이 문제집은 05단원 세 강의(등차수열과 등비수열 시그마, 순열과 조합, 이항정리)의 종합 훈련용입니다. 본문 예제보다 한 단계 어렵게 구성했으며, 각 문제는 세 줄(문제, 답, 풀이)로 되어 있습니다. 풀이는 중간 계산식을 모두 드러내고 결과는 검산까지 포함합니다.
풀 때는 답을 가리고 먼저 스스로 세운 뒤 풀이와 대조하기를 권합니다. 난이도는 기초, 표준, 심화로 표시했습니다. 세는 문제에서는 순서가 중요한지 먼저 판단하고, 합 문제에서는 항의 개수를 먼저 세는 습관을 들입니다.
문제 1. (기초) 첫째항이 9 9 − 4 − 4 8 8 답. − 19 − 1 9 풀이. 9 + ( − 4 ) × 7 = 9 − 28 = − 19 9 + ( − 4 ) × 7 = 9 − 2 8 = − 1 9
문제 2. (기초) 1 1 60 6 0 답. 1830 1 8 3 0 풀이. 60 × 61 2 = 1830 2 6 0 × 6 1 = 1 8 3 0
문제 3. (기초) 첫째항이 2 2 3 3 5 5 답. 162 1 6 2 풀이. 2 × 3 4 = 2 × 81 = 162 2 × 3 4 = 2 × 8 1 = 1 6 2
문제 4. (표준) 등차수열에서 a 5 = 17 a 5 = 1 7 a 12 = 45 a 1 2 = 4 5 a 20 a 2 0 답. 77 7 7 풀이. 일곱 걸음에 28 2 8 d = 4 d = 4 a 5 = a + 4 d = 17 a 5 = a + 4 d = 1 7 a = 1 a = 1 a 20 = 1 + 19 × 4 = 77 a 2 0 = 1 + 1 9 × 4 = 7 7
문제 5. (표준) 7 + 11 + 15 + ⋯ + 103 7 + 1 1 + 1 5 + ⋯ + 1 0 3 답. 1375 1 3 7 5 풀이. 공차가 4 4 103 = 7 + 4 ( n − 1 ) 1 0 3 = 7 + 4 ( n − 1 ) n = 25 n = 2 5 7 + 103 2 = 55 2 7 + 1 0 3 = 5 5 55 × 25 = 1375 5 5 × 2 5 = 1 3 7 5
문제 6. (표준) ∑ k = 1 n ( 6 k − 1 ) ∑ k = 1 n ( 6 k − 1 ) n n 답. n ( 3 n + 2 ) n ( 3 n + 2 ) 풀이. 6 × n ( n + 1 ) 2 − n = 3 n 2 + 3 n − n = 3 n 2 + 2 n 6 × 2 n ( n + 1 ) − n = 3 n 2 + 3 n − n = 3 n 2 + 2 n
문제 7. (표준) ∑ k = 1 8 k 2 ∑ k = 1 8 k 2 답. 204 2 0 4 풀이. 8 × 9 × 17 6 = 1224 6 = 204 6 8 × 9 × 1 7 = 6 1 2 2 4 = 2 0 4
문제 8. (표준) 3 + 6 + 12 + ⋯ + 3 ⋅ 2 9 3 + 6 + 1 2 + ⋯ + 3 ⋅ 2 9 답. 3069 3 0 6 9 풀이. a = 3 a = 3 r = 2 r = 2 n = 10 n = 1 0 3 ( 2 10 − 1 ) 1 = 3 × 1023 = 3069 1 3 ( 2 1 0 − 1 ) = 3 × 1 0 2 3 = 3 0 6 9
문제 9. (심화) S n = 3 n 2 + 2 n S n = 3 n 2 + 2 n 답. a n = 6 n − 1 a n = 6 n − 1 풀이. n ≥ 2 n ≥ 2 S n − S n − 1 = ( 3 n 2 + 2 n ) − ( 3 ( n − 1 ) 2 + 2 ( n − 1 ) ) = 6 n − 1 S n − S n − 1 = ( 3 n 2 + 2 n ) − ( 3 ( n − 1 ) 2 + 2 ( n − 1 ) ) = 6 n − 1 a 1 = S 1 = 5 a 1 = S 1 = 5 n = 1 n = 1 5 5 n n
문제 10. (심화) ∑ k = 1 n 1 ( 3 k − 2 ) ( 3 k + 1 ) ∑ k = 1 n ( 3 k − 2 ) ( 3 k + 1 ) 1 n n 답. n 3 n + 1 3 n + 1 n 풀이. 두 분모의 차가 3 3 1 3 ( 1 3 k − 2 − 1 3 k + 1 ) 3 1 ( 3 k − 2 1 − 3 k + 1 1 ) 1 3 ( 1 − 1 3 n + 1 ) = 1 3 × 3 n 3 n + 1 = n 3 n + 1 3 1 ( 1 − 3 n + 1 1 ) = 3 1 × 3 n + 1 3 n = 3 n + 1 n
문제 11. (심화) ∑ k = 1 n k ( k + 2 ) ∑ k = 1 n k ( k + 2 ) n n 답. n ( n + 1 ) ( 2 n + 7 ) 6 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 7 ) 풀이. 전개하면 ∑ k 2 + 2 ∑ k = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + n ( n + 1 ) ∑ k 2 + 2 ∑ k = 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + n ( n + 1 ) n ( n + 1 ) 6 6 n ( n + 1 ) n ( n + 1 ) 6 ( ( 2 n + 1 ) + 6 ) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 7 ) 6 6 n ( n + 1 ) ( ( 2 n + 1 ) + 6 ) = 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 7 ) n = 2 n = 2 2 × 3 × 11 6 = 11 6 2 × 3 × 1 1 = 1 1 3 + 8 = 11 3 + 8 = 1 1
문제 12. (심화) ∑ k = 1 24 1 k + 1 + k ∑ k = 1 2 4 k + 1 + k 1 답. 4 4 풀이. 유리화하면 각 항이 k + 1 − k k + 1 − k 25 − 1 = 5 − 1 = 4 2 5 − 1 = 5 − 1 = 4
문제 13. (기초) 9 P 2 9 P 2 답. 72 7 2 풀이. 9 × 8 = 72 9 × 8 = 7 2
문제 14. (기초) ( 10 4 ) ( 4 1 0 ) 답. 210 2 1 0 풀이. 10 × 9 × 8 × 7 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 24 = 210 4 × 3 × 2 × 1 1 0 × 9 × 8 × 7 = 2 4 5 0 4 0 = 2 1 0
문제 15. (기초) ( 15 13 ) ( 1 3 1 5 ) 답. 105 1 0 5 풀이. ( 15 13 ) = ( 15 2 ) = 15 × 14 2 = 105 ( 1 3 1 5 ) = ( 2 1 5 ) = 2 1 5 × 1 4 = 1 0 5
문제 16. (표준) 8 8 3 3 답. 336 3 3 6 풀이. 8 P 3 = 8 × 7 × 6 = 336 8 P 3 = 8 × 7 × 6 = 3 3 6
문제 17. (표준) 글자 M , A , M , M , O , T , H M , A , M , M , O , T , H 답. 840 8 4 0 풀이. 일곱 글자 중 M M 7 ! 3 ! = 5040 6 = 840 3 ! 7 ! = 6 5 0 4 0 = 8 4 0
문제 18. (표준) 9 9 답. 40320 4 0 3 2 0 풀이. ( 9 − 1 ) ! = 8 ! = 40320 ( 9 − 1 ) ! = 8 ! = 4 0 3 2 0
문제 19. (표준) 남자 6 6 4 4 3 3 2 2 답. 120 1 2 0 풀이. ( 6 3 ) ( 4 2 ) = 20 × 6 = 120 ( 3 6 ) ( 2 4 ) = 2 0 × 6 = 1 2 0
문제 20. (표준) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 1 , 2 , 3 , 4 , 5 답. 48 4 8 풀이. 끝자리는 2 2 4 4 2 2 4 P 3 = 24 4 P 3 = 2 4 2 × 24 = 48 2 × 2 4 = 4 8
문제 21. (표준) 6 6 답. 480 4 8 0 풀이. 전체는 6 ! = 720 6 ! = 7 2 0 5 ! × 2 ! = 240 5 ! × 2 ! = 2 4 0 720 − 240 = 480 7 2 0 − 2 4 0 = 4 8 0
문제 22. (심화) 서로 다른 8 8 4 4 답. 35 3 5 풀이. 순서를 매겨 뽑으면 ( 8 4 ) ( 4 4 ) = 70 ( 4 8 ) ( 4 4 ) = 7 0 2 ! = 2 2 ! = 2 70 2 = 35 2 7 0 = 3 5
문제 23. (심화) 격자에서 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 4 , 3 ) ( 4 , 3 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 1 ) 답. 18 1 8 풀이. ( 0 , 0 ) → ( 2 , 1 ) ( 0 , 0 ) → ( 2 , 1 ) 2 2 1 1 ( 3 1 ) = 3 ( 1 3 ) = 3 ( 2 , 1 ) → ( 4 , 3 ) ( 2 , 1 ) → ( 4 , 3 ) 2 2 2 2 ( 4 2 ) = 6 ( 2 4 ) = 6 3 × 6 = 18 3 × 6 = 1 8
문제 24. (심화) 1 1 200 2 0 0 3 3 5 5 답. 107 1 0 7 풀이. 3 3 66 6 6 5 5 40 4 0 15 1 5 13 1 3 3 3 5 5 66 + 40 − 13 = 93 6 6 + 4 0 − 1 3 = 9 3 200 − 93 = 107 2 0 0 − 9 3 = 1 0 7
문제 25. (기초) ( a + b ) 6 ( a + b ) 6 답. 7 7 풀이. n + 1 = 7 n + 1 = 7
문제 26. (기초) ( x + 1 ) 8 ( x + 1 ) 8 x 5 x 5 답. 56 5 6 풀이. ( 8 5 ) = ( 8 3 ) = 56 ( 5 8 ) = ( 3 8 ) = 5 6
문제 27. (기초) ( 9 0 ) + ( 9 1 ) + ⋯ + ( 9 9 ) ( 0 9 ) + ( 1 9 ) + ⋯ + ( 9 9 ) 답. 512 5 1 2 풀이. 2 9 = 512 2 9 = 5 1 2
문제 28. (표준) ( 3 x + 2 ) 5 ( 3 x + 2 ) 5 x 3 x 3 답. 1080 1 0 8 0 풀이. 일반항이 ( 5 k ) ( 3 x ) 5 − k 2 k ( k 5 ) ( 3 x ) 5 − k 2 k 5 − k = 3 5 − k = 3 k = 2 k = 2 ( 5 2 ) 3 3 2 2 = 10 × 27 × 4 = 1080 ( 2 5 ) 3 3 2 2 = 1 0 × 2 7 × 4 = 1 0 8 0
문제 29. (표준) 파스칼의 삼각형에서 n = 8 n = 8 답. 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 8 2 8 5 6 7 0 5 6 2 8 8 1 풀이. n = 7 n = 7 1 , 7 , 21 , 35 , 35 , 21 , 7 , 1 1 , 7 , 2 1 , 3 5 , 3 5 , 2 1 , 7 , 1
문제 30. (표준) ( x 2 + 1 x ) 9 ( x 2 + x 1 ) 9 답. 84 8 4 풀이. 지수는 2 ( 9 − k ) − k = 18 − 3 k 2 ( 9 − k ) − k = 1 8 − 3 k 18 − 3 k = 0 1 8 − 3 k = 0 k = 6 k = 6 ( 9 6 ) = ( 9 3 ) = 84 ( 6 9 ) = ( 3 9 ) = 8 4
문제 31. (표준) ( x − 2 x ) 8 ( x − x 2 ) 8 답. 1120 1 1 2 0 풀이. 일반항이 ( 8 k ) x 8 − k ( − 2 ) k x − k = ( 8 k ) ( − 2 ) k x 8 − 2 k ( k 8 ) x 8 − k ( − 2 ) k x − k = ( k 8 ) ( − 2 ) k x 8 − 2 k 8 − 2 k = 0 8 − 2 k = 0 k = 4 k = 4 ( 8 4 ) ( − 2 ) 4 = 70 × 16 = 1120 ( 4 8 ) ( − 2 ) 4 = 7 0 × 1 6 = 1 1 2 0
문제 32. (표준) ( x 3 + 1 x 2 ) 7 ( x 3 + x 2 1 ) 7 답. 없습니다.풀이. 지수는 3 ( 7 − k ) − 2 k = 21 − 5 k 3 ( 7 − k ) − 2 k = 2 1 − 5 k 21 − 5 k = 0 2 1 − 5 k = 0 k = 21 5 k = 5 2 1
문제 33. (표준) ( 10 1 ) + ( 10 3 ) + ( 10 5 ) + ( 10 7 ) + ( 10 9 ) ( 1 1 0 ) + ( 3 1 0 ) + ( 5 1 0 ) + ( 7 1 0 ) + ( 9 1 0 ) 답. 512 5 1 2 풀이. 홀수 자리 합은 전체의 절반이므로 2 9 = 512 2 9 = 5 1 2
문제 34. (심화) ( 1 + x ) n ( 1 + x ) n x 2 x 2 66 6 6 n n 답. n = 12 n = 1 2 풀이. n ( n − 1 ) 2 = 66 2 n ( n − 1 ) = 6 6 n ( n − 1 ) = 132 n ( n − 1 ) = 1 3 2 n 2 − n − 132 = 0 n 2 − n − 1 3 2 = 0 ( n − 12 ) ( n + 11 ) = 0 ( n − 1 2 ) ( n + 1 1 ) = 0 n = 12 n = 1 2
문제 35. (심화) ( 1 + x ) 4 ( 1 + 3 x ) 2 ( 1 + x ) 4 ( 1 + 3 x ) 2 x x 답. 10 1 0 풀이. 앞에서 x x ( 4 1 ) x = 4 x ( 1 4 ) x = 4 x 1 1 x x ( 2 1 ) ( 3 x ) = 6 x ( 1 2 ) ( 3 x ) = 6 x 1 1 10 x 1 0 x
문제 36. (심화) ( 2 x 2 − 1 x ) 6 ( 2 x 2 − x 1 ) 6 x 3 x 3 답. − 160 − 1 6 0 풀이. 일반항이 ( 6 k ) ( 2 x 2 ) 6 − k ( − 1 x ) k = ( 6 k ) 2 6 − k ( − 1 ) k x 12 − 2 k − k ( k 6 ) ( 2 x 2 ) 6 − k ( − x 1 ) k = ( k 6 ) 2 6 − k ( − 1 ) k x 1 2 − 2 k − k 12 − 3 k 1 2 − 3 k 12 − 3 k = 3 1 2 − 3 k = 3 k = 3 k = 3 ( 6 3 ) 2 3 ( − 1 ) 3 = 20 × 8 × ( − 1 ) = − 160 ( 3 6 ) 2 3 ( − 1 ) 3 = 2 0 × 8 × ( − 1 ) = − 1 6 0
문제 37. (심화) ( 1 + x ) m ( 1 + x ) n = ( 1 + x ) m + n ( 1 + x ) m ( 1 + x ) n = ( 1 + x ) m + n x 2 x 2 답. ( m 2 ) + ( m 1 ) ( n 1 ) + ( n 2 ) = ( m + n 2 ) ( 2 m ) + ( 1 m ) ( 1 n ) + ( 2 n ) = ( 2 m + n ) 풀이. 왼쪽에서 x 2 x 2 ( m + n 2 ) ( 2 m + n ) m = n = 2 m = n = 2 1 + 4 + 1 = 6 1 + 4 + 1 = 6 ( 4 2 ) = 6 ( 2 4 ) = 6
문제 38. (심화) 1.0 1 8 1 . 0 1 8 답. 약 1.0828 1 . 0 8 2 8 풀이. ( 1 + 0.01 ) 8 ( 1 + 0 . 0 1 ) 8 1 + ( 8 1 ) ( 0.01 ) + ( 8 2 ) ( 0.01 ) 2 = 1 + 0.08 + 28 × 0.0001 = 1 + 0.08 + 0.0028 = 1.0828 1 + ( 1 8 ) ( 0 . 0 1 ) + ( 2 8 ) ( 0 . 0 1 ) 2 = 1 + 0 . 0 8 + 2 8 × 0 . 0 0 0 1 = 1 + 0 . 0 8 + 0 . 0 0 2 8 = 1 . 0 8 2 8 1.08286 1 . 0 8 2 8 6
문제 39. (심화) ∑ k = 0 n ( n k ) 3 k ∑ k = 0 n ( k n ) 3 k 답. 4 n 4 n 풀이. 이항정리에서 a = 1 a = 1 b = 3 b = 3 ( 1 + 3 ) n = 4 n ( 1 + 3 ) n = 4 n
문제 40. (심화) ( a + b ) n ( a + b ) n n = 9 n = 9 답. a 5 b 4 a 5 b 4 a 4 b 5 a 4 b 5 126 1 2 6 풀이. n n ( 9 4 ) = ( 9 5 ) = 126 ( 4 9 ) = ( 5 9 ) = 1 2 6 ( 9 3 ) = 84 ( 3 9 ) = 8 4