지금까지 다룬 함수는 정의역이 실수 전체이거나 구간이었습니다. 이 강의에서는 정의역이 자연수뿐인 함수를 다룹니다. 그런 함수를 수열이라 하고, 값을 순서대로 늘어놓은 목록으로 봅니다.
수열이 중요한 이유는 두 가지입니다. 첫째, 반복되는 절차의 결과가 수열이기 때문입니다. 학습률을 매 단계 줄이는 일(244강), 경사하강법이 만드는 점들의 열(107강), 마르코프 연쇄의 상태 분포(154강)가 모두 수열입니다. 둘째, 수열의 항을 모두 더하는 급수가 함수를 다항식으로 근사하는 도구가 되기 때문입니다(56강 테일러). 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
인접한 괄호에서 같은 항이 부호만 반대로 나타나 차례로 상쇄됩니다. 남는 것은 처음의 11과 끝의 −n+11뿐입니다.
1−n+11=n+1n
검산으로 n=9를 넣으면 109이고 4강 문제 3의 답과 같습니다.
이 문제에서 배우는 것: 망원합.
각 항을 bk−bk+1 꼴로 쪼갤 수 있으면 합이 통째로 무너집니다.
k=1∑n(bk−bk+1)=b1−bn+1
이것을 망원합이라 합니다. 망원경을 접으면 가운데 마디가 겹쳐 사라지고 양 끝만 남는 모습에서 온 이름입니다.
쪼개는 방법은 상황에 따라 다릅니다.
항의 꼴
쪼개는 방법
\dfrac{1}
부분분수로 \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}
\dfrac{1}
21(k1−k+21)이며 두 칸 건너 상쇄됩니다
k+1+k1
유리화하면 \sqrt{k+1}-\sqrt
\log\dfrac{k+1}
로그 법칙으로 log(k+1)−logk
두 번째 줄처럼 건너뛰는 경우에는 양 끝에서 두 항씩 남습니다. 몇 칸 건너뛰는지에 따라 남는 항의 개수가 달라지므로, 상쇄를 마친 뒤 남은 항을 반드시 세어 봐야 합니다.
망원합의 값어치는 항이 몇 개든 계산량이 같다는 데 있습니다. 합의 항이 백만 개여도 양 끝만 계산하면 끝납니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) ∑k=120(k1−k+11)을 계산하세요. 답.2120 풀이.1−211=2120입니다.
확인 5-2. (표준) ∑k=1nk(k+2)1을 n의 식으로 나타내세요. 답.21(1+21−n+11−n+21) 풀이. 각 항이 21(k1−k+21)입니다. 두 칸 건너 상쇄되므로 앞에서 11과 21이 남고 뒤에서 −n+11과 −n+21이 남습니다. 정리하면 43−21(n+11+n+21)입니다.
확인 5-3. (표준) ∑k=199k+1+k1을 계산하세요. 답.9 풀이. 1강의 유리화로 각 항이 k+1−k입니다. 망원합으로 100−1=10−1=9입니다.
문제 9. (표준) 등차수열에서 a4=14이고 a9=34일 때 a20을 구하세요. 답.78 풀이. 다섯 걸음에 20 늘었으므로 d=4입니다. a4=a+3d=14에서 a=2이고 a20=2+19×4=78입니다.
문제 10. (표준) 5+9+13+⋯+101을 구하세요. 답.1325 풀이. 공차가 4이고 101=5+4(n−1)에서 n=25입니다. 양 끝의 평균이 25+101=53이므로 53×25=1325입니다.
문제 11. (표준) ∑k=1n(4k−3)을 n의 식으로 나타내세요. 답.n(2n−1) 풀이.4×2n(n+1)−3n=2n2+2n−3n=2n2−n입니다.
문제 12. (표준) ∑k=16k3을 구하세요. 답.441 풀이.(26×7)2=212=441입니다.
문제 13. (표준) 2+6+18+⋯+2⋅37을 구하세요. 답.6560 풀이.a=2, r=3, n=8이므로 22(38−1)=38−1=6561−1=6560입니다.
문제 14. (표준) Sn=2n2−n인 수열의 일반항을 구하세요. 답.an=4n−3 풀이.n≥2에서 Sn−Sn−1=(2n2−n)−(2(n−1)2−(n−1))=4n−3입니다. a1=S1=1이고 공식에 n=1을 넣어도 1이므로 모든 n에서 성립합니다.
문제 15. (표준) ∑k=1n(2k−1)(2k+1)1을 n의 식으로 나타내세요. 답.2n+1n 풀이. 각 항이 21(2k−11−2k+11)입니다. 망원합으로 21(1−2n+11)=21×2n+12n=2n+1n입니다.
문제 16. (심화) 등차수열의 첫 n항의 합이 Sn=n2+3n일 때 a10을 구하세요. 답.22 풀이.a10=S10−S9=(100+30)−(81+27)=130−108=22입니다. 일반항을 구해도 an=2n+2이므로 a10=22입니다.
문제 17. (심화) 세 수 a, 6, b가 이 순서로 등차수열이고 a, 4, b가 이 순서로 등비수열일 때 a와 b를 구하세요. 답.a=6+25, b=6−25 또는 두 값을 맞바꾼 경우입니다. 풀이. 등차이므로 가운데가 양 끝의 평균이라 a+b=12입니다. 등비이므로 가운데의 제곱이 양 끝의 곱이라 ab=16입니다. 합이 12이고 곱이 16인 두 수는 t2−12t+16=0의 두 근인데 판별식이 144−64=80이므로 t=6±25입니다. 두 값을 확인하면 합이 12, 곱이 36−20=16으로 맞습니다.
문제 18. (심화) ∑k=1nk(k+1)을 n의 식으로 나타내세요. 답.3n(n+1)(n+2) 풀이. 전개하면 ∑(k2+k)=6n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)입니다. 6n(n+1)으로 묶으면 6n(n+1)((2n+1)+3)=6n(n+1)(2n+4)=3n(n+1)(n+2)입니다. 검산으로 n=2를 넣으면 32×3×4=8이고 직접 계산해도 2+6=8로 맞습니다.
드릴에서는 공식을 골라 값을 구했습니다. 이 절에서는 그 공식들이 어떻게 유도되는지, 그리고 시그마의 성질 중 무엇이 성립하지 않는지를 확인합니다. 마지막 문항은 합을 다룰 때 가장 흔한 오해를 반례로 잡아냅니다.
심화 1. (등비수열 합의 유도) Sn=a+ar+⋯+arn−1의 공식을 유도하고, 왜 r=1을 따로 다뤄야 하는지 설명하세요. 답. 양변에 r을 곱해 빼면 나오며, r=1이면 분모가 0이 됩니다. 풀이. 양변에 r을 곱하면 rSn=ar+ar2+⋯+arn입니다. 원식에서 이것을 빼면 가운데 항이 모두 상쇄되고 Sn−rSn=a−arn만 남습니다. 왼쪽을 묶으면 (1−r)Sn=a(1−rn)이고, r=1일 때 나누어 Sn=1−ra(1−rn)입니다. r=1이면 1−r=0이라 나눌 수 없습니다. 이때는 모든 항이 a로 같으므로 합이 na입니다. 남는 것. 유도의 마지막 단계가 나눗셈이고, 1강 문제 5 이후 반복해 온 대로 나누기 전에 0인지 확인해야 합니다. 공식에 r=1이라는 단서가 붙은 이유가 유도 과정에 그대로 있습니다.
심화 2. (∑k2 공식 유도) ∑k=1nk2=6n(n+1)(2n+1)을 망원합으로 유도하세요. 답.(k+1)3−k3을 두 가지로 계산해 비교하면 나옵니다. 풀이. 항등식 (k+1)3−k3=3k2+3k+1을 씁니다. 양변을 k=1부터 n까지 더합니다. 왼쪽은 망원합이므로 (n+1)3−13만 남습니다. 오른쪽은 3∑k2+3∑k+n입니다. 따라서 (n+1)3−1=3∑k2+3⋅2n(n+1)+n입니다. 왼쪽을 전개하면 n3+3n2+3n이므로 3∑k2=n3+3n2+3n−23n2+3n−n=n3+23n2+2n입니다. 3으로 나누면 ∑k2=62n3+3n2+n=6n(n+1)(2n+1)입니다. 남는 것. 같은 방법으로 (k+1)4−k4을 쓰면 ∑k3이 나오고, 계속 올리면 어떤 차수의 합 공식도 얻을 수 있습니다. 망원합이 단순히 계산 요령이 아니라 새 공식을 만드는 도구라는 점이 중요합니다.
심화 3. (세제곱 합의 모양) ∑k=1nk3=(∑k=1nk)2을 작은 n에서 확인하고, 이 관계가 왜 놀라운지 설명하세요. 답.n=1,2,3에서 각각 1=1, 9=9, 36=36으로 성립합니다. 풀이.n=1에서 왼쪽은 1이고 오른쪽은 12=1입니다. n=2에서 왼쪽은 1+8=9이고 오른쪽은 32=9입니다. n=3에서 왼쪽은 1+8+27=36이고 오른쪽은 62=36입니다. 놀라운 이유는 시그마가 일반적으로 곱이나 거듭제곱과 교환되지 않기 때문입니다. ∑k2은 (∑k)2과 전혀 다른데, 세제곱에서만 우연처럼 일치합니다. 이것이 우연이 아님은 심화 2의 방법으로 ∑k3 공식을 유도해 4n2(n+1)2을 얻고, 그것이 (2n(n+1))2과 같음을 확인하면 됩니다. 남는 것. 몇 개의 예에서 성립한다고 일반적으로 참인 것은 아닙니다. 이 경우는 실제로 참이지만, 참임을 알려면 유도가 필요합니다. 예로 확인하는 것과 증명하는 것의 차이는 24강과 25강에서 정식으로 다룹니다.
심화 4. (건너뛰는 망원합) ∑k=1nk(k+3)1을 구하고, 양 끝에 몇 항씩 남는지 세어 보세요. 답. 앞에서 세 항, 뒤에서 세 항이 남습니다. 풀이. 4강의 공식으로 k(k+3)1=31(k1−k+31)입니다. 더하면 양수 쪽은 11,21,31,…,n1이고 음수 쪽은 41,51,…,n+31입니다. 겹치는 41부터 n1까지가 상쇄되고, 앞에서 11,21,31이 남고 뒤에서 −n+11,−n+21,−n+31이 남습니다. 따라서 값은 31(611−n+11−n+21−n+31)입니다. 남는 것. 몇 칸 건너뛰는지가 남는 항의 개수를 정합니다. 한 칸이면 양 끝에 하나씩, 세 칸이면 세 개씩입니다. 상쇄된다는 사실만 믿고 양 끝을 세지 않으면 답이 틀리므로, 처음 몇 항과 마지막 몇 항을 실제로 적어 보는 것이 안전합니다.
심화 5. (등차와 등비의 성장 비교) 첫째항이 같고 각각 공차 100인 등차수열과 공비 1.1인 등비수열이 있을 때, 어느 시점부터 등비 쪽이 커지는지 판단 근거를 설명하세요. 답. 등비수열이 결국 앞서며, 13강 심화 3의 위계가 그 근거입니다. 풀이. 등차수열의 일반항은 n에 대한 일차식이고 등비수열의 일반항은 지수함수 꼴입니다. 13강에서 확인한 대로 밑이 1보다 큰 지수함수는 어떤 다항함수보다도 결국 빨리 커지므로, 공차가 아무리 크고 공비가 1에 아무리 가까워도 언젠가는 등비수열이 앞섭니다. 다만 공차가 크고 공비가 작으면 그 시점이 아주 뒤로 밀립니다. 첫째항을 1로 두면 1+100(n−1)과 1.1n−1의 대소가 뒤집히는 곳은 n이 대략 130을 넘는 지점입니다. 남는 것. 이 비교는 저축의 단리와 복리 차이와 같은 구조입니다. 단리는 등차이고 복리는 등비이므로, 이율이 낮아도 기간이 길면 복리가 반드시 앞섭니다. 반대로 짧은 기간만 보면 단리가 유리해 보일 수 있으므로 비교 구간을 밝혀야 합니다.
심화 6. (오해 깨기) "∑k=1nakbk=(∑k=1nak)(∑k=1nbk)이다"와 "∑k=1nak1=∑k=1nak1이다"라는 두 주장을 판단하세요. 답. 둘 다 거짓이며 n=2에서 곧바로 반례가 나옵니다. 풀이. 첫째 주장에 a1=a2=b1=b2=1을 넣습니다. 왼쪽은 1+1=2이고 오른쪽은 2×2=4로 다릅니다. 시그마의 성질에서 나눌 수 있는 것은 덧셈뿐이고 곱셈은 아닙니다. 두 항의 곱을 더하는 것과 각각을 더한 뒤 곱하는 것은 전개하면 항의 개수부터 다릅니다. 둘째 주장에 a1=a2=2를 넣습니다. 왼쪽은 21+21=1이고 오른쪽은 41로 다릅니다. 역수를 취하는 것도 합과 교환되지 않습니다. 남는 것. 시그마에 대해 성립하는 것은 덧셈에 대한 분해와 상수배를 밖으로 빼는 것뿐입니다. 곱, 나눗셈, 거듭제곱, 함수 적용은 모두 합과 교환되지 않습니다. 14강 심화 6에서 log(M+N)=logM+logN을 확인한 것과 같은 종류의 오해이며, 헷갈리면 n=2로 두고 직접 써 보는 것이 가장 빠릅니다.
import numpy as np
k = np.arange(1, 11)
# 문제 12: 세제곱 합이 (1+2+...+n)^2 인지 확인
n = 6
kk = np.arange(1, n+1)
print(int((kk**3).sum()), int(kk.sum())**2) # 441 441
# 문제 15: 망원합이 n/(2n+1) 인지 확인
for n in (5, 50, 500):
kk = np.arange(1, n+1)
s = (1.0/((2*kk-1)*(2*kk+1))).sum()
print(n, round(s, 10), round(n/(2*n+1), 10)) # 값이 서로 같습니다
# 문제 13: 등비수열 합
a, r, n = 2, 3, 8
print(int(a*(r**n - 1)/(r - 1)), int(sum(a*r**i for i in range(n)))) # 6560 6560
# 심화 6: 곱의 합은 합의 곱이 아닙니다
a = np.array([1.0, 1.0]); b = np.array([1.0, 1.0])
print((a*b).sum(), a.sum()*b.sum()) # 2.0 4.0
두 번째 블록에서 항의 개수를 늘려도 공식값과 직접 합이 계속 일치합니다. 마지막 줄은 심화 6의 반례를 그대로 재현하며, 두 값이 2와 4로 다릅니다.