132강부터 135강까지를 섞어 묻습니다. 모두 문항이며 세 부분으로 나뉩니다.
| 부분 | 범위 | 문항 |
|---|---|---|
| 1부 | 기댓값과 선형성 | ~ |
| 2부 | 분산과 적률 | ~ |
| 3부 | 적률생성함수와 부등식 | ~ |
합격선은 문항입니다. 이 단원은 05단원 극한정리의 직접적 재료이고, 체르노프는 146강 집중 부등식과 학습이론까지 이어집니다. 특히 선형성이 독립을 요구하지 않는다는 점, 분산의 계산식이 수치적으로 위험하다는 점, 세 부등식이 모두 마르코프에서 나온다는 점은 반드시 손으로 설명할 수 있어야 합니다.
문제 1. 기댓값을 이산과 연속에서 각각 쓰세요.
답. 와 입니다.
문제 2. 기댓값의 물리적 해석을 쓰세요.
답. 확률을 질량으로 본 무게중심입니다.
문제 3. 기댓값이 실제 값으로 나올 수 있는지와 예를 쓰세요.
답. 아닐 수 있으며 주사위 하나의 가 예입니다.
문제 4. LOTUS를 쓰고 그 이점을 쓰세요.
답. 이며 의 분포를 구할 필요가 없습니다.
문제 5. LOTUS 증명의 핵심을 쓰세요.
답. 같은 항을 역상별로 묶었다가 푼 것뿐입니다.
문제 6. 선형성을 쓰고 필요한 조건을 쓰세요.
답. 이며 조건이 없습니다.
문제 7. 지시함수 분해를 쓰세요.
답. 이면 입니다.
문제 8. 생일 문제에서 명이 절반이 되는 이유를 쓰세요.
답. 기대 충돌 쌍 수가 에 가까워 이기 때문입니다.
문제 9. 교란순열의 기대 고정점 수와 그것이 와 이어지는 이유를 쓰세요.
답. 과 무관하게 이며 평균 인 포아송이 일 확률이 입니다.
문제 10. 쿠폰 수집가의 기대 횟수를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 11. 기댓값의 존재 조건과 절댓값을 요구하는 이유를 쓰세요.
답. 이며 조건부수렴이면 순서에 따라 값이 달라지기 때문입니다.
문제 12. 상트페테르부르크 역설을 쓰세요.
답. 기대 상금이 무한대인데 실제로는 가 이하를 받습니다.
문제 13. 코시분포의 평균과 분산을 쓰세요.
답. 둘 다 존재하지 않습니다.
문제 14. 제곱오차와 절대오차의 최소점을 각각 쓰세요.
답. 평균과 중앙값입니다.
문제 15. 제곱오차의 분해를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 16. 젠센 부등식을 쓰고 볼록일 때의 방향을 쓰세요.
답. 가 볼록이면 입니다.
문제 17. 분산의 두 식을 쓰세요.
답. 과 입니다.
문제 18. 표준편차를 함께 쓰는 이유를 쓰세요.
답. 원래 변수와 단위가 같아 해석하기 쉽기 때문입니다.
문제 19. 계산식이 위험해지는 조건과 대응을 쓰세요.
답. 평균이 표준편차보다 훨씬 클 때이며 평균 이동이나 웰퍼드 알고리즘을 씁니다.
문제 20. 웰퍼드 알고리즘이 안전한 이유를 쓰세요.
답. 빼는 두 수가 언제나 가까워 상쇄가 일어나지 않습니다.
문제 21. 제곱을 고르는 세 이유를 쓰세요.
답. 미분가능하고, 독립이면 더해지며, 직교 분해에 대응합니다.
문제 22. 분산과 공분산을 내적공간의 무엇으로 읽는지 쓰세요.
답. 노름의 제곱과 내적입니다.
문제 23. 와 표준편차의 변환을 쓰세요.
답. 이고 표준편차는 배입니다.
문제 24. 합의 분산을 일반형으로 쓰세요.
답. 입니다.
문제 25. 가 인데 각 분산의 합은 양수인 이유를 쓰세요.
답. 공분산이 정확히 그만큼 음수이기 때문입니다.
문제 26. 표본평균의 분산과 표준오차를 쓰세요.
답. 과 입니다.
문제 27. 표준편차와 표준오차의 차이를 쓰세요.
답. 개별 관측의 퍼짐과 표본평균의 퍼짐입니다.
문제 28. 정확도를 배 올리려면 표본이 몇 배 필요한지 쓰세요.
답. 배입니다.
문제 29. 전체 분산 법칙과 두 항의 뜻을 쓰세요.
답. 이며 집단 내 퍼짐과 집단 간 퍼짐입니다.
문제 30. 표본분산의 분모가 인 이유를 쓰세요.
답. 가 자료에서 나와 편차의 자유도가 이며 그래야 불편추정량이 됩니다.
문제 31. 원점적률과 중심적률, 왜도와 첨도를 쓰세요.
답. 과 이며 왜도가 , 첨도가 입니다.
문제 32. 대칭분포에서 홀수 적률이 인 이유를 쓰세요.
답. 중심 편차와 그 부호를 뒤집은 것이 같은 분포이기 때문입니다.
문제 33. 적률생성함수의 정의와 급수 표현을 쓰세요.
답. 이고 입니다.
문제 34. 적률을 뽑아내는 방법을 쓰세요.
답. 번 미분하고 을 넣습니다.
문제 35. 포아송과 정규분포의 를 쓰세요.
답. 과 입니다.
문제 36. 독립 합의 을 쓰고 증명에서 독립이 쓰이는 자리를 쓰세요.
답. 이며 를 두 기댓값의 곱으로 쪼갤 때입니다.
문제 37. 이 성질이 어느 변환과 같은 구조인지 쓰세요.
답. 푸리에 변환이며 합성곱을 곱으로 바꿉니다.
문제 38. 지수분포와 감마분포의 에 조건이 붙는 이유를 쓰세요.
답. 이면 적분이 발산하기 때문입니다.
문제 39. 유일성 정리의 조건과 로그정규의 문제를 쓰세요.
답. 이 의 근방에서 유한해야 하며, 로그정규는 에서 발산해 같은 적률의 다른 분포가 존재합니다.
문제 40. 특성함수가 보다 나은 점을 쓰세요.
답. 이라 언제나 유한합니다.
문제 41. 누율의 가법성과 정규분포의 특징을 쓰세요.
답. 독립이면 모든 누율이 더해지고 정규분포는 삼차 이상이 전부 입니다.
문제 42. 마르코프 부등식과 조건, 증명의 핵심을 쓰세요.
답. 이며 이어야 하고 의 기댓값을 취합니다.
문제 43. 체비쇼프 부등식을 두 형태로 쓰고 유도를 쓰세요.
답. 과 이며 에 마르코프를 적용합니다.
문제 44. " 안에 "의 일반적 보장을 쓰세요.
답. 이며 는 정규분포에서만입니다.
문제 45. 두 부등식의 등호 분포를 쓰고 그 함의를 쓰세요.
답. 두 점 분포와 세 점 분포이며 주어진 정보로는 더 줄일 수 없다는 뜻입니다.
문제 46. 체르노프 경계와 유도를 쓰세요.
답. 이며 에 마르코프를 적용합니다.
문제 47. 세 부등식이 공통으로 쓰는 것과 각각의 감소 속도를 쓰세요.
답. 모두 마르코프이며 , , 로 줄어듭니다.
문제 48. 표본평균에 체비쇼프를 적용한 결과와 그 함의를 쓰세요.
답. 이며 에서 이 되어 약한 큰 수의 법칙이 됩니다.
틀린 문항이 어느 부분에 몰렸는지를 먼저 봅니다.
| 몰린 곳 | 다시 볼 것 |
|---|---|
| 1부 | 132강 문제 2와 문제 3, 심화 1 |
| 2부 | 133강 문제 1과 문제 3, 134강 문제 1 |
| 3부 | 134강 문제 3, 135강 문제 4와 문제 5 |
문항 과 가 짝입니다. 기댓값은 조건 없이 더해지고 분산은 독립이 필요합니다. 이 비대칭 하나가 127강 이항분포부터 144강 표본분포까지 반복해서 나타나며, 헷갈리면 계산이 조용히 틀립니다.
문항 를 틀렸다면 반드시 돌아갑니다. 대수적으로 같은 두 식이 평균 에서 하나는 정답을 하나는 을 냅니다. 라이브러리를 쓸 때도 어떤 알고리즘인지 알아야 합니다.
문항 이 이 단원에서 가장 아름다운 계산입니다. 이 와 거의 같고, 그래서 입니다. 122강에서 미뤄 둔 설명이 여기서 완성됩니다.
문항 이 시야를 넓히는 자리입니다. 적률생성함수가 푸리에 변환과 같은 구조라는 것을 알면, 어려운 연산을 쉬운 연산으로 옮기는 발상 자체가 손에 들어옵니다.
문항 와 이 이 단원의 결론입니다. 부등식이 느슨해 보이는 것은 결함이 아니라 정보가 적기 때문이며, 정보를 더 쓰면 상한이 날카로워집니다. 이 계층을 이해하면 146강의 집중 부등식이 자연스러운 다음 단계로 보입니다.
다음은 136강부터 시작하는 04단원 여러 변수의 확률입니다. 확률변수가 둘 이상이 되면 관계라는 새 대상이 나타나며, 133강에서 미리 쓴 공분산이 138강에서 정식화되고 S4의 이차형식이 140강에서 확률의 언어로 돌아옵니다.