126강부터 131강까지를 섞어 묻습니다. 모두 문항이며 세 부분으로 나뉩니다.
| 부분 | 범위 | 문항 |
|---|---|---|
| 1부 | 확률변수와 이산분포 | ~ |
| 2부 | 연속확률변수와 정규분포 | ~ |
| 3부 | 지수, 감마, 그리고 분포 사이의 관계 | ~ |
합격선은 문항입니다. 이 단원의 분포들은 S6 나머지 전체의 재료이고, 정규분포는 143강과 240강까지, 감마와 카이제곱은 145강 표본분포까지 이어집니다. 특히 밀도가 확률이 아니라는 점, 변환에 야코비 인자가 붙는다는 점, 분포들이 서로 이어져 있다는 점은 반드시 손으로 설명할 수 있어야 합니다.
문제 1. 확률변수의 정의를 쓰고 "변수"라는 이름이 오해를 부르는 이유를 쓰세요.
답. 표본공간에서 실수로 가는 함수이며, 실제로는 함수이고 무작위인 것은 어느 표본점이 뽑히느냐입니다.
문제 2. 확률질량함수를 역상으로 쓰고 총합이 인 근거를 쓰세요.
답. 이며 역상들이 표본공간의 분할을 이루기 때문입니다.
문제 3. 누적분포함수의 정의와 그것이 보다 근본적인 이유를 쓰세요.
답. 이며 이산과 연속을 가리지 않고 정의되기 때문입니다.
문제 4. 를 로 쓰세요.
답. 이며 왼쪽 극한과의 차이입니다.
문제 5. 분포함수의 세 성질을 쓰고 각각이 어느 공리에서 오는지 쓰세요.
답. 단조 비감소는 단조성, 양끝 극한은 정규화, 우연속은 가산가법성에서 옵니다.
문제 6. 역변환 표집을 쓰세요.
답. 균등분포 에 을 씌우면 분포함수가 인 확률변수가 됩니다.
문제 7. 독립인 개의 최댓값과 최솟값의 분포함수를 쓰세요.
답. 과 입니다.
문제 8. 이산 변환 공식을 쓰고 다대일일 때 무엇이 일어나는지 쓰세요.
답. 이며 확률이 합쳐지고 정보를 잃습니다.
문제 9. 베르누이 분포의 평균과 분산을 쓰고 인 이유를 쓰세요.
답. 와 이며 가 또는 이라 이기 때문입니다.
문제 10. 지시함수와 확률의 관계를 쓰세요.
답. 이며 확률이 기댓값입니다.
문제 11. 이항분포의 질량함수와 정규화 근거를 쓰세요.
답. 이며 이항정리가 근거입니다.
문제 12. 이항분포의 평균과 분산을 유도 방법과 함께 쓰세요.
답. 와 이며 베르누이 개의 합으로 봅니다.
문제 13. 기댓값의 선형성과 분산의 가법성에서 조건의 차이를 쓰세요.
답. 선형성은 조건이 없고 가법성은 독립이 필요합니다.
문제 14. 이항분포의 최빈값과 공동 최빈이 되는 조건을 쓰세요.
답. 이며 가 정수면 그 값과 하나 작은 값이 함께 최빈이 됩니다.
문제 15. 포아송분포의 질량함수, 정규화 근거, 평균과 분산을 쓰세요.
답. 이고 지수급수가 근거이며 평균과 분산이 모두 입니다.
문제 16. 기하분포의 질량함수와 꼬리확률, 그리고 무기억성을 쓰세요.
답. , 이며 입니다.
문제 17. 확률밀도함수를 극한으로 쓰세요.
답. 입니다.
문제 18. 밀도가 만족해야 할 두 조건을 쓰세요.
답. 비음성이고 전체 적분이 입니다.
문제 19. 밀도가 을 넘을 수 있는지와 그 이유를 쓰세요.
답. 넘을 수 있으며 밀도가 확률이 아니라 단위 길이당 확률이기 때문입니다.
문제 20. 밀도의 단위와 그 실무적 함의를 쓰세요.
답. 길이이며 단위를 바꾸면 값이 변하고 음의 로그가능도가 음수일 수 있습니다.
문제 21. 연속에서 와 의 관계를 쓰세요.
답. 같습니다. 한 점의 확률이 이기 때문입니다.
문제 22. 와 의 두 관계와 그것을 잇는 정리를 쓰세요.
답. 이고 이며 미적분학의 기본정리가 잇습니다.
문제 23. 연속인데 밀도가 없는 분포의 예를 쓰세요.
답. 칸토어 분포 같은 특이형입니다.
문제 24. 연속 변환 공식을 쓰고 야코비 인자의 직관을 쓰세요.
답. 이며 구간이 늘어나면 밀도가 묽어지므로 보정합니다.
문제 25. 절댓값이 붙는 이유를 쓰세요.
답. 확률은 방향과 무관한 양이라 부호를 버립니다.
문제 26. 오른쪽으로 치우친 분포에서 평균, 중앙값, 최빈값의 순서를 쓰세요.
답. 최빈값 중앙값 평균입니다.
문제 27. 가우스 적분의 값과 유도 수법을 쓰세요.
답. 이며 제곱해 이중적분으로 만들고 극좌표로 바꿉니다.
문제 28. 극좌표에서 무엇이 계산을 가능하게 하는지 쓰세요.
답. 면적소의 이며 그것이 치환으로 사라집니다.
문제 29. 정규분포 밀도에서 가 분모에 있는 이유를 쓰세요.
답. 표준화 치환의 야코비 인자이며 적분을 로 유지합니다.
문제 30. -- 규칙을 쓰세요.
답. , , 표준편차 안에 각각 약 , , 가 있습니다.
문제 31. 와 독립 합의 분포를 각각 쓰세요.
답. 이고 평균과 분산이 각각 더해진 정규분포입니다.
문제 32. 정규분포의 최대 엔트로피 성질과 유도 도구를 쓰세요.
답. 평균과 분산이 주어지면 엔트로피를 최대화하며 라그랑주 승수법으로 유도합니다.
문제 33. 지수분포의 밀도, 생존함수, 평균, 분산을 쓰세요.
답. , , , 입니다.
문제 34. 지수분포가 포아송 과정에서 나오는 이유를 쓰세요.
답. 가 구간에 사건이 회일 확률이라 이기 때문입니다.
문제 35. 무기억성의 세 가지 동치 표현을 쓰세요.
답. 조건부확률 형태, 위험률 상수, 생존함수의 함수방정식 입니다.
문제 36. 무기억성을 갖는 이산분포와 연속분포를 쓰세요.
답. 기하분포와 지수분포뿐입니다.
문제 37. 감마분포의 밀도, 평균, 분산을 쓰세요.
답. 이고 , 입니다.
문제 38. 가 정수일 때의 이름과 의미를 쓰세요.
답. 얼랑분포이며 지수분포 개의 합입니다.
문제 39. 감마함수의 정의, 재귀, 유도 방법을 쓰세요.
답. 이고 이며 부분적분으로 유도합니다.
문제 40. 과 를 쓰고 후자가 가우스 적분과 같은 이유를 쓰세요.
답. 과 이며 치환 을 넣으면 그 적분이 되기 때문입니다.
문제 41. 카이제곱분포를 감마로 쓰세요.
답. 입니다.
문제 42. 감마의 합 성질과 그 조건을 쓰세요.
답. 비율 모수가 같으면 모양 모수가 더해집니다.
문제 43. 포아송의 켤레 사전과 갱신 규칙을 쓰세요.
답. 감마이며 에 관측 합을, 에 관측 수를 더합니다.
문제 44. 사후 평균이 무엇의 가중평균인지 쓰세요.
답. 사전 평균과 최대우도의 가중평균이며 가중치가 와 입니다.
문제 45. 이항분포의 두 극한과 각각의 조건을 쓰세요.
답. 가 고정이면 포아송, 가 고정이고 이 크면 정규입니다.
문제 46. 포아송 극한에서 의 출처와 극한이 성립하는 이유를 쓰세요.
답. 이며 한 조각에 두 번 이상 일어날 총 기대값이 로 줄기 때문입니다.
문제 47. 이산과 연속의 세 쌍 대응을 쓰세요.
답. 이항과 포아송, 기하와 지수, 음이항과 감마입니다.
문제 48. 이 단원의 여섯 분포가 어떻게 이어지는지 한 갈래를 쓰세요.
답. 베르누이에서 이항으로, 이항에서 포아송으로, 포아송의 대기시간이 지수이고, 지수의 합이 감마입니다.
틀린 문항이 어느 부분에 몰렸는지를 먼저 봅니다.
| 몰린 곳 | 다시 볼 것 |
|---|---|
| 1부 | 126강 문제 2와 문제 5, 127강 문제 3, 128강 문제 5 |
| 2부 | 129강 문제 1과 문제 2, 130강 문제 1과 문제 5 |
| 3부 | 131강 문제 1과 문제 3, 128강 심화 2 |
문항 와 을 틀렸다면 반드시 돌아갑니다. 밀도를 확률로 읽는 오해가 이후 모든 연속 계산을 어긋나게 합니다. 가 확률이지 가 확률이 아닙니다.
문항 이 사소해 보이지만 계속 쓰입니다. 기댓값은 독립 없이도 더해지고 분산은 독립이 필요합니다. 이 비대칭이 127강 이항분포부터 144강 표본평균까지 반복해서 나타납니다.
문항 와 가 짝입니다. 야코비 인자는 이 단원에서는 일변수의 이지만 139강에서 다변수의 가 되고, 263강 정규화 흐름에서 신경망이 학습해야 할 대상이 됩니다.
문항 이 이 단원에서 가장 아름다운 연결입니다. 정규분포의 와 감마함수의 가 같은 적분에서 나오며, 145강에서 카이제곱을 다룰 때 이 연결이 실제로 쓰입니다.
문항 과 은 암기가 아니라 지도입니다. 여섯 분포를 따로 외우면 열두 개의 공식이지만, 이어진 그림으로 보면 하나입니다. 세 갈래가 모두 감마에서 만난다는 것을 그릴 수 있으면 이 단원을 이해한 것입니다.
다음은 132강부터 시작하는 03단원 기댓값과 적률입니다. 분포 전체를 다루는 대신 몇 개의 수로 요약하는 방법을 세우며, 135강의 부등식들이 142강 큰 수의 법칙과 146강 집중 현상의 재료가 됩니다.