이 강의는 S1의 마지막이며, 앞의 두 갈래를 하나로 잇습니다. 2강에서 (a+b)3을 전개하며 계수 1,3,3,1이 "b를 몇 개 고르는지를 세는 것"이라고 했고, 19강에서 고르는 방법을 세는 도구인 조합을 만들었습니다. 이제 그 둘을 합쳐 (a+b)n의 전개식을 완전히 적습니다.
이항정리는 이 커리큘럼 곳곳에서 다시 나옵니다. 이항분포의 확률(127강)이 이항계수 그대로이고, 조합의 큰 값을 근사하는 계산(146강)이 집중 부등식의 바탕이 되며, 56강의 테일러 급수는 이항정리를 지수가 자연수가 아닌 경우로 넓힌 것입니다. 이 강의도 문제를 먼저 풀고 풀이에서 개념을 끌어냅니다.
- 이항정리를 셈으로 설명하고 전개식을 쓸 수 있습니다.
- 일반항 공식으로 특정 항의 계수를 전개 없이 구할 수 있습니다.
- 파스칼의 삼각형을 만들고 그 규칙을 조합으로 설명할 수 있습니다.
- 이항계수의 합과 교대합 같은 항등식을 대입으로 유도할 수 있습니다.
- 주어진 항이 존재하는지 판정하고 없으면 그 근거를 댈 수 있습니다.
문제. (a+b)5을 전개했을 때 a3b2의 계수를 전개하지 않고 구하세요.
생각의 실마리. 2강 심화 1에서 (a+b)3의 계수를 셈으로 설명했습니다. 같은 방식으로 다섯 개의 괄호를 나란히 놓고, 각 괄호에서 무엇을 고르면 a3b2이 되는지 봅니다.
풀이. (a+b)5=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)입니다. 전개하면 다섯 괄호에서 각각 a 또는 b를 하나씩 골라 곱한 항을 모두 더한 것이 됩니다.
a3b2이 나오려면 다섯 괄호 중 정확히 두 곳에서 b를 골라야 합니다. 나머지 세 곳에서는 자동으로 a를 고르게 됩니다.
다섯 곳에서 두 곳을 고르는 방법의 수가 곧 계수이므로 19강의 조합으로
(25)=25×4=10
입니다. 따라서 a3b2의 계수는 10입니다.
이 문제에서 배우는 것: 이항정리.
n이 자연수일 때 다음이 성립합니다.
(a+b)n=k=0∑n(kn)an−kbk
풀어 쓰면 다음과 같습니다.
(a+b)n=(0n)an+(1n)an−1b+(2n)an−2b2+⋯+(nn)bn
이것을 이항정리라 하고 (kn)를 이항계수라 합니다.
증명은 문제 1의 논증 그대로입니다. n개의 괄호에서 각각 a 또는 b를 고르는데, b를 정확히 k개 고르면 항이 an−kbk가 됩니다. 그런 고르기 방법이 (kn)가지이므로 그것이 계수입니다.
여기서 지수의 규칙을 확인해 둡니다. **두 지수의 합이 언제나 n**이고, a의 지수는 n에서 0까지 내려가며 b의 지수는 0에서 n까지 올라갑니다. 항의 개수는 n+1개입니다.
계수가 조합이라는 사실 하나가 19강에서 얻은 모든 성질을 이항정리로 옮겨 줍니다. 대칭성 (kn)=(n−kn)는 전개식의 계수가 앞뒤로 대칭이라는 뜻이고, 파스칼 항등식은 문제 3의 삼각형이 됩니다.
바로 확인.
확인 1-1. (기초) (a+b)4의 전개식을 쓰세요.
답. a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
풀이. 계수는 (04)부터 (44)까지이므로 1,4,6,4,1입니다.
확인 1-2. (기초) (x+y)6에서 x4y2의 계수를 구하세요.
답. 15
풀이. y를 두 개 고르는 방법이므로 (26)=15입니다.
확인 1-3. (표준) (a+b)10의 전개식에서 항의 개수와 계수가 가장 큰 항을 말하세요.
답. 항은 11개이고 계수가 가장 큰 항은 a5b5입니다.
풀이. 항의 개수는 n+1=11입니다. 19강 심화 3에서 본 대로 조합은 가운데에서 가장 크므로 (510)=252인 항이 최대입니다.
문제. (2x−x1)6의 전개식에서 상수항을 구하세요.
생각의 실마리. 전개식 전체를 쓰지 않고 원하는 항만 겨냥합니다. 일반적인 항이 어떤 꼴인지 먼저 적고, 그 항이 상수가 되려면 지수가 어떤 조건을 만족해야 하는지 세웁니다.
풀이. 이항정리에서 a=2x, b=−x1, n=6입니다. 일반적인 항은 다음과 같습니다.
(k6)(2x)6−k(−x1)k=(k6)26−k(−1)kx6−kx−k=(k6)26−k(−1)kx6−2k
상수항은 x의 지수가 0인 항이므로 6−2k=0에서 k=3입니다.
(36)23(−1)3=20×8×(−1)=−160
이 문제에서 배우는 것: 일반항으로 겨냥하기.
(A+B)n의 전개식에서 일반항은 다음과 같습니다.
Tk+1=(kn)An−kBk(k=0,1,…,n)
k가 0부터 시작하므로 k번째가 아니라 k+1번째 항이라는 점을 주의합니다.
특정 항을 구하는 절차는 세 단계입니다.
- 일반항을 씁니다. A와 B에 무엇이 들어가는지 정확히 정합니다. 부호와 계수를 포함해 통째로 넣습니다.
- 지수를 정리합니다. 문자별로 지수를 모아 k에 대한 식으로 만듭니다.
- 조건을 세워 k를 구합니다. 원하는 항의 지수와 같다고 놓고 풉니다.
3단계에서 나온 k가 0 이상 n 이하의 정수가 아니면 그런 항은 없습니다. 문제 5에서 이 경우를 다룹니다.
1단계에서 자주 나오는 실수가 있습니다. (2x−x1)6에서 B를 x1로 두고 부호를 잊거나, A를 x로 두고 계수 2를 빠뜨리는 것입니다. 괄호 안의 항을 통째로 넣어야 합니다.
바로 확인.
확인 2-1. (기초) (x+2)5에서 x2의 계수를 구하세요.
답. 80
풀이. 일반항이 (k5)x5−k2k이므로 5−k=2에서 k=3입니다. (35)23=10×8=80입니다.
확인 2-2. (표준) (x+x1)8에서 상수항을 구하세요.
답. 70
풀이. 일반항이 (k8)x8−kx−k=(k8)x8−2k이므로 8−2k=0에서 k=4입니다. (48)=70입니다.
확인 2-3. (표준) (2x−3)4에서 x3의 계수를 구하세요.
답. −96
풀이. 일반항이 (k4)(2x)4−k(−3)k입니다. 4−k=3에서 k=1이므로 (14)23(−3)=4×8×(−3)=−96입니다.
문제. n=0부터 5까지 이항계수를 삼각형 모양으로 늘어놓고, 각 수가 바로 위 두 수와 어떤 관계인지 밝히세요.
생각의 실마리. 각 줄을 (0n)부터 (nn)까지 적습니다. 어떤 수를 골라 그 바로 위 왼쪽과 오른쪽 두 수를 더해 봅니다. 19강에서 유도한 항등식과 맞춰 봅니다.
풀이. 표로 적습니다.
| n |
이항계수 |
| 0 |
1 |
| 1 |
11 |
| 2 |
121 |
| 3 |
1331 |
| 4 |
14641 |
| 5 |
15101051 |
n=4 줄의 6을 봅니다. 바로 위 줄에서 그 자리 좌우에 있는 두 수는 3과 3이고 합이 6입니다. n=5 줄의 10은 위 줄의 4와 6의 합입니다.
이 규칙은 19강 심화 2의 파스칼 항등식 그대로입니다.
(kn)=(k−1n−1)+(kn−1)
이 문제에서 배우는 것: 파스칼의 삼각형.
이항계수를 삼각형으로 늘어놓은 것을 파스칼의 삼각형이라 합니다. 규칙은 두 가지뿐입니다.
- 양 끝은 언제나 1입니다. (0n)=(nn)=1이기 때문입니다.
- 안쪽의 수는 바로 위 두 수의 합입니다. 파스칼 항등식이 그 근거입니다.
이 규칙만으로 곱셈 없이 계수를 만들 수 있습니다. n이 작을 때는 공식으로 계산하기보다 삼각형을 몇 줄 그리는 편이 빠릅니다.
삼각형에서 읽히는 성질도 여럿입니다.
- 좌우 대칭입니다. (kn)=(n−kn)이기 때문입니다.
- **각 줄의 합이 2n**입니다. n=4 줄을 더하면 1+4+6+4+1=16입니다. 이유는 문제 4에서 밝힙니다.
- 가운데가 가장 크고 양 끝으로 갈수록 작아지는 종 모양입니다. 이 모양이 n을 키우면 정규분포에 가까워지며, 143강에서 정식으로 다룹니다.
바로 확인.
확인 3-1. (기초) 파스칼의 삼각형에서 n=6 줄을 쓰세요.
답. 1615201561
풀이. n=5 줄 1,5,10,10,5,1의 이웃한 두 수를 더하고 양 끝에 1을 붙입니다.
확인 3-2. (표준) (37)을 파스칼 항등식으로 계산하세요.
답. 35
풀이. (37)=(26)+(36)=15+20=35입니다.
확인 3-3. (표준) n=5 줄의 합이 25인지 확인하세요.
답. 맞습니다. 1+5+10+10+5+1=32=25입니다.
풀이. 직접 더하면 32이고 25=32입니다.
문제. (0n)+(1n)+⋯+(nn)의 값을 구하세요.
생각의 실마리. 이항정리는 a와 b가 무엇이든 성립하는 항등식입니다. 원하는 결과가 나오도록 a와 b에 편한 값을 넣어 봅니다. 계수만 남기려면 무엇을 넣어야 할지 생각합니다.
풀이. 이항정리에서 a=b=1을 넣습니다. 그러면 an−kbk가 모두 1이 되어 계수만 남습니다.
(1+1)n=k=0∑n(kn) ⟹ k=0∑n(kn)=2n
셈으로도 설명됩니다. 왼쪽은 n개의 원소 각각을 "뽑는다" 또는 "안 뽑는다"로 정하는 방법의 수이므로 2n입니다. 오른쪽은 뽑는 개수를 0개, 1개, ..., n개로 나누어 센 것입니다. 같은 것을 두 방식으로 센 것이므로 같습니다.
이 문제에서 배우는 것: 대입으로 항등식 얻기.
이항정리는 모든 a,b에서 성립하는 항등식이므로, 편한 값을 넣으면 새 항등식이 공짜로 나옵니다. 자주 쓰는 대입은 다음과 같습니다.
| 대입 |
결과 |
뜻 |
| a=b=1 |
\sum_{k}\binom{n}{k}=2^ |
부분집합의 총 개수 |
| a=1, b=−1 |
∑k(−1)k(kn)=0 |
짝수 개 뽑기와 홀수 개 뽑기가 같습니다 |
| a=1, b=x |
(1+x)^{n}=\sum_{k}\binom{n}{k}x^ |
생성함수 꼴 |
| a=1, b=2 |
\sum_{k}\binom{n}{k}2^{k}=3^ |
각 원소를 세 상태로 나누는 셈 |
두 번째 줄이 n≥1에서만 성립한다는 점을 주의합니다. n=0이면 왼쪽이 (00)=1이라 0이 아닙니다.
두 번째 줄에서 따라 나오는 결과도 유용합니다. 짝수 자리 계수의 합과 홀수 자리 계수의 합이 같으므로, 각각은 전체의 절반인 2n−1입니다.
이 수법의 값어치는 어려운 합을 계산 없이 얻는다는 데 있습니다. (0100)+(1100)+⋯+(100100)을 하나씩 더하는 것은 불가능하지만 2100이라고 바로 답할 수 있습니다.
바로 확인.
확인 4-1. (기초) (06)+(16)+⋯+(66)을 구하세요.
답. 64
풀이. 26=64입니다.
확인 4-2. (표준) (05)−(15)+(25)−(35)+(45)−(55)을 구하세요.
답. 0
풀이. a=1, b=−1을 넣으면 (1−1)5=0입니다. 직접 계산해도 1−5+10−10+5−1=0입니다.
확인 4-3. (표준) (07)+(27)+(47)+(67)을 구하세요.
답. 64
풀이. 짝수 자리 합과 홀수 자리 합이 같고 전체가 27=128이므로 각각 64입니다.
문제. (x2+x1)7의 전개식에 상수항이 있는지 판정하세요.
생각의 실마리. 문제 2의 절차를 그대로 밟습니다. 일반항의 지수를 k로 나타내고 0이라 놓습니다. 나온 k가 실제로 쓸 수 있는 값인지 확인합니다.
풀이. 일반항은 다음과 같습니다.
(k7)(x2)7−k(x1)k=(k7)x2(7−k)x−k=(k7)x14−3k
상수항이 되려면 14−3k=0이므로 k=314입니다.
그런데 k는 몇 개를 고르는지를 나타내는 수이므로 0 이상 7 이하의 정수여야 합니다. 314은 정수가 아니므로 그런 항은 존재하지 않습니다. 따라서 이 전개식에 상수항은 없습니다.
이 문제에서 배우는 것: 항의 존재 판정.
전개식에서 특정 항을 찾을 때 마지막 단계는 반드시 k가 유효한 값인지 확인하는 것입니다. 조건은 두 가지입니다.
- k가 정수여야 합니다.
- 0≤k≤n이어야 합니다.
둘 중 하나라도 어기면 그런 항은 전개식에 없습니다. "없다"도 완전한 답이므로, k가 분수로 나왔다고 계산을 다시 하지 말고 존재하지 않는다고 결론 내려야 합니다.
지수가 몇 칸씩 뛰는지도 함께 보면 이해가 빠릅니다. 문제 5에서 x의 지수는 k가 0,1,2,…로 갈 때 14,11,8,5,2,−1,…로 3씩 줄어듭니다. 0은 이 목록에 없으므로 상수항이 없는 것이 당연합니다. 지수가 3의 배수만큼 떨어져 있고 14가 3의 배수가 아니기 때문입니다.
이 관점으로 보면 어떤 항이 존재할지 미리 알 수 있습니다. A의 지수와 B의 지수 차이를 d라 하면 전개식에 나타나는 지수는 등차수열이고 공차가 −d입니다. 18강에서 배운 등차수열이 여기서 쓰입니다.
바로 확인.
확인 5-1. (기초) (x+x1)5에 상수항이 있는지 판정하세요.
답. 없습니다.
풀이. 일반항의 지수가 5−2k입니다. 5−2k=0에서 k=25로 정수가 아닙니다. 지수가 홀수만 나오기 때문입니다.
확인 5-2. (표준) (x3+x21)10에서 상수항을 구하세요.
답. (610)=210
풀이. 지수는 3(10−k)−2k=30−5k입니다. 30−5k=0에서 k=6이고 정수이며 범위 안입니다. 계수는 (610)=210입니다.
확인 5-3. (표준) (x2−x2)9에서 x3의 계수를 구하세요.
답. −4032
풀이. 지수는 2(9−k)−k=18−3k입니다. 18−3k=3에서 k=5입니다. 계수는 (59)(−2)5=126×(−32)=−4032입니다.
| 상황 |
도구 |
요령 |
| 전개식 전체 |
이항정리 |
계수는 (kn)이고 항은 n+1개입니다 |
| 특정 항의 계수 |
일반항 |
T_{k+1}=\binom{n}{k}A^{n-k}B^ |
| A와 B 정하기 |
통째로 넣기 |
부호와 계수를 빠뜨리지 않습니다 |
| n이 작음 |
파스칼의 삼각형 |
위 두 수를 더하면 됩니다 |
| 계수의 합 |
a=b=1 대입 |
2n입니다 |
| 계수의 교대합 |
a=1, b=−1 대입 |
n≥1이면 0입니다 |
| 짝수 자리 합 |
절반 |
2n−1입니다 |
| 항이 있는지 |
k 확인 |
정수이고 0≤k≤n이어야 합니다 |
| 지수의 변화 |
등차수열 |
공차만큼 뛰므로 목록에 있는지 봅니다 |
핵심 습관은 이렇습니다. 전개하지 말고 일반항으로 겨냥하고, 계수 합이 필요하면 편한 값을 대입하고, k를 구한 뒤 반드시 정수인지 확인합니다.
문제 6. (기초) (a+b)5의 전개식을 쓰세요.
답. a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
풀이. 계수는 파스칼의 삼각형 n=5 줄인 1,5,10,10,5,1입니다.
문제 7. (기초) (x+3)4에서 x2의 계수를 구하세요.
답. 54
풀이. (24)32=6×9=54입니다.
문제 8. (기초) (08)+(18)+⋯+(88)을 구하세요.
답. 256
풀이. 28=256입니다.
문제 9. (표준) (2x+1)6에서 x4의 계수를 구하세요.
답. 240
풀이. 일반항이 (k6)(2x)6−k이므로 6−k=4에서 k=2입니다. (26)24=15×16=240입니다.
문제 10. (표준) (x−x1)10에서 상수항을 구하세요.
답. −252
풀이. 일반항이 (k10)x10−k(−1)kx−k=(k10)(−1)kx10−2k입니다. 10−2k=0에서 k=5이므로 (510)(−1)5=252×(−1)=−252입니다.
문제 11. (표준) (1+x)9에서 x3의 계수와 x6의 계수를 각각 구하고 비교하세요.
답. 둘 다 84입니다.
풀이. (39)=84이고 (69)=(39)=84입니다. 대칭성 때문에 같습니다.
문제 12. (표준) 파스칼의 삼각형에서 n=7 줄을 쓰세요.
답. 172135352171
풀이. n=6 줄 1,6,15,20,15,6,1의 이웃한 두 수를 더합니다.
문제 13. (표준) (19)+(39)+(59)+(79)+(99)을 구하세요.
답. 256
풀이. 홀수 자리 합은 전체의 절반이므로 28=256입니다.
문제 14. (표준) (3x−x21)6에서 상수항을 구하세요.
답. 1215
풀이. 지수는 (6−k)−2k=6−3k입니다. 6−3k=0에서 k=2입니다. 계수는 (26)34(−1)2=15×81=1215입니다.
문제 15. (표준) (x2+x31)8에 상수항이 있는지 판정하세요.
답. 없습니다.
풀이. 지수는 2(8−k)−3k=16−5k입니다. 16−5k=0에서 k=516로 정수가 아닙니다.
문제 16. (심화) (1+x)n의 전개식에서 x2의 계수가 45일 때 n을 구하세요.
답. n=10
풀이. (2n)=2n(n−1)=45이므로 n(n−1)=90입니다. n2−n−90=0이고 (n−10)(n+9)=0에서 n=10 또는 n=−9인데 n은 자연수이므로 n=10입니다.
문제 17. (심화) (1+x)5(1+2x)3의 전개식에서 x의 계수를 구하세요.
답. 11
풀이. x 항은 한쪽에서 x를 하나 고르고 다른 쪽에서 상수를 고를 때 나옵니다. 앞에서 x를 고르면 (15)x=5x이고 뒤의 상수항은 1이므로 5x입니다. 뒤에서 x를 고르면 (13)(2x)=6x이고 앞의 상수항은 1이므로 6x입니다. 더하면 11x입니다.
문제 18. (심화) ∑k=0nk(kn)=n⋅2n−1임을 셈으로 설명하세요.
답. "n명 중 위원회를 뽑고 그중 위원장 한 명을 정하는 방법"을 두 가지로 센 것입니다.
풀이. 왼쪽은 위원회의 크기를 k로 먼저 정하고, 그 크기의 위원회를 (kn)가지로 고른 뒤, 위원장을 k가지로 고르는 셈입니다. 오른쪽은 위원장을 먼저 n가지로 정하고, 나머지 n−1명 각각이 위원회에 들어갈지 말지를 2n−1가지로 정하는 셈입니다. 같은 것을 두 방식으로 셌으므로 같습니다. 검산으로 n=3이면 왼쪽은 0+3+2×3+3×1=12이고 오른쪽은 3×4=12입니다.
드릴에서는 공식으로 계수를 구했습니다. 이 절에서는 이항정리를 두 가지 방법으로 증명하고, 대입으로 얻는 항등식들이 어떤 셈에 대응하는지 확인합니다. 마지막 문항은 전개식을 다룰 때 흔한 오해를 반례로 잡아냅니다.
심화 1. (이항정리 증명) 이항정리를 셈으로 증명하고, 파스칼 항등식을 이용한 다른 증명 방향도 설명하세요.
답. 괄호에서 b를 몇 개 고르는지 세면 되고, 파스칼 항등식으로 n에서 n+1로 넘어가는 논증도 가능합니다.
풀이. 셈에 의한 증명입니다. (a+b)n을 전개하면 n개의 괄호에서 각각 a 또는 b를 하나씩 골라 곱한 항을 모두 더한 것입니다. b를 정확히 k개 고른 항은 an−kbk이고, 어느 k곳에서 고를지가 (kn)가지이므로 그 항의 계수가 (kn)입니다. 다른 방향의 증명은 n에 대해 단계적으로 올라가는 것입니다. (a+b)n+1=(a+b)n(a+b)에서 오른쪽을 전개하면 an+1−kbk 항은 앞의 an−k+1bk−1에 b를 곱한 것과 an−kbk에 a를 곱한 것에서 나오므로 계수가 (k−1n)+(kn)입니다. 파스칼 항등식으로 이것이 (kn+1)이므로 다음 단계에서도 같은 꼴이 유지됩니다.
남는 것. 두 번째 방향은 "n에서 성립하면 n+1에서도 성립한다"는 구조이며, 이 논증 방식에 이름을 붙이고 정당성을 따지는 일은 25강의 수학적 귀납법에서 합니다. 지금은 파스칼 항등식이 왜 전개식의 뼈대인지만 확인해 둡니다.
심화 2. (교대합의 셈) ∑k=0n(−1)k(kn)=0(n≥1)을 셈으로 설명하세요.
답. 짝수 개를 뽑는 방법과 홀수 개를 뽑는 방법의 수가 같기 때문입니다.
풀이. 식을 옮기면 짝수 자리 합과 홀수 자리 합이 같다는 뜻입니다. 이유를 셈으로 봅니다. n개 중 특정 원소 x를 하나 정합니다. 임의의 부분집합에 대해 x가 들어 있으면 빼고 없으면 넣는 조작을 생각하면, 이 조작은 크기의 홀짝을 반드시 뒤집고 두 번 하면 원래대로 돌아옵니다. 따라서 짝수 크기 부분집합과 홀수 크기 부분집합이 하나씩 정확히 짝지어지고 개수가 같습니다. n≥1이어야 그런 x를 고를 수 있습니다.
남는 것. 대입으로도 같은 결과가 나오지만 셈으로 설명하면 "왜 같은가"가 보입니다. 두 집합을 일대일로 짝지어 개수가 같음을 보이는 방식을 대응에 의한 증명이라 하며, 29강에서 무한집합의 크기를 비교할 때 핵심 도구가 됩니다.
심화 3. (계수의 최댓값) (1+x)n의 전개식에서 계수가 가장 큰 항이 가운데임을 이웃한 계수의 비로 설명하세요.
답. 이웃한 계수의 비가 1을 넘는 동안 커지고 1보다 작아지면 줄어들며, 그 경계가 가운데입니다.
풀이. 이웃한 두 이항계수의 비를 계산합니다. (kn)(k+1n)=k+1n−k입니다. 이 비가 1보다 크면 다음 계수가 더 큽니다. k+1n−k>1은 n−k>k+1, 즉 k<2n−1과 같습니다. 따라서 k가 2n−1보다 작은 동안 계수가 계속 커지고 그 뒤로는 줄어듭니다. n이 짝수이면 k=2n에서 최대이고, 홀수이면 k=2n−1과 2n+1 두 곳에서 같은 최댓값을 가집니다.
남는 것. 이웃한 항의 비를 보는 방식은 13강 심화 3에서 지수함수와 다항함수를 비교할 때 쓴 것과 같습니다. 수열이 언제까지 커지는지 알고 싶으면 차가 아니라 비를 보는 것이 대개 편합니다. 여기서 얻은 종 모양이 127강의 이항분포와 143강의 정규분포 근사로 이어집니다.
심화 4. (두 전개식의 곱) (1+x)m(1+x)n=(1+x)m+n의 양변에서 xr의 계수를 비교해 항등식을 얻으세요.
답. ∑k=0r(km)(r−kn)=(rm+n)입니다.
풀이. 오른쪽에서 xr의 계수는 이항정리로 (rm+n)입니다. 왼쪽에서는 앞 전개식에서 xk를 고르고 뒤 전개식에서 xr−k를 골라 곱해야 xr이 되므로, 가능한 k에 대해 계수를 곱해 더한 것이 됩니다. 두 값이 같아야 하므로 항등식이 나옵니다. 셈으로도 설명됩니다. 남자 m명과 여자 n명 중 r명을 뽑는 방법을 남자를 몇 명 뽑는지로 나눠 세면 왼쪽이고, 전체에서 한꺼번에 세면 오른쪽입니다.
남는 것. 이 항등식을 방데르몽드 항등식이라 합니다. 같은 다항식을 두 방식으로 전개해 계수를 비교하는 수법은 2강의 계수비교와 같은 것이며, 조합 항등식을 만드는 표준 도구입니다. 다항식 하나에서 항등식이 여러 개 나온다는 점이 이 방법의 힘입니다.
심화 5. (근사에 쓰기) 1.0210을 이항정리의 앞 세 항으로 어림하고 실제 값과 비교하세요.
답. 어림값은 약 1.2이고 실제 값은 약 1.219입니다.
풀이. 1.02=1+0.02이므로 (1+0.02)10입니다. 이항정리로 펼치면 1+(110)(0.02)+(210)(0.02)2+⋯입니다. 앞 세 항은 1+10×0.02+45×0.0004=1+0.2+0.018=1.218입니다. 넷째 항은 (310)(0.02)3=120×0.000008=0.00096으로 훨씬 작습니다. 실제 값은 약 1.21899이므로 앞 세 항만으로 소수 셋째 자리까지 맞습니다.
남는 것. b가 작으면 뒤 항일수록 b의 거듭제곱이 붙어 급격히 작아지므로 앞 몇 항만으로 좋은 근사가 됩니다. 이 발상을 지수가 자연수가 아닌 경우로 넓힌 것이 56강의 테일러 급수이며, 거기서는 항을 몇 개까지 쓸지와 남은 오차가 얼마인지를 정량적으로 다룹니다.
심화 6. (오해 깨기) "(a+b)n=an+bn이다"와 "(a+b+c)2의 계수도 이항계수이다"라는 두 주장을 판단하세요.
답. 둘 다 거짓입니다. 앞은 n=1일 때만 성립하고, 뒤는 항이 셋이라 다항계수가 필요합니다.
풀이. 첫째 주장에 a=b=1, n=2를 넣으면 왼쪽은 4이고 오른쪽은 2로 다릅니다. 이항정리에 가운데 항들이 있기 때문이며, 그것들이 0이 되려면 n=1이거나 a나 b가 0이어야 합니다. 9강 심화 6에서 다룬 "괄호를 분배할 수 없다"는 문제의 거듭제곱 판입니다. 둘째 주장을 봅니다. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca인데, 계수 1,1,1,2,2,2는 (k2)의 값 1,2,1과 다릅니다. 항이 셋 이상이면 각 문자를 몇 개씩 고를지를 세야 하므로 계수가 p!q!r!n! 꼴이 됩니다. 19강 문제 4의 "같은 것이 있는 순열"과 같은 식이며 이것을 다항계수라 합니다.
남는 것. 이항정리의 "이항"은 항이 두 개라는 뜻입니다. 항이 셋이면 다항정리로 넓혀야 하고, 계수도 조합 하나가 아니라 여러 개의 계승으로 나뉩니다. 정리의 이름에 적용 조건이 들어 있는 경우가 많으므로 이름을 정확히 읽는 습관이 필요합니다.
전개식의 계수를 직접 계산해 이항정리와 대조합니다.
import numpy as np
from math import comb
# 문제 6: (a+b)^5 의 계수가 파스칼 5행인지 확인
p = [1]
for _ in range(5):
p = np.polymul(p, [1, 1])
print([int(v) for v in p], [comb(5, k) for k in range(6)]) # [1,5,10,10,5,1] 두 번
# 문제 10: (x - 1/x)^10 의 상수항
print(comb(10, 5) * (-1)**5) # -252
# 문제 14: (3x - 1/x^2)^6 의 상수항
print(comb(6, 2) * 3**4 * (-1)**2) # 1215
# 문제 18: sum k*C(n,k) = n * 2^(n-1)
for n in (3, 5, 8):
print(n, sum(k*comb(n, k) for k in range(n+1)), n * 2**(n-1))
# 심화 6: (a+b)^n != a^n + b^n
a = b = 1.0
print((a+b)**2, a**2 + b**2) # 4.0 2.0
첫 블록에서 다항식을 실제로 곱해 얻은 계수와 조합으로 계산한 값이 일치합니다. 문제 18의 세 경우 모두 좌우가 같아 셈에 의한 증명이 확인되고, 마지막 줄은 심화 6의 반례입니다.
- 이항정리의 계수가 왜 조합인지 설명할 수 있는가?
- (a+b)6의 전개식에서 항의 개수를 말하시오.
- (x+1)7에서 x3의 계수를 구하시오.
- 일반항 Tk+1의 식을 쓸 수 있는가?
- 파스칼의 삼각형을 만드는 두 규칙을 말하시오.
- (0n)+(1n)+⋯+(nn)의 값을 말하시오.
- (x+x21)7에 상수항이 있는지 판정하시오.
- (a+b)n=an+bn이 왜 틀리는지 반례를 들 수 있는가?
정답.
- n개의 괄호 중 b를 고를 k곳을 정하는 방법의 수가 곧 계수이기 때문입니다.
- 7개입니다.
- (37)=35입니다.
- Tk+1=(kn)An−kBk입니다.
- 양 끝은 1이고 안쪽은 바로 위 두 수의 합입니다.
- 2n입니다.
- 지수가 (7−k)−2k=7−3k이고 7−3k=0에서 k=37이라 정수가 아니므로 없습니다.
- a=b=1, n=2이면 왼쪽은 4이고 오른쪽은 2로 다릅니다.
| 기호 |
읽는 법 |
뜻 |
| \binom{n} |
이항계수 |
전개식에서 an−kbk의 계수 |
| T_ |
일반항 |
(kn)An−kBk이며 k는 0부터 셉니다 |
| 파스칼의 삼각형 |
|
이항계수를 줄마다 늘어놓은 삼각형 |
| 파스칼 항등식 |
|
\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1} |
| 다항계수 |
다항계수 |
항이 셋 이상일 때의 계수이며 p!q!r!n! 꼴입니다 |