이 강의부터 세 강에 걸쳐 삼각함수를 세웁니다. 삼각함수는 각을 넣으면 길이의 비를 돌려주는 함수이고, 시작은 직각삼각형입니다. 그런데 직각삼각형만으로는 예각밖에 다룰 수 없습니다. 120∘나 −30∘의 삼각비를 말하려면 정의를 넓혀야 하고, 그 확장의 무대가 단위원입니다.
삼각함수가 필요한 이유는 각도를 재기 위해서가 아닙니다. 뒤에서 두 벡터가 이루는 각을 내적으로 재고(64강), 신호를 주기 성분으로 분해하고(58강), 회전을 행렬로 나타내며(352강), 위치 인코딩을 사인과 코사인으로 만듭니다(256강). 모두 이 강의에서 세우는 단위원 위의 좌표에서 출발합니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
문제. 반지름이 1인 원에서 중심각이 180∘인 부채꼴의 호의 길이를 구하세요. 그리고 그 길이를 각의 새 단위로 삼으면 90∘와 360∘가 얼마가 되는지 구하세요.
생각의 실마리. 반지름이 1인 원의 둘레 전체 길이를 먼저 구합니다. 중심각이 전체의 몇 분의 몇인지에 따라 호의 길이도 같은 비율이 됩니다.
풀이. 반지름 1인 원의 둘레는 2π입니다. 180∘는 전체 360∘의 절반이므로 호의 길이는 π입니다.
이 호의 길이를 각의 크기로 삼으면 180∘가 π입니다. 비례로 90∘는 2π이고 360∘는 2π입니다.
이 문제에서 배우는 것: 호도법.
반지름이 1인 원에서 호의 길이로 각을 재는 방법을 호도법이라 하고, 단위를 라디안이라 합니다. 변환 관계는 하나만 기억하면 됩니다.
180∘=π라디안
여기서 1∘=180π이고 1 라디안 =π180∘≈57.3∘입니다. 자주 쓰는 각은 다음과 같습니다.
육십분법
0^
30^
45^
60^
90^
180^
270^
360^
호도법
0
\dfrac{\pi}
\dfrac{\pi}
\dfrac{\pi}
\dfrac{\pi}
π
\dfrac{3\pi}
2π
호도법을 쓰는 이유는 편의가 아니라 공식이 간단해지기 때문입니다. 반지름 r, 중심각 θ 라디안인 부채꼴에서
호의길이l=rθ,넓이S=21r2θ=21rl
입니다. 육십분법으로 쓰면 180π 같은 상수가 계속 따라붙습니다. 더 결정적인 이유는 미분에 있습니다. 39강에서 sinx의 도함수가 cosx가 되는 것은 호도법을 쓸 때뿐이며, 육십분법을 쓰면 앞에 180π이 붙습니다. 그래서 이 강의 이후로는 특별한 말이 없으면 각을 라디안으로 씁니다.
바로 확인.
확인 2-1. (기초) 150∘를 호도법으로 나타내세요. 답.65π 풀이.150=180×65이므로 π×65입니다.
문제. 직각삼각형에는 둔각이 들어갈 수 없습니다. 그런데도 sin120∘의 값을 정하려면 정의를 어떻게 넓혀야 하는지 생각해 정하세요.
생각의 실마리. 예각에서 성립하던 정의를 좌표평면으로 옮겨 봅니다. 원점을 중심으로 반지름이 1인 원 위에 점을 놓고, 그 점의 좌표가 삼각비와 어떤 관계인지 예각에서 먼저 확인합니다. 그 관계를 그대로 둔각에 적용합니다.
풀이. 원점을 중심으로 반지름이 1인 원을 그립니다. x축의 양의 방향에서 반시계 방향으로 각 θ만큼 돌린 자리의 점을 P라 합니다.
θ가 예각일 때 P에서 x축에 수선을 내리면 빗변이 1인 직각삼각형이 생깁니다. 이 삼각형에서 밑변은 P의 x좌표이고 높이는 y좌표입니다. 빗변이 1이므로
cosθ=1x=x,sinθ=1y=y
입니다. 즉 단위원 위의 점의 좌표가 곧 (cosθ,sinθ)입니다.
이 관계를 정의로 삼으면 각이 둔각이든 음수든 상관없습니다. θ=120∘이면 점 P는 2사분면에 있고, x축과 이루는 예각이 60∘이므로 좌표는 (−cos60∘,sin60∘)=(−21,23)입니다. 따라서
sin120∘=23,cos120∘=−21
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 단위원에 의한 확장.
원점을 중심으로 반지름이 1인 원을 단위원이라 합니다. x축의 양의 방향을 시작으로 반시계 방향을 양의 각으로 잡고, 각 θ에 대응하는 단위원 위의 점을 P(x,y)라 할 때 다음을 정의합니다.
cosθ=x,sinθ=y,tanθ=xy(x=0)
이 정의는 예각에서 앞의 정의와 완전히 일치하면서 모든 실수 각으로 확장됩니다. 13강에서 지수를 확장할 때와 같은 방식입니다. 기존 정의와 어긋나지 않으면서 범위를 넓히는 것이 확장의 원칙입니다.
정의에서 곧바로 나오는 사실들입니다.
점이 단위원 위에 있으므로 x2+y2=1이고, 이것이 곧 sin2θ+cos2θ=1입니다. 이제 이 항등식이 모든 각에서 성립합니다.
x와 y는 −1 이상 1 이하이므로 −1≤sinθ≤1이고 −1≤cosθ≤1입니다.
tanθ는 x=0인 각, 즉 θ=2π+nπ에서 정의되지 않습니다.
한 바퀴 더 돌면 같은 점으로 돌아오므로 sin(θ+2π)=sinθ이고 cos(θ+2π)=cosθ입니다. 이 성질을 주기성이라 하며 16강에서 그래프로 다룹니다.
각 사분면에서의 부호는 좌표의 부호 그대로입니다.
사분면
sinθ(y)
cosθ(x)
tanθ
1사분면
+
+
+
2사분면
+
−
−
3사분면
−
−
+
4사분면
−
+
−
외우기보다 좌표의 부호를 떠올리는 편이 빠르고 틀리지 않습니다.
바로 확인.
확인 3-1. (기초) cos180∘와 sin270∘를 구하세요. 답.−1과 −1 풀이.180∘의 점은 (−1,0)이고 270∘의 점은 (0,−1)입니다.
확인 3-2. (표준) θ가 3사분면의 각이고 sinθ=−53일 때 cosθ를 구하세요. 답.−54 풀이.cos2θ=1−259=2516이므로 cosθ=±54입니다. 3사분면에서는 x좌표가 음수이므로 −54입니다.
확인 3-3. (표준) tanθ가 정의되지 않는 각을 모두 구하세요. 답.θ=2π+nπ(n은 정수) 풀이. 분모인 x좌표가 0이 되는 자리는 y축 위이므로 2π와 23π, 그리고 여기에 2π의 정수배를 더한 각입니다. 두 경우를 묶으면 2π에 π의 정수배를 더한 것입니다.
문제. 두 변의 길이가 5와 8이고 그 사이 각이 60∘인 삼각형에서 나머지 한 변의 길이를 구하세요.
생각의 실마리. 직각삼각형이 아니므로 피타고라스 정리를 바로 쓸 수 없습니다. 한 꼭짓점에서 수선을 내려 직각삼각형 두 개로 쪼개면 각 조각에서는 삼각비를 쓸 수 있습니다.
풀이. 각 60∘를 낀 두 변을 b=5, c=8이라 하고 마주 보는 변을 a라 합니다. 각 60∘의 꼭짓점을 원점에 두고 한 변을 x축에 놓으면, 다른 꼭짓점 두 개의 좌표는 (8,0)과 (5cos60∘,5sin60∘)=(25,253)입니다.
두 점 사이 거리를 구합니다.
a2=(8−25)2+(253)2=(211)2+475=4121+75=49
따라서 a=7입니다. 계산 과정을 문자로 정리하면 a2=b2+c2−2bccosA가 나옵니다. 실제로 25+64−2×5×8×21=89−40=49로 같습니다.
이 문제에서 배우는 것: 코사인법칙과 사인법칙.
직각이 아닌 삼각형에서도 변과 각을 잇는 공식이 있습니다. 삼각형 ABC에서 각 A,B,C의 대변을 a,b,c라 할 때 다음이 성립합니다.
a2=b2+c2−2bccosA(코사인법칙)
sinAa=sinBb=sinCc=2R(사인법칙,R은외접원의반지름)
코사인법칙은 피타고라스 정리의 일반형입니다. A=90∘이면 cosA=0이므로 마지막 항이 사라져 a2=b2+c2가 됩니다. 즉 직각이 아닐 때 생기는 어긋남을 −2bccosA가 보정합니다.
두 법칙을 언제 쓰는지 구분해 둡니다.
주어진 것
쓰는 법칙
두 변과 그 사이 각
코사인법칙으로 나머지 변
세 변
코사인법칙을 각에 대해 풀어 각
한 변과 두 각
사인법칙
두 변과 한 변의 대각
사인법칙 (해가 둘일 수 있음)
넓이 공식도 함께 얻습니다. 밑변을 c로 보면 높이가 bsinA이므로
S=21bcsinA
입니다. 이 식은 64강에서 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이로 다시 나옵니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) 두 변이 3, 4이고 사이 각이 90∘인 삼각형의 나머지 변을 코사인법칙으로 구하세요. 답.5 풀이.cos90∘=0이므로 a2=9+16=25입니다. 피타고라스 정리와 같은 결과입니다.
확인 5-2. (표준) 세 변이 3, 5, 7인 삼각형에서 가장 큰 각의 코사인을 구하세요. 답.−21 풀이. 가장 큰 각은 가장 긴 변 7의 대각입니다. 49=9+25−2×3×5cosA에서 30cosA=34−49=−15이므로 cosA=−21입니다. 값이 음수이므로 둔각이며 실제로 120∘입니다.
확인 5-3. (표준) 두 변이 6, 10이고 사이 각이 30∘인 삼각형의 넓이를 구하세요. 답.15 풀이.S=21×6×10×sin30∘=30×21=15입니다.
문제 13. (표준) sinθ+cosθ=21일 때 sinθcosθ를 구하세요. 답.−83 풀이. 양변을 제곱하면 sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=41입니다. 피타고라스 항등식으로 앞뒤가 1이므로 2sinθcosθ=41−1=−43이고 값은 −83입니다.
문제 14. (표준) 세 변이 7, 8, 9인 삼각형에서 가장 짧은 변의 대각의 코사인을 구하세요. 답.32 풀이. 가장 짧은 변 7의 대각을 A라 하면 49=64+81−2×8×9cosA입니다. 144cosA=145−49=96이므로 cosA=14496=32입니다. 값이 양수이므로 예각이며, 가장 짧은 변의 대각이 가장 작은 각이라는 사실과 맞습니다.
문제 15. (표준) 두 변이 4, 7이고 사이 각이 120∘인 삼각형의 나머지 변을 구하세요. 답.93 풀이.cos120∘=−21이므로 a2=16+49−2×4×7×(−21)=65+28=93입니다.
문제 16. (심화) sinθ−cosθ=31일 때 sin3θ−cos3θ를 구하세요. 답.2713 풀이. 제곱하면 1−2sinθcosθ=91이므로 sinθcosθ=94입니다. 세제곱 공식 A3−B3=(A−B)3+3AB(A−B)를 쓰면 (31)3+3×94×31=271+94=271+12=2713입니다.
문제 17. (심화) 0≤θ<2π에서 sinθ=23인 θ를 모두 구하세요. 답.θ=3π 또는 θ=32π 풀이. 단위원에서 y좌표가 23인 점은 두 개이고 1사분면과 2사분면에 하나씩 있습니다. 1사분면 것은 3π이고 2사분면 것은 π−3π=32π입니다.
문제 18. (심화) 반지름이 r이고 둘레의 길이가 20인 부채꼴의 넓이가 최대가 되는 r를 구하세요. 둘레는 두 반지름과 호를 합한 길이입니다. 답.r=5 풀이. 호의 길이를 l이라 하면 2r+l=20이므로 l=20−2r입니다. 넓이는 S=21rl=21r(20−2r)=10r−r2입니다. 6강의 방법으로 S=−(r−5)2+25이므로 r=5에서 최대 넓이 25를 가집니다. 이때 l=10이고 중심각은 rl=2 라디안입니다.
드릴에서는 값을 구하고 법칙을 적용했습니다. 이 절에서는 확장된 정의가 왜 기존 정의와 어긋나지 않는지, 코사인법칙이 어떻게 나오는지를 확인합니다. 마지막 문항은 각의 단위를 혼동할 때 생기는 잘못을 반례로 잡아냅니다.
심화 1. (확장의 일관성) 단위원 정의가 예각에서 직각삼각형 정의와 일치함을 보이고, 이 일치가 왜 필요한지 설명하세요. 답. 빗변이 1인 직각삼각형에서 두 변의 길이가 곧 좌표이기 때문이며, 일치하지 않으면 같은 기호가 두 뜻을 갖게 됩니다. 풀이.0<θ<2π일 때 단위원 위의 점 P(x,y)에서 x축에 수선을 내리면 빗변이 1, 밑변이 x, 높이가 y인 직각삼각형이 생깁니다. 직각삼각형 정의로 cosθ=빗변인접변=1x=x이고 sinθ=1y=y이므로 단위원 정의와 같습니다. 만약 두 정의가 예각에서 어긋난다면 sin30∘이 문맥에 따라 다른 값을 갖게 되어 어느 쪽인지 매번 밝혀야 합니다. 확장은 기존을 덮어쓰는 것이 아니라 넓히는 것이어야 합니다. 남는 것. 13강에서 지수를 정수와 유리수로 넓힐 때도 같은 원칙을 지켰습니다. 확장된 정의는 기존 범위에서 원래 값을 그대로 주고, 기존 규칙도 계속 성립해야 합니다. 이 두 조건을 만족하는 확장은 대개 하나뿐입니다.
심화 2. (코사인법칙 유도) 코사인법칙 a2=b2+c2−2bccosA를 좌표로 유도하고, 피타고라스 정리가 그 특수한 경우임을 보이세요. 답. 각 A의 꼭짓점을 원점에 두고 두 점 사이 거리를 계산하면 나옵니다. 풀이. 각 A의 꼭짓점을 원점에, 변 c를 x축의 양의 방향에 놓습니다. 그러면 세 꼭짓점은 (0,0), (c,0), (bcosA,bsinA)입니다. 마지막 두 점 사이 거리의 제곱이 a2이므로 a2=(c−bcosA)2+(bsinA)2입니다. 전개하면 c2−2bccosA+b2cos2A+b2sin2A이고, 마지막 두 항을 묶으면 피타고라스 항등식으로 b2이 됩니다. 정리하면 a2=b2+c2−2bccosA입니다. A=2π이면 cosA=0이라 마지막 항이 사라져 피타고라스 정리가 됩니다. 남는 것. 유도에 쓴 것은 두 점 사이 거리와 피타고라스 항등식뿐입니다. 코사인법칙은 새 정리가 아니라 좌표로 거리를 재는 계산의 결과입니다. 이 관점은 64강에서 내적을 ∣u∣∣v∣cosθ로 쓸 때 그대로 재현됩니다.
심화 3. (변환 공식의 정리) cos(2π+θ)와 sin(2π+θ)를 단위원의 대칭으로 구하고, 이 관계가 16강의 그래프에서 무엇을 뜻할지 예상하세요. 답.cos(2π+θ)=−sinθ이고 sin(2π+θ)=cosθ입니다. 풀이.2π만큼 더 도는 것은 점을 원점 중심으로 90∘ 반시계 회전시키는 것입니다. 점 (x,y)를 그렇게 돌리면 (−y,x)가 됩니다. 새 점의 x좌표가 cos(2π+θ)이므로 −y=−sinθ이고, y좌표가 sin(2π+θ)이므로 x=cosθ입니다. 남는 것. 두 번째 관계 sin(θ+2π)=cosθ는 사인 그래프를 왼쪽으로 2π만큼 옮기면 코사인 그래프가 된다는 뜻입니다. 12강의 평행이동 규칙으로 읽으면 그렇습니다. 즉 두 함수는 모양이 같고 위치만 다릅니다. 16강에서 그래프로 확인합니다.
심화 4. (사인법칙 유도) 사인법칙 sinAa=2R를 외접원에서 유도하세요. 답. 지름을 한 변으로 하는 삼각형이 직각삼각형이 된다는 성질을 씁니다. 풀이. 외접원의 중심을 O, 반지름을 R이라 합니다. 꼭짓점 B에서 지름이 되도록 점 A′를 잡으면 BA′의 길이가 2R입니다. 지름에 대한 원주각은 직각이므로 삼각형 BCA′는 C에서 직각입니다. 이 직각삼각형에서 각 A′의 대변이 a이고 빗변이 2R이므로 sinA′=2Ra입니다. 한편 각 A와 각 A′는 같은 호 BC에 대한 원주각이므로 크기가 같습니다. 따라서 sinA=2Ra이고 정리하면 sinAa=2R입니다. 각 A가 둔각이면 A′는 반대쪽 호에 있어 A+A′=π가 되는데, sin(π−θ)=sinθ이므로 사인 값은 같아 결론이 유지됩니다. 남는 것. 세 변에 대해 같은 논증을 반복하면 세 비가 모두 2R로 같아집니다. 사인법칙의 값어치는 이 비가 삼각형 전체에 공통인 상수라는 데 있고, 그 상수가 외접원의 지름이라는 기하적 의미까지 갖습니다.
심화 5. (해가 둘인 경우) 두 변 b=6, a=5와 각 B=6π이 주어졌을 때 삼각형이 몇 개 만들어지는지 판정하세요. 답. 한 개입니다. 풀이. 사인법칙에서 sinAa=sinBb이므로 sinA=basinB=65×21=125입니다. 사인 값이 같은 각은 예각과 그 보각 두 개가 후보입니다. 예각 쪽은 약 24.6∘이고 둔각 쪽은 약 155.4∘입니다. 그런데 둔각 쪽을 택하면 B=30∘와 더해 185.4∘가 되어 삼각형의 내각의 합 180∘를 넘습니다. 따라서 둔각 쪽은 버려지고 삼각형은 하나뿐입니다. 남는 것. 두 변과 한 변의 대각이 주어지면 삼각형이 두 개 만들어질 수도, 하나일 수도, 아예 없을 수도 있습니다. 사인법칙이 각을 하나로 정하지 못하기 때문이며, 이 상황을 애매한 경우라고 부릅니다. 구한 각을 내각의 합 조건으로 반드시 걸러야 합니다.
심화 6. (단위 혼동 깨기) "sin1=0.8415이므로 1도의 사인은 약 0.84이다"라는 주장을 판단하세요. 답. 거짓입니다. 0.8415는 1 라디안의 사인이며 1도의 사인은 약 0.0175입니다. 풀이. 아무 단위 표시 없이 sin1이라고 쓰면 각을 라디안으로 읽는 것이 이 강의 이후의 약속입니다. 1 라디안은 약 57.3∘이므로 그 사인이 0.84 정도인 것이 자연스럽습니다. 1도의 사인을 구하려면 먼저 라디안으로 고쳐 180π≈0.01745를 넣어야 하고, 아주 작은 각에서는 사인 값이 각 자체와 거의 같으므로 약 0.0175입니다. 두 값이 48배나 차이 납니다. 남는 것. 각의 단위를 밝히지 않으면 값이 완전히 달라집니다. 대부분의 프로그래밍 언어에서 삼각함수는 라디안을 받으므로, 도 단위 데이터를 넣기 전에 반드시 변환해야 합니다. 이 실수는 좌표 계산과 회전 처리에서 자주 나오며, 결과가 조금 어긋나는 것이 아니라 완전히 엉뚱해집니다.