9강에서 함수를 정의했습니다. 이제 구체적인 함수들의 모양을 익힙니다. 이 강의에서 다루는 다항함수와 유리함수는 뒤에서 가장 자주 만나는 두 가족입니다. 다항함수는 매끄럽고 끊기지 않아 미적분의 표준 연습 대상이 되고, 유리함수는 분모가 0에 가까워지는 자리에서 값이 폭발해 극한과 점근 개념을 처음으로 요구합니다.
이 강의의 목표는 식을 보고 그래프의 개형을 그릴 수 있게 되는 것입니다. 정확한 곡선은 미분(34강) 없이는 그릴 수 없지만, 개형과 끝 모양, 점근선은 지금 도구만으로 충분히 읽어 낼 수 있습니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
- 일차함수의 기울기를 변화율로 읽고 두 점에서 식을 세울 수 있습니다.
- 다항함수의 차수와 최고차 계수로 끝 모양을 판정할 수 있습니다.
- 인수분해된 다항함수의 부호 변화를 읽어 개형을 그릴 수 있습니다.
- 유리함수의 점근선을 구하고 표준형으로 고칠 수 있습니다.
- 분모와 분자의 차수를 비교해 수평점근선을 판정할 수 있습니다.
문제. 일차함수 f(x)=3x−2에서 x가 1에서 4로 변할 때 f(x)가 얼마나 변하는지 구하고, 그 값을 x의 변화량으로 나눈 값이 무엇인지 말하세요.
생각의 실마리. 두 지점의 함숫값을 각각 구해 빼 봅니다. 그 차를 x의 차로 나눈 값이 식의 어느 부분과 같은지 확인합니다. 다른 두 지점을 골라도 같은 값이 나오는지도 시험합니다.
풀이. f(1)=1이고 f(4)=10이므로 변화량은 10−1=9입니다. x의 변화량은 4−1=3이므로
4−1f(4)−f(1)=39=3
입니다. 이 값은 식의 x 앞 계수와 같습니다. 다른 두 점 x=0과 x=2로 해도 2−04−(−2)=3으로 같습니다.
이 문제에서 배우는 것: 일차함수와 기울기.
f(x)=ax+b 꼴을 일차함수라 하고 그래프는 직선입니다. 임의의 두 점 (x1,y1), (x2,y2)에 대해
x2−x1y2−y1=a
이며 이 값을 기울기라 합니다. 기울기는 "x가 1만큼 늘 때 y가 얼마나 느는가"를 재는 변화율입니다. 일차함수에서는 이 값이 어디에서 재든 같고, 이 성질이 일차함수를 특징짓습니다. 34강에서 미분계수를 정의할 때 "곡선에서 이 값을 한 점에 국한해 잰 것"으로 확장합니다.
직선의 식을 세우는 방법은 두 가지입니다.
한 점 (x1,y1)과 기울기 a:y−y1=a(x−x1)
두 점:a=x2−x1y2−y1을 먼저 구하고 위 식에 넣습니다
b는 x=0에서의 값이므로 y절편입니다. a>0이면 오른쪽 위로 올라가고, a<0이면 내려가며, a=0이면 가로선이 되어 상수함수가 됩니다. 두 직선이 평행할 조건은 기울기가 같은 것이고, 수직일 조건은 기울기의 곱이 −1인 것입니다.
바로 확인.
확인 1-1. (기초) 두 점 (1,2)와 (3,8)을 지나는 직선의 식을 구하세요.
답. y=3x−1
풀이. 기울기는 3−18−2=3입니다. y−2=3(x−1)이므로 y=3x−1입니다.
확인 1-2. (기초) f(x)=−2x+5에서 x가 2만큼 늘 때 f(x)의 변화량을 구하세요.
답. −4
풀이. 기울기가 −2이므로 x가 1 늘 때 y가 2 줄고, 2 늘면 4 줍니다.
확인 1-3. (표준) 점 (2,1)을 지나고 직선 y=4x−3에 수직인 직선의 식을 구하세요.
답. y=−41x+23
풀이. 수직이므로 기울기의 곱이 −1이고 구하는 기울기는 −41입니다. y−1=−41(x−2)이므로 y=−41x+21+1입니다.
문제. f(x)=(x+1)(x−2)(x−4)의 그래프가 x축의 위쪽에 있는 구간과 아래쪽에 있는 구간을 각각 구하고 개형을 설명하세요.
생각의 실마리. 인수분해되어 있으므로 3강에서 익힌 곱의 부호 읽기를 그대로 쓸 수 있습니다. 부호가 바뀌는 지점을 수직선에 찍고 구간별로 세 인수의 부호를 세어 봅니다. 그리고 x가 아주 클 때와 아주 작을 때 어느 항이 결정적인지 봅니다.
풀이. 부호가 바뀌는 지점은 −1, 2, 4입니다. 가장 오른쪽 구간 x>4에서는 세 인수가 모두 양수이므로 곱이 양수입니다. 왼쪽으로 경계를 하나씩 넘을 때마다 인수 하나의 부호가 바뀌므로 곱의 부호도 한 번씩 뒤집힙니다.
| 구간 |
x+1 |
x−2 |
x−4 |
곱의 부호 |
| x<−1 |
− |
− |
− |
− |
| −1<x<2 |
+ |
− |
− |
+ |
| 2<x<4 |
+ |
+ |
− |
− |
| x>4 |
+ |
+ |
+ |
+ |
따라서 그래프는 −1<x<2와 x>4에서 x축 위쪽에 있고, x<−1과 2<x<4에서 아래쪽에 있습니다. 개형은 왼쪽 아래에서 올라와 x=−1에서 x축을 뚫고, x=2에서 다시 뚫고 내려갔다가, x=4에서 뚫고 올라가 오른쪽 위로 갑니다.
이 문제에서 배우는 것: 다항함수의 개형과 끝 모양.
f(x)=anxn+⋯+a0(an=0)을 n차 다항함수라 합니다. 그래프의 대략적인 모습은 두 가지만 알면 그려집니다.
첫째, 끝 모양입니다. ∣x∣가 아주 크면 최고차항이 나머지를 압도합니다. x=100일 때 x3=106이지만 100x=104로 백 배 차이가 나기 때문입니다. 그래서 양 끝의 방향은 차수의 홀짝과 최고차 계수의 부호로 정해집니다.
| 차수 |
an>0 |
an<0 |
| 짝수 |
양쪽 끝이 모두 위 |
양쪽 끝이 모두 아래 |
| 홀수 |
왼쪽 아래, 오른쪽 위 |
왼쪽 위, 오른쪽 아래 |
둘째, 부호가 바뀌는 지점입니다. 인수 (x−α)가 홀수 번 곱해져 있으면 그 점에서 그래프가 x축을 뚫고 지나가며 부호가 바뀝니다. 짝수 번 곱해져 있으면 닿기만 하고 되돌아와 부호가 바뀌지 않습니다. 예를 들어 y=(x−1)2(x−3)은 x=1에서 닿기만 하고 x=3에서 뚫습니다.
이 두 가지로 개형을 잡으면 봉우리와 골짜기의 정확한 위치만 모를 뿐 전체 모습은 맞습니다. 그 위치는 34강 이후 미분으로 구합니다.
바로 확인.
확인 2-1. (기초) f(x)=−x4+3x2−1의 양 끝 방향을 말하세요.
답. 양쪽 끝이 모두 아래로 갑니다.
풀이. 차수가 짝수이고 최고차 계수가 음수이므로 양쪽 끝이 아래입니다.
확인 2-2. (표준) f(x)=x(x−3)2이 x축과 만나는 점과 각 점에서 뚫는지 닿는지를 말하세요.
답. x=0에서 뚫고 x=3에서 닿습니다.
풀이. 인수 x는 한 번, (x−3)은 두 번 곱해져 있습니다. 홀수 번이면 뚫고 짝수 번이면 닿습니다.
확인 2-3. (표준) f(x)=(x+2)(x−1)이 음수가 되는 구간을 구하세요.
답. −2<x<1
풀이. 아래로 볼록한 이차함수이므로 두 근 사이에서 음수입니다.
문제. f(x)=x1에서 x가 0에 오른쪽으로 가까워질 때와 ∣x∣가 아주 커질 때 함숫값이 어떻게 되는지 표로 확인하고 그래프의 모양을 설명하세요.
생각의 실마리. 구체적인 값을 넣어 봅니다. x=0.1, 0.01, 0.001처럼 점점 작은 양수를 넣고, 다시 x=10, 100, 1000처럼 큰 값을 넣습니다. 두 방향에서 값이 어디로 향하는지 봅니다.
풀이. 값을 표로 정리합니다.
| x |
0.001 |
0.01 |
0.1 |
1 |
10 |
100 |
1000 |
| \dfrac{1} |
1000 |
100 |
10 |
1 |
0.1 |
0.01 |
0.001 |
x가 0에 오른쪽으로 가까워지면 값이 끝없이 커집니다. 왼쪽에서 가까워지면 부호가 반대이므로 끝없이 작아집니다. 반대로 ∣x∣가 커지면 값이 0에 가까워지지만 결코 0이 되지는 않습니다. 분자가 1이라 아무리 나눠도 0이 나오지 않기 때문입니다.
그래서 그래프는 y축에 바짝 붙어 위아래로 뻗고, x축에 바짝 붙어 좌우로 뻗습니다. 원점을 중심으로 1사분면과 3사분면에 한 가닥씩 놓인 두 갈래 곡선입니다.
이 문제에서 배우는 것: 유리함수와 점근선.
두 다항식의 비 f(x)=Q(x)P(x)를 유리함수라 합니다. 정의역은 4강에서 배운 대로 Q(x)=0인 값들입니다.
그래프가 어떤 직선에 한없이 가까워지되 닿지는 않을 때 그 직선을 점근선이라 합니다. 유리함수에서 점근선은 두 종류입니다.
- 수직점근선: 분모를 0으로 만드는 값 x=c에서 생깁니다. 다만 분자도 그 점에서 0이 되어 약분되면 점근선이 아니라 4강 심화 5에서 본 구멍이 됩니다.
- 수평점근선: ∣x∣가 커질 때 값이 어떤 수 L에 가까워지면 y=L이 수평점근선입니다.
y=x1은 수직점근선이 x=0이고 수평점근선이 y=0입니다.
여기서 "가까워지되 닿지 않는다"는 표현을 정확히 다루는 것이 33강의 극한입니다. 지금은 값을 계산해 확인하는 수준에서 씁니다.
바로 확인.
확인 3-1. (기초) f(x)=x−31의 수직점근선을 구하세요.
답. x=3
풀이. 분모가 0이 되는 값이며 분자는 0이 아니므로 약분되지 않습니다.
확인 3-2. (표준) f(x)=x−1x2−1에 수직점근선이 있는지 판정하세요.
답. 없습니다. x=1에는 구멍이 있습니다.
풀이. 분자가 (x+1)(x−1)이라 약분되어 x+1이 됩니다. x=1에서 값이 정의되지 않을 뿐 주변에서 폭발하지 않고 2에 가까워집니다.
확인 3-3. (표준) f(x)=x22의 수직점근선과 수평점근선을 구하세요.
답. 수직점근선은 x=0이고 수평점근선은 y=0입니다.
풀이. 분모가 0이 되는 곳은 x=0입니다. ∣x∣가 커지면 분모가 훨씬 빨리 커지므로 값이 0에 가까워집니다. 이번에는 좌우 어느 쪽에서 가까이 가도 값이 양수이므로 두 갈래가 모두 위로 뻗습니다.
문제. f(x)=x−12x+1을 x−pk+q 꼴로 고치고 점근선을 구하세요.
생각의 실마리. 분자를 분모로 나누어 보면 몫과 나머지가 나옵니다. 2강의 나눗셈 정리를 분자와 분모에 적용하면 어떤 모양이 되는지 확인합니다.
풀이. 분자를 분모로 나눕니다. 2x+1=2(x−1)+3이므로
f(x)=x−12(x−1)+3=2+x−13=x−13+2
입니다. 이것은 y=x3의 그래프를 오른쪽으로 1, 위로 2만큼 옮긴 것입니다. 따라서 수직점근선은 x=1이고 수평점근선은 y=2입니다.
9강 문제 12에서 이 함수의 치역이 y=3이라고 구한 것과 비교해 봅니다. 그 함수는 x+23x−1였고 수평점근선이 y=3이었습니다. 수평점근선의 높이가 치역에서 빠지는 값과 같습니다. 그 이유는 심화 3에서 확인합니다.
이 문제에서 배우는 것: 유리함수의 표준형.
분모와 분자가 모두 일차인 유리함수 f(x)=cx+dax+b(c=0, ad−bc=0)는 언제나 다음 꼴로 고칠 수 있습니다.
f(x)=x−pk+q
고치는 절차는 분자를 분모로 나누는 것입니다. 몫이 q가 되고 나머지를 분모로 나눈 것이 앞의 항이 됩니다.
이 꼴에서 그래프를 바로 읽습니다.
- 수직점근선은 x=p입니다. 분모가 0이 되는 곳입니다.
- 수평점근선은 y=q입니다. ∣x∣가 커지면 앞의 항이 0에 가까워지기 때문입니다.
- 그래프는 y=xk를 오른쪽으로 p, 위로 q만큼 옮긴 것입니다.
- k>0이면 1사분면과 3사분면 쪽 모양이고 k<0이면 2사분면과 4사분면 쪽 모양입니다.
- 두 점근선의 교점 (p,q)가 그래프의 대칭 중심입니다.
조건 ad−bc=0이 붙은 이유는 이 값이 0이면 분자가 분모의 상수배가 되어 약분되고 상수함수가 되기 때문입니다. 7강의 판정식과 같은 식이라는 점을 눈여겨봅니다.
바로 확인.
확인 4-1. (기초) f(x)=x+1x+3을 표준형으로 고치세요.
답. f(x)=x+12+1
풀이. x+3=(x+1)+2이므로 나누면 1+x+12입니다.
확인 4-2. (표준) f(x)=x−23x−4의 점근선과 대칭 중심을 구하세요.
답. 점근선은 x=2와 y=3이고 대칭 중심은 (2,3)입니다.
풀이. 3x−4=3(x−2)+2이므로 f(x)=x−22+3입니다.
확인 4-3. (표준) f(x)=x+22x+4의 그래프를 설명하세요.
답. x=−2에서 값이 항상 2인 상수함수이며 x=−2에 구멍이 있습니다.
풀이. 분자가 2(x+2)이므로 약분되어 2가 됩니다. 판정식이 2×2−4×1=0이라 표준형으로 고칠 수 없는 경우입니다.
문제. 다음 세 함수에서 ∣x∣가 아주 커질 때 값이 어떻게 되는지 각각 판정하세요.
(가) x2+32x+1 (나) 2x2+53x2−1 (다) \dfrac{x^{2}+1}
생각의 실마리. ∣x∣가 크면 각 다항식에서 최고차항이 나머지를 압도합니다. 분모와 분자를 각각 최고차항만 남긴 것으로 바꿔 비교해 봅니다.
풀이. 분모와 분자를 분모의 최고차항으로 나누어 봅니다.
(가) 분자와 분모를 x2으로 나누면 1+x23x2+x21입니다. ∣x∣가 커지면 분자의 두 항이 모두 0에 가까워지고 분모는 1에 가까워지므로 값이 0에 가까워집니다. 수평점근선은 y=0입니다.
(나) 같은 방식으로 나누면 2+x253−x21이므로 값이 23에 가까워집니다. 수평점근선은 y=23입니다.
(다) 분자의 차수가 더 높습니다. 나눗셈을 하면 x−1x2+1=x+1+x−12이므로 ∣x∣가 커지면 마지막 항이 0에 가까워지고 값이 직선 y=x+1에 가까워집니다. 수평점근선은 없고 대신 이 직선이 점근선 역할을 합니다.
이 문제에서 배우는 것: 차수 비교로 끝 모양 판정.
유리함수 Q(x)P(x)에서 ∣x∣가 커질 때의 모습은 두 다항식의 차수만 비교하면 정해집니다.
| 차수 관계 |
∣x∣가 클 때 |
점근선 |
| degP<degQ |
0에 가까워집니다 |
y=0 |
| degP=degQ |
최고차 계수의 비에 가까워집니다 |
y=(Q의 최고차 계수)(P의 최고차 계수) |
| degP=degQ+1 |
어떤 직선에 가까워집니다 |
나눗셈의 몫인 일차식 |
| degP>degQ+1 |
끝없이 커지거나 작아집니다 |
수평이나 기울어진 점근선이 없습니다 |
셋째 줄의 점근선을 사선점근선이라 하고, 분자를 분모로 나눈 몫이 그 직선입니다. 나머지를 분모로 나눈 항은 분모의 차수가 더 높아 0으로 가기 때문입니다.
이 판정법의 근거는 문제 2에서 본 "최고차항이 압도한다"는 사실 하나입니다. 그래서 분모와 분자를 분모의 최고차항으로 나누면 남는 항들이 모두 0으로 가고 최고차항끼리의 비만 남습니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) 3x2−x5x2+1의 수평점근선을 구하세요.
답. y=35
풀이. 차수가 같으므로 최고차 계수의 비입니다.
확인 5-2. (기초) x3−1x+2의 수평점근선을 구하세요.
답. y=0
풀이. 분자의 차수가 더 낮으므로 값이 0으로 갑니다.
확인 5-3. (표준) x+1x2−3x의 사선점근선을 구하세요.
답. y=x−4
풀이. 조립제법으로 나눕니다. 계수 1,−3,0에 a=−1을 적용하면 1,−4,4이므로 몫은 x−4이고 나머지는 4입니다. 즉 x+1x2−3x=x−4+x+14이고 마지막 항이 0으로 갑니다.
| 상황 |
도구 |
요령 |
| 두 점으로 직선 세우기 |
기울기 공식 |
a=x2−x1y2−y1 뒤 y−y1=a(x−x1) |
| 평행과 수직 |
기울기 비교 |
평행은 같고, 수직은 곱이 −1입니다 |
| 다항함수의 양 끝 |
차수와 최고차 계수 |
짝수 차수는 같은 방향, 홀수 차수는 반대 방향 |
| 다항함수의 개형 |
부호 표 |
인수가 홀수 번이면 뚫고 짝수 번이면 닿습니다 |
| 수직점근선 |
분모의 근 |
약분되면 점근선이 아니라 구멍입니다 |
| 일차 분의 일차 |
나눗셈으로 표준형 |
x−pk+q로 고쳐 점근선을 읽습니다 |
| 수평점근선 |
차수 비교 |
분자가 낮으면 y=0, 같으면 최고차 계수의 비 |
| 사선점근선 |
나눗셈의 몫 |
분자의 차수가 분모보다 정확히 하나 클 때 |
핵심 습관은 이렇습니다. 유리함수를 만나면 먼저 나눗셈을 해서 몫과 나머지로 갈라 놓고, 다항함수를 만나면 인수분해해 부호가 바뀌는 지점부터 찍습니다.
문제 6. (기초) 두 점 (0,3)과 (2,−1)을 지나는 직선의 식을 구하세요.
답. y=−2x+3
풀이. 기울기는 2−0−1−3=−2이고 y절편이 3입니다.
문제 7. (기초) f(x)=x3−4x의 그래프가 x축과 만나는 점을 모두 구하세요.
답. x=0, x=2, x=−2
풀이. x(x2−4)=x(x+2)(x−2)=0입니다.
문제 8. (기초) f(x)=−2x5+x2−7의 양 끝 방향을 말하세요.
답. 왼쪽 끝은 위로 가고 오른쪽 끝은 아래로 갑니다.
풀이. 차수가 홀수이고 최고차 계수가 음수입니다.
문제 9. (표준) f(x)=(x−1)2(x+3)이 음수가 되는 구간을 구하세요.
답. x<−3
풀이. (x−1)2은 언제나 0 이상이므로 부호는 (x+3)이 정합니다. x=1에서는 값이 0이라 음수가 아닙니다.
문제 10. (표준) 점 (1,−2)를 지나고 직선 y=3x+1과 평행한 직선의 식을 구하세요.
답. y=3x−5
풀이. 기울기가 3이므로 y+2=3(x−1)입니다.
문제 11. (표준) f(x)=x−14x−3을 표준형으로 고치고 점근선을 구하세요.
답. f(x)=x−11+4이며 점근선은 x=1과 y=4입니다.
풀이. 4x−3=4(x−1)+1입니다.
문제 12. (표준) f(x)=5x2−x+12x2+3의 수평점근선을 구하세요.
답. y=52
풀이. 차수가 같으므로 최고차 계수의 비입니다.
문제 13. (표준) f(x)=x−3x2+2x의 사선점근선을 구하세요.
답. y=x+5
풀이. 조립제법으로 계수 1,2,0에 a=3을 적용하면 1,5,15이므로 몫이 x+5이고 나머지가 15입니다.
문제 14. (표준) f(x)=x−2x2−4의 정의역과 그래프를 설명하세요.
답. 정의역은 x=2이고 그래프는 직선 y=x+2에서 점 (2,4)가 빠진 모양입니다.
풀이. 약분하면 x+2이며, 약분한 인수가 0이 되는 x=2에서 값이 없습니다.
문제 15. (표준) f(x)=x+23−1의 점근선과 x절편을 구하세요.
답. 점근선은 x=−2와 y=−1이고 x절편은 x=1입니다.
풀이. 표준형이 이미 주어져 있습니다. x절편은 x+23=1에서 x+2=3이므로 x=1입니다.
문제 16. (심화) f(x)=x−32x+k의 그래프가 점 (1,−4)를 지나도록 k를 정하고 점근선을 구하세요.
답. k=6이며 점근선은 x=3과 y=2입니다.
풀이. f(1)=−22+k=−4이므로 2+k=8이고 k=6입니다. 이때 2x+6=2(x−3)+12이므로 f(x)=x−312+2입니다.
문제 17. (심화) f(x)=x1의 그래프와 직선 y=x+k가 k의 값에 상관없이 항상 서로 다른 두 점에서 만남을 보이세요.
답. 판별식이 k2+4로 언제나 양수이고 두 근이 모두 0이 아니기 때문입니다.
풀이. x1=x+k에서 정의역이 x=0이므로 양변에 x를 곱해도 됩니다. 정리하면 x2+kx−1=0입니다. 판별식은 k2+4이고 제곱은 음이 아니므로 이 값은 언제나 4 이상입니다. 따라서 어떤 k에서도 서로 다른 두 실근을 갖습니다. 또 두 근의 곱이 −1이므로 어느 근도 0이 될 수 없어 정의역 조건도 자동으로 만족합니다. 즉 모든 실수 k에서 교점이 정확히 두 개입니다.
문제 18. (심화) f(x)=x3−3x2+2x의 그래프가 x축 위쪽에 있는 구간을 모두 구하세요.
답. 0<x<1 또는 x>2
풀이. 인수분해하면 x(x−1)(x−2)입니다. 부호가 바뀌는 지점은 0,1,2이고 가장 오른쪽 구간에서 세 인수가 모두 양수이므로 곱이 양수입니다. 왼쪽으로 넘을 때마다 부호가 뒤집히므로 1<x<2에서 음수, 0<x<1에서 양수, x<0에서 음수입니다.
드릴에서는 점근선을 구하고 개형을 읽었습니다. 이 절에서는 그 판정법이 왜 옳은지를 확인합니다. 최고차항이 압도한다는 말을 부등식으로 정확히 하고, 수평점근선과 치역의 관계를 밝힙니다. 마지막 문항은 점근선에 대한 흔한 오해를 반례로 바로잡습니다.
심화 1. (기울기의 일정성) 일차함수에서 두 점을 어떻게 골라도 변화율이 같음을 보이고, 이 성질이 일차함수만의 것임을 이차함수로 확인하세요.
답. 일차함수에서는 x2−x1f(x2)−f(x1)=a로 항상 같고, 이차함수에서는 고른 두 점에 따라 달라집니다.
풀이. f(x)=ax+b이면 f(x2)−f(x1)=a(x2−x1)이므로 x2=x1일 때 비가 언제나 a입니다. 반면 g(x)=x2에서는 x2−x1x22−x12=x1+x2이므로 두 점의 위치에 따라 값이 달라집니다. x1=0, x2=1이면 1이고 x1=1, x2=2이면 3입니다.
남는 것. 이차함수에서 나온 x1+x2에서 두 점을 한 점으로 붙이면 2x가 되는데, 이것이 x2의 도함수입니다. 변화율을 두 점 사이가 아니라 한 점에서 재려는 시도가 34강의 미분이며, 그 필요성이 여기서 이미 드러납니다.
심화 2. (최고차항의 지배) ∣x∣가 충분히 클 때 x3이 100x2보다 커짐을 보이고, 일반적으로 차수가 높은 항이 압도하는 이유를 설명하세요.
답. x>100이면 x3>100x2이며, 일반적으로 비를 계산하면 차수 차이만큼 x가 남기 때문입니다.
풀이. x>0일 때 x3>100x2은 양변을 x2>0으로 나누어 x>100과 같은 말입니다. 따라서 x가 100을 넘는 순간부터 삼차항이 더 큽니다. 일반적으로 akxkanxn=akanxn−k이고 n>k이면 ∣x∣가 커질 때 이 비가 끝없이 커집니다. 즉 낮은 차수 항은 높은 차수 항에 비해 무시할 수 있을 만큼 작아집니다. 계수가 아무리 커도 마찬가지이며, 계수는 압도가 시작되는 지점만 뒤로 미룰 뿐입니다.
남는 것. "언젠가는 차수가 이긴다"는 사실이 다항함수의 끝 모양 판정과 유리함수의 점근선 판정을 모두 떠받칩니다. 같은 원리가 뒤에서 알고리즘의 계산량을 비교할 때도 쓰이며, 상수 계수보다 차수가 중요한 이유가 됩니다.
심화 3. (점근선과 치역) f(x)=x−pk+q(k=0)의 치역이 y=q임을 보이고, 수평점근선의 높이가 치역에서 빠지는 값과 같은 이유를 설명하세요.
답. x−pk가 0이 될 수 없으므로 f(x)=q가 되는 x가 없습니다.
풀이. f(x)=q라고 하면 x−pk=0이어야 하는데, 분자가 k=0이므로 이 분수는 어떤 x에서도 0이 되지 않습니다. 따라서 q는 치역에 들어가지 않습니다. 반대로 y=q인 임의의 y에 대해 x−pk=y−q를 풀면 x=p+y−qk가 정의되므로 그 y에는 도달합니다. 즉 치역은 정확히 y=q입니다. 수평점근선이란 ∣x∣를 키워 한없이 가까이 갈 수는 있으나 도달하지 못하는 높이이므로, 그 높이가 곧 치역에서 빠지는 값이 됩니다.
남는 것. 9강 문제 12에서 x+23x−1의 치역이 y=3이었던 것과 이 강의 문제 4에서 그 수평점근선이 y=3이었던 것이 같은 사실의 두 표현입니다. 다만 이 일치는 일차 분의 일차에서만 성립하며, 심화 6에서 보듯 일반적인 유리함수에서는 점근선 높이에 실제로 도달할 수도 있습니다.
심화 4. (표준형 유도) f(x)=cx+dax+b(c=0)를 x−pk+q 꼴로 고치고 k,p,q를 a,b,c,d로 나타내세요. 그리고 이 변형이 가능하려면 왜 ad−bc=0이 필요한지 밝히세요.
답. p=−cd, q=ca, k=c2bc−ad이며 ad−bc=0이면 k=0이 되어 상수함수가 됩니다.
풀이. 분모를 c로 묶어 cx+d=c(x+cd)로 씁니다. 분자를 분모로 나누기 위해 ax+b=ca(cx+d)+(b−cad)로 고칩니다. 실제로 오른쪽을 전개하면 ax+cad+b−cad=ax+b로 맞습니다. 따라서 f(x)=ca+cx+db−cad=ca+c(cx+d)bc−ad=ca+c2(x+cd)bc−ad입니다. 정리하면 p=−cd, q=ca, k=c2bc−ad입니다. ad−bc=0이면 k=0이므로 앞의 항이 사라지고 f(x)=ca인 상수함수가 됩니다. 이때는 점근선이나 곡선 모양을 말할 수 없습니다.
남는 것. ad−bc는 7강에서 연립방정식의 해가 하나일 조건으로 나왔고 70강에서 행렬식이 됩니다. 같은 값이 여기서는 "분자와 분모가 서로 상수배가 아니다"라는 조건으로 나타납니다. 두 쓰임이 다르게 보이지만 모두 "두 일차식이 독립인가"를 묻고 있습니다.
심화 5. (사선점근선 유도) degP=degQ+1일 때 Q(x)P(x)가 나눗셈의 몫인 일차식에 한없이 가까워짐을 보이세요.
답. 나눗셈 정리로 남는 항의 분자 차수가 분모보다 낮아 0으로 가기 때문입니다.
풀이. 2강의 나눗셈 정리로 P=QS+R이고 degR<degQ입니다. 차수 조건에서 몫 S는 일차식입니다. 양변을 Q로 나누면 Q(x)P(x)=S(x)+Q(x)R(x)입니다. 마지막 항은 분자의 차수가 분모보다 낮으므로 문제 5의 첫째 줄에 해당해 ∣x∣가 커질 때 0에 가까워집니다. 따라서 함숫값과 S(x)의 차가 한없이 작아지며, 그래프가 직선 y=S(x)에 가까워집니다.
남는 것. 점근선을 구하는 일이 결국 나눗셈이라는 점이 중요합니다. 같은 논리로 degP=degQ+2이면 몫이 이차식이 되어 그래프가 포물선에 가까워집니다. 점근선이 반드시 직선일 이유는 없으며, 직선인 경우에만 이름이 따로 붙어 있을 뿐입니다.
심화 6. (오해 깨기) "그래프는 점근선과 절대 만나지 않는다"는 주장을 판단하세요.
답. 거짓입니다. 수평점근선은 그래프와 만날 수 있습니다.
풀이. f(x)=x2+1x을 봅니다. 분자의 차수가 낮으므로 수평점근선은 y=0입니다. 그런데 f(0)=0이므로 그래프가 점근선과 원점에서 실제로 만납니다. 분모의 차수가 더 높은 유리함수에서 분자가 0이 되는 점이 있으면 언제나 이런 일이 일어납니다. 반면 수직점근선은 정의역에서 빠진 자리라 그래프에 그 x가 아예 없으므로 만날 수 없습니다.
남는 것. 점근선의 뜻은 "끝으로 갈수록 한없이 가까워진다"이지 "절대 닿지 않는다"가 아닙니다. 중간에 몇 번 가로지르더라도 멀리 가서 붙기만 하면 점근선입니다. 수직점근선과 수평점근선이 이 점에서 성질이 다르다는 것을 구분해 두어야 합니다.
점근선과 개형을 값으로 확인합니다. 분모가 0이 되는 자리는 피해서 격자를 잡습니다.
import numpy as np
# 문제 11: (4x-3)/(x-1) = 1/(x-1) + 4 인지 확인
x = np.array([-3.0, 0.0, 2.0, 5.0, 10.0])
print(np.allclose((4*x - 3)/(x - 1), 1/(x - 1) + 4)) # True
# 문제 12: 수평점근선이 2/5 인지 큰 x 에서 확인
x = 1e6
print(round((2*x**2 + 3)/(5*x**2 - x + 1), 6)) # 0.4
# 문제 13: 사선점근선 y = x + 5 에 가까워지는지 확인
x = 1e6
print(round((x**2 + 2*x)/(x - 3) - (x + 5), 6)) # 1.5e-05 근처
# 심화 6: x/(x^2+1) 이 수평점근선 y=0 과 실제로 만나는 점
print(0.0 / (0.0**2 + 1)) # 0.0
세 번째 출력이 0에 가까운 아주 작은 수라는 것이 사선점근선과의 차가 사라진다는 뜻입니다. 마지막 출력이 정확히 0이라는 것은 그래프가 수평점근선 위에 실제로 놓이는 점이 있다는 심화 6의 반례입니다.
- 기울기가 무엇을 재는지 한 문장으로 말할 수 있는가?
- 두 점 (2,5)와 (6,−3)을 지나는 직선의 식을 구하시오.
- f(x)=−3x4+x의 양 끝 방향을 말하시오.
- f(x)=(x+1)2(x−2)가 x축과 만나는 점에서 뚫는지 닿는지 말하시오.
- f(x)=x+15x+2을 표준형으로 고치시오.
- x2−43x+1의 수평점근선을 구하시오.
- 사선점근선은 어떤 조건에서 생기고 어떻게 구하는가?
- 그래프가 수평점근선과 만날 수 있는지 예를 들어 답하시오.
정답.
- x가 1만큼 늘 때 y가 얼마나 느는지를 재는 변화율입니다.
- 기울기는 6−2−3−5=−2이고 y−5=−2(x−2)이므로 y=−2x+9입니다.
- 차수가 짝수이고 최고차 계수가 음수이므로 양쪽 끝이 아래로 갑니다.
- x=−1에서 닿고 x=2에서 뚫습니다.
- 5x+2=5(x+1)−3이므로 x+1−3+5입니다.
- 분자의 차수가 낮으므로 y=0입니다.
- 분자의 차수가 분모보다 정확히 하나 클 때 생기며 나눗셈의 몫이 그 직선입니다.
- 만날 수 있습니다. x2+1x은 원점에서 수평점근선 y=0과 만납니다.
| 기호 |
읽는 법 |
뜻 |
| 기울기 |
기울기 |
x의 변화량y의 변화량이며 일차함수에서 일정합니다 |
| degP |
P의 차수 |
다항식의 최고차항 지수 |
| 점근선 |
점근선 |
그래프가 한없이 가까워지는 직선 |
| 수직점근선 |
수직점근선 |
분모가 0이 되고 약분되지 않는 자리 |
| 수평점근선 |
수평점근선 |
∣x∣가 커질 때 값이 가까워지는 높이 |
| 사선점근선 |
사선점근선 |
분자의 차수가 분모보다 하나 클 때의 몫 직선 |