6강에서 이차함수를 a(x−p)2+q로 고쳐 "y=ax2을 옮긴 것"이라고 읽었고, 10강에서 유리함수를 x−pk+q로 고쳐 "y=xk를 옮긴 것"이라고 읽었습니다. 두 번 모두 같은 수법을 썼습니다. 이 강의에서 그 수법을 일반 규칙으로 정리합니다.
규칙 하나만 익히면 함수 하나의 그래프에서 그 가족 전체의 그래프를 얻습니다. 새 함수를 만날 때마다 처음부터 그리지 않아도 되므로, 뒤에서 지수함수(13강), 삼각함수(16강), 정규분포(130강)를 다룰 때 계속 아낍니다. 대칭성은 계산을 줄이는 데도 쓰입니다. 대칭인 함수는 절반만 조사하면 나머지가 따라오기 때문입니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
문제.y=x2의 그래프를 오른쪽으로 3만큼 옮긴 그래프의 식을 구하고, 왜 x+3이 아니라 x−3이 들어가는지 설명하세요.
생각의 실마리. 옮기기 전 그래프에서 꼭짓점이 어디였는지, 옮긴 뒤에는 어디여야 하는지 확인합니다. 옮긴 그래프 위의 점 하나를 잡고 그 점이 옮기기 전 어느 점에서 왔는지 거슬러 올라가 봅니다.
풀이. 옮긴 그래프 위의 점을 (X,Y)라 합니다. 이 점은 원래 그래프의 어떤 점을 오른쪽으로 3만큼 민 것이므로, 원래 점은 (X−3,Y)입니다. 원래 점은 y=x2 위에 있으므로
Y=(X−3)2
입니다. 문자 이름을 소문자로 바꾸면 y=(x−3)2입니다.
부호가 반대로 보이는 이유가 여기서 드러납니다. 식에 넣는 것은 옮긴 뒤의 좌표가 아니라 옮기기 전의 좌표이고, 옮기기 전 좌표를 얻으려면 옮긴 만큼 되돌려 빼야 하기 때문입니다. 검산으로 꼭짓점을 봅니다. y=(x−3)2의 꼭짓점은 x=3에서 y=0이므로 (3,0)이고, 원래 꼭짓점 (0,0)이 오른쪽으로 3만큼 옮겨진 것이 맞습니다.
이 문제에서 배우는 것: 평행이동.
곡선 y=f(x)를 x축 방향으로 p, y축 방향으로 q만큼 옮긴 곡선의 식은 다음과 같습니다.
y−q=f(x−p),즉y=f(x−p)+q
규칙을 외우는 대신 유도 절차를 기억하는 편이 안전합니다. 옮긴 뒤의 점을 (X,Y)로 놓고, 옮기기 전의 점 (X−p,Y−q)가 원래 식을 만족한다고 쓰면 언제나 나옵니다.
여기서 x와 y의 대우가 달라 보이는 것도 정리합니다. x 자리에는 x−p가 들어가고 y 쪽에는 +q가 붙어 부호가 반대인 것처럼 보이지만, 식을 y−q=f(x−p)로 쓰면 양쪽 모두 "옮긴 만큼 빼는" 같은 모양입니다. y를 왼쪽에 혼자 두려고 넘기면서 부호가 바뀔 뿐입니다.
이 규칙은 함수가 아닌 도형에도 그대로 적용됩니다. 곡선 F(x,y)=0을 (p,q)만큼 옮기면 F(x−p,y−q)=0입니다. 원 x2+y2=r2을 옮기면 (x−p)2+(y−q)2=r2이 되는 것이 그 예입니다.
바로 확인.
확인 1-1. (기초) y=x3을 왼쪽으로 2, 아래로 5만큼 옮긴 식을 구하세요. 답.y=(x+2)3−5 풀이. 왼쪽으로 2는 p=−2이므로 x−(−2)=x+2가 들어갑니다. 아래로 5는 q=−5입니다.
확인 1-2. (표준) y=x1의 그래프를 어떻게 옮기면 y=x−41+3이 되는지 말하세요. 답. 오른쪽으로 4, 위로 3만큼 옮깁니다. 풀이.x 자리에 x−4가 들어갔으므로 p=4이고 뒤에 +3이 붙었으므로 q=3입니다.
확인 1-3. (표준) 원 x2+y2=9를 오른쪽으로 1, 위로 2만큼 옮긴 식을 구하세요. 답.(x−1)2+(y−2)2=9 풀이. 옮긴 뒤의 점 (X,Y)에 대해 옮기기 전 점 (X−1,Y−2)가 원래 식을 만족합니다.
문제.f(x)=x2−4에 대해 y=∣f(x)∣와 y=f(∣x∣)의 그래프를 원래 그래프에서 어떻게 얻는지 각각 설명하세요.
생각의 실마리. 두 식에서 절댓값이 씌워진 자리가 다릅니다. 하나는 함숫값에, 다른 하나는 입력에 씌워져 있습니다. 각각 어느 부분의 그래프가 바뀌는지 값을 넣어 확인합니다.
풀이. 먼저 y=∣f(x)∣입니다. 함숫값에 절댓값을 씌우면 음수였던 값이 양수로 바뀌고 양수는 그대로입니다. f(x)=x2−4는 −2<x<2에서 음수이므로, 그 구간의 그래프만 x축을 기준으로 위로 접어 올립니다. 나머지는 그대로입니다.
다음으로 y=f(∣x∣)입니다. 입력에 절댓값을 씌우면 x≥0에서는 ∣x∣=x라 아무 변화가 없고, x<0에서는 ∣x∣=−x이므로 f(−x)가 됩니다. 즉 오른쪽 절반은 그대로 두고 왼쪽 절반을 버린 뒤 오른쪽 절반을 y축에 대해 접어 복사합니다. 결과는 언제나 우함수입니다.
이 함수는 원래도 우함수였으므로 두 번째 변환에서는 그래프가 바뀌지 않습니다. f(x)=x2−4에서 왼쪽과 오른쪽이 이미 대칭이기 때문입니다.
이 문제에서 배우는 것: 절댓값이 붙은 그래프.
절댓값이 어디에 붙었는지에 따라 규칙이 다릅니다.
식
만드는 방법
결과의 성질
y=∣f(x)∣
x축 아래 부분만 위로 접어 올립니다
값이 항상 0 이상입니다
y=f(∣x∣)
오른쪽 절반을 y축에 접어 복사합니다
항상 우함수가 됩니다
∣y∣=f(x)
위쪽 절반을 x축에 접어 복사합니다
함수가 아닙니다
세 번째 줄을 눈여겨봅니다. ∣y∣=f(x)는 한 x에 y가 두 개 대응하므로 9강의 세로선 판정에 걸려 함수가 아닙니다. 그래프는 그릴 수 있지만 함수는 아닌 예입니다.
두 절댓값이 겹친 y=∣f(∣x∣)∣는 순서대로 적용합니다. 안쪽부터 처리해 먼저 y축 대칭으로 복사한 뒤, 그 결과에서 음수 부분을 접어 올립니다.
바로 확인.
확인 4-1. (기초) y=∣x−3∣의 그래프를 y=x−3에서 어떻게 얻는지 말하세요. 답.x<3인 부분을 x축에 대해 위로 접어 올립니다. 풀이.x−3이 음수인 곳이 x<3이며, 그 부분만 부호가 뒤집힙니다.
확인 4-2. (표준) y=∣x∣−1과 y=∣x−1∣이 어떻게 다른지 설명하세요. 답. 앞은 꺾인 점이 (0,−1)이고 뒤는 (1,0)입니다. 풀이. 앞은 y=∣x∣를 아래로 1만큼 옮긴 것이고, 뒤는 오른쪽으로 1만큼 옮긴 것입니다. 절댓값 안에 있는지 밖에 있는지가 이동 방향을 가릅니다.
확인 4-3. (표준) f(x)=x3일 때 y=f(∣x∣)의 식을 구간별로 쓰세요. 답.x≥0에서 y=x3이고 x<0에서 y=−x3입니다. 풀이.∣x∣3이므로 x<0에서는 (−x)3=−x3입니다. 원래 기함수였던 것이 우함수로 바뀝니다.
문제.y=f(x)에서 출발해 y=−f(2−x)+1의 그래프를 얻으려면 어떤 변환을 어떤 순서로 해야 하는지 설명하세요.
생각의 실마리. 식을 그대로 읽으면 순서가 헷갈립니다. 안쪽을 먼저 정리해 표준 꼴로 고쳐 봅니다. 2−x를 평행이동과 대칭이동의 조합으로 다시 쓰면 무엇이 보이는지 확인합니다.
풀이. 먼저 안쪽을 고칩니다.
2−x=−(x−2)
이므로 f(2−x)=f(−(x−2))입니다. 이것은 g(x)=f(−x)로 두면 g(x−2)이므로, y축 대칭을 먼저 하고 오른쪽으로 2만큼 옮긴 것입니다. 순서를 반대로 하면 안 됩니다. 먼저 오른쪽으로 2 옮긴 f(x−2)에 y축 대칭을 적용하면 f(−x−2)가 되어 다릅니다.
그다음 바깥의 −가 x축 대칭이고, 마지막 +1이 위로 1만큼의 평행이동입니다. 정리하면 다음 순서입니다.
y축에 대해 대칭이동합니다. 식은 f(−x)입니다.
오른쪽으로 2만큼 옮깁니다. 식은 f(−(x−2))=f(2−x)입니다.
x축에 대해 대칭이동합니다. 식은 −f(2−x)입니다.
위로 1만큼 옮깁니다. 식은 −f(2−x)+1입니다.
이 문제에서 배우는 것: 변환의 순서.
변환이 겹치면 결과가 순서에 따라 달라지므로 순서를 정하는 기준이 필요합니다. 기준은 간단합니다. x에 가까운 조작부터 적용합니다.
y=af(b(x−p))+q
이 표준 꼴에서 적용 순서는 다음과 같습니다.
b에 해당하는 가로 방향 조작을 먼저 합니다. b=−1이면 y축 대칭입니다.
p에 해당하는 가로 평행이동을 합니다.
a에 해당하는 세로 방향 조작을 합니다. a=−1이면 x축 대칭입니다.
q에 해당하는 세로 평행이동을 합니다.
식이 이 표준 꼴로 되어 있지 않으면 먼저 표준 꼴로 고칩니다. 문제 5에서 2−x를 −(x−2)로 고친 것이 그 단계입니다. 이 정리를 건너뛰면 순서를 거의 반드시 틀립니다.
가로 방향과 세로 방향은 서로 간섭하지 않으므로, 1과 2를 먼저 하든 3과 4를 먼저 하든 결과는 같습니다. 순서가 문제 되는 것은 같은 방향의 조작끼리입니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) y=f(x)에서 y=f(x−1)+2를 얻는 변환을 말하세요. 답. 오른쪽으로 1, 위로 2만큼 평행이동합니다. 풀이. 가로와 세로가 하나씩이므로 순서를 따질 필요가 없습니다.
확인 5-2. (표준) y=f(x)에서 y=f(−x+3)을 얻는 변환을 순서대로 말하세요. 답.y축에 대해 대칭이동한 뒤 오른쪽으로 3만큼 옮깁니다. 풀이.−x+3=−(x−3)이므로 표준 꼴에서 b=−1이고 p=3입니다.
확인 5-3. (표준) y=x2에서 y=−(x+1)2+4를 얻는 변환을 순서대로 말하세요. 답. 왼쪽으로 1만큼 옮기고, x축에 대해 대칭이동한 뒤, 위로 4만큼 옮깁니다. 풀이.p=−1, a=−1, q=4입니다. 가로 조작이 하나뿐이라 그것을 먼저 하고, 세로에서는 대칭을 평행이동보다 먼저 합니다.
문제 11. (표준) y=x1를 x축에 대해 대칭이동한 식과 y축에 대해 대칭이동한 식을 각각 구하고 비교하세요. 답. 둘 다 y=−x1입니다. 풀이.x축 대칭은 −x1이고 y축 대칭은 −x1=−x1입니다. 기함수이므로 두 대칭의 결과가 같습니다.
문제 12. (표준) y=∣x2−1∣의 그래프가 x축에 닿는 점을 모두 구하세요. 답.x=1과 x=−1 풀이. 절댓값 안이 0이 되는 곳입니다. −1<x<1에서는 접어 올려져 위로 볼록한 봉우리가 되고 최댓값은 x=0에서 1입니다.
문제 13. (표준) y=f(x)에서 y=f(2−x)를 얻는 변환을 순서대로 말하세요. 답.y축에 대해 대칭이동한 뒤 오른쪽으로 2만큼 옮깁니다. 풀이.2−x=−(x−2)로 고치면 b=−1, p=2입니다.
문제 14. (표준) f가 우함수이고 f(2)=7일 때 f(−2)와 −f(−2)를 구하세요. 답.f(−2)=7이고 −f(−2)=−7입니다. 풀이. 우함수이므로 f(−2)=f(2)=7입니다.
문제 15. (표준) y=(x−1)2을 y축에 대해 대칭이동한 식을 구하세요. 답.y=(x+1)2 풀이.x 자리에 −x를 넣으면 (−x−1)2=(x+1)2입니다. 꼭짓점이 (1,0)에서 (−1,0)으로 옮겨진 것과 맞습니다.
문제 16. (심화) 모든 함수는 우함수와 기함수의 합으로 쪼갤 수 있음을 보이고, f(x)=x2+x를 실제로 쪼개세요. 답.f(x)=2f(x)+f(−x)+2f(x)−f(−x)이며 x2+x는 x2과 x로 쪼개집니다. 풀이. 두 조각을 각각 E(x)=2f(x)+f(−x), O(x)=2f(x)−f(−x)로 둡니다. 더하면 E(x)+O(x)=f(x)입니다. E(−x)=2f(−x)+f(x)=E(x)이므로 E는 우함수이고, O(−x)=2f(−x)−f(x)=−O(x)이므로 O는 기함수입니다. f(x)=x2+x에서 f(−x)=x2−x이므로 E(x)=x2이고 O(x)=x입니다.
문제 17. (심화) y=f(x)의 그래프가 직선 x=2에 대해 대칭일 조건을 식으로 쓰세요. 답. 모든 x에 대해 f(2+x)=f(2−x)입니다. 풀이. 직선 x=2에 대한 대칭은 점 (2+x,y)를 (2−x,y)로 옮깁니다. 그래프가 이 대칭으로 변하지 않으려면 두 점의 높이가 같아야 하므로 f(2+x)=f(2−x)입니다. 이차함수의 축이 x=p일 때 f(p+x)=f(p−x)가 성립하는 것이 이 조건의 특수한 경우입니다.
문제 18. (심화) f(x)=x2−6x+5의 그래프를 x축에 대해 대칭이동한 뒤 위로 4만큼 옮긴 그래프가 x축과 만나는 점을 구하세요. 답.x=3+22와 x=3−22 풀이.x축 대칭은 y=−(x2−6x+5)이고 위로 4만큼 옮기면 y=−x2+6x−5+4=−x2+6x−1입니다. x축과 만나는 점은 −x2+6x−1=0, 즉 x2−6x+1=0의 해입니다. b=−6이 짝수이므로 x=3±9−1=3±22입니다. 원래 함수의 x절편이 1과 5였는데 위로 옮긴 만큼 절편이 바깥으로 벌어졌습니다.
드릴에서는 변환을 적용해 식을 얻었습니다. 이 절에서는 변환 규칙의 근거를 역추적 절차 하나로 통일하고, 대칭성을 함수 전체의 구조로 다룹니다. 마지막 문항은 평행이동에서 부호를 반대로 넣는 흔한 잘못을 반례로 잡아냅니다.
심화 1. (규칙의 통일) 평행이동과 세 가지 대칭이동의 식을 모두 하나의 절차로 유도하세요. 답. 변환 뒤의 점을 (X,Y)로 두고 변환 전의 점을 좌표로 표현해 원래 식에 넣으면 모두 나옵니다. 풀이. 변환을 T라 하고 변환 전 점 (x,y)가 (X,Y)로 옮겨진다고 합시다. 새 그래프의 식은 "(X,Y)가 만족하는 관계"이고, 그 관계는 (x,y)가 원래 식을 만족한다는 사실에서 나옵니다. 그러므로 T를 되돌려 x와 y를 X,Y로 표현한 뒤 y=f(x)에 넣으면 됩니다. 평행이동에서는 x=X−p, y=Y−q이므로 Y−q=f(X−p)입니다. x축 대칭에서는 x=X, y=−Y이므로 −Y=f(X)입니다. y축 대칭에서는 x=−X, y=Y이므로 Y=f(−X)입니다. 원점 대칭에서는 x=−X, y=−Y이므로 −Y=f(−X)입니다. 남는 것. 네 규칙이 서로 다른 암기 항목이 아니라 같은 절차의 네 사례입니다. 핵심은 되돌린 좌표를 넣는다는 것이며, 이 때문에 부호가 직관과 반대로 보입니다. 새로운 변환을 만나도 이 절차만 있으면 규칙을 직접 만들 수 있습니다.
심화 2. (쪼개기의 유일성) 모든 함수가 우함수와 기함수의 합으로 쪼개지는 방법이 하나뿐임을 보이세요. 답. 두 쪼개기를 가정하고 빼면 어떤 함수가 우함수이면서 기함수가 되어 0이 됩니다. 풀이.f=E1+O1=E2+O2이고 Ei는 우함수, Oi는 기함수라고 합시다. 정리하면 E1−E2=O2−O1입니다. 왼쪽은 우함수끼리의 차이므로 우함수이고 오른쪽은 기함수끼리의 차이므로 기함수입니다. 같은 함수가 우함수이면서 기함수이면 h(−x)=h(x)이고 h(−x)=−h(x)이므로 h(x)=−h(x), 즉 h(x)=0입니다. 따라서 E1=E2이고 O1=O2입니다. 남는 것. 문제 16에서 만든 2f(x)±f(−x)가 유일한 답이라는 뜻입니다. 이 쪼개기는 신호를 대칭 성분과 반대칭 성분으로 나누는 일과 같으며, 58강의 푸리에 급수에서 코사인 항과 사인 항으로 갈리는 구조가 정확히 이것입니다.
심화 3. (대칭과 합성) 두 기함수의 합성, 두 우함수의 합성, 우함수와 기함수의 합성이 각각 무엇이 되는지 판정하세요. 답. 기함수끼리의 합성은 기함수이고, 나머지 두 경우는 모두 우함수입니다. 풀이.f,g가 모두 기함수이면 f(g(−x))=f(−g(x))=−f(g(x))이므로 합성이 기함수입니다. f,g가 모두 우함수이면 f(g(−x))=f(g(x))로 우함수입니다. f가 우함수이고 g가 기함수이면 f(g(−x))=f(−g(x))=f(g(x))이므로 우함수입니다. f가 기함수이고 g가 우함수이면 f(g(−x))=f(g(x))이므로 역시 우함수입니다. 부호가 안쪽에서 밖으로 전달되려면 바깥 함수가 기함수여야 하고, 안쪽에서 부호가 살아남으려면 안쪽 함수도 기함수여야 하므로 둘 다 기함수일 때만 기함수가 됩니다. 남는 것. 곱셈에서 음수와 양수의 규칙과 같은 구조입니다. 기함수를 −1, 우함수를 +1로 두면 곱의 부호가 결과의 종류를 알려 줍니다. 다만 합성이 아니라 곱셈에서도 같은 규칙이 성립하는지는 따로 확인해야 하며, 실제로 성립합니다.
심화 4. (두 대칭의 합성) y축에 대해 대칭이동한 뒤 직선 x=a에 대해 대칭이동하면 어떤 변환이 되는지 구하세요. 답. 오른쪽으로 2a만큼 평행이동한 것과 같습니다. 풀이. 점 (x,y)를 y축에 대해 대칭이동하면 (−x,y)입니다. 이어서 직선 x=a에 대해 대칭이동하면 x좌표가 a를 기준으로 반사되므로 2a−(−x)=2a+x가 되어 (2a+x,y)입니다. 처음 점과 비교하면 x좌표가 2a만큼 커졌고 y좌표는 그대로이므로 오른쪽으로 2a만큼 평행이동한 것입니다. 남는 것. 대칭을 두 번 하면 평행이동이 나오고, 그 이동 거리는 두 대칭축 사이 거리의 두 배입니다. 좌우를 뒤집는 조작을 두 번 하면 방향이 원래대로 돌아온다는 사실이 이 결과에 담겨 있습니다. 이 구조는 352강의 변환기하에서 회전과 반사의 관계로 확장됩니다.
심화 5. (대칭축 찾기) f(x)=x2−8x+3의 그래프가 어떤 세로선에 대해 대칭인지 문제 17의 조건으로 확인하세요. 답. 직선 x=4에 대해 대칭입니다. 풀이. 문제 17의 조건은 f(p+x)=f(p−x)입니다. f(p+x)=(p+x)2−8(p+x)+3=p2+2px+x2−8p−8x+3이고 f(p−x)=p2−2px+x2−8p+8x+3입니다. 두 식이 모든 x에서 같으려면 x의 계수가 같아야 하므로 2p−8=−2p+8이고 4p=16에서 p=4입니다. 표준형으로 확인하면 (x−4)2−13이므로 축이 x=4로 맞습니다. 남는 것. 대칭축을 그래프 없이 계수비교만으로 찾았습니다. 이 방법은 이차함수가 아닌 함수에도 그대로 쓸 수 있어, 대칭이 있는지 없는지를 식만 보고 판정할 수 있습니다. 대칭이 확인되면 조사할 범위가 절반으로 줄어듭니다.
심화 6. (부호 오해 깨기) "y=f(x+3)은 y=f(x)를 오른쪽으로 3만큼 옮긴 것이다"라는 주장을 판단하세요. 답. 거짓입니다. 왼쪽으로 3만큼 옮긴 것입니다. 풀이. 구체적인 함수로 확인합니다. f(x)=x2이면 f(x+3)=(x+3)2이고 이 그래프의 꼭짓점은 x+3=0, 즉 x=−3에서 y=0이므로 (−3,0)입니다. 원래 꼭짓점 (0,0)이 왼쪽으로 3만큼 옮겨진 것입니다. 근거는 심화 1의 절차입니다. 표준 꼴 f(x−p)와 비교하면 x+3=x−(−3)이므로 p=−3이고, 음수만큼 옮긴다는 것은 왼쪽으로 옮긴다는 뜻입니다. 직관적으로는 x가 −3일 때 원래 x=0에서 나던 값이 나오므로, 원래 x=0의 모습이 x=−3 자리로 옮겨 온 것입니다. 남는 것. 평행이동에서 방향을 반대로 읽는 잘못이 가장 흔합니다. 헷갈릴 때는 그래프에서 특징적인 점 하나를 잡아 그 점이 어디로 갔는지 계산하는 것이 가장 확실합니다. 이차함수라면 꼭짓점, 유리함수라면 점근선의 교점을 쓰면 됩니다.
import numpy as np
x = np.linspace(-5, 5, 1001)
f = lambda t: t**2
# 문제 6: y = (x-2)^2 - 3 의 최솟값 위치가 x=2 인지 확인
y = f(x - 2) - 3
print(round(x[y.argmin()], 3), round(y.min(), 3)) # 2.0 -3.0
# 심화 6: y = f(x+3) 은 왼쪽으로 3 만큼 옮긴 것입니다
y = f(x + 3)
print(round(x[y.argmin()], 3)) # -3.0
# 문제 10: x/(x^2+1) 이 기함수인지 확인
g = lambda t: t/(t**2 + 1)
print(np.allclose(g(-x), -g(x))) # True
# 문제 16: 우함수 조각과 기함수 조각으로 쪼개지는지 확인
h = lambda t: t**2 + t
E = lambda t: (h(t) + h(-t))/2
O = lambda t: (h(t) - h(-t))/2
print(np.allclose(E(x) + O(x), h(x)),
np.allclose(E(-x), E(x)),
np.allclose(O(-x), -O(x))) # True True True
두 번째 출력이 −3이라는 것이 심화 6에서 손으로 판단한 결론과 같습니다. 식에 +3이 들어갔는데 그래프는 왼쪽으로 갔습니다.