15강에서 삼각비를 단위원으로 확장하고 16강에서 그래프로 펼쳤습니다. 그런데 아직 못 하는 계산이 있습니다. sin ( A + B ) sin ( A + B ) sin A sin A sin B sin B f ( A + B ) f ( A + B ) f ( A ) + f ( B ) f ( A ) + f ( B ) sin ( A + B ) sin ( A + B ) sin A + sin B sin A + sin B
그 답인 덧셈정리 가 삼각함수 계산의 중심입니다. 배각공식, 반각공식, 합성공식이 모두 여기에서 나오고, 회전변환 행렬(352강)과 푸리에 급수의 직교성(58강)도 덧셈정리의 결과입니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
덧셈정리를 좌표로 유도하고 자유롭게 적용할 수 있습니다.
배각공식과 반각공식을 덧셈정리에서 끌어낼 수 있습니다.
합성공식으로 a sin x + b cos x a sin x + b cos x
곱을 합으로, 합을 곱으로 바꾸는 변형을 쓸 수 있습니다.
항등식을 이용해 삼각방정식을 단순화해 풀 수 있습니다.
문제. 7 5 ∘ 7 5 ∘ 75 = 45 + 30 7 5 = 4 5 + 3 0 sin 7 5 ∘ sin 7 5 ∘
생각의 실마리. sin ( A + B ) sin ( A + B ) A A B B
풀이. 단위원 위에서 각 A A P ( cos A , sin A ) P ( cos A , sin A ) B B Q ( cos B , sin B ) Q ( cos B , sin B )
첫째로 좌표로 거리를 계산합니다.
P Q ‾ 2 = ( cos A − cos B ) 2 + ( sin A − sin B ) 2 P Q 2 = ( cos A − cos B ) 2 + ( sin A − sin B ) 2
전개하면 2 A + 2 A + 2 B + 2 B − 2 ( cos A cos B + sin A sin B ) cos 2 A + sin 2 A + cos 2 B + sin 2 B − 2 ( cos A cos B + sin A sin B ) 2 2
P Q ‾ 2 = 2 − 2 ( cos A cos B + sin A sin B ) P Q 2 = 2 − 2 ( cos A cos B + sin A sin B )
둘째로 코사인법칙으로 계산합니다. 삼각형 O P Q O P Q 1 1 A − B A − B
P Q ‾ 2 = 1 + 1 − 2 cos ( A − B ) = 2 − 2 cos ( A − B ) P Q 2 = 1 + 1 − 2 cos ( A − B ) = 2 − 2 cos ( A − B )
두 결과를 같다고 놓으면
cos ( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B cos ( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B
가 나옵니다. 여기서 B B − B − B
이제 sin 7 5 ∘ sin 7 5 ∘ sin θ = cos ( 9 0 ∘ − θ ) sin θ = cos ( 9 0 ∘ − θ ) sin 7 5 ∘ = cos 1 5 ∘ = cos ( 4 5 ∘ − 3 0 ∘ ) sin 7 5 ∘ = cos 1 5 ∘ = cos ( 4 5 ∘ − 3 0 ∘ )
cos 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ + sin 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 2 2 ⋅ 3 2 + 2 2 ⋅ 1 2 = 6 + 2 4 cos 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ + sin 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 2 2 ⋅ 2 3 + 2 2 ⋅ 2 1 = 4 6 + 2
이 문제에서 배우는 것: 덧셈정리. 덧셈정리 라 합니다.
sin ( A ± B ) = sin A cos B ± cos A sin B sin ( A ± B ) = sin A cos B ± cos A sin B
cos ( A ± B ) = cos A cos B ∓ sin A sin B cos ( A ± B ) = cos A cos B ∓ sin A sin B
tan ( A ± B ) = tan A ± tan B 1 ∓ tan A tan B tan ( A ± B ) = 1 ∓ tan A tan B tan A ± tan B
부호 규칙을 눈여겨봅니다. 사인은 부호가 그대로 따라가고, 코사인은 부호가 뒤집힙니다. 탄젠트는 분자가 그대로이고 분모가 뒤집힙니다. 이 어긋남이 실수의 원천이므로, 헷갈리면 A = B = 0 A = B = 0
탄젠트 쪽은 앞의 두 식에서 나옵니다. tan ( A + B ) = sin ( A + B ) cos ( A + B ) tan ( A + B ) = cos ( A + B ) sin ( A + B ) cos A cos B cos A cos B
덧셈정리는 각의 덧셈을 삼각비의 곱셈과 덧셈으로 바꿉니다. 이 구조 때문에 회전을 연달아 적용하는 계산이 곱셈으로 표현되고, 그것이 352강에서 회전변환 행렬의 곱으로 나타납니다.
바로 확인.
확인 1-1. (기초) cos 7 5 ∘ cos 7 5 ∘ 답. 6 − 2 4 4 6 − 2 풀이. cos ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = cos 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ − sin 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 6 4 − 2 4 cos ( 4 5 ∘ + 3 0 ∘ ) = cos 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ − sin 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 4 6 − 4 2
확인 1-2. (표준) sin 1 5 ∘ sin 1 5 ∘ 답. 6 − 2 4 4 6 − 2 풀이. sin ( 4 5 ∘ − 3 0 ∘ ) = sin 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ − cos 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 6 4 − 2 4 sin ( 4 5 ∘ − 3 0 ∘ ) = sin 4 5 ∘ cos 3 0 ∘ − cos 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ = 4 6 − 4 2 cos 7 5 ∘ cos 7 5 ∘
확인 1-3. (표준) tan 1 5 ∘ tan 1 5 ∘ 답. 2 − 3 2 − 3 풀이. tan ( 4 5 ∘ − 3 0 ∘ ) = 1 − 1 3 1 + 1 ⋅ 1 3 = 3 − 1 3 + 1 tan ( 4 5 ∘ − 3 0 ∘ ) = 1 + 1 ⋅ 3 1 1 − 3 1 = 3 + 1 3 − 1 3 − 1 3 − 1 ( 3 − 1 ) 2 2 = 4 − 2 3 2 = 2 − 3 2 ( 3 − 1 ) 2 = 2 4 − 2 3 = 2 − 3
문제. sin 2 θ sin 2 θ cos 2 θ cos 2 θ sin θ sin θ cos θ cos θ
생각의 실마리. 2 θ = θ + θ 2 θ = θ + θ A = B = θ A = B = θ
풀이. 덧셈정리에 A = B = θ A = B = θ
sin 2 θ = sin θ cos θ + cos θ sin θ = 2 sin θ cos θ sin 2 θ = sin θ cos θ + cos θ sin θ = 2 sin θ cos θ
cos 2 θ = cos θ cos θ − sin θ sin θ = 2 θ − 2 θ cos 2 θ = cos θ cos θ − sin θ sin θ = cos 2 θ − sin 2 θ
코사인 쪽은 피타고라스 항등식 2 θ + 2 θ = 1 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 2 θ = 1 − 2 θ sin 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 2 θ − 1 2 cos 2 θ − 1 2 θ = 1 − 2 θ cos 2 θ = 1 − sin 2 θ 1 − 2 2 θ 1 − 2 sin 2 θ
이 문제에서 배우는 것: 배각공식과 반각공식.
sin 2 θ = 2 sin θ cos θ sin 2 θ = 2 sin θ cos θ
cos 2 θ = 2 θ − 2 θ = 2 2 θ − 1 = 1 − 2 2 θ cos 2 θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sin 2 θ
tan 2 θ = 2 tan θ 1 − 2 θ tan 2 θ = 1 − tan 2 θ 2 tan θ
코사인의 세 가지 꼴은 상황에 따라 골라 씁니다. 사인만 남기고 싶으면 세 번째, 코사인만 남기고 싶으면 두 번째를 씁니다.
두 번째와 세 번째 꼴을 거꾸로 풀면 반각공식 이 나옵니다.
2 θ = 1 + cos 2 θ 2 , 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 cos 2 θ = 2 1 + cos 2 θ , sin 2 θ = 2 1 − cos 2 θ
이 두 식은 제곱을 일차로 낮춥니다. 각이 두 배가 되는 대신 지수가 하나 내려가는 거래인데, 적분에서 결정적으로 유용합니다. 2 x sin 2 x 1 − cos 2 x 2 2 1 − cos 2 x
세 배각도 같은 방식으로 나옵니다. 3 θ = 2 θ + θ 3 θ = 2 θ + θ sin 3 θ = 3 sin θ − 4 3 θ sin 3 θ = 3 sin θ − 4 sin 3 θ cos 3 θ = 4 3 θ − 3 cos θ cos 3 θ = 4 cos 3 θ − 3 cos θ
바로 확인.
확인 2-1. (기초) sin θ = 3 5 sin θ = 5 3 θ θ sin 2 θ sin 2 θ 답. 24 25 2 5 2 4 풀이. cos θ = 4 5 cos θ = 5 4 2 × 3 5 × 4 5 = 24 25 2 × 5 3 × 5 4 = 2 5 2 4
확인 2-2. (표준) 같은 조건에서 cos 2 θ cos 2 θ 답. 7 25 2 5 7 풀이. 1 − 2 2 θ = 1 − 2 × 9 25 = 7 25 1 − 2 sin 2 θ = 1 − 2 × 2 5 9 = 2 5 7
확인 2-3. (표준) 2 π 8 cos 2 8 π 답. 2 + 2 4 4 2 + 2 풀이. 2 π 8 = 1 + cos π 4 2 = 1 + 2 2 2 = 2 + 2 4 cos 2 8 π = 2 1 + cos 4 π = 2 1 + 2 2 = 4 2 + 2
문제. 3 sin x + cos x 3 sin x + cos x r sin ( x + α ) r sin ( x + α )
생각의 실마리. 목표 꼴을 덧셈정리로 펼쳐 봅니다. 펼친 결과와 주어진 식의 계수를 비교하면 r r α α
풀이. 오른쪽을 덧셈정리로 펼칩니다.
r sin ( x + α ) = r sin x cos α + r cos x sin α r sin ( x + α ) = r sin x cos α + r cos x sin α
주어진 식과 계수를 비교하면 r cos α = 3 r cos α = 3 r sin α = 1 r sin α = 1
두 식을 각각 제곱해 더하면 r 2 ( 2 α + 2 α ) = 3 + 1 r 2 ( cos 2 α + sin 2 α ) = 3 + 1 r 2 = 4 r 2 = 4 r = 2 r = 2
이제 cos α = 3 2 cos α = 2 3 sin α = 1 2 sin α = 2 1 α = π 6 α = 6 π
3 sin x + cos x = 2 sin ( x + π 6 ) 3 sin x + cos x = 2 sin ( x + 6 π )
검산으로 x = 0 x = 0 1 1 2 sin π 6 = 1 2 sin 6 π = 1
이 문제에서 배우는 것: 삼각함수의 합성. a a b b 0 0
a sin x + b cos x = r sin ( x + α ) , r = a 2 + b 2 a sin x + b cos x = r sin ( x + α ) , r = a 2 + b 2
여기서 α α cos α = a r cos α = r a sin α = b r sin α = r b 1 1 α α
16강 문제 5에서 결과만 소개했던 공식이 여기서 유도되었습니다. 합성의 값어치는 세 가지입니다.
최댓값과 최솟값이 곧바로 보입니다. 사인 하나이므로 r r − r − r 주기가 유지됩니다. 같은 주기의 사인과 코사인을 섞어도 주기가 변하지 않습니다.방정식이 풀립니다. a sin x + b cos x = c a sin x + b cos x = c sin ( x + α ) = c r sin ( x + α ) = r c
r cos ( x − β ) r cos ( x − β )
바로 확인.
확인 3-1. (기초) sin x + 3 cos x sin x + 3 cos x 답. 2 sin ( x + π 3 ) 2 sin ( x + 3 π ) 풀이. r = 1 + 3 = 2 r = 1 + 3 = 2 cos α = 1 2 cos α = 2 1 sin α = 3 2 sin α = 2 3 α = π 3 α = 3 π
확인 3-2. (표준) sin x − cos x sin x − cos x 답. 2 sin ( x − π 4 ) 2 sin ( x − 4 π ) 풀이. a = 1 a = 1 b = − 1 b = − 1 r = 2 r = 2 cos α = 1 2 cos α = 2 1 sin α = − 1 2 sin α = − 2 1 α = − π 4 α = − 4 π
확인 3-3. (표준) 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π sin x + cos x = 1 sin x + cos x = 1 답. x = 0 x = 0 x = π 2 x = 2 π 풀이. 합성하면 2 sin ( x + π 4 ) = 1 2 sin ( x + 4 π ) = 1 sin ( x + π 4 ) = 1 2 sin ( x + 4 π ) = 2 1 u u π 4 ≤ u < 2 π + π 4 4 π ≤ u < 2 π + 4 π u = π 4 u = 4 π u = 3 π 4 u = 4 3 π x = 0 x = 0 x = π 2 x = 2 π 1 1
문제. sin 3 x cos x sin 3 x cos x
생각의 실마리. 덧셈정리 두 개를 나란히 써 놓고 더하거나 빼 봅니다. 같은 항이 상쇄되고 원하는 곱만 남는 조합이 있는지 찾습니다.
풀이. 사인의 덧셈정리 두 개를 씁니다.
sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B
sin ( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B sin ( A − B ) = sin A cos B − cos A sin B
두 식을 더하면 뒤 항이 상쇄되어 sin ( A + B ) + sin ( A − B ) = 2 sin A cos B sin ( A + B ) + sin ( A − B ) = 2 sin A cos B 2 2
sin A cos B = 1 2 ( sin ( A + B ) + sin ( A − B ) ) sin A cos B = 2 1 ( sin ( A + B ) + sin ( A − B ) )
A = 3 x A = 3 x B = x B = x
sin 3 x cos x = 1 2 ( sin 4 x + sin 2 x ) sin 3 x cos x = 2 1 ( sin 4 x + sin 2 x )
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 곱을 합으로, 합을 곱으로.
sin A cos B = 1 2 ( sin ( A + B ) + sin ( A − B ) ) sin A cos B = 2 1 ( sin ( A + B ) + sin ( A − B ) )
cos A sin B = 1 2 ( sin ( A + B ) − sin ( A − B ) ) cos A sin B = 2 1 ( sin ( A + B ) − sin ( A − B ) )
cos A cos B = 1 2 ( cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ) cos A cos B = 2 1 ( cos ( A + B ) + cos ( A − B ) )
sin A sin B = 1 2 ( cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ) sin A sin B = 2 1 ( cos ( A − B ) − cos ( A + B ) )
마지막 식에서 부호 순서가 뒤집힌 점을 주의합니다. 코사인의 덧셈정리에서 sin A sin B sin A sin B
반대 방향인 합을 곱으로 바꾸는 식은 위 식들에서 A + B = X A + B = X A − B = Y A − B = Y
sin X + sin Y = 2 sin X + Y 2 cos X − Y 2 sin X + sin Y = 2 sin 2 X + Y cos 2 X − Y
cos X + cos Y = 2 cos X + Y 2 cos X − Y 2 cos X + cos Y = 2 cos 2 X + Y cos 2 X − Y
두 방향은 각각 다른 곳에 쓰입니다. 곱을 합으로 바꾸는 쪽은 적분과 푸리에 계수 계산에서 씁니다. 주기가 다른 두 사인의 곱을 한 주기에서 적분하면 0 0 합을 곱으로 바꾸는 쪽은 방정식을 인수분해할 때 씁니다. 합이 0 0 0 0
바로 확인.
확인 4-1. (기초) 2 sin 5 x cos 3 x 2 sin 5 x cos 3 x 답. sin 8 x + sin 2 x sin 8 x + sin 2 x 풀이. 공식에서 A = 5 x A = 5 x B = 3 x B = 3 x 2 2 1 2 2 1
확인 4-2. (표준) cos 5 x + cos 3 x cos 5 x + cos 3 x 답. 2 cos 4 x cos x 2 cos 4 x cos x 풀이. X + Y 2 = 4 x 2 X + Y = 4 x X − Y 2 = x 2 X − Y = x
확인 4-3. (표준) 0 ≤ x < π 0 ≤ x < π sin 3 x + sin x = 0 sin 3 x + sin x = 0 답. x = 0 x = 0 x = π 2 x = 2 π 풀이. 합을 곱으로 바꾸면 2 sin 2 x cos x = 0 2 sin 2 x cos x = 0 sin 2 x = 0 sin 2 x = 0 2 x = 0 2 x = 0 π π x = 0 x = 0 x = π 2 x = 2 π cos x = 0 cos x = 0 x = π 2 x = 2 π 0 0 π 2 2 π
문제. 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π cos 2 x + 3 sin x = 2 cos 2 x + 3 sin x = 2
생각의 실마리. 식 안에 2 x 2 x x x cos 2 x cos 2 x x x
풀이. cos 2 x = 1 − 2 2 x cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x
1 − 2 2 x + 3 sin x = 2 ⟹ 2 2 x − 3 sin x + 1 = 0 1 − 2 sin 2 x + 3 sin x = 2 ⟹ 2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0
t = sin x t = sin x − 1 ≤ t ≤ 1 − 1 ≤ t ≤ 1 2 t 2 − 3 t + 1 = 0 2 t 2 − 3 t + 1 = 0 ( 2 t − 1 ) ( t − 1 ) = 0 ( 2 t − 1 ) ( t − 1 ) = 0 t = 1 2 t = 2 1 t = 1 t = 1
sin x = 1 2 sin x = 2 1 x = π 6 x = 6 π 5 π 6 6 5 π sin x = 1 sin x = 1 x = π 2 x = 2 π
x = π 6 , π 2 , 5 π 6 x = 6 π , 2 π , 6 5 π
검산으로 x = π 2 x = 2 π cos π + 3 = − 1 + 3 = 2 cos π + 3 = − 1 + 3 = 2
이 문제에서 배우는 것: 항등식을 쓰는 전략. 다룰 수 있는 꼴로 바꾸는 것 입니다. 전략은 세 가지입니다.
각을 통일합니다. 2 x 2 x x x x x x x 함수를 통일합니다. 사인과 코사인이 섞여 있으면 피타고라스 항등식으로 한쪽만 남깁니다. 다만 sin x sin x cos x cos x 인수분해합니다. 합을 곱으로 바꾸거나 공통인수를 묶어 ( ) ( ) = 0 ( ) ( ) = 0
바꾼 뒤에는 언제나 같은 확인이 따릅니다. 치환한 문자의 범위 제한 (sin sin cos cos [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] 주어진 범위 안 에 있는지입니다.
한 가지 더 주의할 것이 있습니다. 양변을 sin x sin x 0 0
바로 확인.
확인 5-1. (기초) 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π sin 2 x = 0 sin 2 x = 0 답. x = 0 , π 2 , π , 3 π 2 x = 0 , 2 π , π , 2 3 π 풀이. 2 x 2 x 0 0 4 π 4 π 2 x = 0 , π , 2 π , 3 π 2 x = 0 , π , 2 π , 3 π 2 2
확인 5-2. (표준) 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π sin 2 x = sin x sin 2 x = sin x 답. x = 0 , π 3 , π , 5 π 3 x = 0 , 3 π , π , 3 5 π 풀이. 배각공식으로 2 sin x cos x = sin x 2 sin x cos x = sin x sin x ( 2 cos x − 1 ) = 0 sin x ( 2 cos x − 1 ) = 0 sin x sin x sin x = 0 sin x = 0 sin x = 0 sin x = 0 x = 0 , π x = 0 , π cos x = 1 2 cos x = 2 1 x = π 3 , 5 π 3 x = 3 π , 3 5 π
확인 5-3. (표준) 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π 2 2 x + sin x = 1 2 cos 2 x + sin x = 1 답. x = π 2 , 7 π 6 , 11 π 6 x = 2 π , 6 7 π , 6 1 1 π 풀이. 2 x = 1 − 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 x 2 − 2 2 x + sin x = 1 2 − 2 sin 2 x + sin x = 1 2 2 x − sin x − 1 = 0 2 sin 2 x − sin x − 1 = 0 ( 2 sin x + 1 ) ( sin x − 1 ) = 0 ( 2 sin x + 1 ) ( sin x − 1 ) = 0 sin x = − 1 2 sin x = − 2 1 sin x = 1 sin x = 1 x = 7 π 6 , 11 π 6 x = 6 7 π , 6 1 1 π x = π 2 x = 2 π π 2 2 π 7 π 6 6 7 π 11 π 6 6 1 1 π
상황
도구
요령
특수각의 합이나 차
덧셈정리
사인은 부호가 그대로, 코사인은 뒤집힙니다
각이 두 배
배각공식
코사인은 세 꼴 중 편한 것을 고릅니다
제곱을 낮추고 싶음
반각공식
각이 커지는 대신 차수가 내려갑니다
a sin x + b cos x a sin x + b cos x 합성
r = a 2 + b 2 r = a 2 + b 2
곱을 적분하고 싶음
곱을 합으로
덧셈정리를 더하거나 뺍니다
합이 0 0
합을 곱으로
곱이 0 0
각이 섞임
각 통일
배각이나 반각으로 맞춥니다
함수가 섞임
함수 통일
피타고라스 항등식으로 한쪽만 남깁니다
공통인수가 보임
인수분해
나누지 말고 이항해 묶습니다
핵심 습관은 이렇습니다. 항등식은 외우기보다 덧셈정리에서 끌어내고, 방정식은 각과 함수를 통일한 뒤 치환하며, 나누고 싶을 때는 대신 묶습니다.
문제 6. (기초) sin ( x + π 2 ) sin ( x + 2 π ) 답. cos x cos x 풀이. sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = 0 + cos x sin x cos 2 π + cos x sin 2 π = 0 + cos x
문제 7. (기초) cos ( π − x ) cos ( π − x ) 답. − cos x − cos x 풀이. cos π cos x + sin π sin x = − cos x + 0 cos π cos x + sin π sin x = − cos x + 0
문제 8. (기초) sin θ = 5 13 sin θ = 1 3 5 θ θ sin 2 θ sin 2 θ 답. 120 169 1 6 9 1 2 0 풀이. cos θ = 12 13 cos θ = 1 3 1 2 2 × 5 13 × 12 13 = 120 169 2 × 1 3 5 × 1 3 1 2 = 1 6 9 1 2 0
문제 9. (표준) cos 10 5 ∘ cos 1 0 5 ∘ 답. 2 − 6 4 4 2 − 6 풀이. 10 5 ∘ = 6 0 ∘ + 4 5 ∘ 1 0 5 ∘ = 6 0 ∘ + 4 5 ∘ cos 6 0 ∘ cos 4 5 ∘ − sin 6 0 ∘ sin 4 5 ∘ = 2 4 − 6 4 cos 6 0 ∘ cos 4 5 ∘ − sin 6 0 ∘ sin 4 5 ∘ = 4 2 − 4 6 10 5 ∘ 1 0 5 ∘
문제 10. (표준) tan A = 2 tan A = 2 tan B = 3 tan B = 3 tan ( A + B ) tan ( A + B ) 답. − 1 − 1 풀이. 2 + 3 1 − 2 × 3 = 5 − 5 = − 1 1 − 2 × 3 2 + 3 = − 5 5 = − 1
문제 11. (표준) cos θ = 3 5 cos θ = 5 3 θ θ cos 2 θ cos 2 θ 답. − 7 25 − 2 5 7 풀이. 2 2 θ − 1 = 2 × 9 25 − 1 = 18 − 25 25 = − 7 25 2 cos 2 θ − 1 = 2 × 2 5 9 − 1 = 2 5 1 8 − 2 5 = − 2 5 7
문제 12. (표준) 2 π 12 sin 2 1 2 π 답. 2 − 3 4 4 2 − 3 풀이. 1 − cos π 6 2 = 1 − 3 2 2 = 2 − 3 4 2 1 − cos 6 π = 2 1 − 2 3 = 4 2 − 3
문제 13. (표준) 3 sin x − 4 cos x 3 sin x − 4 cos x 답. 5 sin ( x + α ) 5 sin ( x + α ) 5 5 풀이. r = 9 + 16 = 5 r = 9 + 1 6 = 5 cos α = 3 5 cos α = 5 3 sin α = − 4 5 sin α = − 5 4 α α
문제 14. (표준) 2 cos 4 x sin 2 x 2 cos 4 x sin 2 x 답. sin 6 x − sin 2 x sin 6 x − sin 2 x 풀이. cos A sin B = 1 2 ( sin ( A + B ) − sin ( A − B ) ) cos A sin B = 2 1 ( sin ( A + B ) − sin ( A − B ) ) A = 4 x A = 4 x B = 2 x B = 2 x 2 2 1 2 2 1
문제 15. (표준) sin 7 x − sin 3 x sin 7 x − sin 3 x 답. 2 cos 5 x sin 2 x 2 cos 5 x sin 2 x 풀이. 차를 곱으로 바꾸는 식 sin X − sin Y = 2 cos X + Y 2 sin X − Y 2 sin X − sin Y = 2 cos 2 X + Y sin 2 X − Y X + Y 2 = 5 x 2 X + Y = 5 x X − Y 2 = 2 x 2 X − Y = 2 x
문제 16. (심화) 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π cos 2 x + cos x = 0 cos 2 x + cos x = 0 답. x = π 3 , π , 5 π 3 x = 3 π , π , 3 5 π 풀이. 배각공식으로 2 2 x − 1 + cos x = 0 2 cos 2 x − 1 + cos x = 0 t = cos x t = cos x 2 t 2 + t − 1 = 0 2 t 2 + t − 1 = 0 ( 2 t − 1 ) ( t + 1 ) = 0 ( 2 t − 1 ) ( t + 1 ) = 0 t = 1 2 t = 2 1 t = − 1 t = − 1 cos x = 1 2 cos x = 2 1 x = π 3 , 5 π 3 x = 3 π , 3 5 π cos x = − 1 cos x = − 1 x = π x = π
문제 17. (심화) 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π sin x + 3 cos x = 1 sin x + 3 cos x = 1 답. x = π 2 x = 2 π x = 11 π 6 x = 6 1 1 π 풀이. 합성하면 2 sin ( x + π 3 ) = 1 2 sin ( x + 3 π ) = 1 sin ( x + π 3 ) = 1 2 sin ( x + 3 π ) = 2 1 u = x + π 3 u = x + 3 π π 3 ≤ u < 2 π + π 3 3 π ≤ u < 2 π + 3 π sin u = 1 2 sin u = 2 1 u u 5 π 6 6 5 π 2 π + π 6 = 13 π 6 2 π + 6 π = 6 1 3 π x = 5 π 6 − π 3 = π 2 x = 6 5 π − 3 π = 2 π x = 13 π 6 − π 3 = 11 π 6 x = 6 1 3 π − 3 π = 6 1 1 π x = π 2 x = 2 π 1 + 0 = 1 1 + 0 = 1 x = 11 π 6 x = 6 1 1 π − 1 2 + 3 2 = 1 − 2 1 + 2 3 = 1
문제 18. (심화) tan θ = 1 2 tan θ = 2 1 tan 2 θ tan 2 θ tan 3 θ tan 3 θ 답. tan 2 θ = 4 3 tan 2 θ = 3 4 tan 3 θ = 11 2 tan 3 θ = 2 1 1 풀이. 배각공식으로 tan 2 θ = 2 × 1 2 1 − 1 4 = 1 3 4 = 4 3 tan 2 θ = 1 − 4 1 2 × 2 1 = 4 3 1 = 3 4 3 θ = 2 θ + θ 3 θ = 2 θ + θ tan 3 θ = 4 3 + 1 2 1 − 4 3 × 1 2 = 11 6 1 3 = 11 2 tan 3 θ = 1 − 3 4 × 2 1 3 4 + 2 1 = 3 1 6 1 1 = 2 1 1
드릴에서는 공식을 적용해 값을 구했습니다. 이 절에서는 그 공식들이 하나의 덧셈정리에서 어떻게 갈라져 나오는지 확인하고, 합성이 왜 언제나 가능한지 밝힙니다. 마지막 문항은 삼각함수 기호를 잘못 다루는 흔한 방식을 반례로 잡아냅니다.
심화 1. (하나에서 모두) 덧셈정리 하나에서 배각공식, 반각공식, 곱을 합으로 바꾸는 식이 모두 나옴을 정리하세요.답. 같은 각을 넣으면 배각, 그것을 거꾸로 풀면 반각, 두 식을 더하거나 빼면 곱을 합으로 바꾸는 식이 됩니다.풀이. cos ( A + B ) = cos A cos B − sin A sin B cos ( A + B ) = cos A cos B − sin A sin B B = A B = A cos 2 A = 2 A − 2 A cos 2 A = cos 2 A − sin 2 A 2 A sin 2 A cos 2 A = 2 2 A − 1 cos 2 A = 2 cos 2 A − 1 2 A cos 2 A 2 A = 1 + cos 2 A 2 cos 2 A = 2 1 + cos 2 A cos ( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B cos ( A − B ) = cos A cos B + sin A sin B sin sin cos ( A + B ) + cos ( A − B ) = 2 cos A cos B cos ( A + B ) + cos ( A − B ) = 2 cos A cos B sin A sin B sin A sin B 남는 것. 이 강의의 모든 공식이 덧셈정리 하나의 파생입니다. 외울 목록이 길어 보이지만 실제로 기억할 것은 덧셈정리 두 줄이고, 나머지는 그 자리에서 만들어 쓸 수 있습니다. 공식을 잊었을 때 다시 만들 수 있는지가 이해했는지의 기준입니다.
심화 2. (합성의 존재성) 임의의 실수 a , b a , b 0 0 a sin x + b cos x = r sin ( x + α ) a sin x + b cos x = r sin ( x + α ) r > 0 r > 0 α α 답. ( a r , b r ) ( r a , r b ) 풀이. r = a 2 + b 2 r = a 2 + b 2 a a b b 0 0 r > 0 r > 0 ( a r , b r ) ( r a , r b ) a 2 + b 2 r 2 = 1 r 2 a 2 + b 2 = 1 α α ( cos α , sin α ) ( cos α , sin α ) cos α = a r cos α = r a sin α = b r sin α = r b α α r sin ( x + α ) = r ( sin x cos α + cos x sin α ) = r ( sin x ⋅ a r + cos x ⋅ b r ) = a sin x + b cos x r sin ( x + α ) = r ( sin x cos α + cos x sin α ) = r ( sin x ⋅ r a + cos x ⋅ r b ) = a sin x + b cos x 남는 것. 존재성의 근거가 "단위원 위의 점에는 각이 대응한다"는 15강의 정의뿐이라는 점이 중요합니다. α α r r α α
심화 3. (세 배각 유도) sin 3 θ = 3 sin θ − 4 3 θ sin 3 θ = 3 sin θ − 4 sin 3 θ 답. 3 θ = 2 θ + θ 3 θ = 2 θ + θ 풀이. sin 3 θ = sin ( 2 θ + θ ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ sin 3 θ = sin ( 2 θ + θ ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ 2 sin θ cos θ ⋅ cos θ = 2 sin θ 2 θ 2 sin θ cos θ ⋅ cos θ = 2 sin θ cos 2 θ ( 1 − 2 2 θ ) sin θ ( 1 − 2 sin 2 θ ) sin θ 2 θ cos 2 θ 1 − 2 θ 1 − sin 2 θ 2 sin θ − 2 3 θ 2 sin θ − 2 sin 3 θ sin θ − 2 3 θ sin θ − 2 sin 3 θ 3 sin θ − 4 3 θ 3 sin θ − 4 sin 3 θ 남는 것. 각을 쪼개어 이미 아는 공식으로 되돌리는 방식이 일반적입니다. n n sin θ sin θ cos θ cos θ
심화 4. (직교성의 씨앗) sin 2 x sin 3 x sin 2 x sin 3 x 0 0 답. 1 2 ( cos x − cos 5 x ) 2 1 ( cos x − cos 5 x ) 풀이. 공식 sin A sin B = 1 2 ( cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ) sin A sin B = 2 1 ( cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ) A = 2 x A = 2 x B = 3 x B = 3 x 1 2 ( cos ( − x ) − cos 5 x ) 2 1 ( cos ( − x ) − cos 5 x ) 1 2 ( cos x − cos 5 x ) 2 1 ( cos x − cos 5 x ) x x 0 0 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π 0 0 남는 것. 서로 다른 주파수의 사인끼리는 곱해서 적분하면 0 0 0 0
심화 5. (해를 잃지 않기) 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π sin 2 x = cos x sin 2 x = cos x cos x cos x 답. x = π 6 , π 2 , 5 π 6 , 3 π 2 x = 6 π , 2 π , 6 5 π , 2 3 π cos x = 0 cos x = 0 풀이. 배각공식으로 2 sin x cos x = cos x 2 sin x cos x = cos x cos x ( 2 sin x − 1 ) = 0 cos x ( 2 sin x − 1 ) = 0 cos x = 0 cos x = 0 sin x = 1 2 sin x = 2 1 x = π 2 , 3 π 2 x = 2 π , 2 3 π x = π 6 , 5 π 6 x = 6 π , 6 5 π cos x cos x 2 sin x = 1 2 sin x = 1 cos x cos x 0 0 남는 것. 삼각방정식에서 해를 잃는 가장 흔한 경로가 이 나눗셈입니다. 양변에 같은 삼각함수가 곱해져 있으면 나누고 싶어지지만, 반드시 이항해 인수분해해야 합니다. 곱이 0 0
심화 6. (기호 오해 깨기) "2 x sin 2 x sin ( x 2 ) sin ( x 2 ) sin 2 x = 2 sin x sin 2 x = 2 sin x 답. 둘 다 거짓이며 구체적인 값으로 확인됩니다.풀이. 첫째 주장을 봅니다. 2 x sin 2 x ( sin x ) 2 ( sin x ) 2 sin ( x 2 ) sin ( x 2 ) x 2 x 2 x = π 2 x = 2 π 1 2 = 1 1 2 = 1 sin π 2 4 ≈ sin 2.467 ≈ 0.625 sin 4 π 2 ≈ sin 2 . 4 6 7 ≈ 0 . 6 2 5 sin 2 x = 2 sin x cos x sin 2 x = 2 sin x cos x 2 sin x 2 sin x cos x = 1 cos x = 1 x = 2 n π x = 2 n π x = π 2 x = 2 π sin π = 0 sin π = 0 2 × 1 = 2 2 × 1 = 2 남는 것. 2 x sin 2 x − 1 − 1 − 1 x sin − 1 x 1 sin x sin x 1 ( sin x ) 2 ( sin x ) 2
항등식이 실제로 모든 각에서 성립하는지 numpy로 확인합니다.
import numpy as np
x = np.linspace(-10, 10, 20001)
A, B = 0.7, 1.3
# 문제 1: 덧셈정리
print(np.isclose(np.sin(A+B), np.sin(A)*np.cos(B) + np.cos(A)*np.sin(B)),
np.isclose(np.cos(A+B), np.cos(A)*np.cos(B) - np.sin(A)*np.sin(B))) # True True
# 문제 2: 배각공식 세 꼴이 모두 같은지
print(np.allclose(np.cos(2*x), np.cos(x)**2 - np.sin(x)**2),
np.allclose(np.cos(2*x), 2*np.cos(x)**2 - 1),
np.allclose(np.cos(2*x), 1 - 2*np.sin(x)**2)) # True True True
# 문제 13: 3 sin x - 4 cos x 의 최댓값이 5 인지
y = 3*np.sin(x) - 4*np.cos(x)
print(round(y.max(), 4), round(y.min(), 4)) # 5.0 -5.0
# 심화 6: sin^2 x 와 sin(x^2) 은 다릅니다
t = np.pi/2
print(round(np.sin(t)**2, 4), round(np.sin(t**2), 4)) # 1.0 0.6243
마지막 줄이 심화 6의 반례입니다. 같은 x x
sin ( A + B ) sin ( A + B ) cos ( A − B ) cos ( A − B ) cos 2 θ cos 2 θ sin θ = 4 5 sin θ = 5 4 θ θ sin 2 θ sin 2 θ 반각공식으로 2 θ sin 2 θ
a sin x + b cos x a sin x + b cos x 0 ≤ x < 2 π 0 ≤ x < 2 π sin 2 x = sin x sin 2 x = sin x 양변을 cos x cos x
정답.
sin A cos B + cos A sin B sin A cos B + cos A sin B cos A cos B + sin A sin B cos A cos B + sin A sin B 2 θ − 2 θ cos 2 θ − sin 2 θ 2 2 θ − 1 2 cos 2 θ − 1 1 − 2 2 θ 1 − 2 sin 2 θ cos θ = 3 5 cos θ = 5 3 2 × 4 5 × 3 5 = 24 25 2 × 5 4 × 5 3 = 2 5 2 4 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 sin 2 θ = 2 1 − cos 2 θ a 2 + b 2 a 2 + b 2 sin x ( 2 cos x − 1 ) = 0 sin x ( 2 cos x − 1 ) = 0 x = 0 , π 3 , π , 5 π 3 x = 0 , 3 π , π , 3 5 π cos x cos x 0 0
기호
읽는 법
뜻
덧셈정리
덧셈정리
각의 합과 차를 삼각비의 곱과 합으로 바꾸는 식
배각공식
배각공식
2 θ 2 θ θ θ
반각공식
반각공식
제곱을 일차로 낮추는 식
합성
합성
a sin x + b cos x a sin x + b cos x
2 x sin 2 x 사인 제곱 엑스
( sin x ) 2 ( sin x ) 2 sin ( x 2 ) sin ( x 2 )
− 1 x sin − 1 x 아크사인
사인의 역함수이며 역수가 아닙니다