15강에서 각을 넣으면 단위원 위 점의 좌표를 돌려주는 함수를 만들었습니다. 이제 그 함수를 각을 가로축으로, 값을 세로축으로 하는 그래프로 펼칩니다. 단위원은 각이 한 바퀴 돌면 제자리로 오지만, 그래프는 그 반복을 옆으로 늘어놓아 보여 줍니다. 여기서 삼각함수의 가장 중요한 성질인 주기성이 눈에 보입니다.
주기적으로 되풀이되는 현상은 어디에나 있습니다. 소리와 빛의 파동, 계절과 하루의 순환, 회전하는 물체의 위치가 모두 그렇습니다. 그래서 반복되는 신호를 사인과 코사인의 합으로 분해하는 일(58강 푸리에)이 가능하고, 그 분해가 스펙트로그램(410강)과 위치 인코딩(256강)의 바탕이 됩니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
문제.0≤x≤2π에서 y=sinx의 값을 특수각에서 계산해 그래프의 모양을 설명하고, x가 2π를 넘어가면 어떻게 되는지 말하세요.
생각의 실마리. 15강의 단위원에서 각이 늘어날 때 점의 y좌표가 어떻게 변하는지 따라갑니다. 점이 원을 한 바퀴 도는 동안 y좌표가 오르내리는 모습을 그대로 옆으로 펼치면 됩니다.
풀이. 특수각에서 값을 계산합니다.
x
0
\dfrac{\pi}
\dfrac{\pi}
\dfrac{5\pi}
π
\dfrac{3\pi}
2π
sinx
0
\dfrac{1}
1
\dfrac{1}
0
−1
0
단위원에서 점이 반시계로 돌 때 y좌표는 0에서 시작해 2π에서 최대 1이 되고, π에서 다시 0으로 내려오며, 23π에서 최소 −1이 되었다가 2π에서 0으로 돌아옵니다. 그래프는 이 오르내림을 그린 물결 모양입니다.
x가 2π를 넘어가면 점이 같은 자리를 다시 지나므로 값이 그대로 반복됩니다. 즉 sin(x+2π)=sinx이고, 그래프는 폭 2π짜리 물결이 좌우로 끝없이 이어진 모습입니다.
이 문제에서 배우는 것: 사인과 코사인의 그래프.
어떤 양수 p에 대해 모든 x에서 f(x+p)=f(x)가 성립하면 f를 주기함수라 하고, 그런 p 중 가장 작은 것을 주기라 합니다. 사인과 코사인의 주기는 2π입니다.
두 그래프의 성질을 정리합니다.
항목
y=sinx
y=cosx
정의역
실수 전체
실수 전체
치역
[−1,1]
[−1,1]
주기
2π
2π
최댓값 1이 되는 곳
x=2π+2nπ
x=2nπ
대칭성
기함수(원점 대칭)
우함수(y축 대칭)
x절편
x=nπ
x=2π+nπ
대칭성은 15강 문제 4에서 이미 얻었습니다. sin(−x)=−sinx이므로 사인은 기함수이고, cos(−x)=cosx이므로 코사인은 우함수입니다. 12강의 용어가 그대로 쓰입니다.
두 그래프의 관계도 15강 심화 3에서 예고했습니다.
sin(x+2π)=cosx
12강의 평행이동 규칙으로 읽으면 사인 그래프를 왼쪽으로 2π만큼 옮기면 코사인 그래프입니다. 두 함수는 모양이 완전히 같고 시작 위치만 다릅니다. 그래서 어느 쪽으로 써도 되며, 상황에 따라 편한 쪽을 고릅니다.
바로 확인.
확인 1-1. (기초) cos0과 cosπ를 구하고 코사인 그래프의 최댓값이 나오는 x를 말하세요. 답.1과 −1이며 최댓값은 x=2nπ에서 나옵니다. 풀이. 단위원에서 0의 점은 (1,0)이고 π의 점은 (−1,0)입니다. x좌표가 최대인 자리는 각이 0이거나 한 바퀴의 정수배일 때입니다.
확인 1-2. (표준) y=sinx가 0≤x≤2π에서 x축과 만나는 점을 모두 구하세요. 답.x=0, π, 2π 풀이. 단위원에서 y좌표가 0인 점은 x축 위의 두 점이며 각이 0, π, 2π입니다.
확인 1-3. (표준) cos(x−2π)을 sin으로 나타내세요. 답.sinx 풀이.cos을 오른쪽으로 2π 옮긴 것이며, 사인을 왼쪽으로 옮기면 코사인이 되므로 되돌리면 사인입니다. 15강의 변환 공식으로 확인하면 cos(2π−x)=sinx이고 코사인이 우함수라 부호를 바꿔도 같습니다.
문제.−2π<x<2π에서 y=tanx의 값을 계산하고, x가 2π에 가까워질 때 무슨 일이 일어나는지 설명하세요.
생각의 실마리.tanx=cosxsinx이므로 분모가 0이 되는 자리를 찾습니다. 10강에서 유리함수의 분모가 0에 가까워질 때 무슨 일이 일어났는지 떠올립니다.
풀이. 값을 계산합니다.
x
-\dfrac{\pi}
-\dfrac{\pi}
0
\dfrac{\pi}
\dfrac{\pi}
tanx
-\sqrt
−1
0
1
\sqrt
x가 2π에 가까워지면 sinx는 1에 가까워지는데 cosx는 0에 가까워집니다. 분자가 1 근처인데 분모가 한없이 작아지므로 값이 끝없이 커집니다. 반대쪽에서 −2π에 가까워지면 분모가 여전히 양수인 채로 0에 가까워지고 분자는 −1 근처이므로 값이 끝없이 작아집니다.
따라서 그래프는 x=±2π에서 끊어지고, 그 자리에 수직점근선이 생깁니다.
이 문제에서 배우는 것: 탄젠트의 그래프. y=tanx의 성질은 사인과 코사인과 상당히 다릅니다.
항목
y=tanx
정의역
x=2π+nπ인 실수
치역
실수 전체
주기
π
점근선
x=2π+nπ
대칭성
기함수(원점 대칭)
x절편
x=nπ
주기가 π인 것이 가장 중요한 차이입니다. 15강의 변환 공식에서 sin(π+θ)=−sinθ이고 cos(π+θ)=−cosθ이므로, 나누면 부호가 상쇄되어 tan(π+θ)=tanθ가 됩니다. 즉 반 바퀴만 돌아도 같은 값으로 돌아옵니다. 단위원에서 보면 원점을 지나는 직선의 기울기가 tanθ인데, 반대편 점도 같은 직선 위에 있어 기울기가 같기 때문입니다.
치역이 실수 전체인 것도 다릅니다. 사인과 코사인은 −1과 1 사이에 갇혀 있지만 탄젠트는 어떤 값이든 됩니다. 그래서 값의 범위를 실수 전체로 넓혀야 하는 자리에서 탄젠트와 그 역함수가 쓰입니다.
점근선 사이의 한 조각에서 탄젠트는 계속 증가합니다. 따라서 그 조각 안에서는 일대일이고, 11강의 기준에 따라 역함수를 가집니다. 이 역함수를 arctan이라 하며, 실수 전체를 (−2π,2π)로 눌러 담는 함수로 뒤에서 자주 쓰입니다.
바로 확인.
확인 2-1. (기초) tan4π과 tanπ를 구하세요. 답.1과 0 풀이.4π에서 sin과 cos이 같으므로 비가 1입니다. π에서 sin=0이므로 0입니다.
확인 2-2. (표준) tan45π을 구하세요. 답.1 풀이. 주기가 π이므로 45π=4π+π에서 값이 tan4π=1과 같습니다.
확인 2-3. (표준) y=tan2x의 주기와 점근선을 구하세요. 답. 주기는 2π이고 점근선은 x=4π+2nπ입니다. 풀이. 안쪽이 π만큼 변할 때 한 주기이므로 2x가 π 변하려면 x는 2π 변해야 합니다. 점근선은 2x=2π+nπ에서 나옵니다.
생각의 실마리. 두 항이 각각 −1과 1 사이이므로 합은 −2와 2 사이일 것 같습니다. 그런데 두 함수가 동시에 최댓값 1을 갖는 x가 있는지 확인해야 합니다. 없다면 실제 최댓값은 2보다 작습니다.
풀이.sinx=1이 되는 곳은 x=2π이고 cosx=1이 되는 곳은 x=0이라 서로 다릅니다. 따라서 합의 최댓값은 2보다 작습니다.
t=sinx+cosx로 두고 제곱합니다.
t2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+2sinxcosx
2sinxcosx의 최댓값을 알아야 합니다. 15강의 도구만으로는 아직 이 값을 다룰 수 없으므로 다른 길로 갑니다. sinxcosx는 sinx와 cosx의 곱이고, 8강의 산술기하평균 대신 제곱의 관계를 씁니다. (sinx−cosx)2≥0에서 1−2sinxcosx≥0이므로 2sinxcosx≤1입니다.
따라서 t2≤2이고 t≤2입니다. 등호는 sinx=cosx일 때이며 x=4π에서 실제로 22+22=2가 됩니다.
이 문제에서 배우는 것: 삼각함수의 합성. asinx+bcosx 꼴은 언제나 하나의 사인함수로 합쳐집니다.
asinx+bcosx=rsin(x+α),r=a2+b2
여기서 α는 cosα=ra, sinα=rb을 만족하는 각입니다. 이 공식의 유도에는 17강의 덧셈정리가 필요하므로 거기서 정식으로 다룹니다. 지금은 결과만 확인해 둡니다.
sinx+cosx=2sin(x+4π)
실제로 r=1+1=2이고 α=4π입니다. 이 꼴로 고치면 최댓값이 2, 최솟값이 −2, 주기가 2π임이 곧바로 보입니다. 문제 5에서 제곱으로 얻은 결과와 같습니다.
합성이 중요한 이유는 주기가 같은 사인과 코사인을 아무리 섞어도 결국 사인 하나라는 사실 때문입니다. 진폭과 위상만 바뀝니다. 이 성질이 58강의 푸리에 급수에서 각 주파수 성분을 하나의 파동으로 다룰 수 있게 해 줍니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) y=3sinx+4cosx의 최댓값을 구하세요. 답.5 풀이.r=9+16=5이므로 값의 범위는 −5부터 5까지입니다.
확인 5-2. (표준) y=sinx−cosx의 최솟값을 구하세요. 답.−2 풀이.r=1+1=2이므로 값은 −2부터 2까지입니다.
문제 10. (표준) y=sin(3x−2π)의 주기와 위상을 구하세요. 답. 주기는 32π이고 오른쪽으로 6π만큼 옮긴 것입니다. 풀이.3x−2π=3(x−6π)로 묶습니다.
문제 11. (표준) 0≤x<2π에서 sinx=−23을 푸세요. 답.x=34π 또는 x=35π 풀이.y좌표가 음수이므로 3사분면과 4사분면입니다. 기준각이 3π이므로 π+3π과 2π−3π입니다.
문제 12. (표준) 0≤x<2π에서 tanx=1을 푸세요. 답.x=4π 또는 x=45π 풀이. 주기가 π이므로 한 해를 찾은 뒤 π를 더하면 두 번째 해입니다.
문제 13. (표준) 0≤x<2π에서 cosx<21을 푸세요. 답.3π<x<35π 풀이. 단위원에서 세로선 x=21의 왼쪽 호입니다. 두 교점이 3π과 35π이고 그 사이가 왼쪽입니다.
문제 14. (표준) y=5sinx+12cosx의 최댓값과 최솟값을 구하세요. 답.13과 −13 풀이.r=25+144=13입니다.
문제 15. (표준) y=2sin(x−3π)+1이 최댓값을 갖는 x를 0≤x<2π에서 구하세요. 답.x=65π 풀이. 안쪽이 2π일 때 사인이 최대이므로 x−3π=2π이고 x=65π입니다.
문제 16. (심화) 0≤x<2π에서 2sin2x−3sinx+1=0을 푸세요. 답.x=6π, 65π, 2π 풀이.t=sinx로 두면 2t2−3t+1=0이고 (2t−1)(t−1)=0이므로 t=21 또는 t=1입니다. 두 값 모두 −1 이상 1 이하라 유효합니다. sinx=21에서 x=6π과 65π이고, sinx=1에서 x=2π입니다.
문제 17. (심화) 0≤x<2π에서 cos2x−sin2x=21을 만족하는 cos2x의 값을 구하세요. 답.43 풀이. 피타고라스 항등식에서 sin2x=1−cos2x이므로 주어진 식은 cos2x−(1−cos2x)=2cos2x−1=21입니다. 따라서 2cos2x=23이고 cos2x=43입니다.
문제 18. (심화) y=sin2x+2sinx의 최댓값과 최솟값을 구하세요. 답. 최댓값은 3이고 최솟값은 −1입니다. 풀이.t=sinx로 두면 −1≤t≤1이고 y=t2+2t=(t+1)2−1입니다. 6강의 방법으로 이 구간에서 축 t=−1이 왼쪽 끝이므로 최솟값은 t=−1에서 −1이고, 축에서 가장 먼 t=1에서 최댓값 4−1=3입니다. 두 t 모두 실제로 나오는 값입니다.
드릴에서는 주기와 최댓값을 구하고 방정식을 풀었습니다. 이 절에서는 주기가 왜 그 값인지 유도하고, 탄젠트의 주기가 절반인 이유를 밝힙니다. 마지막 문항은 위상을 잘못 읽는 흔한 방식을 반례로 잡아냅니다.
심화 1. (주기 공식 유도) y=sinbx(b>0)의 주기가 b2π임을 정의로 보이세요. 답.f(x+p)=f(x)가 되는 가장 작은 양수 p를 구하면 b2π입니다. 풀이. 주기의 정의에 따라 모든 x에서 sin(b(x+p))=sinbx가 되어야 합니다. 왼쪽은 sin(bx+bp)이고 사인의 주기가 2π이므로 이 등식이 모든 x에서 성립하려면 bp가 2π의 정수배여야 합니다. 즉 bp=2nπ이고 p=b2nπ입니다. 이 중 가장 작은 양수는 n=1일 때인 b2π입니다. 남는 것. 주기가 b에 반비례한다는 사실이 여기서 나옵니다. b가 크면 같은 구간에 물결이 더 많이 들어가고, 이것이 신호의 주파수입니다. 주파수와 주기가 서로 역수 관계인 이유가 이 유도에 담겨 있습니다.
심화 2. (탄젠트의 주기) tan의 주기가 π임을 두 가지 방법으로 보이세요. 답. 변환 공식으로도 나오고 단위원의 기울기로도 나옵니다. 풀이. 첫째 방법입니다. 15강의 변환 공식에서 sin(π+θ)=−sinθ이고 cos(π+θ)=−cosθ입니다. 나누면 분모와 분자의 음수 부호가 상쇄되어 tan(π+θ)=−cosθ−sinθ=tanθ입니다. 또 π보다 작은 양수 p에 대해 tan(p)=tan(0)=0이 되려면 p가 π의 배수여야 하므로 π가 가장 작은 주기입니다. 둘째 방법입니다. 단위원 위 각 θ의 점을 P라 하면 tanθ=xy는 원점과 P를 잇는 직선의 기울기입니다. 각을 π만큼 더하면 P가 원점 대칭인 반대편 점으로 옮겨 가는데, 그 점도 같은 직선 위에 있으므로 기울기가 같습니다. 남는 것. 둘째 방법이 왜 탄젠트만 주기가 절반인지 설명해 줍니다. 사인과 코사인은 점의 좌표라 반대편으로 가면 부호가 바뀌지만, 탄젠트는 좌표의 비라 두 부호가 상쇄됩니다. 비를 다루는 양은 부호 변화에 둔감하다는 일반적인 사실의 한 예입니다.
심화 3. (사인과 코사인의 관계) cosx를 사인의 평행이동으로 나타내고, 반대로 sinx를 코사인의 평행이동으로 나타내세요. 답.cosx=sin(x+2π)이고 sinx=cos(x−2π)입니다. 풀이. 15강 심화 3에서 sin(θ+2π)=cosθ를 얻었으므로 첫째가 성립합니다. 둘째는 첫째에서 x 자리에 x−2π를 넣으면 cos(x−2π)=sin(x−2π+2π)=sinx로 나옵니다. 15강의 변환 공식 cos(2π−x)=sinx와 코사인이 우함수라는 사실을 함께 써도 같은 결론입니다. 남는 것. 두 함수가 같은 곡선의 다른 구간이라는 뜻입니다. 그래서 어떤 주기 현상을 기술할 때 사인으로 쓰든 코사인으로 쓰든 위상만 다르고 내용은 같습니다. 문헌마다 다른 쪽을 쓰는 이유이며, 비교할 때는 위상을 맞춰 봐야 합니다.
심화 4. (합의 주기) y=sin2x+sin3x의 주기를 구하세요. 답.2π입니다. 풀이. 첫째 항의 주기는 π이고 둘째 항의 주기는 32π입니다. 합이 되풀이되려면 두 항이 동시에 제자리로 돌아와야 하므로, 두 주기의 공배수 중 가장 작은 것을 찾습니다. π의 배수는 π,2π,3π,…이고 32π의 배수는 32π,34π,2π,…입니다. 처음 겹치는 것은 2π입니다. 실제로 sin2(x+2π)=sin(2x+4π)=sin2x이고 sin3(x+2π)=sin(3x+6π)=sin3x입니다. 남는 것. 주기함수의 합은 각 주기의 최소공배수를 주기로 갖습니다. 두 주기의 비가 유리수가 아니면 공배수가 없어 합이 주기함수가 아니게 됩니다. 예를 들어 sinx+sin(2x)는 되풀이되지 않습니다. 58강의 푸리에 급수가 모든 항의 주기를 기본 주기의 정수배로 잡는 이유가 여기에 있습니다.
심화 5. (범위가 제한된 치환) 0≤x<2π에서 cos2x+cosx=0을 푸세요. 답.x=2π, 23π, π 풀이.t=cosx로 두면 t2+t=t(t+1)=0이므로 t=0 또는 t=−1입니다. 두 값 모두 −1≤t≤1을 만족하므로 유효합니다. cosx=0인 각은 2π와 23π이고, cosx=−1인 각은 π입니다. 세 해를 모두 원식에 넣어 확인하면 각각 0+0=0, 0+0=0, 1−1=0으로 맞습니다. 남는 것. 삼각함수를 치환할 때는 새 문자의 범위가 [−1,1]로 제한됩니다. 13강에서 지수를 치환할 때 t>0을 붙인 것, 5강에서 t=x2≥0을 붙인 것과 같은 구조입니다. 이 범위를 벗어난 근이 나오면 버려야 합니다. 다만 탄젠트를 치환할 때는 치역이 실수 전체라 제한이 없습니다.
심화 6. (위상 오해 깨기) "y=sin(2x−π)는 y=sin2x를 오른쪽으로 π만큼 옮긴 것이다"라는 주장을 판단하세요. 답. 거짓입니다. 오른쪽으로 2π만큼 옮긴 것입니다. 풀이. 12강에서 배운 대로 평행이동을 읽으려면 표준 꼴 f(b(x−c))로 묶어야 합니다. 2x−π=2(x−2π)이므로 이동량은 2π입니다. 구체적인 점으로 확인합니다. y=sin2x는 x=0에서 값이 0이고 그 직후 증가합니다. y=sin(2x−π)가 같은 상태가 되는 곳은 2x−π=0, 즉 x=2π입니다. 따라서 2π만큼 옮겨진 것이 맞습니다. 참고로 sin(2x−π)=−sin2x이므로 이 그래프는 x축 대칭과도 같은 결과인데, 주기가 π인 함수를 반 주기만큼 옮기면 뒤집힌 것과 같아지기 때문입니다. 남는 것. 안쪽 계수가 1이 아니면 상수항을 그대로 이동량으로 읽으면 안 됩니다. 12강 심화 6에서 부호 방향을 틀리는 잘못을 다뤘다면, 여기서는 크기를 틀리는 잘못입니다. 두 잘못 모두 표준 꼴로 묶는 한 단계를 건너뛸 때 생깁니다.
import numpy as np
x = np.linspace(0, 4*np.pi, 400001)
# 문제 9: y = -2cos x + 3 의 최대 5, 최소 1
y = -2*np.cos(x) + 3
print(round(y.max(), 6), round(y.min(), 6)) # 5.0 1.0
# 문제 14: 5 sin x + 12 cos x 의 최대가 13 인지 확인
y = 5*np.sin(x) + 12*np.cos(x)
print(round(y.max(), 4), round(y.min(), 4)) # 13.0 -13.0
# 심화 4: sin2x + sin3x 의 주기가 2π 인지 확인
f = lambda t: np.sin(2*t) + np.sin(3*t)
t = np.linspace(0, 5, 5001)
print(np.allclose(f(t), f(t + 2*np.pi)),
np.allclose(f(t), f(t + np.pi))) # True False
# 심화 6: sin(2x - π) 는 π/2 만큼 옮긴 것입니다
g = lambda t: np.sin(2*t)
print(np.allclose(np.sin(2*x - np.pi), g(x - np.pi/2))) # True
세 번째 블록에서 2π를 더하면 값이 같고 π를 더하면 다르다는 것이 주기가 2π라는 확인입니다. 마지막 줄은 심화 6의 판단을 그대로 검증합니다.