이 강의의 목표는 공식을 빨리 외우는 것이 아닙니다. 목표는 아래 식을 스스로 설명할 수 있게 되는 것입니다.
P(a≤X≤b)=∫abp(x)dx
이 식은 말로 풀면 다음 뜻입니다.
확률변수 X가 a와 b 사이의 값을 가질 확률은, 확률밀도함수 p(x)의 그래프 아래 면적을 a에서 b까지 적분하여 얻는다.
이 한 줄에 여러 개념이 한꺼번에 들어 있습니다.
- ∫는 무엇인가? 12강의 ∑이나 lim과는 어떻게 다른가?
- dx는 무엇인가? 미분의 dx와 같은 것인가?
- 왜 "면적"이 "확률"이 되는가? 높이가 곧 확률이 아닌가?
- a와 b가 같으면(한 점) 확률이 0이라는 게 무슨 뜻인가?
이 강의는 이 질문을 하나씩, 아주 작은 단계로 나누어 설명합니다. 12강에서 미분(쪼개기)을 봤다면, 14강은 그 반대 작업인 **적분(쌓기)**을 다룹니다.
이번 강에서 새로 등장하는 어휘만 모았습니다. 함수·그래프(3강), 시그마 (∑, 5강), 미분·도함수·연쇄법칙(12강), 편미분(13강)은 앞서 본 그대로 씁니다.
| 말 |
뜻 |
| 적분 (∫) |
작은 양들을 한없이 많이 더하는 계산 |
| 정적분 |
두 끝값 사이에서 적분한 결과(한 수) |
| 부정적분 |
끝값 없이 적분한 결과(함수 + 상수) |
| 원시함수 (F) |
미분하면 f가 되는 함수, F′(x)=f(x) |
| 리만합 |
구간을 잘게 쪼개어 직사각형 넓이로 면적을 근사한 합 |
| 미적분 기본정리 |
미분과 적분이 서로 반대 작업임을 말하는 정리 |
| 치환적분 |
변수를 바꿔 적분을 쉽게 만드는 방법 (연쇄법칙의 역) |
| 부분적분 |
두 함수의 곱을 적분하는 방법 (곱 규칙의 역) |
| 이중적분 |
두 변수에 대해 차례로 적분 |
| 확률밀도함수 (PDF, p(x)) |
연속 확률변수의 확률이 어떻게 분포되어 있는지 보여 주는 함수 |
| 누적분포함수 (CDF, F(x)) |
X≤x일 확률을 x의 함수로 적은 것 |
| 기댓값 |
확률밀도로 가중한 평균값 |
여기서 가장 중요한 식은 도입부에서 본
P(a≤X≤b)=∫abp(x)dx
입니다. 14강 전체는 이 식의 의미를 풀어내는 작업입니다.
f(x)=x2의 그래프와 x축, 그리고 x=0과 x=2 사이로 둘러싸인 영역의 넓이를 어떻게 구할까요? 직사각형이라면 가로 × 세로면 끝이지만, 위가 곡선이라 그렇게 되지 않습니다.
가장 단순한 발상은 이 영역을 여러 개의 직사각형으로 채우는 것입니다.
구간 [0,2]를 n개의 동일한 작은 구간으로 나눕니다. 각 구간의 폭은 Δx=2/n. 각 구간의 한 점에서 함수값(높이)을 골라 직사각형을 세웁니다. 그 직사각형들의 넓이를 모두 더하면
Sn=i=1∑nf(xi)⋅Δx
이것이 리만합입니다. 5강에서 본 시그마 기호가 그대로 등장합니다.
n이 커질수록 직사각형이 곡선에 더 잘 맞고, 합 Sn이 진짜 면적에 다가갑니다. 12강에서 본 극한을 쓰면
면적=n→∞limi=1∑nf(xi)⋅Δx
이 무한 합을 적분이라고 부르고
∫02f(x)dx
로 적습니다. 기호 ∫는 "Sum"의 옛 이탤릭 S에서 왔습니다. 그 정신이 곧 "한없이 잘게 쪼갠 합"입니다.
dx는 그 무한히 작은 폭 Δx의 흔적입니다. 12강의 도함수 표기 df/dx와 같은 정신으로 "아주 작은 변화"를 뜻합니다. ∫⋯dx는 "x로 적분한다"는 표시입니다.
∫abf(x)dx
각 부분의 의미는 다음과 같습니다.
| 기호 |
뜻 |
| ∫ |
합의 무한 일반화 (적분 기호) |
| a,b |
적분 구간의 아래끝과 위끝 |
| f(x) |
적분되는 함수 (피적분 함수) |
| dx |
x가 적분 변수임을 알리는 표시 |
이 식의 결과는 한 수입니다. 곧 "f의 그래프 아래, x∈[a,b]의 면적".
함수가 x축 아래에 있으면 면적을 음수로 셉니다.
∫abf(x)dx=(x축 위 면적)−(x축 아래 면적)
또한 a>b인 경우는 약속에 따라
∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
로 정합니다.
- 선형성: ∫ab(cf+dg)dx=c∫abfdx+d∫abgdx
- 구간 분할: ∫abfdx+∫bcfdx=∫acfdx
- ∫aafdx=0 (폭 0)
리만합으로 적분을 직접 계산하면 매우 번거롭습니다. 다행히 적분을 미분으로 풀 수 있는 강력한 정리가 있습니다.
함수 f가 연속이고, F가 f의 원시함수라면 (즉 F′(x)=f(x)라면)
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
가 성립합니다. 이것이 미적분 기본정리입니다.
- 적분(쌓기)을 직접 하지 않아도, 미분의 역을 한 번 구하면 답이 나온다.
- 미분과 적분은 서로 정확히 반대 작업이다.
12강의 모든 미분 공식이 14강의 적분 공식으로 자동 변환됩니다.
F(x)=∫axf(t)dt를 x의 함수로 보면, 이것이 "지금까지의 누적량"입니다. x가 조금 늘어날 때 누적량이 얼마나 늘어나는지가 바로 그 순간의 함수값 f(x). 즉
dxdF=f(x)
이것이 기본정리의 본질입니다.
f(x)=x2의 원시함수는 F(x)=3x3 (왜냐하면 dxd3x3=x2).
∫02x2dx=F(2)−F(0)=38−0=38
리만합으로 무한 합을 직접 더하지 않고도 답이 떨어집니다.
특정 구간 없이 적분 기호만 쓰면 부정적분입니다.
∫f(x)dx=F(x)+C
F는 원시함수, C는 임의의 상수입니다. 미분하면 상수 항이 사라지므로, 원시함수는 상수만큼 차이를 가질 수 있습니다.
12강 7절의 미분 공식표를 그대로 뒤집습니다.
| 함수 |
부정적분 |
| 0 |
C |
| 1 |
x+C |
| xn (n=−1) |
n+1xn+1+C |
| \dfrac{1} |
ln∣x∣+C |
| ex |
ex+C |
| sinx |
−cosx+C |
| cosx |
sinx+C |
거듭제곱 공식 ∫xndx=n+1xn+1+C 하나만 외워도 다항함수 적분은 모두 됩니다.
∫(3x2+2x−5)dx=x3+x2−5x+C
각 항을 따로 적분하고 (선형성), 결과에 +C를 붙입니다.
미분에 합·곱·연쇄법칙이 있듯, 적분에도 그에 대응하는 규칙이 있습니다.
∫f(g(x))⋅g′(x)dx 같은 모양이 나오면, u=g(x)로 치환합니다. 그러면 du=g′(x)dx이므로
∫f(g(x))⋅g′(x)dx=∫f(u)du
예: ∫2x⋅ex2dx. u=x2로 두면 du=2xdx. 따라서
∫2x⋅ex2dx=∫eudu=eu+C=ex2+C
곱 규칙 (uv)′=u′v+uv′를 적분하면 uv=∫u′vdx+∫uv′dx. 이를 정리하면
∫udv=uv−∫vdu
예: ∫x⋅exdx. u=x, dv=exdx로 두면 du=dx, v=ex.
∫xexdx=xex−∫exdx=xex−ex+C=(x−1)ex+C
미분은 거의 모든 함수에 기계적으로 적용되지만, 적분은 그렇지 않습니다. 예를 들어
∫e−x2dx
는 초등함수로 표현되지 않습니다. 그래서 정규분포 같은 적분은 수치적 계산이나 특수함수(오차함수)를 씁니다.
13강에서 미분을 다변수로 확장했듯, 적분도 다변수로 확장됩니다.
f(x,y)의 어떤 영역 D 위에서의 적분은
∬Df(x,y)dA
로 적습니다. 한 변수 적분이 곡선 아래 면적을 잰다면, 이중적분은 곡면 아래 부피를 잽니다.
직사각형 영역 D=[a,b]×[c,d]에서는
∬Df(x,y)dA=∫ab(∫cdf(x,y)dy)dx
즉 한 변수씩 차례로 적분하면 됩니다 (편미분의 거꾸로).
∬[0,1]×[0,1](x+y)dA.
먼저 y로:
∫01(x+y)dy=xy+2y2∣∣∣∣01=x+21
다음 x로:
∫01(x+21)dx=2x2+2x∣∣∣∣01=1
이제 도입부 식의 핵심(확률에서의 적분)을 봅시다.
확률변수 X가 어떤 구간의 모든 실수값을 가질 수 있을 때 X를 연속이라고 합니다. 키, 시간, 온도 등이 그 예.
이 경우 "X가 정확히 1.732일 확률"은 0입니다 (실수가 너무 많으니까). 대신 작은 구간 [x,x+dx]에 들어갈 확률을 봅니다. 그 확률이 p(x)dx의 형태가 되는 함수 p(x)를 확률밀도함수 (PDF)라고 합니다.
핵심: 높이 p(x) 자체는 확률이 아니라 "확률 밀도", 즉 면적이 확률이다.
- 어디서나 음이 아니다: p(x)≥0
- 전체 면적은 1: ∫−∞∞p(x)dx=1
전체 확률이 1이라는 점이 두 번째 조건의 의미입니다.
X가 [a,b] 안의 값을 가질 확률은 PDF의 그 구간 면적입니다.
P(a≤X≤b)=∫abp(x)dx
이것이 14강 도입부의 식. 면적이 곧 확률입니다.
X가 x 이하일 확률을 x의 함수로 본 것이 누적분포함수.
F(x)=P(X≤x)=∫−∞xp(t)dt
미적분 기본정리에 의해 두 함수의 관계는
F′(x)=p(x)
즉 CDF를 미분하면 PDF가 됩니다.
구간 확률은 CDF의 차로도 표현 가능합니다.
P(a≤X≤b)=F(b)−F(a)
가장 자주 쓰는 분포는 표준정규분포
p(x)=2π1e−x2/2
종 모양 곡선입니다. 이 함수의 적분(원시함수)은 초등함수로 표현되지 않으므로(6.3절), 정규분포의 구간 확률은 표나 수치적 도구로 구합니다.
연속 확률변수 X의 기댓값은
E[X]=∫−∞∞xp(x)dx
각 가능한 값 x에 그 확률밀도 p(x)를 곱해 가중평균을 낸 것입니다. 4단원 19강의 핵심 정의입니다.
함수의 기댓값도 같은 방식.
E[g(X)]=∫−∞∞g(x)p(x)dx
Var(X)=E[(X−μ)2]=∫(x−μ)2p(x)dx
여기서 μ=E[X].
두 분포 p와 q가 얼마나 다른지를 재는 양
KL(p∥q)=∫p(x)logq(x)p(x)dx
이 적분은 변분추론, VAE, 강화학습 등에서 핵심 도구입니다.
베이즈 추론, 정규화상수 계산 등 거의 모든 확률적 모델은 적분으로 정의됩니다. 차원이 높아 직접 계산이 불가능한 경우 몬테카를로 시뮬레이션(샘플링)이나 변분추론(근사)을 씁니다.
한 줄로: 확률은 적분의 언어다.
- 15강: 함수를 다항식으로 근사하는 테일러 전개. 적분을 어렵지 않게 만드는 도구.
- 16강: 적분의 반대 시점에서 본 미분방정식, 곧 "변화율을 알면 누적량을 적분으로 얻는다".
- 18~19강: 확률변수와 분포, 기댓값·분산을 다룹니다. 14강 8~9절의 본격적 확장입니다.
- 25강: 엔트로피, 교차엔트로피, KL divergence는 모두 적분으로 정의된다.
- 35강 (VAE)·36강 (Diffusion): 변분추론과 score matching 등 적분 중심의 생성모델.
문제: ∫13(x2+2x)dx를 구하시오.
풀이:
원시함수: F(x)=3x3+x2.
기본정리에 의해:
F(3)−F(1)=(327+9)−(31+1)=18−34=350
문제: ∫2xcos(x2)dx를 구하시오.
풀이:
u=x2로 두면 du=2xdx. 따라서
∫2xcos(x2)dx=∫cosudu=sinu+C=sin(x2)+C
문제: ∫xlnxdx를 구하시오.
풀이:
u=lnx, dv=xdx로 두면 du=x1dx, v=2x2.
∫xlnxdx=2x2lnx−∫2x2⋅x1dx=2x2lnx−21∫xdx
=2x2lnx−4x2+C
문제: X가 [0,4]에서 균등분포를 따른다. PDF는 p(x)=41 (0≤x≤4). P(1≤X≤3)을 구하시오.
풀이:
P(1≤X≤3)=∫1341dx=41⋅(3−1)=21
전체 면적이 1인지 검증: ∫0441dx=1✓.
문제: 위 14절의 X의 기댓값을 구하시오.
풀이:
E[X]=∫04x⋅41dx=41⋅2x2∣∣∣∣04=41⋅8=2
직관적으로 [0,4]의 한가운데이므로 기댓값이 2인 것이 맞습니다.
문제: ∬[0,2]×[0,3]xydA를 구하시오.
풀이:
먼저 y로:
∫03xydy=x⋅2y2∣∣∣∣03=29x
다음 x로:
∫0229xdx=29⋅2x2∣∣∣∣02=29⋅2=9
- 적분은 함수 그래프 아래 면적을 무한히 잘게 쪼갠 합으로 잰다.
- 정적분 ∫abfdx는 한 수, 부정적분 ∫fdx=F+C는 함수.
- 미적분 기본정리: ∫abfdx=F(b)−F(a)이며 미분과 적분은 서로 반대.
- 거듭제곱 xn의 적분은 n+1xn+1+C.
- 치환적분은 연쇄법칙의 역, 부분적분은 곱 규칙의 역.
- 모든 적분이 초등함수로 풀리는 건 아니다 (예: e−x2).
- 다변수 적분은 부피·확률 등의 누적량을 잰다. 한 변수씩 차례로 적분한다.
- 연속 확률변수에서 PDF p(x)의 면적이 확률이며, 높이 자체는 확률이 아니다.
- P(a≤X≤b)=∫abp(x)dx, 전체 면적은 1.
- CDF F(x)=P(X≤x), F′=p.
- 기댓값·분산·KL divergence 등 확률의 핵심 양은 모두 적분으로 정의된다.
- 한 줄로: 미분이 쪼개기라면 적분은 쌓기, 그리고 확률은 적분의 언어.
- 적분 기호 ∫가 왜 시그마 ∑의 일반화인지 한 줄로 설명할 수 있는가?
- 정적분과 부정적분의 차이가 무엇인가?
- 미적분 기본정리의 식 ∫abfdx=F(b)−F(a)를 자기 말로 해석할 수 있는가?
- ∫01(4x3−3x2+2)dx를 계산할 수 있는가?
- ∫3x2cos(x3)dx를 치환적분으로 구할 수 있는가?
- ∫xe−xdx를 부분적분으로 구할 수 있는가?
- PDF의 두 조건이 무엇이고, 왜 그래야 하는지 설명할 수 있는가?
- PDF에서 "한 점에서의 확률이 0"이라는 말의 의미를 설명할 수 있는가?
- CDF와 PDF의 관계 (F′=p)가 미적분 기본정리와 어떻게 같은 정신인지 말할 수 있는가?
- 기댓값이 왜 적분으로 정의되는지, 이산 확률변수의 평균과 어떻게 연결되는지 설명할 수 있는가?