이 강의의 목표는 아래 식이 회전을 숫자로 적은 것임을 이해하는 것입니다.
cosθ+isinθ
처음 보면 어려워 보이지만, 핵심은 단순합니다.
- 각도는 얼마나 돌았는지를 나타낸다.
- cos는 가로 방향 성분을 알려 준다.
- sin은 세로 방향 성분을 알려 준다.
- 복소수는 평면 위의 점과 회전을 함께 다루게 해 준다.
| 말 |
뜻 |
| 각도 |
한 방향에서 다른 방향으로 얼마나 돌았는지를 나타내는 크기 |
| 직각 |
90∘만큼 돈 각 |
| 삼각비 |
직각삼각형에서 변의 길이 비율 |
| sin |
각도에 따른 세로 방향 비율 |
| cos |
각도에 따른 가로 방향 비율 |
| 단위원 |
반지름이 1인 원 |
| 복소수 |
a+bi 꼴로 쓰는 수 |
| 허수단위 |
제곱하면 −1이 되는 수 i |
오른쪽을 바라보다가 위쪽을 바라보면 90∘ 돌았습니다.
오른쪽을 바라보다가 왼쪽을 바라보면 180∘ 돌았습니다.
한 바퀴를 완전히 돌면 360∘입니다.
각도는 길이가 아니라 방향이 얼마나 바뀌었는지를 나타냅니다.
직각삼각형을 생각해 봅시다.
한 각을 θ라고 하겠습니다.
그 각을 기준으로 세 변을 이렇게 부릅니다.
- 빗변: 직각과 마주 보는 가장 긴 변
- 밑변: 각 θ 옆에 붙은 가로 방향 변
- 높이: 각 θ와 마주 보는 세로 방향 변
삼각비는 변의 길이 비율입니다.
sinθ=빗변높이
cosθ=빗변밑변
즉 sin과 cos는 처음부터 어려운 공식이 아니라, 직각삼각형의 길이 비율에서 나온 말입니다.
반지름이 1인 원을 단위원이라고 합니다.
원 위의 한 점을 생각해 봅시다. 오른쪽 방향에서 각도 θ만큼 돌았을 때 도착한 점의 좌표는
(cosθ, sinθ)
입니다.
즉 단위원에서는 이렇게 읽으면 됩니다.
- cosθ: 가로 좌표
- sinθ: 세로 좌표
각도 0∘는 오른쪽 방향입니다.
단위원에서 오른쪽 끝 점은
(1,0)
입니다.
따라서
cos0∘=1,sin0∘=0
입니다.
각도 90∘는 위쪽 방향입니다.
단위원에서 위쪽 끝 점은
(0,1)
입니다.
따라서
cos90∘=0,sin90∘=1
입니다.
각도 180∘는 왼쪽 방향입니다.
단위원에서 왼쪽 끝 점은
(−1,0)
입니다.
따라서
cos180∘=−1,sin180∘=0
입니다.
한 바퀴는 360∘입니다.
오른쪽 방향에서 360∘를 돌면 다시 오른쪽 방향입니다.
따라서
cos360∘=1,sin360∘=0
입니다.
0∘와 같은 위치입니다.
그래서 삼각함수는 반복됩니다.
sin(θ+360∘)=sinθ
cos(θ+360∘)=cosθ
이 반복 간격을 주기라고 합니다.
각도는 도 단위로도 쓰고 라디안으로도 씁니다.
AI 수학과 미적분에서는 라디안을 많이 씁니다.
가장 중요한 대응은 다음과 같습니다.
| 도 |
라디안 |
| 0∘ |
0 |
| 90∘ |
\frac{\pi} |
| 180∘ |
π |
| 360∘ |
2π |
따라서
sin90∘=1
은 라디안으로
sin2π=1
이라고 씁니다.
복소수는 보통 이렇게 씁니다.
a+bi
여기서 a는 실수부입니다.
b는 허수부의 계수입니다.
i는 허수단위입니다.
허수단위는 다음 성질을 가집니다.
i2=−1
예를 들어
3+2i
는 실수부가 3이고 허수부의 계수가 2인 복소수입니다.
복소수
3+2i
를 평면 위의 점으로 볼 수 있습니다.
실수부 3은 가로 좌표입니다.
허수부의 계수 2는 세로 좌표입니다.
따라서
3+2i
는 점
(3,2)
와 대응됩니다.
즉 복소수는 숫자이면서 동시에 평면 위의 위치를 나타낼 수 있습니다.
복소수에서 i를 곱하는 일을 생각해 봅시다.
실수 1에 i를 곱하면
1⋅i=i
입니다.
평면에서 1은 점 (1,0)입니다. i는 점 (0,1)입니다.
즉 i를 곱하면 오른쪽 방향이 위쪽 방향으로 바뀝니다.
이것은 90∘ 회전입니다.
다시 i를 한 번 더 곱하면
i⋅i=i2=−1
입니다.
위쪽 방향이 왼쪽 방향으로 바뀐 것입니다.
다음 식은 복소수와 삼각함수를 연결합니다.
cosθ+isinθ
이 식은 단위원 위의 점
(cosθ, sinθ)
를 복소수로 적은 것입니다.
즉
cosθ+isinθ
는 각도 θ만큼 회전한 방향을 나타냅니다.
나중에는 이것을 더 짧게
eiθ
라고 쓰기도 합니다.
문제: 다음 값을 구하시오.
sin0∘,cos0∘
풀이:
0∘는 오른쪽 방향입니다. 단위원의 좌표는 (1,0)입니다.
따라서
cos0∘=1,sin0∘=0
입니다.
문제: 다음 값을 구하시오.
sin2π
풀이:
2π
는 90∘입니다.
90∘는 위쪽 방향이므로 세로 좌표가 1입니다.
따라서
sin2π=1
입니다.
문제: 복소수
−2+5i
를 평면 위의 점으로 나타내시오.
풀이:
실수부는 −2입니다. 허수부의 계수는 5입니다.
따라서 점은
(−2,5)
입니다.
- 각도는 방향이 얼마나 돌았는지를 나타낸다.
- sinθ는 직각삼각형에서 높이와 빗변의 비율이다.
- cosθ는 직각삼각형에서 밑변과 빗변의 비율이다.
- 단위원에서 cosθ는 가로 좌표, sinθ는 세로 좌표다.
- 삼각함수는 한 바퀴마다 반복된다.
- 라디안은 각도를 재는 또 다른 단위다.
- 복소수 a+bi는 평면의 점 (a,b)로 볼 수 있다.
- i2=−1이다.
- i를 곱하는 것은 90∘ 회전과 연결된다.
- cosθ+isinθ는 각도 θ 방향의 단위원 위 점을 복소수로 쓴 것이다.
- sinθ와 cosθ를 직각삼각형의 변으로 설명할 수 있는가?
- 단위원에서 (cosθ,sinθ)가 무엇을 뜻하는지 말할 수 있는가?
- sin90∘와 cos90∘를 구할 수 있는가?
- π 라디안이 몇 도인지 말할 수 있는가?
- 복소수 4−3i를 점으로 나타낼 수 있는가?
- i2=−1이 왜 복소수 계산의 핵심인지 말할 수 있는가?