이 문제집은 04단원 다섯 강의(지수와 지수함수, 로그와 로그함수, 삼각비와 단위원, 삼각함수의 그래프, 삼각항등식)의 종합 훈련용입니다. 본문 예제보다 한 단계 어렵게 구성했으며, 각 문제는 세 줄(문제, 답, 풀이)로 되어 있습니다. 풀이는 중간 계산식을 모두 드러내고 결과는 검산까지 포함합니다.
풀 때는 답을 가리고 먼저 스스로 세운 뒤 풀이와 대조하기를 권합니다. 난이도는 기초, 표준, 심화로 표시했습니다. 로그가 나오면 진수 조건을, 치환하면 새 문자의 범위를 먼저 적는 습관을 들입니다.
문제 1. (기초) ( 3 4 ) − 2 ( 4 3 ) − 2 답. 16 9 9 1 6 풀이. 음의 지수는 역수이므로 ( 4 3 ) 2 ( 3 4 ) 2
문제 2. (기초) 3 2 3 / 5 3 2 3 / 5 답. 8 8 풀이. 32 = 2 5 3 2 = 2 5 ( 2 5 ) 3 / 5 = 2 3 = 8 ( 2 5 ) 3 / 5 = 2 3 = 8
문제 3. (표준) a 2 3 ⋅ a ÷ a 5 6 3 a 2 ⋅ a ÷ 6 a 5 답. a 1 / 3 a 1 / 3 풀이. 지수로 바꾸면 a 2 / 3 a 1 / 2 a − 5 / 6 a 2 / 3 a 1 / 2 a − 5 / 6 4 + 3 − 5 6 = 2 6 = 1 3 6 4 + 3 − 5 = 6 2 = 3 1
문제 4. (표준) 8 x + 1 4 x 4 x 8 x + 1 2 2 답. 2 x + 3 2 x + 3 풀이. 8 x + 1 = 2 3 x + 3 8 x + 1 = 2 3 x + 3 4 x = 2 2 x 4 x = 2 2 x 2 x + 3 2 x + 3
문제 5. (표준) 3 2 x − 1 = 1 27 3 2 x − 1 = 2 7 1 답. x = − 1 x = − 1 풀이. 1 27 = 3 − 3 2 7 1 = 3 − 3 2 x − 1 = − 3 2 x − 1 = − 3 x = − 1 x = − 1
문제 6. (표준) ( 1 5 ) x 2 − 1 ≥ ( 1 5 ) 3 x − 3 ( 5 1 ) x 2 − 1 ≥ ( 5 1 ) 3 x − 3 답. 1 ≤ x ≤ 2 1 ≤ x ≤ 2 풀이. 밑이 1 1 x 2 − 1 ≤ 3 x − 3 x 2 − 1 ≤ 3 x − 3 x 2 − 3 x + 2 ≤ 0 x 2 − 3 x + 2 ≤ 0 ( x − 1 ) ( x − 2 ) ≤ 0 ( x − 1 ) ( x − 2 ) ≤ 0
문제 7. (심화) 2 5 x − 6 ⋅ 5 x + 5 = 0 2 5 x − 6 ⋅ 5 x + 5 = 0 답. x = 0 x = 0 x = 1 x = 1 풀이. t = 5 x > 0 t = 5 x > 0 t 2 − 6 t + 5 = 0 t 2 − 6 t + 5 = 0 ( t − 1 ) ( t − 5 ) = 0 ( t − 1 ) ( t − 5 ) = 0 5 x = 1 5 x = 1 x = 0 x = 0 5 x = 5 5 x = 5 x = 1 x = 1
문제 8. (심화) 3 x + 3 − x = 4 3 x + 3 − x = 4 9 x + 9 − x 9 x + 9 − x 답. 14 1 4 풀이. 양변을 제곱하면 3 2 x + 2 + 3 − 2 x = 16 3 2 x + 2 + 3 − 2 x = 1 6 2 ⋅ 3 0 = 2 2 ⋅ 3 0 = 2 9 x + 9 − x = 14 9 x + 9 − x = 1 4
문제 9. (심화) 4 x − 2 x + 2 + 3 = 0 4 x − 2 x + 2 + 3 = 0 답. x = 0 x = 0 x = 2 3 x = log 2 3 풀이. 2 x + 2 = 4 ⋅ 2 x 2 x + 2 = 4 ⋅ 2 x t = 2 x > 0 t = 2 x > 0 t 2 − 4 t + 3 = 0 t 2 − 4 t + 3 = 0 ( t − 1 ) ( t − 3 ) = 0 ( t − 1 ) ( t − 3 ) = 0 t = 1 t = 1 x = 0 x = 0 t = 3 t = 3 x = 2 3 x = log 2 3
문제 10. (기초) 2 1 16 log 2 1 6 1 답. − 4 − 4 풀이. 2 − 4 = 1 16 2 − 4 = 1 6 1
문제 11. (기초) 6 ( x − 4 ) log 6 ( x − 4 ) 답. x > 4 x > 4 풀이. 진수 조건 x − 4 > 0 x − 4 > 0
문제 12. (표준) 3 18 − 3 2 log 3 1 8 − log 3 2 답. 2 2 풀이. 3 18 2 = 3 9 = 2 log 3 2 1 8 = log 3 9 = 2
문제 13. (표준) 8 32 log 8 3 2 답. 5 3 3 5 풀이. 밑을 2 2 2 32 2 8 = 5 3 log 2 8 log 2 3 2 = 3 5
문제 14. (표준) 2 5 = a log 2 5 = a 2 40 log 2 4 0 a a 답. a + 3 a + 3 풀이. 40 = 8 × 5 4 0 = 8 × 5 3 + a 3 + a
문제 15. (표준) 3 x + 3 ( x − 2 ) = 1 log 3 x + log 3 ( x − 2 ) = 1 답. x = 3 x = 3 풀이. 진수 조건은 x > 0 x > 0 x > 2 x > 2 x > 2 x > 2 3 ( x ( x − 2 ) ) = 1 log 3 ( x ( x − 2 ) ) = 1 x 2 − 2 x = 3 x 2 − 2 x = 3 x 2 − 2 x − 3 = 0 x 2 − 2 x − 3 = 0 ( x − 3 ) ( x + 1 ) = 0 ( x − 3 ) ( x + 1 ) = 0 x = 3 x = 3 x = − 1 x = − 1 x = 3 x = 3
문제 16. (표준) 1 / 2 ( x + 1 ) > − 2 log 1 / 2 ( x + 1 ) > − 2 답. − 1 < x < 3 − 1 < x < 3 풀이. 진수 조건에서 x > − 1 x > − 1 1 1 x + 1 < ( 1 2 ) − 2 = 4 x + 1 < ( 2 1 ) − 2 = 4 x < 3 x < 3
문제 17. (심화) ( 3 x ) 2 − 3 x 4 + 3 = 0 ( log 3 x ) 2 − log 3 x 4 + 3 = 0 답. x = 3 x = 3 x = 27 x = 2 7 풀이. 진수 조건은 x > 0 x > 0 3 x 4 = 4 3 x log 3 x 4 = 4 log 3 x t = 3 x t = log 3 x t 2 − 4 t + 3 = 0 t 2 − 4 t + 3 = 0 ( t − 1 ) ( t − 3 ) = 0 ( t − 1 ) ( t − 3 ) = 0 t = 1 t = 1 x = 3 x = 3 t = 3 t = 3 x = 27 x = 2 7
문제 18. (심화) 2 3 × 3 5 × 5 16 log 2 3 × log 3 5 × log 5 1 6 답. 4 4 풀이. 밑을 2 2 2 3 2 2 × 2 5 2 3 × 2 16 2 5 log 2 2 log 2 3 × log 2 3 log 2 5 × log 2 5 log 2 1 6 2 16 = 4 log 2 1 6 = 4
문제 19. (심화) 2 40 2 4 0 10 2 ≈ 0.3010 log 1 0 2 ≈ 0 . 3 0 1 0 답. 13 1 3 풀이. 10 2 40 = 40 × 0.3010 = 12.04 log 1 0 2 4 0 = 4 0 × 0 . 3 0 1 0 = 1 2 . 0 4 12 1 2 13 1 3
문제 20. (기초) 31 5 ∘ 3 1 5 ∘ 답. 7 π 4 4 7 π 풀이. 315 = 180 × 7 4 3 1 5 = 1 8 0 × 4 7
문제 21. (기초) sin 18 0 ∘ sin 1 8 0 ∘ cos 27 0 ∘ cos 2 7 0 ∘ 답. 0 0 0 0 풀이. 18 0 ∘ 1 8 0 ∘ ( − 1 , 0 ) ( − 1 , 0 ) 27 0 ∘ 2 7 0 ∘ ( 0 , − 1 ) ( 0 , − 1 )
문제 22. (표준) θ θ sin θ = − 7 25 sin θ = − 2 5 7 cos θ cos θ tan θ tan θ 답. cos θ = 24 25 cos θ = 2 5 2 4 tan θ = − 7 24 tan θ = − 2 4 7 풀이. 2 θ = 1 − 49 625 = 576 625 cos 2 θ = 1 − 6 2 5 4 9 = 6 2 5 5 7 6 x > 0 x > 0 24 25 2 5 2 4
문제 23. (표준) cos 7 π 6 cos 6 7 π 답. − 3 2 − 2 3 풀이. 7 π 6 = π + π 6 6 7 π = π + 6 π − cos π 6 − cos 6 π
문제 24. (표준) 반지름이 9 9 2 π 3 3 2 π 답. 호의 길이는 6 π 6 π 27 π 2 7 π 풀이. l = 9 × 2 π 3 = 6 π l = 9 × 3 2 π = 6 π S = 1 2 × 9 × 6 π = 27 π S = 2 1 × 9 × 6 π = 2 7 π
문제 25. (표준) 두 변이 5 5 6 6 12 0 ∘ 1 2 0 ∘ 답. 나머지 변은 91 9 1 15 3 2 2 1 5 3 풀이. a 2 = 25 + 36 − 2 × 5 × 6 × ( − 1 2 ) = 61 + 30 = 91 a 2 = 2 5 + 3 6 − 2 × 5 × 6 × ( − 2 1 ) = 6 1 + 3 0 = 9 1 1 2 × 5 × 6 × sin 12 0 ∘ = 15 × 3 2 2 1 × 5 × 6 × sin 1 2 0 ∘ = 1 5 × 2 3
문제 26. (심화) 세 변이 5 5 6 6 7 7 답. 1 5 5 1 풀이. 가장 긴 변 7 7 A A 49 = 25 + 36 − 2 × 5 × 6 cos A 4 9 = 2 5 + 3 6 − 2 × 5 × 6 cos A 60 cos A = 61 − 49 = 12 6 0 cos A = 6 1 − 4 9 = 1 2 cos A = 1 5 cos A = 5 1
문제 27. (심화) sin θ + cos θ = 2 2 sin θ + cos θ = 2 2 sin θ cos θ sin θ cos θ 답. − 1 4 − 4 1 풀이. 제곱하면 1 + 2 sin θ cos θ = 1 2 1 + 2 sin θ cos θ = 2 1 2 sin θ cos θ = − 1 2 2 sin θ cos θ = − 2 1 − 1 4 − 4 1
문제 28. (기초) y = 6 sin 3 x y = 6 sin 3 x 답. 최댓값은 6 6 2 π 3 3 2 π 풀이. 진폭이 6 6 2 π 3 3 2 π
문제 29. (기초) y = tan 4 x y = tan 4 x 답. π 4 4 π 풀이. 탄젠트의 원래 주기가 π π π 4 4 π
문제 30. (표준) y = − 3 sin x + 2 y = − 3 sin x + 2 답. 5 5 − 1 − 1 풀이. 진폭이 3 3 y = 2 y = 2 2 ± 3 2 ± 3
문제 31. (표준) y = cos ( 3 x − π 2 ) y = cos ( 3 x − 2 π ) 답. 주기는 2 π 3 3 2 π π 6 6 π 풀이. 3 x − π 2 = 3 ( x − π 6 ) 3 x − 2 π = 3 ( x − 6 π ) π 2 2 π
문제 32. (표준) 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π cos x = − 1 2 cos x = − 2 1 답. x = 2 π 3 x = 3 2 π x = 4 π 3 x = 3 4 π 풀이. x x π 3 3 π
문제 33. (표준) 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π sin x ≤ − 2 2 sin x ≤ − 2 2 답. 5 π 4 ≤ x ≤ 7 π 4 4 5 π ≤ x ≤ 4 7 π 풀이. 단위원에서 가로선 y = − 2 2 y = − 2 2 5 π 4 4 5 π 7 π 4 4 7 π
문제 34. (심화) y = 2 x − 4 cos x + 1 y = cos 2 x − 4 cos x + 1 답. 최댓값은 6 6 − 2 − 2 풀이. t = cos x t = cos x − 1 ≤ t ≤ 1 − 1 ≤ t ≤ 1 y = t 2 − 4 t + 1 = ( t − 2 ) 2 − 3 y = t 2 − 4 t + 1 = ( t − 2 ) 2 − 3 t = 2 t = 2 t = − 1 t = − 1 1 + 4 + 1 = 6 1 + 4 + 1 = 6 t = 1 t = 1 1 − 4 + 1 = − 2 1 − 4 + 1 = − 2
문제 35. (심화) y = 2 sin x + 3 cos x y = 2 sin x + 3 cos x 답. 13 1 3 풀이. r = 4 + 9 = 13 r = 4 + 9 = 1 3
문제 36. (심화) y = sin 4 x + cos 6 x y = sin 4 x + cos 6 x 답. π π 풀이. 첫째 항의 주기는 2 π 4 = π 2 4 2 π = 2 π 2 π 6 = π 3 6 2 π = 3 π π 2 2 π π 2 , π , 3 π 2 2 π , π , 2 3 π π 3 3 π π 3 , 2 π 3 , π 3 π , 3 2 π , π π π
문제 37. (기초) sin ( π + x ) sin ( π + x ) 답. − sin x − sin x 풀이. sin π cos x + cos π sin x = 0 − sin x sin π cos x + cos π sin x = 0 − sin x
문제 38. (표준) sin 10 5 ∘ sin 1 0 5 ∘ 답. 6 + 2 4 4 6 + 2 풀이. 10 5 ∘ = 6 0 ∘ + 4 5 ∘ 1 0 5 ∘ = 6 0 ∘ + 4 5 ∘ sin 6 0 ∘ cos 4 5 ∘ + cos 6 0 ∘ sin 4 5 ∘ = 6 4 + 2 4 sin 6 0 ∘ cos 4 5 ∘ + cos 6 0 ∘ sin 4 5 ∘ = 4 6 + 4 2
문제 39. (표준) tan A = 1 3 tan A = 3 1 tan B = 1 2 tan B = 2 1 tan ( A + B ) tan ( A + B ) 답. 1 1 풀이. 1 3 + 1 2 1 − 1 6 = 5 6 5 6 = 1 1 − 6 1 3 1 + 2 1 = 6 5 6 5 = 1 A + B = π 4 A + B = 4 π
문제 40. (표준) cos θ = − 4 5 cos θ = − 5 4 θ θ sin 2 θ sin 2 θ 답. − 24 25 − 2 5 2 4 풀이. 2사분면에서 sin θ > 0 sin θ > 0 sin θ = 3 5 sin θ = 5 3 2 × 3 5 × ( − 4 5 ) = − 24 25 2 × 5 3 × ( − 5 4 ) = − 2 5 2 4
문제 41. (표준) 2 sin 6 x cos 2 x 2 sin 6 x cos 2 x 답. sin 8 x + sin 4 x sin 8 x + sin 4 x 풀이. A = 6 x A = 6 x B = 2 x B = 2 x 2 2 1 2 2 1
문제 42. (심화) 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π cos 2 x = sin x cos 2 x = sin x 답. x = π 6 , 5 π 6 , 3 π 2 x = 6 π , 6 5 π , 2 3 π 풀이. cos 2 x = 1 − 2 2 x cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x 1 − 2 2 x = sin x 1 − 2 sin 2 x = sin x 2 2 x + sin x − 1 = 0 2 sin 2 x + sin x − 1 = 0 ( 2 sin x − 1 ) ( sin x + 1 ) = 0 ( 2 sin x − 1 ) ( sin x + 1 ) = 0 sin x = 1 2 sin x = 2 1 sin x = − 1 sin x = − 1 x = π 6 , 5 π 6 x = 6 π , 6 5 π x = 3 π 2 x = 2 3 π
문제 43. (심화) 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π sin 2 x + cos x = 0 sin 2 x + cos x = 0 답. x = π 2 , 3 π 2 , 7 π 6 , 11 π 6 x = 2 π , 2 3 π , 6 7 π , 6 1 1 π 풀이. 배각공식으로 2 sin x cos x + cos x = 0 2 sin x cos x + cos x = 0 cos x ( 2 sin x + 1 ) = 0 cos x ( 2 sin x + 1 ) = 0 cos x cos x cos x = 0 cos x = 0 x = π 2 , 3 π 2 x = 2 π , 2 3 π sin x = − 1 2 sin x = − 2 1 x = 7 π 6 , 11 π 6 x = 6 7 π , 6 1 1 π
문제 44. (심화) tan θ = 3 tan θ = 3 tan 2 θ tan 2 θ 답. − 3 4 − 4 3 2 θ 2 θ 풀이. 배각공식으로 tan 2 θ = 2 × 3 1 − 9 = 6 − 8 = − 3 4 tan 2 θ = 1 − 9 2 × 3 = − 8 6 = − 4 3 tan θ = 3 > 1 tan θ = 3 > 1 θ θ π 4 4 π π 2 2 π 2 θ 2 θ π 2 2 π π π