이 강의의 목표는 아래 식이 무엇을 짧게 쓴 것인지 설명할 수 있게 되는 것입니다.
i=1∑5i
이 식은 사실 다음 덧셈을 짧게 적은 것입니다.
1+2+3+4+5
| 말 |
뜻 |
| 수열 |
순서가 있는 숫자들의 나열 |
| 항 |
수열 안의 각각의 숫자 |
| 일반항 |
몇 번째 항인지 알면 값을 바로 구할 수 있는 식 |
| 점화식 |
앞의 항을 이용해 다음 항을 정하는 식 |
| 급수 |
수열의 항들을 차례대로 더한 것 |
| 부분합 |
앞에서부터 몇 개 항만 더한 값 |
| 시그마 |
반복 덧셈을 짧게 적는 기호 ∑ |
다음 숫자들을 봅시다.
2, 4, 6, 8, 10
이것은 짝수를 차례대로 적은 것입니다.
순서가 중요합니다.
첫 번째 항은 2입니다.
두 번째 항은 4입니다.
세 번째 항은 6입니다.
이렇게 순서가 있는 숫자의 나열을 수열이라고 합니다.
수열을 보통 이렇게 씁니다.
a1, a2, a3, a4, …
여기서 a1은 첫 번째 항입니다.
a2는 두 번째 항입니다.
a3은 세 번째 항입니다.
아래 숫자는 몇 번째인지를 알려 줍니다.
예를 들어
a1=2,a2=4,a3=6
처럼 쓸 수 있습니다.
짝수 수열을 다시 봅시다.
2, 4, 6, 8, 10, …
첫 번째 항은 2입니다.
두 번째 항은 4입니다.
세 번째 항은 6입니다.
몇 번째 항인지 n이라고 하면, 이 수열의 일반항은
an=2n
입니다.
확인해 봅시다.
a1=2⋅1=2
a2=2⋅2=4
a3=2⋅3=6
맞습니다.
수열을 만드는 방법은 두 가지가 있습니다.
하나는 일반항처럼 몇 번째 항인지 바로 계산하는 방법입니다.
다른 하나는 앞의 항으로 다음 항을 만드는 방법입니다. 이것을 점화식이라고 합니다.
예를 들어
1, 3, 5, 7, 9, …
라는 수열은 첫 항이 1이고, 다음 항은 항상 앞 항에 2를 더합니다.
이것을 점화식으로 쓰면
a1=1
an+1=an+2
입니다.
이 식은 이렇게 읽습니다.
다음 항은 지금 항에 2를 더한 것이다.
다음 수열을 봅시다.
3, 7, 11, 15, 19, …
항이 하나 넘어갈 때마다 4씩 늘어납니다.
이런 수열을 등차수열이라고 합니다.
여기서 계속 더하는 수 4를 공차라고 합니다.
첫 항이 a1이고 공차가 d인 등차수열의 일반항은
an=a1+(n−1)d
입니다.
예를 들어 위 수열에서는
a1=3,d=4
이므로
an=3+(n−1)4
입니다.
다음 수열을 봅시다.
2, 6, 18, 54, …
항이 하나 넘어갈 때마다 3을 곱합니다.
이런 수열을 등비수열이라고 합니다.
여기서 계속 곱하는 수 3을 공비라고 합니다.
첫 항이 a1이고 공비가 r인 등비수열의 일반항은
an=a1rn−1
입니다.
위 수열에서는
a1=2,r=3
이므로
an=2⋅3n−1
입니다.
수열
1, 2, 3, 4, 5
가 있습니다.
이 항들을 모두 더하면
1+2+3+4+5=15
입니다.
수열의 항들을 차례대로 더한 것을 급수라고 합니다.
앞에서부터 일부만 더한 것은 부분합이라고 합니다.
예를 들어 앞의 세 항만 더하면
1+2+3=6
입니다. 이것은 세 번째 부분합입니다.
다음 덧셈을 봅시다.
1+2+3+4+5
이것을 매번 길게 쓰기 불편합니다.
그래서 시그마 기호를 씁니다.
i=1∑5i
이 식은 이렇게 읽습니다.
i를 1부터 5까지 바꾸면서 i를 모두 더한다.
즉
i=1∑5i=1+2+3+4+5
입니다.
식
i=1∑5i2
를 봅시다.
아래에 있는
i=1
은 시작값입니다.
위에 있는
5
는 끝값입니다.
오른쪽의
i2
은 더할 대상입니다.
따라서
i=1∑5i2
는
12+22+32+42+52
입니다.
계산해 봅시다.
i=1∑42i
이 식은
2⋅1+2⋅2+2⋅3+2⋅4
입니다.
각 항을 계산하면
2+4+6+8
입니다.
따라서
i=1∑42i=20
입니다.
데이터가 여러 개 있을 때, 우리는 값을 반복해서 더해야 합니다.
예를 들어 데이터가 n개 있고, 각 오차를
e1, e2, …, en
이라고 합시다.
오차 제곱합은
e12+e22+⋯+en2
입니다.
이것을 시그마로 쓰면
i=1∑nei2
입니다.
짧지만 아주 많은 계산을 압축하고 있습니다.
문제: 수열의 일반항이
an=3n+1
일 때 a4를 구하시오.
풀이:
n=4를 넣습니다.
a4=3⋅4+1=13
문제:
a1=2,an+1=an+3
일 때 a4를 구하시오.
풀이:
a1=2
a2=a1+3=5
a3=a2+3=8
a4=a3+3=11
입니다.
문제: 다음 값을 구하시오.
i=1∑3i2
풀이:
i=1∑3i2=12+22+32
=1+4+9=14
- 수열은 순서가 있는 숫자들의 나열이다.
- 항은 수열 안의 각각의 숫자다.
- an은 n번째 항을 뜻한다.
- 일반항은 몇 번째 항인지 알면 바로 값을 구하게 해 준다.
- 점화식은 앞의 항으로 다음 항을 정한다.
- 등차수열은 같은 수를 계속 더한다.
- 등비수열은 같은 수를 계속 곱한다.
- 급수는 수열의 항들을 더한 것이다.
- 시그마 ∑는 반복 덧셈을 짧게 적는 기호다.
- an=2n+1일 때 a5를 구할 수 있는가?
- 1,4,7,10,…가 왜 등차수열인지 설명할 수 있는가?
- 2,4,8,16,…가 왜 등비수열인지 설명할 수 있는가?
- ∑i=14i를 풀어 쓸 수 있는가?
- ∑i=132i를 계산할 수 있는가?