이 강의의 목표는 아래 두 식의 차이를 스스로 설명할 수 있게 되는 것입니다.
첫 번째 식은 정확히 같아지는 값을 찾는 문제입니다. 두 번째 식은 작아지는 값의 범위를 찾는 문제입니다.
| 말 | 뜻 |
|---|---|
| 등식 | 왼쪽과 오른쪽이 같다고 말하는 식 |
| 등호 | 같음을 나타내는 기호 |
| 방정식 | 어떤 값에서 참이 되는 등식 |
| 해 | 방정식을 참으로 만드는 값 |
| 해집합 | 가능한 해를 모두 모아 놓은 것 |
| 부등식 | 두 값의 크고 작음을 비교하는 식 |
| 부등호 | , , , 같은 비교 기호 |
| 구간 | 수직선 위에서 허용되는 값의 범위 |
등식은 왼쪽과 오른쪽이 같다는 뜻입니다.
예를 들어
은 참입니다.
왼쪽을 계산하면
이고, 오른쪽도 이기 때문입니다.
하지만
은 거짓입니다.
왼쪽은 이고 오른쪽은 이기 때문입니다.
등식은 참일 수도 있고 거짓일 수도 있습니다.
식
을 봅시다.
이 식은 가 어떤 값일 때 참이 될까요?
을 넣으면
입니다. 는 이 아니므로 거짓입니다.
를 넣으면
입니다. 참입니다.
그래서
는 방정식
의 해입니다.
방정식을 푼다는 말은 이런 뜻입니다.
식을 참으로 만드는 값을 찾는다.
저울을 떠올려 봅시다. 양쪽 무게가 같을 때, 양쪽에 똑같이 kg씩 더하면 여전히 같습니다.
방정식도 같습니다.
에서 를 혼자 남기고 싶습니다.
왼쪽에는 이 붙어 있습니다. 이것을 없애려면 을 빼야 합니다.
단, 한쪽에서만 빼면 균형이 깨집니다. 양쪽에서 모두 을 빼야 합니다.
그러면
가 됩니다.
이것이 방정식을 푸는 기본 원리입니다.
양쪽에 같은 일을 하면 등식의 균형은 유지된다.
방정식
를 풀어 봅시다.
먼저 가 있는 항을 남기기 위해 양쪽에서 을 뺍니다.
따라서
입니다.
이제 는 라는 뜻입니다. 만 남기려면 양쪽을 로 나눕니다.
따라서
입니다.
확인해 봅시다.
맞습니다.
방정식을 풀고 나면, 찾은 값을 원래 식에 넣어 확인할 수 있습니다.
예를 들어
을 풀어 봅시다.
양쪽에 를 더합니다.
양쪽을 으로 나눕니다.
확인하면
입니다.
원래 오른쪽도 이므로 참입니다.
부등식은 두 값이 같은지 묻는 것이 아니라, 어느 쪽이 더 큰지 또는 작은지를 말합니다.
예를 들어
는 참입니다. 은 보다 작습니다.
도 참입니다. 은 보다 큽니다.
부등호는 이렇게 읽습니다.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 작다 | 왼쪽이 오른쪽보다 작다 | |
| 크다 | 왼쪽이 오른쪽보다 크다 | |
| 작거나 같다 | 왼쪽이 오른쪽보다 작거나 같다 | |
| 크거나 같다 | 왼쪽이 오른쪽보다 크거나 같다 |
부등식
을 봅시다.
양쪽에서 을 빼면
가 됩니다.
이 말은 가 보다 작으면 된다는 뜻입니다.
예를 들어 이면
이므로 참입니다.
이면
이므로 참입니다.
하지만 이면
이고 은 거짓입니다.
따라서 해는 하나가 아니라 범위입니다.
부등식에서도 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼면 방향은 그대로입니다.
예를 들어
에서 양쪽에서 를 빼면
입니다.
양쪽에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 방향은 그대로입니다.
에서 양쪽을 로 나누면
입니다.
부등식에서 가장 조심할 점입니다.
먼저 참인 부등식을 봅시다.
양쪽에 을 곱하면
와
를 비교하게 됩니다.
수직선에서는 가 보다 오른쪽에 있습니다. 그래서
입니다.
즉 음수를 곱하면 부등호 방향이 바뀝니다.
그래서
을 풀 때 양쪽을 로 나누면
이 됩니다.
부등식의 답은 보통 범위입니다.
는 보다 작은 모든 수입니다.
수직선으로 보면 보다 왼쪽 전체입니다.
는 보다 크거나 같은 모든 수입니다.
여기서는 도 포함됩니다. 그래서 와 는 다릅니다.
문제: 다음 방정식을 풀어라.
풀이:
양쪽에 를 더합니다.
양쪽을 로 나눕니다.
확인하면
입니다.
문제: 다음 부등식을 풀어라.
풀이:
양쪽에서 를 뺍니다.
양쪽을 으로 나눕니다.
문제: 다음 부등식을 풀어라.
풀이:
양쪽을 로 나누어야 합니다. 음수로 나누므로 부등호 방향이 바뀝니다.
확인해 봅시다. 은 답에 포함됩니다.
이고
이므로 참입니다.