 식을 빼면 3f(x)=18x+9이므로 f(x)=6x+3입니다. 검산하면 2(6x+3)+(−6x+3)=6x+9로 맞습니다.
문제 10. (심화) f(x)=x2+4x2의 치역을 구하세요. 정의역은 모든 실수입니다. 답.0≤y<1 풀이.f(x)=1−x2+44로 고칩니다. x2+4≥4이므로 x2+44는 0보다 크고 1 이하입니다. 따라서 f(x)는 0 이상 1 미만이며, x=0에서 0에 도달하고 ∣x∣가 커지면 1에 가까워지되 닿지 않습니다.
문제 17. (표준) f(x)=x+1x2+3x−1의 사선점근선을 구하세요. 답.y=x+2 풀이. 조립제법으로 계수 1,3,−1에 a=−1을 적용하면 1,2,−3이므로 몫이 x+2이고 나머지가 −3입니다. 즉 f(x)=x+2−x+13이며 마지막 항이 0으로 갑니다.
문제 18. (심화) f(x)=x3−x2−6x가 x축 위쪽에 있는 구간을 구하세요. 답.−2<x<0 또는 x>3 풀이. 인수분해하면 x(x2−x−6)=x(x−3)(x+2)입니다. 부호가 바뀌는 지점은 −2,0,3이고 가장 오른쪽에서 세 인수가 모두 양수이므로 양수입니다. 왼쪽으로 넘을 때마다 부호가 뒤집힙니다.
문제 19. (심화) f(x)=x−12x+k의 그래프가 점 (3,5)를 지나도록 k를 정하고 점근선을 구하세요. 답.k=4이며 점근선은 x=1과 y=2입니다. 풀이.f(3)=26+k=5이므로 6+k=10이고 k=4입니다. 2x+4=2(x−1)+6이므로 f(x)=x−16+2입니다.
문제 20. (심화) f(x)=x−3x2−9과 g(x)=x+3이 다른 함수인 이유를 설명하세요. 답. 정의역이 다르기 때문입니다. 풀이.f는 분모가 0이 되는 x=3에서 값이 없으므로 정의역이 x=3입니다. g는 실수 전체에서 값을 가집니다. 두 함수의 값은 x=3인 곳에서 모두 같지만 정의역이 다르므로 같은 함수가 아닙니다. 그래프로 보면 f의 그래프는 직선 y=x+3에서 점 (3,6)이 빠진 모양입니다.
문제 26. (표준) f(x)=4x−7일 때 f−1(9)를 역함수를 구하지 않고 계산하세요. 답.4 풀이.4x−7=9에서 x=4입니다.
문제 27. (표준) f(x)=2x, g(x)=x−5일 때 (f∘g)−1(x)를 구하세요. 답.2x+5 풀이.(f∘g)(x)=2(x−5)=2x−10이므로 역함수는 2x+10=2x+5입니다. 순서 뒤집힘으로 g−1(f−1(x))=2x+5로도 같습니다.
문제 28. (심화) f(x)=1−x1일 때 (f∘f∘f)(x)를 구하세요. 답.x 풀이.f(f(x))=1−1−x11입니다. 분모를 통분하면 1−x(1−x)−1=1−x−x이므로 전체는 −x1−x=xx−1입니다. 한 번 더 합성하면 f(xx−1)=1−xx−11=xx−(x−1)1=x11=x입니다. 주기가 3인 함수입니다.
문제 29. (심화) f(x)=ax+b이고 (f∘f)(x)=9x−4일 때 a와 b를 구하세요. 답.a=3, b=−1 또는 a=−3, b=2 풀이.(f∘f)(x)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b입니다. 계수를 비교하면 a2=9이므로 a=±3이고 b(a+1)=−4입니다. a=3이면 4b=−4에서 b=−1이고, a=−3이면 −2b=−4에서 b=2입니다. 두 경우 모두 검산하면 3(3x−1)−1=9x−4이고 −3(−3x+2)+2=9x−4로 맞습니다.
문제 30. (심화) f(x)=x2−4x+7(x≥2)과 그 역함수의 그래프가 만나는 점을 구하세요. 답. 만나지 않습니다. 풀이. 표준형은 (x−2)2+3이고 정의역이 축의 오른쪽이라 증가함수이므로 교점은 직선 y=x 위에만 생깁니다. f(x)=x를 풀면 x2−5x+7=0이고 판별식이 25−28=−3<0이라 실근이 없습니다. 실제로 f(x)−x=x2−5x+7=(x−25)2+43>0이므로 그래프가 직선 y=x보다 항상 위에 있습니다.
문제 36. (표준) y=∣x2−4∣의 최댓값을 −3≤x≤3에서 구하세요. 답.5 풀이.x2−4는 이 구간에서 최소 −4(에서 x=0), 최대 5(에서 x=±3)입니다. 절댓값을 씌우면 후보가 4와 5이므로 최댓값은 5입니다.
문제 37. (표준) y=f(x)에서 y=f(6−x)를 얻는 변환을 순서대로 말하세요. 답.y축에 대해 대칭이동한 뒤 오른쪽으로 6만큼 옮깁니다. 풀이.6−x=−(x−6)이므로 표준 꼴에서 b=−1이고 p=6입니다.
문제 38. (심화) f가 우함수이고 g가 기함수일 때 f⋅g가 기함수임을 보이세요. 답. 곱의 부호가 한쪽에서만 바뀌기 때문입니다. 풀이.(f⋅g)(−x)=f(−x)g(−x)=f(x)⋅(−g(x))=−f(x)g(x)=−(f⋅g)(x)입니다. 따라서 기함수입니다. 예로 f(x)=x2과 g(x)=x의 곱은 x3으로 기함수입니다.
문제 39. (심화) f(x)=x2+6x+11의 그래프가 어떤 세로선에 대해 대칭인지 f(p+x)=f(p−x) 조건으로 구하세요. 답. 직선 x=−3입니다. 풀이.f(p+x)=p2+2px+x2+6p+6x+11이고 f(p−x)=p2−2px+x2+6p−6x+11입니다. 모든 x에서 같으려면 x의 계수가 같아야 하므로 2p+6=−2p−6이고 4p=−12에서 p=−3입니다. 표준형 (x+3)2+2의 축과 맞습니다.
문제 40. (심화) y=x2−2x+3을 원점에 대해 대칭이동한 뒤 위로 6만큼 옮긴 그래프의 꼭짓점을 구하세요. 답.(−1,4) 풀이. 원점 대칭은 y=−f(−x)입니다. f(−x)=x2+2x+3이므로 −f(−x)=−x2−2x−3이고, 위로 6을 더하면 y=−x2−2x+3입니다. 표준형으로 고치면 −(x2+2x)+3=−(x+1)2+1+3=−(x+1)2+4이므로 꼭짓점은 (−1,4)입니다.
문제 41. (심화) y=∣x∣와 y=∣x−2∣의 그래프가 만나는 점을 구하세요. 답.(1,1) 풀이.∣x∣=∣x−2∣는 점 x가 0과 2에서 같은 거리에 있다는 뜻이므로 중점인 x=1입니다. 이때 y=1입니다.
문제 43. (심화) y=f(x)의 그래프를 직선 x=a에 대해 대칭이동한 그래프의 식을 구하세요. 답.y=f(2a−x) 풀이. 대칭이동 뒤의 점을 (X,Y)라 하면 대칭이동 전의 점은 x좌표만 a를 기준으로 반사된 (2a−X,Y)입니다. 이 점이 원래 식을 만족하므로 Y=f(2a−X)입니다. a=0이면 y=f(−x)로 y축 대칭과 일치합니다.
문제 44. (심화) y=∣f(x)∣의 그래프가 원래 그래프와 완전히 같아지는 조건을 말하세요. 답.f(x)가 정의역 전체에서 0 이상일 때입니다. 풀이. 절댓값은 음수인 값만 부호를 뒤집으므로, 뒤집을 값이 하나도 없으면 그래프가 그대로입니다. 즉 모든 x에서 f(x)≥0이어야 합니다. 예를 들어 f(x)=x2+1은 항상 양수라 ∣f(x)∣=f(x)입니다. 반대로 f(x)=x는 음수 구간이 있어 그래프가 달라집니다.