이 강의의 목표는 아래 식을 보고, 숫자와 문자가 각각 무슨 일을 하는지 설명할 수 있게 되는 것입니다.
3x2+2x+1
이 식이 어려워 보이는 이유는 한 줄 안에 여러 약속이 들어 있기 때문입니다.
- x는 무엇인가?
- 3x2에서 3은 무엇인가?
- x2는 무엇인가?
- 3x2, 2x, 1은 어떻게 나누어 읽는가?
- 왜 이런 식을 다항식이라고 부르는가?
하나씩 아주 천천히 보겠습니다.
| 말 |
뜻 |
| 문자 |
아직 값이 정해지지 않은 수를 대신 적는 기호 |
| 변수 |
값이 바뀔 수 있는 문자 |
| 상수 |
값이 바뀌지 않는 수 |
| 식 |
숫자, 문자, 연산 기호를 모아 어떤 계산을 적은 것 |
| 항 |
더하기와 빼기를 기준으로 나눈 식의 조각 |
| 계수 |
문자 앞에서 몇 배인지를 알려 주는 수 |
| 차수 |
문자에 붙은 거듭제곱의 크기 |
| 다항식 |
여러 항을 더하고 빼서 만든 식 |
먼저 숫자만 있는 계산을 봅시다.
3+3+3+3=12
이 식은 쉽습니다. 그런데 같은 사탕을 몇 봉지 샀는지 아직 모른다고 해 봅시다.
한 봉지에 사탕이 3개 들어 있습니다. 봉지 수를 아직 모르면 전체 사탕 수를 정확한 숫자로 쓸 수 없습니다.
그래서 봉지 수를 문자로 둡니다.
x=봉지 수
그러면 전체 사탕 수는
3x
라고 쓸 수 있습니다.
여기서 x는 아직 모르는 수입니다. x가 4이면
3x=3⋅4=12
이고, x가 10이면
3x=3⋅10=30
입니다.
즉 3x는 하나의 답이 아니라, x가 정해지면 그때 값을 계산할 수 있는 식입니다.
문자 x는 특별한 숫자가 아닙니다. 값을 잠시 비워 둔 자리입니다.
예를 들어
x+5
라는 식이 있습니다.
x=2이면
x+5=2+5=7
입니다.
x=10이면
x+5=10+5=15
입니다.
따라서 x+5는 이렇게 읽습니다.
어떤 수에 5를 더한 값
문자는 이런 식으로 아직 정해지지 않은 수를 대신 적게 해 줍니다.
식
3x+7
을 봅시다.
여기서 x는 값이 바뀔 수 있습니다. 그래서 변수라고 부릅니다.
반면 3과 7은 식 안에서 정해진 숫자입니다. 그래서 상수라고 부릅니다.
다만 3은 문자 x 앞에서 x가 몇 배인지를 알려 줍니다. 이런 수를 계수라고 합니다.
3x
는
3⋅x
라는 뜻입니다.
즉 3x는 x를 3번 더한 것과 같습니다.
3x=x+x+x
수학에서는 문자와 숫자를 곱할 때 곱셈 기호를 자주 생략합니다.
3⋅x
를 보통
3x
라고 씁니다.
또
a⋅b
를
ab
라고 씁니다.
이 약속을 모르면 3x가 새로운 기호처럼 보입니다. 하지만 실제 뜻은 단순합니다.
3x=3⋅x
이제
x2
를 봅시다.
이 식은 x를 두 번 곱했다는 뜻입니다.
x2=x⋅x
예를 들어 x=5이면
x2=52=5⋅5=25
입니다.
또
x3=x⋅x⋅x
입니다.
예를 들어 x=2이면
x3=23=2⋅2⋅2=8
입니다.
위에 붙은 작은 숫자를 지수라고 하고, 그 크기를 차수라고 읽습니다.
식
3x2+2x+1
을 봅시다.
이 식은 더하기를 기준으로 세 조각으로 나눌 수 있습니다.
3x2,2x,1
이 조각 하나하나를 항이라고 합니다.
따라서
3x2+2x+1
에는 항이 세 개 있습니다.
- 첫 번째 항은 3x2입니다.
- 두 번째 항은 2x입니다.
- 세 번째 항은 1입니다.
빼기가 있어도 마찬가지입니다.
4x2−7x+9
는 이렇게 볼 수 있습니다.
4x2+(−7x)+9
그래서 항은
4x2,−7x,9
입니다.
식
5x2−3x+8
에서 각 항을 봅시다.
첫 번째 항은
5x2
입니다. 여기서 계수는 5입니다.
두 번째 항은
−3x
입니다. 여기서 계수는 −3입니다.
세 번째 항은
8
입니다. 이 항에는 문자가 없습니다. 이런 항을 상수항이라고 부릅니다.
항
5x2
에서 x는 두 번 곱해졌습니다.
x2=x⋅x
그래서 이 항의 차수는 2입니다.
항
−3x
는 사실
−3x1
처럼 볼 수 있습니다. 그래서 차수는 1입니다.
상수항
8
에는 문자가 없습니다. 보통 상수항의 차수는 0으로 봅니다.
다항식 전체의 차수는 가장 큰 차수로 정합니다.
5x2−3x+8
에서는 가장 큰 차수가 2입니다. 그래서 이 식은 이차식입니다.
다음 식을 봅시다.
2x+3x
2x와 3x는 둘 다 x 모양입니다. 그래서 합칠 수 있습니다.
2x+3x=5x
이것은 사과 2개와 사과 3개를 합치면 사과 5개가 되는 것과 같습니다.
하지만
2x+3y
는 합칠 수 없습니다. x와 y가 서로 다른 문자이기 때문입니다.
또
2x+3x2
도 합칠 수 없습니다. x와 x2는 문자 모양이 다르기 때문입니다.
다항식은 여러 항을 더하고 뺀 식입니다.
예를 들어
3x2+2x+1
은 다항식입니다.
x3−4x+10
도 다항식입니다.
중요한 것은 항을 차례대로 읽는 것입니다.
3x2+2x+1
은 이렇게 읽습니다.
- 3x2: x2가 3개 있다.
- 2x: x가 2개 있다.
- 1: 그냥 1이 더 있다.
식
3x2+2x+1
에 x=2를 넣어 봅시다.
먼저 x2를 계산합니다.
x2=22=4
그러면
3x2=3⋅4=12
입니다.
또
2x=2⋅2=4
입니다.
따라서
3x2+2x+1=12+4+1=17
입니다.
문자식은 값이 정해지기 전에는 계산 규칙이고, 값을 넣으면 하나의 숫자가 됩니다.
문제: 다음 식에서 항, 계수, 차수를 찾으시오.
4x3−2x+7
풀이:
항은
4x3,−2x,7
입니다.
4x3의 계수는 4이고 차수는 3입니다.
−2x의 계수는 −2이고 차수는 1입니다.
7은 상수항입니다.
다항식 전체의 차수는 가장 큰 차수인 3입니다.
문제: 다음 식을 간단히 하시오.
2x+5+3x−1
풀이:
x가 붙은 항끼리 모읍니다.
2x+3x=5x
숫자끼리 모읍니다.
5−1=4
따라서
2x+5+3x−1=5x+4
입니다.
문제: x=3일 때 다음 식의 값을 구하시오.
2x2+x+4
풀이:
먼저 x2를 계산합니다.
x2=32=9
따라서
2x2=2⋅9=18
이고
x=3
입니다.
그러므로
2x2+x+4=18+3+4=25
입니다.
- 문자는 아직 정해지지 않은 수를 대신 적는 기호다.
- 변수는 값이 바뀔 수 있는 문자다.
- 상수는 값이 바뀌지 않는 수다.
- 3x는 3⋅x라는 뜻이다.
- x2는 x⋅x라는 뜻이다.
- 항은 더하기와 빼기를 기준으로 나눈 식의 조각이다.
- 계수는 문자 앞에서 몇 배인지를 알려 주는 수다.
- 차수는 문자가 몇 번 곱해졌는지를 보는 말이다.
- 다항식은 여러 항을 더하고 뺀 식이다.
- 값을 대입하면 문자식은 하나의 숫자가 된다.
- 4x가 왜 4⋅x인지 설명할 수 있는가?
- x3이 무엇을 뜻하는지 말할 수 있는가?
- 3x2−5x+2의 항을 나눌 수 있는가?
- 3x2−5x+2에서 각 항의 계수를 찾을 수 있는가?
- 3x2−5x+2의 차수가 왜 2인지 설명할 수 있는가?
- x=2일 때 3x2−5x+2의 값을 계산할 수 있는가?