이 강의의 목표는 아래 식을 보고, 입력과 출력이 어떻게 연결되는지 설명할 수 있게 되는 것입니다.
f(x)=2x+1
이 식은 이렇게 읽습니다.
x를 넣으면 2x+1을 내보내는 규칙 f가 있다.
| 말 |
뜻 |
| 입력 |
규칙에 넣는 값 |
| 출력 |
규칙을 거친 뒤 나오는 값 |
| 함수 |
입력 하나에 출력 하나를 정해 주는 규칙 |
| 함수값 |
어떤 입력을 넣었을 때 나오는 출력 |
| 정의역 |
입력으로 허용되는 값들의 모임 |
| 치역 |
실제로 나올 수 있는 출력들의 모임 |
| 좌표 |
위치를 숫자쌍으로 적은 것 |
| 그래프 |
입력과 출력의 짝을 좌표평면에 찍은 그림 |
함수를 가장 쉽게 생각하는 방법은 자동 계산 기계입니다.
예를 들어 어떤 기계가 있습니다.
- 들어온 수에 2를 곱한다.
- 그 결과에 1을 더한다.
- 최종 값을 내보낸다.
이 규칙을 식으로 쓰면
f(x)=2x+1
입니다.
여기서 x는 입력입니다.
f(x)는 출력입니다.
함수
f(x)=2x+1
에 x=0을 넣어 봅시다.
f(0)=2⋅0+1=1
따라서 입력이 0이면 출력은 1입니다.
이번에는 x=3을 넣습니다.
f(3)=2⋅3+1=7
따라서 입력이 3이면 출력은 7입니다.
함수값을 구한다는 말은 입력을 실제 숫자로 바꾸어 계산한다는 뜻입니다.
함수에서 가장 중요한 약속은 이것입니다.
입력 하나에는 출력이 정확히 하나만 정해져야 한다.
예를 들어 다음 규칙은 함수입니다.
f(x)=x+2
x=5를 넣으면 언제나
f(5)=7
입니다.
입력 5에 대해 출력이 하나로 정해집니다.
하지만 어떤 규칙이 입력 5에 대해 어떤 때는 7, 어떤 때는 10을 내보낸다면 함수가 아닙니다.
입력 하나에 출력이 여러 개가 되기 때문입니다.
함수
f(x)=2x+1
의 값을 표로 만들어 봅시다.
| 입력 x |
계산 |
출력 f(x) |
| 0 |
2⋅0+1 |
1 |
| 1 |
2⋅1+1 |
3 |
| 2 |
2⋅2+1 |
5 |
| 3 |
2⋅3+1 |
7 |
입력이 1씩 커질 때 출력은 2씩 커집니다.
이런 식으로 표를 만들면 함수의 규칙이 눈에 보입니다.
입력 x와 출력 f(x)를 한 쌍으로 적으면 좌표가 됩니다.
예를 들어 x=2일 때
f(2)=5
입니다.
그러면 입력과 출력의 짝은
(2,5)
입니다.
좌표 (2,5)는 이렇게 읽습니다.
- 오른쪽으로 2만큼 간다.
- 위로 5만큼 간다.
즉 함수의 값을 좌표평면 위의 점으로 나타낼 수 있습니다.
함수
f(x)=2x+1
에서 만든 좌표들을 다시 봅시다.
(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)
이 점들을 좌표평면에 찍고 이어 보면 직선 모양이 됩니다.
그래프는 식을 그림으로 바꾼 것입니다.
하지만 중요한 순서는 반대입니다.
- 먼저 함수 규칙을 이해한다.
- 입력을 넣어 출력값을 계산한다.
- 입력과 출력을 좌표로 적는다.
- 좌표들을 찍어 그래프를 본다.
함수에는 입력으로 넣어도 되는 값의 범위가 있습니다. 이것을 정의역이라고 합니다.
예를 들어
f(x)=x+1
은 보통 어떤 수를 넣어도 계산할 수 있습니다.
하지만
g(x)=x1
에서는 x=0을 넣을 수 없습니다.
왜냐하면
01
은 정의되지 않기 때문입니다.
따라서 g(x)=x1의 정의역에서는 0을 빼야 합니다.
함수에 가능한 입력을 모두 넣었을 때 실제로 나오는 값들의 모임을 치역이라고 합니다.
예를 들어
f(x)=x2
를 생각해 봅시다.
x=2이면
f(2)=4
입니다.
x=−2여도
f(−2)=4
입니다.
제곱은 항상 0 이상입니다.
x2≥0
따라서 f(x)=x2의 출력은 음수가 될 수 없습니다.
다음과 같은 모양의 함수를 일차함수라고 합니다.
f(x)=ax+b
여기서 a와 b는 정해진 수입니다.
예를 들어
f(x)=2x+1
은 일차함수입니다.
입력이 1 늘 때 출력이 항상 2씩 늘기 때문에 그래프가 직선이 됩니다.
함수
f(x)=2x+1
에서 x가 1 커지면 출력은 2 커집니다.
그래서 이 함수의 기울기는 2입니다.
함수
h(x)=5x−3
에서는 x가 1 커질 때 출력이 5 커집니다.
그래서 기울기는 5입니다.
기울기는 그래프가 얼마나 가파르게 올라가는지를 알려 줍니다.
함수
f(x)=2x+1
에서 x=0을 넣으면
f(0)=1
입니다.
그래서 그래프는 세로축을 1에서 만납니다.
이 값을 세로절편이라고 합니다.
일차함수
f(x)=ax+b
에서 b는 세로절편입니다.
문제: f(x)=3x−2일 때 f(4)를 구하시오.
풀이:
함수식에 x=4를 넣습니다.
f(4)=3⋅4−2=12−2=10
따라서
f(4)=10
입니다.
문제: f(x)=x+2의 값을 x=0,1,2에 대해 표로 나타내시오.
풀이:
| 입력 x |
출력 f(x) |
| 0 |
2 |
| 1 |
3 |
| 2 |
4 |
따라서 좌표는
(0,2),(1,3),(2,4)
입니다.
문제: 함수
g(x)=x−21
에서 넣을 수 없는 x값을 찾으시오.
풀이:
분모가 0이 되면 안 됩니다.
x−2=0
이면
x=2
입니다.
따라서 x=2는 넣을 수 없습니다.
- 함수는 입력 하나에 출력 하나를 정해 주는 규칙이다.
- f(x)는 함수 f에 x를 넣었을 때의 출력이다.
- 함수값은 입력을 실제 숫자로 바꾸어 계산한다.
- 입력과 출력의 짝을 좌표로 적을 수 있다.
- 그래프는 좌표들을 평면에 찍은 그림이다.
- 정의역은 입력으로 허용되는 값들의 모임이다.
- 치역은 실제로 나오는 출력들의 모임이다.
- 일차함수 f(x)=ax+b의 그래프는 직선이다.
- a는 기울기이고, b는 세로절편이다.
- 함수가 입력 하나에 출력 하나를 정해야 하는 이유를 말할 수 있는가?
- f(x)=2x+3에서 f(5)를 계산할 수 있는가?
- f(x)=x2에서 f(−3)을 계산할 수 있는가?
- 함수값을 좌표로 바꾸는 방법을 설명할 수 있는가?
- g(x)=x1에서 x=0을 넣을 수 없는 이유를 설명할 수 있는가?