지금까지 다룬 함수는 x2, x3처럼 밑이 변수이고 지수가 고정된 것이었습니다. 이 강의에서는 자리를 맞바꿉니다. 2x처럼 밑이 고정되고 지수가 변수인 함수를 다룹니다. 자리 하나 바뀐 것 같지만 성질이 완전히 달라집니다. 다항함수는 아무리 차수를 올려도 지수함수를 이기지 못할 만큼 지수함수가 빠르게 자랍니다.
지수함수는 뒤에서 계속 나옵니다. 정규분포의 밀도(130강), 지수분포(131강), 신경망의 소프트맥스(237강), 학습률 감쇠(244강)가 모두 지수함수입니다. 그 전에 먼저 20이나 2−1, 21/2이 무엇인지부터 정해야 합니다. 지수가 자연수일 때는 "몇 번 곱한다"는 뜻이 분명하지만, 지수가 0이거나 음수이거나 분수이면 그 뜻을 새로 약속해야 하기 때문입니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
생각의 실마리. 문제 1과 같은 방식입니다. (21/2)2을 지수법칙으로 계산해 보고, 그 결과가 되려면 21/2이 무엇이어야 하는지 거꾸로 찾습니다.
풀이. 지수법칙 (am)n=amn이 계속 성립한다면
(21/2)2=2(1/2)×2=21=2
입니다. 즉 21/2은 제곱해서 2가 되는 수입니다. 그런 실수는 2와 −2 둘인데, 지수함수의 값을 양수로 유지하기 위해 양수 쪽을 고릅니다.
21/2=2
같은 방식으로 (a1/n)n=a이므로 a1/n=na입니다.
이 문제에서 배우는 것: 거듭제곱근과 유리수 지수. a>0이고 n이 자연수일 때 n제곱해서 a가 되는 양수를 n제곱근이라 하고 na로 씁니다. 유리수 지수는 다음과 같이 정의합니다.
a1/n=na,am/n=nam=(na)m
이 정의 아래에서 앞의 지수법칙이 유리수 지수에서도 그대로 성립합니다. 그래서 근호가 든 계산은 지수 표기로 바꾸는 편이 거의 언제나 짧습니다. 예를 들어 a⋅3a는 근호로는 다루기 번거롭지만 지수로 쓰면 a1/2a1/3=a5/6으로 곧바로 정리됩니다.
밑을 양수로 제한한 이유가 여기서 분명해집니다. a=−1이라면 (−1)1/2은 제곱해서 −1이 되는 실수가 없어 정의되지 않습니다. 게다가 (−1)2/6을 6(−1)2=1로도, ((−1)1/3)2/2처럼 다른 경로로도 계산할 수 있어 값이 어긋납니다. 밑이 양수여야 유리수 지수가 모순 없이 정의됩니다.
무리수 지수는 유리수로 가까이 가는 값들의 극한으로 정의합니다. 22는 21.4, 21.41, 21.414가 다가가는 값입니다. 이 정의를 엄밀히 다루려면 극한이 필요하므로 33강 이후로 미룹니다. 지금은 모든 실수 지수에서 지수함수가 정의된다는 사실만 받아들입니다.
바로 확인.
확인 2-1. (기초) 82/3을 계산하세요. 답.4 풀이.8=23이므로 82/3=(23)2/3=22=4입니다.
확인 2-2. (표준) 3a⋅6a를 하나의 거듭제곱으로 나타내세요. 답.a1/2 풀이.a1/3a1/6=a1/3+1/6=a1/2입니다.
확인 2-3. (표준) (161)−3/4을 계산하세요. 답.8 풀이.161=2−4이므로 (2−4)−3/4=23=8입니다.
문제.y=2x과 y=(21)x의 그래프를 값을 계산해 비교하고, 두 그래프의 관계를 말하세요.
생각의 실마리. 몇 개의 정수 x에 값을 넣어 표를 만듭니다. x가 커질 때와 작아질 때 값이 어디로 가는지 보고, 두 함수의 값 사이에 어떤 관계가 있는지 확인합니다.
풀이. 값을 표로 정리합니다.
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
2^
\dfrac{1}
\dfrac{1}
\dfrac{1}
1
2
4
8
\left(\dfrac{1}{2}\right)^
8
4
2
1
\dfrac{1}
\dfrac{1}
\dfrac{1}
y=2x은 x가 커지면 끝없이 커지고 작아지면 0에 가까워지되 닿지 않습니다. 값은 언제나 양수입니다.
두 함수의 관계를 보면 (21)x=(2−1)x=2−x입니다. 12강의 규칙으로 y=f(−x)는 y축 대칭이므로, 두 그래프는 y축에 대해 서로 대칭입니다. 표에서도 값이 좌우로 뒤집혀 있습니다.
이 문제에서 배우는 것: 지수함수의 성질. a>0이고 a=1일 때 y=ax을 지수함수라 합니다. 밑에서 a=1을 제외하는 이유는 1x이 언제나 1인 상수함수라 지수함수의 성질을 하나도 갖지 않기 때문입니다.
성질
a>1
0<a<1
증가와 감소
증가합니다
감소합니다
x→ 큰 쪽
끝없이 커집니다
0에 가까워집니다
x→ 작은 쪽
0에 가까워집니다
끝없이 커집니다
공통 성질은 다음과 같습니다.
정의역은 실수 전체이고 치역은 양의 실수 전체입니다. 값이 절대 0이나 음수가 되지 않습니다.
어떤 밑이든 a0=1이므로 모든 지수함수가 점 (0,1)을 지납니다.
수평점근선은 y=0이며 10강의 용어로 x축이 점근선입니다.
11강 심화 4의 기준으로 증가함수이거나 감소함수이므로 언제나 일대일입니다. 따라서 정의역을 자르지 않아도 역함수를 갖습니다. 그 역함수가 14강의 로그입니다.
일대일이라는 성질에서 실용적인 결과가 하나 나옵니다.
ap=aq⟺p=q(a>0,a=1)
밑이 같으면 지수를 비교할 수 있다는 이 규칙이 문제 4의 방정식 풀이 도구가 됩니다.
바로 확인.
확인 3-1. (기초) y=3x이 지나는 점 중 x가 0, 1, −1일 때의 좌표를 구하세요. 답.(0,1), (1,3), (−1,31) 풀이. 각각 30=1, 31=3, 3−1=31입니다.
확인 3-2. (표준) y=5x과 y=5−x의 그래프 관계를 말하세요. 답.y축에 대해 서로 대칭입니다. 풀이.5−x=f(−x) 꼴이므로 12강의 y축 대칭입니다.
확인 3-3. (표준) y=2x−3+1의 점근선과 지나는 특징적인 점 하나를 구하세요. 답. 점근선은 y=1이고 점 (3,2)를 지납니다. 풀이.y=2x을 오른쪽으로 3, 위로 1만큼 옮긴 것이므로 점근선 y=0이 y=1로 올라가고, 원래 점 (0,1)이 (3,2)로 옮겨집니다.
생각의 실마리. 양변의 밑이 다르면 지수를 비교할 수 없습니다. 8을 2의 거듭제곱으로 고쳐 밑을 맞춰 봅니다. 밑이 같아지면 문제 3의 마지막 규칙을 쓸 수 있습니다.
풀이.8=23이므로 오른쪽은 (23)x−1=23(x−1)입니다. 양변의 밑이 2로 같아졌습니다.
2x+1=23x−3⟹x+1=3x−3⟹2x=4⟹x=2
검산하면 왼쪽은 23=8이고 오른쪽은 81=8로 맞습니다.
이 문제에서 배우는 것: 지수방정식과 지수부등식.
지수에 미지수가 든 방정식을 지수방정식이라 하고, 푸는 방법은 세 가지입니다.
밑을 통일합니다.ap(x)=aq(x) 꼴로 만든 뒤 p(x)=q(x)를 풉니다.
치환합니다.ax이 반복되면 t=ax으로 두어 다항방정식으로 바꿉니다. 이때 t>0이라는 조건이 반드시 따라붙습니다. 지수함수의 치역이 양수이기 때문입니다.
양변에 로그를 취합니다. 밑을 통일할 수 없을 때 쓰며 14강에서 다룹니다.
부등식에서는 한 가지가 더 필요합니다. 지수함수가 증가하는지 감소하는지에 따라 부등호의 방향이 달라집니다.
a>1:ap<aq⟺p<q,0<a<1:ap<aq⟺p>q
밑이 1보다 작으면 지수가 클수록 값이 작아지므로 부등호가 뒤집힙니다. 8강에서 음수를 곱할 때 부등호가 뒤집힌 것과 같은 종류의 주의사항입니다.
바로 확인.
확인 4-1. (기초) 3x=81을 푸세요. 답.x=4 풀이.81=34이므로 지수를 비교합니다.
확인 4-2. (표준) 4x−5⋅2x+4=0을 푸세요. 답.x=0 또는 x=2 풀이.4x=(22)x=(2x)2이므로 t=2x>0으로 두면 t2−5t+4=0입니다. (t−1)(t−4)=0에서 t=1 또는 t=4이고 둘 다 양수이므로 유효합니다. 2x=1에서 x=0이고 2x=4에서 x=2입니다.
문제.f(x)=x10과 g(x)=2x의 값을 x=10, x=50, x=100에서 비교하세요.
생각의 실마리. 작은 x에서는 다항함수가 훨씬 큽니다. 어느 지점에서 뒤집히는지, 그리고 뒤집힌 뒤에는 차이가 어떻게 벌어지는지 봅니다. 자릿수로 비교하면 크기를 가늠하기 쉽습니다.
풀이. 값을 자릿수로 비교합니다.
x
x^
2^
큰 쪽
10
10^
약 1.0\times 10^
다항
50
약 9.8\times 10^
약 1.1\times 10^
다항
100
10^
약 1.3\times 10^
지수
x=50까지는 다항함수가 앞서지만 x=100에서는 지수함수가 열 자리나 앞섭니다. 한 번 뒤집힌 뒤에는 격차가 걷잡을 수 없이 벌어집니다.
이 문제에서 배우는 것: 증가 속도의 위계.
차수가 아무리 높은 다항함수라도 밑이 1보다 큰 지수함수에게 결국 따라잡힙니다. 이유는 비를 보면 알 수 있습니다. x가 1만큼 늘 때 지수함수는 값이 일정한 배수만큼 커지지만, 다항함수는 배수가 점점 1에 가까워집니다.
2x2x+1=2(언제나),x10(x+1)10=(1+x1)10→1
즉 지수함수는 매 걸음 두 배씩 커지는데 다항함수는 걸음마다 커지는 비율이 줄어듭니다. 처음에는 다항함수가 앞서더라도 결국 뒤집히는 이유입니다.
이 위계는 실무에서 자주 쓰입니다. 알고리즘의 계산량이 지수적이면 입력이 조금만 커져도 감당할 수 없게 되고, 학습률을 지수적으로 줄이면 몇 단계 만에 사실상 0이 됩니다. 반대로 값이 지수적으로 커지는 계산은 오버플로를 일으키므로, 237강의 소프트맥스에서는 최댓값을 빼고 계산하는 안정화 기법을 씁니다.
10강 심화 2에서 "언젠가는 차수가 이긴다"고 했던 것의 한 단계 위 이야기입니다. 다항함수끼리는 차수가 이기고, 다항함수와 지수함수 사이에서는 지수함수가 이깁니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) 210과 103 중 어느 쪽이 큰지 답하세요. 답.210=1024가 조금 더 큽니다. 풀이.103=1000입니다. 두 값이 가까워서 어림 계산에서 210≈103을 자주 씁니다.
확인 5-2. (표준) 어떤 값이 매 단계 1.5배씩 커진다면 10단계 뒤에는 처음의 몇 배가 되는지 어림하세요. 답. 약 58배입니다. 풀이.1.510을 구합니다. 1.52=2.25이고 1.54=2.252≈5.06이며 1.58≈25.6입니다. 여기에 1.52=2.25를 곱하면 약 57.7입니다.
문제 16. (심화) 2x+2−x=3일 때 4x+4−x의 값을 구하세요. 답.7 풀이. 양변을 제곱하면 22x+2⋅2x2−x+2−2x=9입니다. 가운데 항은 2⋅20=2이고 22x=4x이므로 4x+4−x=9−2=7입니다. 2강 확인 2-2와 같은 구조입니다.
문제 17. (심화) 모든 실수 x에 대해 2x+2−x의 최솟값을 구하세요. 답.2이며 x=0에서 얻습니다. 풀이. 8강의 산술기하평균을 씁니다. 두 항이 모두 양수이고 곱이 2x⋅2−x=20=1로 일정하므로 합은 21=2 이상입니다. 등호는 2x=2−x일 때, 즉 x=−x이므로 x=0일 때이고 이 값은 정의역 안에 있으므로 실제 최솟값입니다. 8강 심화 3에서 강조한 등호 조건 확인을 여기서도 반드시 거칩니다. 만약 범위가 x>0으로 주어졌다면 등호를 만드는 x=0이 범위 밖이라 최솟값이 존재하지 않고 값이 2에 가까워지기만 합니다.
문제 18. (심화) ax=3일 때 ax−a−xa3x−a−3x의 값을 구하세요. 답.991 풀이.ax=3이므로 a−x=31이고 a3x=27이며 a−3x=271입니다. 분자는 27−271=27728이고 분모는 3−31=38입니다. 나누면 27728×83=72728=991입니다.
드릴에서는 지수법칙을 적용해 값을 구했습니다. 이 절에서는 그 법칙의 확장이 왜 강제되는지, 밑에 붙은 조건이 무엇을 막는지를 확인합니다. 마지막 문항은 지수 표기를 잘못 읽는 흔한 방식을 반례로 잡아냅니다.
심화 1. (확장의 강제성) a0=1과 a−n=an1이 지수법칙에서 강제됨을 보이고, 다른 값으로 정하면 무엇이 깨지는지 설명하세요. 답.aman=am+n을 유지하려면 다른 값을 고를 수 없습니다. 풀이. 법칙에 m=n=0을 넣으면 a0a0=a0이므로 a0을 t라 두면 t2=t이고 t(t−1)=0입니다. a=0이면 a0이 0일 수 없으므로 t=1입니다. 다음으로 m=n, n=−n을 넣으면 ana−n=a0=1이므로 a−n은 an의 역수여야 합니다. 만약 a0을 1이 아닌 다른 값으로 정하면 a3=a3+0=a3a0이 성립하지 않아 법칙이 무너지고, 지수 계산 전체를 매번 경우를 나눠 해야 합니다. 남는 것. 정의의 확장은 자유로운 선택이 아니라 "기존 규칙을 살리려면 이 값밖에 없다"는 계산의 결과입니다. 이 사고방식을 확장의 원리라고 하며, 유리수 지수, 실수 지수, 그리고 30강의 복소수 지수까지 같은 방식으로 이어집니다.
심화 2. (밑의 조건) 밑이 음수이면 유리수 지수가 모순을 일으킴을 구체적인 예로 보이세요. 답.(−8)1/3과 (−8)2/6이 다른 값을 주므로 정의가 일관되지 않습니다. 풀이.31=62이므로 두 표기는 같은 지수를 나타냅니다. 그런데 앞쪽을 세제곱근으로 계산하면 세제곱해서 −8이 되는 수이므로 −2입니다. 뒤쪽을 6(−8)2=664=2로 계산하면 2가 나옵니다. 같은 지수인데 값이 다르므로 정의가 무너집니다. 밑을 양수로 제한하면 이런 일이 생기지 않습니다. 81/3=2이고 82/6=664=2로 일치합니다. 남는 것. 조건 "밑은 양수"는 형식적인 제한이 아니라 정의가 값을 하나로 정하게 만드는 장치입니다. 4강 심화 2에서 ab=ab에 붙은 조건과 같은 성격이며, 조건을 빼면 실제로 어긋나는 계산이 존재합니다.
심화 3. (증가 속도 증명) 밑이 1보다 큰 지수함수가 어떤 다항함수보다도 결국 커짐을 비의 관점에서 설명하세요. 답. 지수함수는 한 걸음마다 일정 배수로 커지고 다항함수는 그 배수가 1로 줄기 때문입니다. 풀이.a>1일 때 axax+1=a로 언제나 일정합니다. 반면 n차 다항함수에서는 xn(x+1)n=(1+x1)n이고, x가 커지면 괄호 안이 1에 가까워지므로 이 비도 1에 가까워집니다. 즉 x가 충분히 커지면 다항함수의 한 걸음 성장 배수가 a보다 작아지고, 그 뒤로는 매 걸음 지수함수가 격차를 벌립니다. 한 번 앞선 뒤에는 배수 차이가 누적되므로 다시 뒤집히지 않습니다. 남는 것. "결국 이긴다"는 주장은 어느 지점부터인지는 말하지 않습니다. x10과 2x에서 뒤집히는 지점이 x=60 부근인 것처럼, 계수와 차수가 크면 뒤집히는 지점이 한참 뒤로 밀립니다. 실무에서 어떤 알고리즘이 더 빠른지 판단할 때는 위계뿐 아니라 실제 입력 크기도 함께 봐야 합니다.
심화 4. (그래프의 대칭과 이동) y=ax과 y=(a1)x의 그래프가 y축에 대해 대칭임을 보이고, y=ax−p이 y=ax의 세로 방향 상수배와 같음을 설명하세요. 답. 앞은 (a1)x=a−x이기 때문이고, 뒤는 ax−p=a−p⋅ax이기 때문입니다. 풀이.(a1)x=(a−1)x=a−x이므로 12강의 y축 대칭 규칙에 정확히 해당합니다. 다음으로 ax−p=axa−p인데 a−p는 x와 무관한 상수입니다. 따라서 지수함수를 가로로 p만큼 옮기는 것과 세로로 a−p배 하는 것이 같은 그래프를 줍니다. 남는 것. 지수함수에서만 나타나는 성질입니다. 이차함수를 가로로 옮기는 것은 세로로 늘이는 것과 결코 같지 않습니다. 이 성질 때문에 지수적으로 변하는 양은 시간의 원점을 어디에 두든 모양이 같고, 반감기나 배증 시간이 시작 시점과 무관하게 정해집니다.
심화 5. (치환 조건의 필요성) 4x−2x−6=0을 풀면서 치환 조건 t>0이 실제로 해를 걸러 내는 과정을 보이세요. 답.t=3 하나만 살아남고 t=−2는 조건에 걸려 버려집니다. 풀이.t=2x으로 두면 t2−t−6=0이고 (t−3)(t+2)=0이므로 t=3 또는 t=−2입니다. 그런데 2x은 문제 3에서 본 것처럼 언제나 양수이므로 t=−2는 어떤 x에서도 나올 수 없어 버립니다. 남은 2x=3은 x가 정수나 간단한 분수가 아니므로 지금 도구로는 값을 쓸 수 없고, 14강의 로그를 배우면 x=log23으로 적을 수 있습니다. 남는 것. 치환에서 조건을 빠뜨리면 존재하지 않는 해를 답에 넣게 됩니다. 5강 문제 5에서 t=x2≥0을 붙인 것과 같은 구조이며, 치환할 때는 새 문자가 가질 수 있는 범위를 먼저 적는 습관이 필요합니다. 또 이 문제는 지수방정식을 밑 통일만으로는 풀 수 없는 경우가 있음을 보여 주며, 그래서 로그가 필요합니다.
심화 6. (표기 오해 깨기) "232은 (23)2=64이다"와 "−22=4이다"라는 두 주장을 판단하세요. 답. 둘 다 거짓입니다. 각각 512와 −4입니다. 풀이. 지수가 겹쳐 쓰이면 위에서부터 계산합니다. 232=2(32)=29=512입니다. (23)2은 26=64로 다른 값이며, 이렇게 계산하려면 괄호를 명시해야 합니다. 다음으로 −22에서 지수는 바로 앞의 2에만 걸리고 음수 부호는 나중에 붙습니다. 따라서 −(22)=−4입니다. (−2)2=4가 되려면 괄호가 필요합니다. 남는 것. 지수 표기의 결합 순서는 다른 연산과 다릅니다. 겹친 지수는 위에서부터 계산하고, 음수 부호는 지수보다 나중에 적용됩니다. 코드에서도 언어마다 규칙이 달라 파이썬의 -2**2는 −4이고 (-2)**2는 4입니다. 애매하면 괄호를 쓰는 것이 안전합니다.
import numpy as np
# 문제 9: a^(1/2) * a^(2/3) / a^(1/6) = a
a = 7.0
print(round(a**0.5 * a**(2/3) / a**(1/6), 10), a) # 7.0 7.0
# 문제 13: 9^x - 4*3^x + 3 = 0 의 해가 0 과 1 인지 확인
for x in (0.0, 1.0):
print(x, round(9**x - 4*3**x + 3, 10)) # 0.0 0.0 / 1.0 0.0
# 문제 5: x^10 과 2^x 가 뒤집히는 지점
x = np.arange(1, 120)
big = x[(2.0**x > x**10.0)]
print("2^x 가 큰 정수:", big[0], big[1], "...") # 1 59 ...
print("영구히 뒤집히는 지점:", big[1]) # 59
# 심화 6: 지수 표기의 결합 순서
print(2**3**2, (2**3)**2, -2**2, (-2)**2) # 512 64 -4 4
세 번째 블록에서 x=1이 먼저 나오는 것은 그 자리에서 21=2이고 110=1이라 자명하게 성립하기 때문입니다. 그 뒤 다항 쪽이 다시 앞서다가 x=59에서 영구히 뒤집힙니다. 문제 5에서 x=50까지 다항이 앞서고 x=100에서 지수가 앞선다고 한 것과 맞습니다. 네 번째 줄은 심화 6의 판단을 파이썬 연산자 우선순위가 그대로 재현한 것입니다.