지금까지 120강 동안 다룬 것은 모두 확정된 대상이었습니다. 함수의 값은 정해져 있었고, 행렬의 고유값은 계산하면 나왔으며, 경사흐름의 궤적은 초기값이 정해지면 유일했습니다.
그런데 119강 심화 5에서 다른 것이 나타났습니다.
미니배치 기울기에는 잡음이 섞여 있고, 그 잡음은 매번 다릅니다. 같은 초기값에서 두 번 학습을 돌리면 다른 결과가 나옵니다. 이것을 다루려면 결과가 하나로 정해지지 않는 상황을 수로 옮기는 언어가 필요합니다.
그 언어의 첫 단어가 표본공간입니다.
놀랍게도 새 도구가 거의 필요 없습니다. 26강의 집합 연산과 28강의 논리 연결사가 그대로 쓰이고, 19강의 순열과 조합이 세는 도구가 됩니다.
| 논리의 말 | 집합의 말 | 확률의 말 |
|---|---|---|
| 또는 | 적어도 하나가 일어납니다 | |
| 그리고 | 둘 다 일어납니다 | |
| 가 아니다 | A^ | 일어나지 않습니다 |
| 이면 | 가 일어나면 도 일어납니다 |
확률론은 집합론 위에 측도 하나를 얹은 것이며, 이 강의는 그 아래층을 세웁니다.
문제. 공정한 주사위 두 개를 던집니다.
(1) 표본공간을 정하고 원소 개수를 세세요.
(2) 를 "합이 ", 를 "첫 주사위가 짝수"라 할 때 각각의 크기를 구하세요.
(3) 와 의 크기를 구하고 관계식을 세우세요.
생각의 실마리. 확률을 구하려면 분모와 분자가 무엇인지부터 정해야 합니다. 26강에서 집합을 다룰 때 전체집합을 먼저 정했던 것과 같습니다.
풀이. (1) 두 주사위를 구별하면 결과는 순서쌍입니다.
19강의 곱의 법칙으로 입니다.
(2) 검산에서 이렇게 나옵니다.
| 사건 | 정의 | 크기 | 확률 |
|---|---|---|---|
| 합이 | |||
| 첫 주사위가 짝수 | |||
| 둘 다 | |||
| 적어도 하나 |
(3) 의 원소는 , , 이며, 크기 사이에 이 관계가 성립합니다.
이 문제에서 배우는 것: 표본공간과 사건.
표본공간. 실험에서 일어날 수 있는 결과를 하나도 빠뜨리지 않고 모은 집합을 라 씁니다. 원소 하나를 표본점이라 부릅니다.
사건. 의 부분집합이며, 그 부분집합에 속하는 결과가 나오면 "사건이 일어났다"고 말합니다.
사건이 부분집합이라는 정의가 모든 것을 결정합니다. 26강의 집합 연산이 그대로 사건의 연산이 되기 때문입니다.
| 사건 | 뜻 |
|---|---|
| 또는 가 일어납니다 | |
| 와 가 함께 일어납니다 | |
| A^ | 가 일어나지 않습니다 |
| 는 일어나고 는 일어나지 않습니다 | |
| 결코 일어나지 않는 사건입니다 | |
| 반드시 일어나는 사건입니다 |
포함배제의 원리. 입니다.
겹치는 부분을 두 번 셌으므로 한 번 빼는 것이며, 20강의 이항정리를 세던 발상과 같습니다. 세 사건이면 이렇게 늘어납니다.
배반. 이면 두 사건이 서로 배반이라 하며, 이때 입니다.
문제 1의 와 는 배반이 아닙니다. 겹치는 원소가 세 개 있기 때문입니다.
바로 확인 1.
확인 1-1. 표본공간과 사건의 정의를 각각 쓰세요.
답. 가능한 모든 결과의 집합이 표본공간이고 그 부분집합이 사건입니다.
확인 1-2. 포함배제의 원리를 두 사건에 대해 쓰세요.
답. 입니다.
확인 1-3. 배반의 정의를 쓰세요.
답. 인 것이며 함께 일어날 수 없다는 뜻입니다.
문제. 문제 1의 와 를 그대로 씁니다.
(1) 가 어떤 사건인지 말로 쓰고 크기를 구하세요.
(2) 에 대해서도 같은 것을 하세요.
(3) 두 결과를 하나의 법칙으로 정리하세요.
생각의 실마리. 22강에서 한정 기호의 부정을 다뤘습니다. **"모든 것에 대해 성립한다"의 부정이 "어떤 것에 대해 성립하지 않는다"**였습니다. 사건에서도 같은 뒤집기가 일어납니다.
풀이. (1) 는 "둘 중 적어도 하나가 일어난다"이므로 그 여집합은 **"둘 다 일어나지 않는다"**입니다. 검산에서 크기가 입니다.
(2) 는 "둘 다 일어난다"이므로 여집합은 **"적어도 하나가 일어나지 않는다"**이며 크기가 입니다.
(3) 검산이 두 등식을 개 원소 위에서 직접 확인합니다.
| 좌변 | 우변 | 크기 | 같은가 |
|---|---|---|---|
| (A\cup B)^ | A^{c}\cap B^ | 참입니다 | |
| (A\cap B)^ | A^{c}\cup B^ | 참입니다 |
여집합의 크기는 , 입니다.
이 문제에서 배우는 것: 드모르간 법칙.
드모르간 법칙.
부정이 안으로 들어가면서 합집합과 교집합이 뒤바뀝니다.
26강에서 집합으로 배운 것과 같은 식이며, 22강의 한정 기호 부정과 같은 구조입니다.
| 논리 | 집합 | 확률 |
|---|---|---|
| (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^ | 하나도 안 일어남 | |
| (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^ | 적어도 하나 안 일어남 |
실무에서 이 법칙이 계산을 크게 줄입니다. "적어도 하나"를 직접 세면 경우가 많은데, 여집합인 "하나도 없음"은 대개 훨씬 쉽습니다.
예를 들어 주사위를 번 던져 이 적어도 한 번 나올 확률은 직접 세면 복잡하지만, 여집합을 쓰면 이렇게 한 줄입니다.
임의 개수로도 확장됩니다.
바로 확인 2.
확인 2-1. 드모르간 법칙 두 식을 쓰세요.
답. 이고 입니다.
확인 2-2. "적어도 하나가 일어난다"의 여사건을 말로 쓰세요.
답. 하나도 일어나지 않는다는 사건입니다.
확인 2-3. 주사위를 번 던져 이 적어도 한 번 나올 확률을 쓰세요.
답. 입니다.
문제. 주사위 두 개의 합을 기준으로 를 나눕니다.
(1) 합이 인 사건 를 부터 까지 만들고 크기를 구하세요.
(2) 이들이 를 덮는지, 서로 겹치지 않는지 확인하세요.
(3) 확률의 합을 구하세요.
생각의 실마리. 27강에서 함수가 정의역의 각 원소에 값을 하나씩 대응시킨다고 했습니다. "합"이라는 함수가 의 각 원소에 값을 하나씩 주므로, 같은 값을 갖는 것끼리 모으면 자동으로 겹치지 않습니다.
풀이. (1)(2)(3) 검산 결과입니다.
| 합 | 크기 | 확률 | 누적확률 |
|---|---|---|---|
**덮는지도 참이고 서로소인지도 참이며 확률의 합이 정확히 **입니다.
크기가 로 대칭인 것이 눈에 띕니다. 합 와 합 가 각 주사위 눈을 로 바꾸는 대응으로 짝지어지기 때문입니다.
이 문제에서 배우는 것: 분할.
분할. 사건 가 다음 두 조건을 만족하면 의 분할이라 합니다.
이 두 조건이 26강의 MECE와 같은 말입니다. 빠짐없이 덮으면 확률의 합이 이상이고, 겹치지 않으면 이하이므로, 둘 다면 정확히 입니다.
분할은 확률을 쪼개 계산하는 표준 도구입니다. 임의의 사건 에 대해
이고 오른쪽 조각들이 서로 배반이므로 의 확률을 조각별로 더할 수 있습니다. 125강 전확률의 법칙이 이 식입니다.
**가장 단순한 분할이 **이며, 문제 2에서 여집합을 쓴 것이 이 분할을 쓴 것입니다.
분할을 만드는 표준 방법이 함수의 값으로 묶는 것입니다. 가 있으면 가 자동으로 분할이 되며, 이것이 126강 확률변수의 출발점입니다.
바로 확인 3.
확인 3-1. 분할의 두 조건을 쓰세요.
답. 합집합이 이고 서로 배반이어야 합니다.
확인 3-2. 가장 단순한 분할을 쓰세요.
답. 입니다.
확인 3-3. 함수로 분할을 만드는 방법을 쓰세요.
답. 같은 함숫값을 갖는 표본점끼리 묶습니다.
문제. 공정한 동전을 처음 앞면이 나올 때까지 던집니다. 을 던진 횟수라 합니다.
(1) 표본공간을 쓰고 원소가 몇 개인지 말하세요.
(2) 를 구하세요.
(3) 모든 확률의 합이 인지 확인하세요.
생각의 실마리. 이번에는 원소가 유한하지 않습니다. 29강에서 무한집합에도 셀 수 있는 것과 없는 것이 있다고 했습니다. 어느 쪽인지 먼저 판정합니다.
풀이. (1) 결과는 이며 자연수 와 일대일 대응하므로 가산무한입니다. 29강의 용어로 입니다.
(2) 번째에 처음 앞면이 나오려면 앞의 번이 모두 뒷면이어야 하므로
입니다.
(3) 검산 결과입니다.
| 누적 | 누적 | ||
|---|---|---|---|
| 5.0000\times10^ | 5.000\times10^ | ||
| 2.5000\times10^ | 2.500\times10^ | ||
| 1.2500\times10^ | 1.250\times10^ | ||
| 3.1250\times10^ | 3.125\times10^ | ||
| 9.7656\times10^ | 9.766\times10^ | ||
| 9.5367\times10^ | 9.537\times10^ | ||
| 9.0949\times10^ | 9.095\times10^ |
18강의 등비급수로 확인됩니다.
이 문제에서 배우는 것: 가산가법성.
가산가법성. 서로 배반인 사건이 셀 수 있게 많이 있을 때 합집합의 확률은 각 확률의 합입니다.
유한개가 아니라 가산무한개까지 허용하는 것이 핵심이며, 122강에서 이것이 확률의 세 공리 중 하나로 들어갑니다.
왜 가산까지만 허용하는지가 중요합니다. 급수가 의미를 가지려면 항이 셀 수 있게 나열되어야 하기 때문입니다. 29강에서 실수 전체는 셀 수 없다고 했으므로, 연속 표본공간에서는 이 방식이 통하지 않습니다. 문제 5에서 확인합니다.
표본공간의 세 유형을 정리해 둡니다.
| 유형 | 예 | 확률을 주는 방법 |
|---|---|---|
| 유한 | 주사위 두 개 | 원소마다 확률을 줍니다 |
| 가산무한 | 처음 앞면까지의 횟수 | 원소마다 주고 급수로 더합니다 |
| 연속 | 의 한 점 | 원소가 아니라 구간에 줍니다 |
바로 확인 4.
확인 4-1. 가산가법성을 쓰세요.
답. 배반인 가산개 사건의 합집합의 확률은 확률의 합입니다.
확인 4-2. 처음 앞면까지의 횟수가 일 확률을 쓰세요.
답. 입니다.
확인 4-3. 표본공간이 가산무한이어도 확률의 합이 이 될 수 있습니까?
답. 될 수 있으며 등비급수처럼 수렴하면 됩니다.
문제. 에서 균등하게 한 점을 고릅니다.
(1) 폭이 인 구간의 확률을 구하세요.
(2) 로 보내 한 점의 확률을 구하세요.
(3) 그런데 모든 점의 확률을 더하면 무엇이 문제인지 쓰세요.
생각의 실마리. 문제 4까지는 원소마다 확률을 주고 더하는 방식이 통했습니다. 그 방식이 여기서 통하는지 검사합니다.
풀이. (1) 균등하다는 것은 확률이 길이에 비례한다는 뜻이므로 검산 결과가 이렇습니다.
| 폭 | 구간 의 확률 |
|---|---|
(2) 폭을 으로 보내면 확률도 이므로 **한 점의 확률은 정확히 **입니다.
(3) 그런데 의 모든 점을 모으면 자체이고 그 확률은 입니다. 을 아무리 많이 더해도 이 되지 않으므로, 원소별 확률을 더하는 방식이 무너집니다.
이 문제에서 배우는 것: 확률은 원소가 아니라 사건에 준다.
핵심 전환. 확률은 표본점 하나하나에 붙는 것이 아니라 사건, 곧 부분집합에 붙는 것입니다.
문제 4까지는 원소에 준 값을 더해도 되었습니다. 가산이었기 때문입니다. 연속에서는 그 다리가 끊어지므로 처음부터 사건에 주는 방식을 정의로 삼습니다.
여기서 또 하나의 문제가 생깁니다. 모든 부분집합에 확률을 줄 수 있느냐는 것인데, 줄 수 없습니다. 에는 길이를 정할 수 없는 병리적인 부분집합이 존재합니다.
가측집합과 사건족. 확률을 줄 수 있는 부분집합만 모아 라 하고, 이것을 사건족이라 합니다. 는 다음 세 조건을 만족해야 합니다.
이 세 조건이 왜 이 모양인지가 문제 1부터 문제 4까지의 답입니다. 사건을 다루면서 실제로 한 연산이 여집합과 가산합집합 두 가지였고, 교집합은 드모르간으로 이 둘에서 나옵니다. 우리가 쓴 연산에 대해 닫혀 있으라는 요구입니다.
이런 를 시그마 대수라 부르며, 세 쌍을 확률공간이라 합니다.
실무에서 이 층을 의식할 일은 거의 없습니다. 우리가 다루는 사건은 구간, 그 합집합, 여집합 정도이며 모두 가측이기 때문입니다. 다만 한 점의 확률이 이라는 사실은 계속 쓰입니다. 129강에서 연속확률변수를 다룰 때 인데도 인 상황이 정확히 이 구조입니다.
바로 확인 5.
확인 5-1. 연속 표본공간에서 한 점의 확률을 쓰세요.
답. 입니다.
확인 5-2. 확률을 원소가 아니라 무엇에 주는지 쓰세요.
답. 사건, 곧 부분집합에 줍니다.
확인 5-3. 사건족이 닫혀 있어야 하는 두 연산을 쓰세요.
답. 여집합과 가산합집합입니다.
| 개념 | 내용 |
|---|---|
| 표본공간 | 가능한 모든 결과의 집합 |
| 사건 | 의 부분집합 |
| 배반 | |
| 분할 | 덮고 겹치지 않는 사건들 |
| 포함배제 | |
| 드모르간 | (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^ |
| 가산가법성 | 배반이면 확률이 더해집니다 |
| 확률공간 |
| 말 | 집합 |
|---|---|
| 적어도 하나 | |
| 둘 다 | |
| 하나도 아님 | A^{c}\cap B^ |
| 정확히 하나 | |
| 이면 |
| 표본공간 유형 | 확률 부여 |
|---|---|
| 유한 | 원소마다 |
| 가산무한 | 원소마다, 급수로 |
| 연속 | 사건마다 |
| 자주 하는 실수 | 바로잡기 |
|---|---|
| 표본공간을 정하지 않고 셉니다 | 분모부터 확정합니다 |
| 두 주사위를 구별하지 않습니다 | 구별해야 같은 확률이 됩니다 |
| 배반과 독립을 혼동합니다 | 배반은 겹침, 독립은 정보입니다 |
| 확률이 이면 불가능하다고 봅니다 | 연속에서는 일어날 수 있습니다 |
문제 6. 표본공간의 정의를 쓰세요.
답. 실험에서 일어날 수 있는 모든 결과를 모은 집합입니다.
문제 7. 사건의 정의를 쓰세요.
답. 표본공간의 부분집합입니다.
문제 8. 동전을 세 번 던질 때 표본공간의 크기를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 9. 주사위 두 개에서 합이 인 사건의 크기를 쓰세요.
답. 의 개입니다.
문제 10. 포함배제의 원리를 세 사건으로 확장해 쓰세요.
답. 홀수 개 교집합은 더하고 짝수 개 교집합은 빼며 까지 갑니다.
문제 11. 배반의 정의와 그때의 합집합 크기를 쓰세요.
답. 이며 입니다.
문제 12. 드모르간 법칙 두 식을 쓰세요.
답. 이고 입니다.
문제 13. 주사위를 번 던져 이 한 번도 안 나올 확률을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 14. 분할의 두 조건을 쓰세요.
답. 합집합이 이고 서로 배반이어야 합니다.
문제 15. 임의의 사건 를 분할 로 쪼갠 식을 쓰세요.
답. 이며 조각들이 서로 배반입니다.
문제 16. 가산가법성을 쓰세요.
답. 배반인 가산개 사건의 합집합의 확률이 각 확률의 합입니다.
문제 17. 연속 표본공간에서 한 점의 확률과 그 함의를 쓰세요.
답. 이며 확률이 이라고 일어나지 않는 것은 아닙니다.
문제 18. 시그마 대수가 닫혀 있어야 하는 연산을 쓰세요.
답. 여집합과 가산합집합이며 교집합은 드모르간으로 따라옵니다.
심화 1. 같은 실험에 표본공간이 여럿일 수 있음을 보이세요.
주사위 두 개를 던지는 실험에 표본공간을 여러 방식으로 줄 수 있습니다.
| 표본공간 | 크기 | 원소가 등확률인가 |
|---|---|---|
| 순서쌍 | 등확률입니다 | |
| 순서 없는 쌍 \ | 등확률이 아닙니다 | |
| 합 s\in\ | 등확률이 아닙니다 |
셋 다 올바른 표본공간이지만 쓰기 편한 정도가 다릅니다. 순서쌍만 등확률이므로, 세어서 나누는 계산이 가능한 것은 그것뿐입니다.
둘째와 셋째로 계산하면 틀립니다. 합이 일 확률을 셋째 표본공간에서 이라 하면 틀린 답이며, 문제 3의 표에서 참값이 입니다.
이것이 확률 문제에서 가장 흔한 오류의 뿌리입니다. 18세기에 달랑베르가 동전 두 개에서 앞면이 적어도 하나 나올 확률을 라 한 것이 같은 실수였습니다. 그는 표본공간을 둘 다 앞, 하나만 앞, 둘 다 뒤로 잡았는데, 가운데 원소가 나머지의 두 배로 무겁습니다.
심화 2. 사건의 대수와 논리 연결사의 대응을 완성하세요.
28강에서 논리 연결사를 다뤘습니다. 사건 연산과의 대응이 완전합니다.
| 논리 | 집합 | 이름 |
|---|---|---|
| 합집합 | ||
| 교집합 | ||
| A^ | 여집합 | |
| 함의 | ||
| 동치 | ||
| 배타적 논리합 | ||
| 항진 | 전체 | |
| 모순 | 공집합 |
넷째 줄이 흥미롭습니다. 23강에서 가 와 동치라고 했는데, 집합에서는 입니다. 그리고 일 때 이것이 가 됩니다. 함의가 참이라는 것과 포함관계가 성립한다는 것이 같은 말입니다.
이 대응 덕분에 논리에서 증명한 항등식이 그대로 쓰입니다. 분배법칙도 그렇습니다.
심화 3. 확률이 인 사건과 불가능한 사건의 차이를 정리하세요.
유한 표본공간에서는 둘이 같습니다. 이면 에 원소가 없기 때문입니다.
연속에서는 갈라집니다.
| 유한, 가산 | 연속 | |
|---|---|---|
| 일 수 있습니다 | ||
| 일 수 있습니다 |
에서 는 비어 있지 않은데 확률이 이고, 는 가 아닌데 확률이 입니다.
**이때 쓰는 표현이 "거의 확실히"**입니다. 이면 가 거의 확실히 일어난다고 말하며, 예외가 있을 수 있음을 인정하는 표현입니다.
유리수 전체의 확률이 인 것이 좋은 예입니다. 의 유리수는 가산무한이므로 한 점씩 나열해 각각 확률 을 주고 가산가법성으로 더하면 입니다. 곧 에서 무작위로 고른 수는 거의 확실히 무리수입니다.
기계학습에서 이 표현이 자주 나옵니다. "확률 로 수렴한다"는 표현이 거의 확실한 수렴이며, 142강 큰 수의 강법칙에서 정확히 이 뜻으로 씁니다.
심화 4. 표본공간의 크기를 세는 도구를 정리하세요.
19강과 20강의 셈 도구가 그대로 확률의 분모와 분자를 만듭니다.
| 상황 | 개수 | 예 |
|---|---|---|
| 순서 있음, 중복 허용 | n^ | 주사위 번 |
| 순서 있음, 중복 없음 | \dfrac{n!} | 등수 매기기 |
| 순서 없음, 중복 없음 | \dbinom{n} | 조합 뽑기 |
| 순서 없음, 중복 허용 | \dbinom{n+k-1} | 중복조합 |
넷째 줄이 확률에서 함정입니다. 순서 없이 중복을 허용해 세면 개수는 맞지만 등확률이 아니므로 확률 계산에 바로 쓸 수 없습니다. 심화 1의 순서 없는 쌍이 이 경우입니다.
분할을 세는 문제도 자주 나옵니다. 개를 크기 의 그룹으로 나누는 방법은 다항계수입니다.
20강의 이항정리를 여러 항으로 늘린 것이며, 127강 이항분포와 그 다변량 확장인 다항분포의 계수가 됩니다.
심화 5. 곱 표본공간과 반복 실험을 설명하세요.
실험을 여러 번 반복하면 표본공간이 곱으로 커집니다.
문제 1의 가 정확히 였습니다.
여기서 중요한 것은 사건의 표현입니다. "첫 주사위가 짝수"라는 사건 는 두 번째 주사위에 아무 조건을 걸지 않으므로
이라는 직사각형 꼴입니다. 반면 "합이 "인 사건 는 직사각형이 아니며, 대각선 모양입니다.
| 사건 | 모양 | 성분별로 쪼개지는가 |
|---|---|---|
| 첫 주사위가 짝수 | 직사각형 | 쪼개집니다 |
| 합이 | 대각선 | 쪼개지지 않습니다 |
이 구별이 124강 독립의 기하적 정체입니다. 직사각형 사건들끼리는 확률이 곱으로 분해되고, 그것이 독립의 정의가 됩니다.
이 커지면 표본공간이 지수적으로 커집니다. 동전 개면 개이며 전부 나열하는 것은 불가능합니다. 그래서 원소를 세는 대신 구조를 쓰는 방법이 필요하고, 126강의 확률변수가 그 방법입니다.
심화 6. 기계학습에서 표본공간이 무엇인지 설명하세요.
지도학습에서 데이터 하나는 입력과 정답의 쌍입니다.
표본공간이 이 곱집합이고, 데이터 생성 분포 가 그 위의 확률입니다. 훈련집합은 에서 뽑은 개의 표본입니다.
이 틀이 여러 개념을 정확하게 만듭니다.
| 개념 | 표본공간의 말 |
|---|---|
| 일반화 오차 | 전체에 대한 기댓값 |
| 훈련 오차 | 뽑힌 개에 대한 평균 |
| 과적합 | 둘의 차이가 큰 상태 |
| 분포 이동 | 훈련과 시험의 가 다른 상태 |
미니배치도 이 언어로 정확해집니다. 119강 심화 5의 잡음 는 훈련집합에서 배치를 고르는 실험의 결과이며, 그 표본공간은 크기 인 부분집합 전체입니다. 심화 4의 조합으로 세면 개입니다.
여기서 이 과목의 목적이 분명해집니다. S5까지는 손실함수 가 주어졌다고 보고 최소화했습니다. S6는 가 어디에서 오는지를 다룹니다. 그 답은 기댓값이며, 132강에서 정의합니다.
import numpy as np, itertools
# --- 문제 1: 표본공간을 실제로 만들어 센다 ------------------------------
S = set(itertools.product(range(1, 7), repeat=2))
A = {w for w in S if w[0] + w[1] == 7} # 합이 7
B = {w for w in S if w[0] % 2 == 0} # 첫 주사위가 짝수
print(" 주사위 두 개: |S| = %d" % len(S))
print(" 사건 정의 크기 확률")
for nm, E, d in [("A", A, "합이 7"), ("B", B, "첫 주사위가 짝수"),
("A and B", A & B, "둘 다"), ("A or B", A | B, "적어도 하나")]:
print(" %-9s %-22s %6d %10.6f" % (nm, d, len(E), len(E)/len(S)))
print(" |A or B| = |A| + |B| - |A and B| = %d + %d - %d = %d"
% (len(A), len(B), len(A & B), len(A) + len(B) - len(A & B)))
print(" A and B 의 원소: %s" % sorted(A & B))
# 주사위 두 개: |S| = 36
# 사건 정의 크기 확률
# A 합이 7 6 0.166667
# B 첫 주사위가 짝수 18 0.500000
# A and B 둘 다 3 0.083333
# A or B 적어도 하나 21 0.583333
# |A or B| = |A| + |B| - |A and B| = 6 + 18 - 3 = 21
# A and B 의 원소: [(2, 5), (4, 3), (6, 1)]
# --- 문제 2: 드모르간 법칙을 집합으로 확인한다 --------------------------
print(" 드모르간 법칙을 36개 원소 위에서 직접 확인합니다")
print(" 좌변 우변 크기 같은가")
for nm, lhs, rhs in [("(A or B)^c", S - (A | B), (S - A) & (S - B)),
("(A and B)^c", S - (A & B), (S - A) | (S - B))]:
print(" %-12s %-18s %6d %10s"
% (nm, "A^c and B^c" if "or" in nm else "A^c or B^c", len(lhs), lhs == rhs))
print(" 여집합의 크기: |A^c| = %d, |B^c| = %d" % (len(S - A), len(S - B)))
# 드모르간 법칙을 36개 원소 위에서 직접 확인합니다
# 좌변 우변 크기 같은가
# (A or B)^c A^c and B^c 15 True
# (A and B)^c A^c or B^c 33 True
# 여집합의 크기: |A^c| = 30, |B^c| = 18
# --- 문제 3: 분할은 덮고 겹치지 않는다 ----------------------------------
print(" 합의 값으로 표본공간을 나눕니다")
parts = {s: {w for w in S if w[0] + w[1] == s} for s in range(2, 13)}
print(" 합 크기 확률 누적확률")
acc = 0.0
for s in range(2, 13):
p = len(parts[s])/len(S); acc += p
print(" %7d %6d %9.6f %11.6f" % (s, len(parts[s]), p, acc))
cover = set().union(*parts.values())
disj = all(not (parts[i] & parts[j]) for i in parts for j in parts if i < j)
print(" 덮는가 %s, 서로소인가 %s, 확률의 합 %.10f" % (cover == S, disj, acc))
# 합의 값으로 표본공간을 나눕니다
# 합 크기 확률 누적확률
# 2 1 0.027778 0.027778
# 3 2 0.055556 0.083333
# 4 3 0.083333 0.166667
# 5 4 0.111111 0.277778
# 6 5 0.138889 0.416667
# 7 6 0.166667 0.583333
# 8 5 0.138889 0.722222
# 9 4 0.111111 0.833333
# 10 3 0.083333 0.916667
# 11 2 0.055556 0.972222
# 12 1 0.027778 1.000000
# 덮는가 True, 서로소인가 True, 확률의 합 1.0000000000
# --- 문제 4: 표본공간이 무한해도 확률의 합은 1 --------------------------
print(" 공정한 동전을 처음 앞면이 나올 때까지 던집니다")
print(" k P(N=k) 누적 1 - 누적")
acc = 0.0
for k in [1, 2, 3, 5, 10, 20, 40]:
p = 0.5**k
acc = 1 - 0.5**k
print(" %7d %12.4e %14.10f %14.3e" % (k, p, acc, 1 - acc))
print(" 원소가 무한히 많아도 확률의 합은 1 로 수렴합니다")
# 공정한 동전을 처음 앞면이 나올 때까지 던집니다
# k P(N=k) 누적 1 - 누적
# 1 5.0000e-01 0.5000000000 5.000e-01
# 2 2.5000e-01 0.7500000000 2.500e-01
# 3 1.2500e-01 0.8750000000 1.250e-01
# 5 3.1250e-02 0.9687500000 3.125e-02
# 10 9.7656e-04 0.9990234375 9.766e-04
# 20 9.5367e-07 0.9999990463 9.537e-07
# 40 9.0949e-13 1.0000000000 9.095e-13
# 원소가 무한히 많아도 확률의 합은 1 로 수렴합니다
# --- 문제 5: 연속 표본공간에서 한 점의 확률은 0 -------------------------
print(" [0, 1] 에서 균등하게 한 점을 고릅니다")
print(" 폭 1/n 구간 [0.5, 0.5+1/n] 의 확률")
for n in [10, 100, 10000, 1000000]:
print(" %12.10f %26.10f" % (1/n, 1/n))
print(" 폭을 0 으로 보내면 확률이 0 이므로 한 점의 확률은 0 입니다")
print(" 그런데 [0,1] 의 모든 점을 모으면 확률이 1 이라 원소별 합으로는 설명되지 않습니다")
# [0, 1] 에서 균등하게 한 점을 고릅니다
# 폭 1/n 구간 [0.5, 0.5+1/n] 의 확률
# 0.1000000000 0.1000000000
# 0.0100000000 0.0100000000
# 0.0001000000 0.0001000000
# 0.0000010000 0.0000010000
# 폭을 0 으로 보내면 확률이 0 이므로 한 점의 확률은 0 입니다
# 그런데 [0,1] 의 모든 점을 모으면 확률이 1 이라 원소별 합으로는 설명되지 않습니다
문제 3의 마지막 줄이 이 강의의 요약입니다. 덮는지가 참이고 서로소인지가 참이면 확률의 합이 정확히 이며, 소수점 열 자리까지 그렇습니다.
문제 5는 검산이 참값을 주지 않는 유일한 자리입니다. 폭을 계속 줄여도 에 닿지 않고 가까워질 뿐이며, 이 되는 것은 극한을 취한 뒤입니다. 33강의 극한이 여기서 다시 필요합니다.
정답.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 오메가 | 표본공간입니다 | |
| 소문자 오메가 | 표본점 하나입니다 | |
| \mathcal | 스크립트 에프 | 사건족, 시그마 대수입니다 |
| 피 | 확률측도입니다 | |
| A^ | 에이의 여집합 | 일어나지 않는 사건입니다 |
| 공집합 | 불가능한 사건입니다 | |
| 배반 | mutually exclusive | 함께 일어날 수 없습니다 |
| 분할 | partition | 덮고 겹치지 않습니다 |
| 가산 | countable | 자연수와 대응됩니다 |
| 가측 | measurable | 확률을 줄 수 있습니다 |
| 거의 확실히 | almost surely | 확률 이지만 예외가 있을 수 있습니다 |
| 확률공간 | 확률론의 기본 무대입니다 |
다음 122강에서는 확률의 공리와 셈을 다룹니다. 이 강의에서 무대를 세웠으니 그 위에 확률이라는 함수를 정의합니다. 콜모고로프의 세 공리를 세우고, 그 세 줄에서 여사건 공식과 포함배제와 단조성이 모두 따라 나오는 것을 봅니다. 19강의 순열과 조합이 등확률 표본공간의 계산 도구로 본격적으로 쓰입니다.