이 강의의 목표는 아래 두 식이 서로 반대 질문이라는 것을 설명할 수 있게 되는 것입니다.
23=8
log28=3
첫 번째 식은 2를 3번 곱하면 8이 된다는 말입니다. 두 번째 식은 2를 몇 번 곱해야 8이 되는지 묻고, 그 답이 3이라고 말하는 식입니다.
| 말 |
뜻 |
| 거듭제곱 |
같은 수를 여러 번 곱한 것 |
| 밑 |
반복해서 곱하는 기준이 되는 수 |
| 지수 |
몇 번 곱하는지를 나타내는 수 |
| 지수식 |
거듭제곱을 사용한 식 |
| 로그 |
어떤 수를 만들기 위해 밑을 몇 번 곱해야 하는지를 나타내는 값 |
| 로그식 |
로그를 사용한 식 |
| 지수법칙 |
거듭제곱을 계산하기 쉽게 만든 규칙 |
다음 계산을 봅시다.
2⋅2⋅2=8
2를 세 번 곱했습니다.
이것을 짧게 쓰면
23=8
입니다.
여기서 2를 밑이라고 합니다. 반복해서 곱하는 기준이 되는 수입니다.
위에 작게 붙은 3을 지수라고 합니다. 몇 번 곱하는지를 나타냅니다.
따라서
23
은 이렇게 읽습니다.
2를 3번 곱한다.
예를 들어
34
는 3을 네 번 곱한다는 뜻입니다.
34=3⋅3⋅3⋅3
먼저
3⋅3=9
이고,
9⋅3=27
이고,
27⋅3=81
입니다.
따라서
34=81
입니다.
지수 1은 한 번 곱한다는 뜻입니다.
51=5
입니다.
지수 0은 처음에는 이상해 보입니다.
하지만 지수법칙과 맞추기 위해, 0이 아닌 수 a에 대해 다음처럼 정합니다.
a0=1
예를 들어
20=1
입니다.
이 약속은 뒤에서 계산을 아주 깔끔하게 만들어 줍니다.
다음 식을 봅시다.
23⋅22
풀어 쓰면
(2⋅2⋅2)⋅(2⋅2)
입니다.
전체적으로 2가 다섯 번 곱해졌습니다.
따라서
23⋅22=25
입니다.
일반적으로
am⋅an=am+n
입니다.
같은 밑끼리 곱할 때 지수를 더합니다.
다음 식을 봅시다.
2225
풀어 쓰면
2⋅22⋅2⋅2⋅2⋅2
입니다.
위와 아래에 같은 2가 두 개씩 있으므로 약분됩니다.
남는 것은 2가 세 개 곱해진 것입니다.
2225=23
일반적으로
anam=am−n
입니다. 단, a는 0이면 안 됩니다. 0으로 나눌 수 없기 때문입니다.
이제 로그를 봅시다.
지수식
23=8
은 이렇게 말합니다.
2를 3번 곱하면 8이다.
로그식
log28=3
은 이렇게 묻고 답합니다.
2를 몇 번 곱해야 8이 되는가? 답은 3이다.
따라서
23=8
과
log28=3
은 같은 사실을 서로 다른 방향으로 말한 것입니다.
로그식
log28=3
을 봅시다.
여기서 2는 밑입니다.
8은 만들고 싶은 수입니다.
3은 필요한 지수입니다.
즉
log28=3
은
23=8
과 같은 뜻입니다.
예를 들어
log327
을 계산해 봅시다.
이 말은 3을 몇 번 곱해야 27이 되는지 묻는 것입니다.
31=3
32=9
33=27
따라서
log327=3
입니다.
로그
logab
에서 밑 a는 보통 다음 조건을 만족해야 합니다.
a>0,a=1
왜 a가 양수여야 할까요?
우리가 기본적으로 다루는 실수 범위에서는 음수를 여러 번 곱해 모든 양수를 자연스럽게 만들기 어렵기 때문입니다.
왜 a=1이면 안 될까요?
11=1,12=1,13=1
언제나 1만 나오기 때문입니다. 그러면 여러 수를 만들 수 없습니다.
로그에는 중요한 법칙이 있습니다.
loga(MN)=logaM+logaN
왜 그럴까요?
만약
M=ap
이고
N=aq
라고 합시다.
그러면
MN=ap⋅aq=ap+q
입니다.
따라서 MN을 만들기 위해 필요한 지수는 p+q입니다.
그래서 곱의 로그는 로그의 합이 됩니다.
다음 법칙도 자주 씁니다.
loga(Mr)=rlogaM
예를 들어
log2(82)
을 봅시다.
먼저 8=23입니다.
그러면
82=(23)2=26
입니다.
따라서
log2(82)=6
입니다.
한편
2log28=2⋅3=6
입니다.
두 결과가 같습니다.
로그는 큰 수를 작게 눌러서 다루게 해 줍니다.
예를 들어 10, 100, 1000은 차이가 큽니다.
하지만 밑이 10인 로그로 보면
log1010=1
log10100=2
log101000=3
입니다.
곱셈처럼 커지는 관계를 덧셈처럼 읽게 해 주기 때문에, 확률, 정보량, 손실함수에서 로그가 자주 등장합니다.
문제: 다음 값을 계산하시오.
43
풀이:
43=4⋅4⋅4
입니다.
4⋅4=16
이고
16⋅4=64
이므로
43=64
입니다.
문제: 다음 값을 계산하시오.
log5125
풀이:
5를 몇 번 곱해야 125가 되는지 찾습니다.
51=5
52=25
53=125
따라서
log5125=3
입니다.
문제: 다음 지수식을 로그식으로 바꾸시오.
26=64
풀이:
2를 몇 번 곱해야 64가 되는지 묻는 로그식으로 바꿉니다.
log264=6
- 거듭제곱은 같은 수를 여러 번 곱한 것이다.
- an에서 a는 밑이고 n은 지수다.
- am⋅an=am+n이다.
- anam=am−n이다.
- 로그는 지수의 반대 질문이다.
- logab=c는 ac=b와 같은 뜻이다.
- 로그는 곱셈으로 커지는 관계를 덧셈처럼 읽게 해 준다.
- 25를 곱셈으로 풀어 쓸 수 있는가?
- 34의 값을 계산할 수 있는가?
- 23⋅24가 왜 27인지 설명할 수 있는가?
- log232의 값을 구할 수 있는가?
- log381=4를 지수식으로 바꿀 수 있는가?