136강부터 141강까지를 섞어 묻습니다. 모두 문항이며 세 부분으로 나뉩니다.
| 부분 | 범위 | 문항 |
|---|---|---|
| 1부 | 결합분포와 조건부 | ~ |
| 2부 | 공분산과 변환 | ~ |
| 3부 | 다변량 정규와 합의 분포 | ~ |
합격선은 문항입니다. 이 단원은 05단원 극한정리의 직접적 재료이고, 다변량 정규는 152강 다변량 추론과 261강 확산모형까지 이어집니다. 특히 주변분포가 결합분포를 정하지 않는다는 점, 무상관과 독립이 다르다는 점, 정규분포에서만 그 둘이 같아진다는 점은 반드시 손으로 설명할 수 있어야 합니다.
문제 1. 결합확률질량함수의 두 조건을 쓰세요.
답. 모든 값이 이상이고 전체 합이 입니다.
문제 2. 주변분포를 결합분포에서 얻는 방법을 이산과 연속에서 각각 쓰세요.
답. 다른 변수로 더하거나 다른 변수로 적분합니다.
문제 3. 주변분포를 모두 알면 결합분포가 정해지는지 쓰세요.
답. 정해지지 않으며 같은 주변분포를 갖는 다른 결합분포가 존재합니다.
문제 4. 주변분포에 남지 않는 것이 무엇인지 쓰세요.
답. 두 변수 사이의 관계입니다.
문제 5. 독립을 결합분포의 언어로 쓰세요.
답. 모든 점에서 입니다.
문제 6. 독립을 판정할 때 한 점만 확인하면 되는지 쓰세요.
답. 안 되며 모든 점에서 곱이 성립해야 합니다.
문제 7. 결합밀도에서 영역 의 확률을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 8. 연속에서 밀도값이 확률인지 쓰세요.
답. 아니며 넓이를 곱해야 확률이 되고 밀도값은 을 넘을 수 있습니다.
문제 9. 결합밀도의 지지구간이 직사각형이 아닐 때 독립이 될 수 있는지 쓰세요.
답. 될 수 없으며 지지구간이 곱집합이 아니면 독립이 아닙니다.
문제 10. 조건부질량함수를 쓰고 분모의 역할을 쓰세요.
답. 이며 분모가 한 줄의 합을 로 만드는 정규화입니다.
문제 11. 가 수인지 함수인지 쓰세요.
답. 의 함수이며 따라서 확률변수입니다.
문제 12. 와 의 차이를 쓰세요.
답. 앞은 수이고 뒤는 그 수들을 값으로 갖는 확률변수입니다.
문제 13. 전체 기댓값 법칙을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 14. 전체 분산 법칙을 쓰고 두 항의 이름을 쓰세요.
답. 이며 집단 내 분산과 집단 간 분산입니다.
문제 15. 제곱오차를 최소로 만드는 예측이 무엇인지 쓰세요.
답. 입니다.
문제 16. 조건부기댓값의 기하적 정체를 쓰세요.
답. 의 함수들이 이루는 공간 위로의 정사영입니다.
문제 17. 공분산의 정의와 계산식을 쓰세요.
답. 이며 로도 씁니다.
문제 18. 공분산의 단위 문제를 쓰세요.
답. 두 변수 단위의 곱이라 크기를 그 자체로 해석할 수 없습니다.
문제 19. 상관계수를 쓰고 범위를 쓰세요.
답. 이며 입니다.
문제 20. 상관계수의 범위가 나오는 근거를 쓰세요.
답. 코시-슈바르츠 부등식이며 내적공간의 각도 해석과 같습니다.
문제 21. 이 뜻하는 것을 쓰세요.
답. 두 변수가 확률 로 직선 위에 있습니다.
문제 22. 독립이면 공분산이 인지 쓰세요.
답. 이며 역은 성립하지 않습니다.
문제 23. 무상관인데 독립이 아닌 예를 쓰세요.
답. 가 대칭이고 이면 인데 가 로 완전히 결정됩니다.
문제 24. 상관계수가 잡는 관계의 종류를 쓰세요.
답. 선형관계만 잡습니다.
문제 25. 상관계수가 같으면 자료의 모양도 같은지 쓰세요.
답. 아니며 앤스콤의 자료처럼 모양이 전혀 다를 수 있습니다.
문제 26. 공분산행렬의 두 성질을 쓰세요.
답. 대칭이고 양반정부호입니다.
문제 27. 공분산행렬이 양반정부호인 이유를 쓰세요.
답. 임의의 에 대해 이기 때문입니다.
문제 28. 다변수 변환에서 밀도에 붙는 인자를 쓰세요.
답. 역변환의 야코비 행렬식의 절댓값입니다.
문제 29. 야코비 행렬식이 붙는 이유를 쓰세요.
답. 변환이 부피를 바꾸므로 밀도를 그 배율로 나눠야 전체 적분이 로 유지되기 때문입니다.
문제 30. 선형변환 에서 야코비가 무엇이 되는지 쓰세요.
답. 상수 하나가 됩니다.
문제 31. 박스뮐러 변환이 무엇을 무엇으로 바꾸는지 쓰세요.
답. 독립인 균등난수 두 개를 독립인 표준정규난수 두 개로 바꿉니다.
문제 32. 변환한 여러 변수 중 하나만 필요할 때의 방법을 쓰세요.
답. 나머지 변수를 적분해 주변화합니다.
문제 33. 다변량 정규분포의 밀도에서 지수 안에 있는 것을 쓰세요.
답. 이차형식 입니다.
문제 34. 정규화상수를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 35. 촐레스키 분해로 다변량 정규표본을 만드는 방법을 쓰세요.
답. 인 를 구해 로 만듭니다.
문제 36. 이때 야코비 인자가 무엇이 되는지 쓰세요.
답. 입니다.
문제 37. 다변량 정규에서 무상관과 독립의 관계를 쓰세요.
답. 서로 같으며 가 대각이면 결합밀도가 주변밀도의 곱과 정확히 일치합니다.
문제 38. 각 성분이 정규이고 무상관이면 결합분포가 다변량 정규인지 쓰세요.
답. 아니며 처럼 각 성분이 정규이고 무상관이면서 독립이 아닌 예가 있습니다.
문제 39. 다변량 정규의 조건부기댓값의 모양을 쓰세요.
답. 조건 값의 정확한 일차식입니다.
문제 40. 다변량 정규의 조건부분산이 조건 값에 따라 변하는지 쓰세요.
답. 변하지 않으며 슈어 여원으로 주어지는 상수입니다.
문제 41. 조건부기댓값이 정확히 선형일 때 와 의 관계를 쓰세요.
답. 같으며 상관계수가 관계를 하나도 놓치지 않습니다.
문제 42. 밀도 등고선의 모양과 축 방향을 쓰세요.
답. 타원이며 축 방향은 의 고유벡터입니다.
문제 43. 타원의 축 길이 비를 쓰세요.
답. 고유값의 제곱근의 비입니다.
문제 44. 이차형식 의 분포를 이변량에서 쓰세요.
답. 이며 평균 인 지수분포와 같습니다.
문제 45. 독립인 두 변수 합의 밀도를 쓰세요.
답. 합성곱 입니다.
문제 46. 적률생성함수로 합을 다룰 때의 이점을 쓰세요.
답. 합성곱이 곱셈이 되어 로 끝납니다.
문제 47. 합에 닫히는 족을 넷 쓰고 닫히지 않는 예를 하나 쓰세요.
답. 포아송, 감마, 카이제곱, 정규가 닫히고 기하는 닫히지 않아 음이항이 됩니다.
문제 48. 균등분포를 여러 개 더해 표준화하면 어디로 가는지 쓰세요.
답. 표준정규로 가며 이것이 143강 중심극한정리입니다.
틀린 문항이 어느 부분에 몰렸는지를 먼저 봅니다.
| 몰린 곳 | 다시 볼 것 |
|---|---|
| 1부 | 136강 문제 2와 문제 3, 137강 문제 2와 문제 4 |
| 2부 | 138강 문제 3과 문제 4, 139강 문제 1과 문제 2 |
| 3부 | 140강 문제 3과 문제 4, 141강 문제 3과 문제 4 |
문항 과 가 이 단원의 출발점입니다. 주변분포를 아무리 정확히 알아도 결합분포는 정해지지 않으며, 그 차이가 관계입니다. 이것을 놓치면 단원 전체가 계산 연습으로만 보입니다.
문항 와 과 이 하나의 이야기입니다. 독립이면 무상관이고, 무상관이라고 독립은 아니며, 다변량 정규에서만 둘이 같아집니다. 세 문항을 이어서 설명할 수 있어야 이 단원을 읽은 것입니다.
문항 을 틀렸다면 반드시 돌아갑니다. "각 성분이 정규이고 서로 무상관"은 다변량 정규의 정의가 아닙니다. 가 그 반례이며, 정의는 모든 선형결합이 정규라는 것입니다. 이 착각은 실무에서 조용히 틀린 결론을 냅니다.
문항 부터 까지가 이 단원의 정점입니다. 조건부기댓값이 정확한 직선이고 조건부분산이 상수라는 두 사실이, 137강에서 "거의 선형"이라 미뤄 둔 것과 138강에서 "선형관계만 잰다"고 한 한계를 한꺼번에 정리합니다.
문항 과 가 가장 멀리 갑니다. 야코비 행렬식 하나가 262강 정규화흐름의 전부이며, 단순한 분포를 가역변환으로 밀어 복잡한 분포를 만드는 생성모형의 뼈대입니다.
다음은 142강부터 시작하는 05단원 표본과 극한입니다. 이 단원에서 변수를 둘로 늘렸다면 다음 단원은 독립인 변수를 개로 늘려 를 보며, 141강 문제 5에서 이미 확인한 정규로의 수렴이 143강 중심극한정리로 정식화됩니다.