6강에서 이차함수를 다뤘지만 함수가 무엇인지는 정의하지 않고 지나갔습니다. 이 강의에서 그 빚을 갚습니다. 함수는 이 커리큘럼에서 가장 오래 쓰이는 대상입니다. 33강부터 시작하는 미적분은 함수의 변화를 재는 학문이고, 62강부터의 선형대수는 특별한 함수인 선형변환을 다루며, 신경망은 함수를 겹겹이 쌓아 만든 함수입니다. 그래서 함수를 정확히 정의하고 그 정의가 무엇을 배제하는지 아는 일이 중요합니다.
핵심은 함수가 "식"이 아니라 대응 규칙이라는 점입니다. 식으로 쓸 수 없는 함수도 있고, 같은 식이라도 정의역이 다르면 다른 함수입니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
문제. 다음 세 대응 중 어느 것이 함수인지 판정하세요.
(가) 실수 에 을 대응시킵니다.
(나) 양수 에 제곱해서 가 되는 수를 대응시킵니다.
(다) 실수 에 을 대응시킵니다.
생각의 실마리. 각 대응에서 입력 하나를 골라 출력이 몇 개 나오는지 세어 봅니다. 출력이 두 개 이상 나오거나 하나도 나오지 않는 입력이 있는지 찾습니다.
풀이. (가)는 함수입니다. 어떤 실수를 넣어도 제곱값이 정확히 하나 정해집니다. 와 가 같은 값 로 가지만, 서로 다른 입력이 같은 출력을 갖는 것은 문제가 되지 않습니다.
(나)는 함수가 아닙니다. 를 넣으면 제곱해서 가 되는 수가 와 로 두 개입니다. 출력이 하나로 정해지지 않습니다. 다만 "음이 아닌 값만 대응시킨다"고 규칙을 좁히면 함수가 되며, 그것이 입니다.
(다)는 실수 전체에서는 함수가 아닙니다. 에서 대응하는 값이 없기 때문입니다. 그러나 정의역을 인 실수로 잡으면 함수입니다.
이 문제에서 배우는 것: 함수의 정의.
집합 의 각 원소마다 정확히 하나씩 집합 의 원소를 대응시키는 규칙을 에서 로 가는 함수라 하고 로 씁니다. 에 대응하는 값을 라 하고 함숫값이라 부릅니다.
정의에 두 가지 요구가 들어 있습니다.
반대로 정의가 요구하지 않는 것도 분명히 해 둡니다. 서로 다른 입력이 같은 값으로 가도 되고, 의 원소 중에 아무도 도달하지 않는 것이 있어도 됩니다. 이 두 가지를 추가로 요구하면 문제 4에서 다룰 특별한 함수가 됩니다.
여기서 를 정의역, 를 공역이라 하고, 실제로 도달하는 값만 모은 것을 치역이라 합니다.
식만 주고 정의역을 밝히지 않으면, 그 식이 값을 가질 수 있는 가장 큰 실수 집합을 정의역으로 봅니다. 이 약속을 자연정의역이라 하며 4강에서 구하던 것이 바로 이것입니다.
바로 확인.
확인 1-1. (기초) 에 대해 와 을 구하세요.
답. ,
풀이. 자리에 값을 넣습니다. 이고 입니다.
확인 1-2. (표준) 의 정의역과 치역을 구하세요.
답. 정의역은 인 실수이고 치역은 이 아닌 실수입니다.
풀이. 분모가 이 되는 를 뺍니다. 치역은 를 에 대해 풀어 확인합니다. 이므로 인 모든 에 대해 가 있습니다. 이 되려면 분자가 이어야 하는데 분자는 이므로 불가능합니다.
확인 1-3. (표준) 이라는 대응이 함수인지 판정하세요.
답. 함수가 아닙니다.
풀이. 입력 에 출력 과 이 모두 대응하므로 "하나씩" 조건을 어깁니다.
문제. 좌표평면에 원 을 그렸습니다. 이 그림이 어떤 함수 의 그래프가 될 수 있는지 판정하세요.
생각의 실마리. 함수의 조건은 입력 하나에 출력 하나입니다. 그림에서 입력은 좌표이고 출력은 좌표입니다. 특정 위에 점이 몇 개 있는지 확인하는 방법을 생각합니다.
풀이. 인 자리를 봅니다. 원 위의 점 중 좌표가 인 것은 과 의 두 개입니다. 입력 에 출력이 두 개 대응하므로 함수의 그래프가 아닙니다.
이 판정을 그림으로 하면 간단합니다. 세로선 을 그으면 원과 두 점에서 만납니다. 함수라면 어떤 세로선을 그어도 만나는 점이 하나를 넘지 않아야 합니다.
다만 그림을 위아래로 나누면 각각은 함수가 됩니다. 위쪽 반원은 이고 아래쪽 반원은 이며, 두 함수 모두 정의역이 입니다.
이 문제에서 배우는 것: 그래프와 세로선 판정.
함수 의 그래프는 점들의 집합입니다.
즉 정의역의 각 점 위에 함숫값 높이만큼 점을 찍은 것입니다. 그러면 함수의 정의가 그림의 성질로 번역됩니다.
이것을 합치면 세로선 판정이 됩니다. 정의역 안의 어느 에서 세로선을 그어도 그래프와 정확히 한 점에서 만나면 함수의 그래프입니다.
그래프에서 읽을 수 있는 것도 정리해 둡니다. 정의역은 그래프를 축에 그림자처럼 눌러 내린 범위이고, 치역은 축에 눌러 붙인 범위입니다. 절편은 에서의 함숫값 이고, 절편은 이 되는 입니다.
바로 확인.
확인 2-1. (기초) 직선 이 함수의 그래프가 될 수 있는지 판정하세요.
답. 될 수 없습니다.
풀이. 위에 모든 높이의 점이 있으므로 입력 하나에 출력이 무수히 많습니다. 세로선 이 그래프와 무수히 많은 점에서 만납니다.
확인 2-2. (표준) 의 정의역과 치역을 그래프로 설명하세요.
답. 정의역은 이고 치역은 입니다.
풀이. 근호 안이 이상이어야 하므로 그래프는 에만 있습니다. 제곱근은 음이 아닌 값을 돌려주므로 그래프가 축 위쪽에만 있고, 가 커질수록 값이 끝없이 커지므로 의 모든 값에 도달합니다.
문제. 의 치역을 정의역이 다음과 같을 때 각각 구하세요.
(가) 모든 실수 (나) (다)
생각의 실마리. 6강에서 배운 대로 이차함수는 꼭짓점을 기준으로 좌우 대칭입니다. 주어진 정의역이 꼭짓점을 포함하는지, 대칭축의 한쪽에만 있는지에 따라 도달하는 값의 범위가 달라집니다.
풀이. 꼭짓점은 입니다.
(가) 정의역이 모든 실수이면 에서 최솟값 을 갖고 가 커질수록 값이 끝없이 커집니다. 치역은 입니다.
(나) 정의역이 이면 꼭짓점을 포함하고 오른쪽으로만 뻗습니다. 값은 부터 시작해 끝없이 커지므로 치역은 여전히 입니다. 다만 이번에는 각 값에 도달하는 가 하나뿐이라는 점이 (가)와 다릅니다.
(다) 정의역이 이면 꼭짓점 을 포함하므로 최솟값은 입니다. 최댓값은 6강 문제 3의 규칙대로 양 끝 중 축에서 먼 쪽인 에서 입니다. 치역은 입니다.
이 문제에서 배우는 것: 함수는 식과 정의역의 짝이다.
같은 식이라도 정의역이 다르면 다른 함수입니다. 정의역이 달라지면 치역이 달라지고, 나중에 볼 성질인 일대일 여부와 역함수의 존재 여부까지 달라집니다.
(가)와 (나)를 비교하면 치역은 같지만 성질이 다릅니다. (가)에서는 처럼 서로 다른 입력이 같은 값으로 가지만, (나)에서는 그런 일이 없습니다. 11강에서 역함수를 정의할 때 이 차이가 결정적입니다.
치역을 구하는 방법은 세 가지입니다.
바로 확인.
확인 3-1. (기초) 의 정의역이 일 때 치역을 구하세요.
답.
풀이. 일차함수는 기울기가 양수이면 증가하므로 양 끝에서 최소와 최대를 갖습니다. 이고 입니다.
확인 3-2. (표준) 의 정의역이 모든 실수일 때 치역을 구하세요.
답.
풀이. 표준형은 이므로 최솟값이 이고 위로 끝없이 커집니다.
확인 3-3. (표준) 의 치역을 구하세요.
답. 인 실수입니다.
풀이. 을 에 대해 풉니다. 에서 입니다. 이면 로 정해지고, 이면 이 되어 그런 가 없습니다.
문제. 다음 두 함수가 각각 일대일인지, 그리고 공역이 실수 전체일 때 위로의 함수인지 판정하세요.
(가) (정의역은 모든 실수)
(나) (정의역은 모든 실수)
생각의 실마리. 일대일은 "다른 것끼리 다른 곳으로 간다"는 뜻이고, 위로는 "공역이 남김없이 채워진다"는 뜻입니다. 각각을 확인하려면 어떤 계산을 해야 할지 정합니다. 반례가 하나라도 있으면 그 성질은 깨집니다.
풀이. (가)를 봅니다. 라고 하면 이므로 입니다. 서로 다른 입력이 같은 값으로 갈 수 없으므로 일대일입니다. 또 임의의 실수 에 대해 로 두면 이므로 모든 실숫값에 도달합니다. 따라서 위로의 함수입니다.
(나)를 봅니다. 이므로 서로 다른 입력이 같은 값으로 갑니다. 일대일이 아닙니다. 또 이 되는 실수 는 없으므로 공역의 음수 부분에 도달하지 못합니다. 위로의 함수도 아닙니다.
이 문제에서 배우는 것: 일대일함수와 위로의 함수.
함수 에 대해 다음을 정의합니다.
그래프로 판정하는 방법도 있습니다. 문제 2의 세로선 판정이 함수인지를 가렸다면, 가로선 판정은 일대일인지를 가립니다. 어떤 가로선을 그어도 그래프와 만나는 점이 하나를 넘지 않으면 일대일입니다. 에서 가로선 는 그래프와 두 점에서 만나므로 일대일이 아닙니다.
일대일 여부는 정의역에 달려 있습니다. 의 정의역을 으로 좁히면 가로선이 한 번씩만 만나 일대일이 됩니다. 위로 여부는 공역에 달려 있습니다. 같은 의 공역을 으로 좁히면 위로의 함수가 됩니다.
이 두 성질은 11강에서 역함수가 존재할 조건이 됩니다. 그리고 29강에서 무한집합의 크기를 비교할 때 일대일대응이 핵심 도구가 됩니다.
바로 확인.
확인 4-1. (기초) 가 일대일인지 판정하세요.
답. 일대일입니다.
풀이. 이면 입니다. 기울기가 이 아닌 일차함수는 항상 일대일입니다.
확인 4-2. (표준) 이 일대일인지 판정하세요.
답. 일대일입니다.
풀이. 이면 입니다. 둘째 인수는 이므로 일 때만 이고, 그 경우도 입니다. 나머지에서는 이어야 하므로 언제나 입니다.
확인 4-3. (표준) 의 정의역과 공역을 어떻게 좁히면 일대일대응이 되는지 말하세요.
답. 정의역과 공역을 모두 과 으로 좁히면 됩니다.
풀이. 정의역을 으로 좁히면 가로선이 한 번씩만 만나 일대일이고, 공역을 으로 좁히면 모든 값에 도달해 위로가 됩니다.
문제. 모든 실수 에 대해 를 만족하고 인 함수 에 대해 , , 을 구하세요.
생각의 실마리. 식이 주어지지 않고 성질만 주어졌습니다. 성질에 편한 값을 넣어 하나씩 알아냅니다. 어떤 값을 넣으면 새로운 정보가 나올지 골라 봅니다.
풀이. 을 넣습니다.
을 넣습니다.
, 을 넣습니다.
이 문제에서 배우는 것: 함수를 성질로 다루기.
함수는 식으로만 주어지는 것이 아닙니다. 만족하는 관계식만 주고 그 성질에서 값을 끌어내는 문제를 함수방정식이라 합니다. 접근 방법은 정해져 있습니다.
문제 5의 성질을 만족하는 함수는 자연수 배수에서 이 되고, 실제로 연속이라는 조건을 더하면 뿐임이 알려져 있습니다. 이런 관계를 만족하는 함수를 가법적이라 하며, 62강 이후의 선형변환이 정확히 이 성질에 상수배 조건을 더한 것입니다.
함숫값 계산에서 흔히 헷갈리는 것도 여기서 정리합니다. 는 "를 통째로 넣은 값"이지 가 아닙니다. 두 값이 같아지는 것은 이 문제처럼 특별한 성질을 가진 함수일 때뿐입니다. 예를 들어 이면 인데 로 다릅니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) 일 때 을 전개해 쓰세요.
답.
풀이. 자리에 을 통째로 넣으면 입니다.
확인 5-2. (표준) 모든 실수 에 대해 이고 일 때 와 을 구하세요.
답. 이고 입니다.
풀이. 를 넣으면 입니다. 을 넣으면 이므로 은 또는 입니다. 이면 , 에서 이 되어 에 어긋나므로 입니다.
확인 5-3. (표준) 일 때 를 구하세요.
답.
풀이. 로 두면 입니다. 오른쪽에 넣으면 이므로 입니다. 검산으로 이 맞습니다.
| 상황 | 도구 | 요령 |
|---|---|---|
| 함수인지 판정 | 정의 확인 | 모든 입력에 값이 있고 값이 하나뿐인지 봅니다 |
| 그림이 함수인지 | 세로선 판정 | 세로선이 두 점 이상에서 만나면 함수가 아닙니다 |
| 정의역 구하기 | 4강의 절차 | 분모가 이 아니고 짝수 제곱근 안이 이상 |
| 치역 구하기 | 세 가지 방법 | 그래프로 읽거나, 에 대해 풀거나, 최대와 최소를 구합니다 |
| 일대일 판정 | 대우 쓰기 | 에서 가 나오는지 봅니다 |
| 그림이 일대일인지 | 가로선 판정 | 가로선이 두 점 이상에서 만나면 일대일이 아닙니다 |
| 위로 판정 | 치역과 공역 비교 | 치역이 공역과 같은지 확인합니다 |
| 성질만 주어짐 | 값 대입 | 과 을 먼저 넣어 봅니다 |
| 이 주어짐 | 치환 | 안쪽 식을 로 두고 를 로 표현합니다 |
핵심 습관은 이렇습니다. 함수를 만나면 식과 정의역을 한 쌍으로 적고, 판정 문제는 정의로 돌아가며, 반례 하나로 깨지는 성질인지 먼저 확인합니다.
문제 6. (기초) 일 때 , , 를 구하세요.
답. , ,
풀이. , , 입니다. 서로 다른 두 입력이 같은 값 을 주는 예입니다.
문제 7. (기초) 의 정의역을 구하세요.
답.
풀이. 근호 안이 이상이어야 합니다.
문제 8. (기초) 의 정의역을 구하세요.
답. 이고 인 실수입니다.
풀이. 분모 이 이 되는 값을 뺍니다.
문제 9. (표준) 의 정의역이 일 때 치역을 구하세요.
답.
풀이. 기울기가 음수이므로 감소합니다. 가 최대이고 이 최소입니다.
문제 10. (표준) 의 정의역이 모든 실수일 때 치역을 구하세요.
답.
풀이. 표준형은 이므로 최솟값이 입니다.
문제 11. (표준) 의 정의역이 일 때 치역을 구하세요.
답.
풀이. 표준형은 이고 축 이 구간 안이므로 최솟값은 입니다. 양 끝은 과 이므로 최댓값은 입니다.
문제 12. (표준) 의 치역을 구하세요.
답. 인 실수입니다.
풀이. 에서 입니다. 이면 가 정해지고, 이면 이라 그런 가 없습니다.
문제 13. (표준) 가 일대일인지 판정하고 근거를 대세요.
답. 일대일이 아닙니다.
풀이. 이므로 서로 다른 입력이 같은 값으로 갑니다. 가로선 이 그래프와 두 점에서 만납니다.
문제 14. (표준) 가 실수 전체에서 실수 전체로 가는 일대일대응임을 보이세요.
답. 일대일이면서 위로이므로 일대일대응입니다.
풀이. 이면 이므로 일대일입니다. 임의의 실수 에 대해 가 실수이고 이므로 위로입니다.
문제 15. (표준) 일 때 를 구하세요.
답.
풀이. 로 두면 이고 오른쪽은 입니다. 검산으로 이 맞습니다.
문제 16. (심화) 모든 실수 에 대해 일 때 를 구하세요.
답.
풀이. 주어진 식에서 자리에 를 넣으면 입니다. 이제 두 식을 연립합니다. 둘째 식에 를 곱하면 이고 여기서 첫째 식을 빼면 이므로 입니다. 검산하면 으로 맞습니다.
문제 17. (심화) 의 정의역이 일 때 치역을 구하세요.
답.
풀이. 에서 이므로 일 때 입니다. 이 값이 이려면 와 의 부호가 같아야 하므로 입니다. 실제로 로 고쳐 보면 에서 이 과 사이의 값을 모두 가지므로 같은 결론입니다.
문제 18. (심화) 정의역이 이고 공역이 인 함수 중 일대일대응인 것의 개수를 구하세요.
답. 개
풀이. 일대일대응은 세 원소를 서로 다른 세 값에 하나씩 짝지어야 하므로 세 값을 늘어놓는 방법의 수와 같습니다. 입니다. 이 셈은 19강에서 순열로 정리합니다. 참고로 일대일대응이 아닌 함수까지 세면 각 입력마다 세 가지씩이므로 개입니다.
드릴에서는 값을 넣고 범위를 구했습니다. 이 절에서는 정의의 각 조항이 무엇을 배제하는지, 유한집합에서 일대일과 위로가 어떤 관계인지를 확인합니다. 마지막 문항은 함수 기호를 잘못 다루는 흔한 방식을 반례로 잡아냅니다.
심화 1. (정의의 각 조항) 함수의 정의에서 "빠짐없이"와 "하나씩" 중 하나만 어기는 대응의 예를 각각 들고, 어느 쪽도 뺄 수 없는 이유를 설명하세요.
답. 실수 전체에서 은 앞을 어기고, 양수에 제곱근 두 개를 모두 대응시키면 뒤를 어깁니다.
풀이. 을 실수 전체에서 생각하면 에 대응하는 값이 없어 "빠짐없이"를 어기지만, 값이 있는 곳에서는 언제나 하나뿐이라 "하나씩"은 지킵니다. 반대로 양수 에 를 모두 대응시키면 모든 양수에 값이 있어 "빠짐없이"는 지키지만 값이 둘이라 "하나씩"을 어깁니다. 두 조항 중 하나라도 빠지면 라는 기호가 무엇을 가리키는지 정해지지 않습니다. 앞이 없으면 처럼 존재하지 않는 값을 쓸 수 있게 되고, 뒤가 없으면 와 가 동시에 참이 되어 등식으로 계산할 수 없게 됩니다.
남는 것. 정의의 조항은 장식이 아니라 "라고 쓰면 값이 하나로 정해진다"는 약속을 만드는 장치입니다. 이 약속 덕분에 함수를 식처럼 옮기고 대입하고 등식으로 다룰 수 있습니다.
심화 2. (정의역이 성질을 바꾼다) 이 일대일이 되는 가장 큰 정의역을 두 가지 방식으로 잡고, 각각의 치역을 구하세요.
답. 에서 치역은 이고, 에서도 치역은 입니다.
풀이. 표준형은 이므로 축이 입니다. 그래프가 축에 대해 좌우 대칭이므로 축을 넘어가는 정의역에서는 반드시 짝을 이루는 두 입력이 같은 값을 갖습니다. 따라서 일대일이 되려면 정의역이 축의 한쪽에만 있어야 하고, 가장 큰 것은 또는 입니다. 어느 쪽이든 꼭짓점에서 이고 축에서 멀어질수록 값이 커지므로 치역은 로 같습니다.
남는 것. 치역이 같아도 정의역이 다르면 다른 함수입니다. 11강에서 이 두 함수의 역함수를 구하면 하나는 이 되고 다른 하나는 이 되어 서로 다릅니다. 삼각함수의 역함수를 정의할 때도 정확히 같은 방식으로 정의역을 잘라 냅니다.
심화 3. (유한집합에서의 관계) 정의역과 공역이 모두 원소 개인 유한집합일 때, 일대일인 함수는 반드시 위로임을 보이세요. 그리고 무한집합에서는 이것이 성립하지 않는 예를 드세요.
답. 유한집합에서는 개수를 세면 곧바로 나오고, 무한집합에서는 이 반례입니다.
풀이. 정의역의 원소가 개이고 함수가 일대일이면 함숫값들이 서로 모두 달라 치역의 원소도 정확히 개입니다. 치역은 공역의 부분집합인데 공역도 원소가 개이므로, 원소 개수가 같은 부분집합은 전체와 같을 수밖에 없습니다. 따라서 치역이 공역과 같아 위로입니다. 무한집합에서는 이 논증이 무너집니다. 자연수에서 자연수로 가는 은 이면 이므로 일대일이지만, 홀수에는 도달하지 못하므로 위로가 아닙니다.
남는 것. "부분이 전체보다 작다"는 유한집합의 상식이 무한집합에서 깨진다는 것이 이 예의 요점입니다. 자연수 전체와 짝수 전체가 일대일대응된다는 사실이 여기서 나오며, 29강에서 무한집합의 크기를 다룰 때 출발점이 됩니다.
심화 4. (함수방정식) 모든 실수 에 대해 일 때 를 구하세요.
답. 입니다.
풀이. 주어진 식에서 자리에 을 넣으면 입니다. 이제 미지수가 와 인 연립방정식입니다. 둘째 식에 을 곱하면 이고 여기서 첫째 식을 빼면 입니다. 따라서 입니다. 검산하면 이므로 로 맞습니다.
남는 것. 함수방정식에서 미지 함수가 두 자리에 나오면, 변수를 바꿔 넣어 식을 하나 더 만들고 7강의 연립방정식으로 푸는 것이 표준 수법입니다. 무엇을 넣을지는 원래 식의 두 인자가 서로 바뀌도록 고릅니다.
심화 5. (치역을 정확히 구하기) 의 치역을 구하세요. 정의역은 모든 실수입니다.
답.
풀이. 을 에 대해 풉니다. 에서 이므로 일 때 입니다. 실수 가 존재하려면 오른쪽이 이상이어야 하므로 이고, 8강의 분수부등식 절차로 이며 분모 조건까지 보면 입니다. 이면 이 되어 그런 가 없습니다. 실제로 로 고쳐 보면 이므로 빼는 항이 과 사이이고 결과가 이상 미만입니다.
남는 것. 치역을 구할 때 "에 대해 푼 뒤 그 가 실제로 존재하는 만 모은다"는 절차가 가장 확실합니다. 여기서는 가 아니라 에 대해 풀었기 때문에 " 이상"이라는 조건이 추가로 붙었습니다. 무엇에 대해 풀었는지에 따라 붙는 조건이 달라지므로 그 조건을 빠뜨리지 않아야 합니다.
심화 6. (기호 오용 잡기) "는 모든 함수에서 성립한다"와 "는 모든 함수에서 성립한다"는 두 주장을 판단하세요.
답. 둘 다 거짓이며 이 두 주장 모두의 반례입니다.
풀이. 에서 이지만 이므로 첫째 주장이 거짓입니다. 또 이지만 이므로 둘째 주장도 거짓입니다. 의 괄호는 곱셈이 아니라 "이 값을 넣는다"는 표시이므로 분배법칙이 적용되지 않습니다. 두 주장이 성립하는 함수는 문제 5에서 본 것처럼 특별한 조건을 만족하는 경우뿐이며, 두 성질을 모두 갖는 함수를 선형이라 부릅니다.
남는 것. 를 와 의 곱으로 읽는 순간 모든 계산이 무너집니다. 괄호 안의 것은 통째로 하나의 입력이며, 안쪽을 먼저 계산한 뒤 함수를 적용합니다. 이 구분은 62강에서 선형변환이 왜 특별한지 이해하는 바탕이 됩니다.
함숫값과 치역을 numpy로 확인합니다. 치역은 정의역을 촘촘히 훑어 값의 범위를 보는 방식으로 대조합니다.
import numpy as np
# 문제 11: f(x) = x^2 - 2x 의 [0,3] 에서의 치역이 [-1,3] 인지 확인
x = np.linspace(0, 3, 3001)
y = x**2 - 2*x
print(round(y.min(), 10), round(y.max(), 10)) # -1.0 3.0
# 문제 13: |x| 가 일대일이 아님을 같은 값을 주는 두 입력으로 확인
print(abs(-1.0), abs(1.0)) # 1.0 1.0
# 문제 16: f(x) = -3x + 2 가 f(x) + 2f(-x) = 3x + 6 을 만족하는지 확인
f = lambda t: -3*t + 2
x = np.linspace(-5, 5, 1001)
print(np.allclose(f(x) + 2*f(-x), 3*x + 6)) # True
# 심화 5: x^2/(x^2+1) 의 치역이 0 이상 1 미만인지 확인
x = np.linspace(-1000, 1000, 2000001)
v = x**2 / (x**2 + 1)
print(round(v.min(), 10), v.max() < 1) # 0.0 True
마지막 검산에서 최댓값이 보다 작다는 것만 확인되고 정확히 얼마인지는 나오지 않습니다. 를 아무리 크게 잡아도 에 가까워질 뿐 도달하지 않기 때문이며, 이것이 심화 5에서 치역의 오른쪽 끝을 열린 구간으로 쓴 이유입니다.
정답.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 는 에서 로 | 정의역 , 공역 인 함수 | |
| 에프 오브 엑스 | 에 대응하는 함숫값 | |
| 정의역 | 정의역 | 입력으로 허용되는 값의 집합 |
| 공역 | 공역 | 출력이 놓이는 집합 |
| 치역 | 치역 | 실제로 도달하는 값만 모은 집합 |
| 일대일 | 일대일 | 다른 입력이 항상 다른 값으로 갑니다 |
| 위로 | 위로 | 치역이 공역과 같습니다 |
| 일대일대응 | 일대일대응 | 일대일이면서 위로인 함수 |